备战2024年高考阶段性检测名校重组卷（新高考）
第二章 函数
本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．（2023·湖北·校联考三模）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 ，解得 ，
所以函数的定义域为 .
故选：D．
2．（2023·山东淄博·统考二模）已知集合 ，则下列集合为空集
的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合 ，然后利用集合的运算逐项
进行判断即可求解.
【详解】集合 ，集合 ，
所以 ， ，
对于 ， ，故选项 不满足题意；
对于 ， ，故选项 满足题意；
对于 ， ，故选项 不满足题意；
对于 ， ，故选项 不满足题意，
故选： .3．（2023·山东日照·统考二模）已知 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，结合简易逻辑用语判断选项即可.
【详解】因为 定义域上单调递减，故由 得 ，而 定义域
上单调递增，故 ，满足充分性；
又 ，满足必要性，
故选：C
4.（2023·山东潍坊·统考二模）已知函数 ，则 （ ）
A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在R上是减函数
【答案】C
【分析】判断 的关系即可得出函数的奇偶性，再根据指数函数的单调性即可
得出函数的单调性.
【详解】函数的定义域为R，
因为 ，所以函数 为奇函数，
又因为函数 在R上都是减函数，所以函数 在R上是减函数.
故选：C.
5.（2023·山西阳泉·统考三模）函数 在区间 存在零点．则实数m
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由 在 上单调递增， 在 上单调递增，得函数
在区间 上单调递增，
因为函数 在区间 存在零点，
所以 ，即 ，解得 ，
所以实数m的取值范围是 .
故选：B.
6.（2023·河南郑州·统考二模）若函数 的部分图象如图所示，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图象知， 的两根为2，4，且过点 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
故选：A
7．（2023·福建漳州·统考三模）英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度
变化的冷却模型.如果物体的初始温度是 ，环境温度是 ，则经过 物体的温度 将满
足 ，其中 是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数.现有
的物体，若放在 的空气中冷却，经过 物体的温度为 ，则若使物体的温度为
，需要冷却（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得： ，即 ， ，
，
由 得： ，即 ，解得： ，
若使物体的温度为 ，需要冷却 .
故选：C.
8.（2023·山东潍坊二模）定义在R上的函数 满足，①对于互不相等的任意 ，
都有 ，且当 时， ，② 对任
意 恒成立，③ 的图象关于直线 对称，则 ､ ､ 的
大小关系为（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】因为 的图象关于直线 对称，则函数 关于 轴对称，
所以函数 为 上的偶函数，
又因为 对任意 恒成立，则函数 的周期为4，
又因为对于互不相等的任意 ， 都有 ，
且当 时， ，所以对任意 ，则 ，
故有 ，所以函数 在 上单调递增，
则有 ， ，
，因为函数 在 上单调递增，
则 ，即 ，
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.(2023·长春质检)下列函数中，图象关于原点对称的是( )
A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝－1
C．f(x)＝ln D．f(x)＝ln sin x
【答案】 ABC
【解析】 由f(x)＝ex－e－x可得，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关
于原点对称；
由f(x)＝－1＝可得，f(－x)＝＝＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原点对称；
由f(x)＝ln(x＋)可得，f(－x)＝ln(－x＋)＝ln ＝－f(x)，x∈R，∴函数为奇函数，图象关于原
点对称；
由f(x)＝ln sin x知，sin x>0，所以2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，定义域不关于原点对称，则函数
为非奇非偶函数，图象不关于原点对称，故选ABC.
10.（多选题）（2023·安徽合肥·合肥市第十中学校考模拟预测）下列说法不正确的是（
）A．函数 在定义域内是减函数
B．若 是奇函数，则一定有
C．已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是
D．若 的定义域为 ，则 的定义域为
【答案】ABC
【解析】函数 在 和 上都是减函数，但在定义域 上
不是减函数，故A不正确；
当 是奇函数时， 可能无意义，比如 ，故B不正确；
因为 是增函数，所以 ，解得 ，故C不正确；
因为 的定义域为 ，所以 ，
解得 ，即 的定义域为 ，故D正确.
故选：ABC.
11.（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在 上的函数 在 上单调递增，
且 为偶函数，则（ ）
A． 的对称中心为B． 的对称轴为直线
C．
D．不等式 的解集为
【答案】BCD
【解析】因为 为偶函数，所以 ，
所以 图象关于直线 对称，故A错误，B正确；
又 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，
所以 ，故C正确；
由不等式 结合 的对称性及单调性，得 ，
即 ，即 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 ，故D正确，
故选：BCD．
12.(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动
点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对
于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x ，使得f(x)＝x ，那么我们称该函数为“不
0 0 0
动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是( )
A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝ ＋1 D．f(x)＝|log x|－1
2
【答案】 BCD
【解析】 选项A，若f(x)＝x，则 ＝0，该方程无解，
0 0
故该函数不是“不动点”函数；
选项B，若f(x)＝x，则x－2x－3＝0，
0 0 0
解得x＝3或x＝－1，故该函数是“不动点”函数；
0 0选项C，若f(x)＝x，则 ＋1＝x，
0 0 0
可得x－3x＋1＝0，且x≥1，
0 0
解得x＝，故该函数是“不动点”函数；
0
选项D，若f(x)＝x，则|log x|－1＝x，
0 0 2 0 0
即|log x|＝x＋1，
2 0 0
作出y＝|log x|与y＝x＋1的函数图象，如图，
2
由图可知，方程|log x|＝x＋1有实数根x，
2 0
即存在x，使|log x|－1＝x，
0 2 0 0
故该函数是“不动点”函数．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.．（2023·安徽·校联考三模）函数 的值域是______．
【答案】
【详解】当 时，满足 ；
当 时，由 ，
所以函数 的值域为 ．
故答案为： ．
14．（2023·河南·校联考三模）已知函数 .若 .则 的取
值范围是__________.
【答案】
【详解】因为函数 定义域为 ， ，
，
所以 是奇函数且在 上单调递增，
由 0，可得 ，则 ，解得
，
即 的取值范围是 .
故答案为： .15．（2023·河南安阳·统考三模）已知函数 的图象关于坐标原点对
称，则 __________.
【答案】 /1.5
【详解】依题意函数 是一个奇函数，
又 ，所以 ，
所以 定义域为 ，
因为 的图象关于坐标原点对称，所以 ，解得 .
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
16.．（2023·黑龙江大庆·统考三模）已知函数 ，则 _____；若
，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是____________．
【答案】 3
【详解】由 ，则 ，所以则
，
所以 可转化为 ，
因为 在R上为增函数，所以 在R上为增函数，
所以 对 恒成立，即 对 恒成立，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，即实数 的取值范围 ．
故答案为： ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(2023天津河西区期中） 计算下列各式
(1) (式中字母均为正数);
(2) .
【解析】(1) .
(2)原式 .
18.（广东省部分名校2021-2022学年高二上学期期中）在① ， ，②当
时，f(x)取得最大值3，③ ， 这三个条件中任选一
个，补充在下面的问题中，并作答.
问题：已知函数 ，且
（1）求f(x)的解析式；
（2）若f(x)在 上的值域为 ，求 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）若选①，
由题意可得
解得 ， .
故 .
若选②，
由题意可得
解得 ， .
故
若选③.
因为 ，所以 图象的对称轴方程为 ，则 ，即
.因为 ，所以 .
故 .
（2）因为 在 上的值域为 ，所以 ，即 .
因为 图象的对称轴方程为 ，且 ，所以 在 上单调递增，
则
整理得 ，即 .
因为 ，所以 ，即 .
19.（2023天津武清区上学期检测）已知函数 .
(1)写出函数 的定义域并判断其奇偶性;
(2)若 ,求实数 的取值范围.
【解析】(1)由 ,可得 ,则函数 的定义域为 ,
由 ,
可得函数 为偶函数.
(2)由 ,
可得
由 ,可得
解之得 ,则实数 的取值范围为
20.(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝log (9x＋1)＋kx是偶函数．
3
(1)求k；
(2)解不等式f(x)≥log (7·3x－1)．
3
【解析】 (1)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即log (9－x＋1)－kx＝log (9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立，
3 3
∴2kx＝log (9－x＋1)－log (9x＋1)＝log ＝log 3－2x＝－2x，
3 3 3 3
∴k＝－1.(2)由(1)得f(x)＝log (9x＋1)－x＝log (9x＋1)－log 3x＝log ＝log (3x＋3－x)，
3 3 3 3 3
则不等式f(x)≥log (7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1>0，
3
由7·3x－1>0，解得x>－log 7；
3
由3x＋3－x≥7·3x－1，
得6·(3x)2－3x－1≤0，
得0<3x≤，
即x≤－log 2，
3
综上，不等式的解集为(－log 7，－log 2]．
3 3
21.（2022浙江省衢温“5+1”联盟期中）2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022
年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热
情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内
（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价 （元/套）
与时间 x（被调查的一个月内的第 x天）的函数关系近似满足 （k为正常
数）．该商品的日销售量 （个）与时间x（天）部分数据如下表所示：
x 10 20 25 30
110 120 125 120
已知第10天该商品的日销售收入为121元．
（1）求k的值；
（2）给出两种函数模型：① ，② ，请你根据上表中的
数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 与时间x的关系，
并求出该函数的解析式；
（3）求该商品的日销售收入 （ ， ）（元）的最小值．
【解析】（1）因为第10天该商品的日销售收入为121元，
所以 ，解得 ；
（2）由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，
故只能选②:
代入数据可得： ，解得 ， ，
所以 ，（ ， ）（3）由（2）可得， ，
所以， ，
所以当 ， 时， 在区间 上单调递减，在区间
上单调递增，
所以当 时， 有最小值，且为121；
当 ， 时， 为单调递减函数，
所以当 时，f(x)有最小值，且为124，
综上，当 时，f(x)有最小值，且为121元，
所以该商品的日销售收入最小值为121元．
22.（2013江西瑞金二中开学考）设定义域为 的奇函数 ,( 为实数).
(1)求 的值;
(2)判断 的单调性,并用单调性的定义给予证明;
(3)是否存在实数 和 ,使不等式 成立?若存在,求出
实数 的取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由 是 上的奇函数,
,即 ,从而 ,
当 时, ,
即 为奇函数,所以 满足题意.
(2) 在 上单调递减,证明如下:任取 ,且 ,则
, ,从而 , ,
,即 .
故 上单调递减.
(3)存在实数 ,使不等式 成立.
由 为奇函数,则
.
由 为 上的减函数,得 ,即 .
令 ,
则依题意只需 ,易得 的对称轴是 ,
①当 即 时, 在 上单减, ,即
, .
②当 即 时, 在 上单减,在 上单增,
.
解得: 或 , .
③当 即 时, 在 上单增, ,即
, .
综上可知:存在实数 ,使不等式
成立.
