文档内容
秘籍 06 平面向量四大定理
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 投影向量与向量的投影的区别
平面向量是近几年小题的热点必考题型，主要考察学生对于向量的转化也就是基底思想的熟练程度，
包含了对于复杂知识的简单化也就是化归与转化的思想的掌握。近几年的向量也出现过单选的压轴题，考
察的大多为向量的三大定理之一。还有新教材新加的投影向量也是今年的热门知识点。
【题型一】 奔驰定理
为 内一点， ，则 .
重要结论： ， ， .
结论1：对于 内的任意一点 ， 若 、 、 的面积分别为 、 、 ，则：
.
即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.
结论2：对于 平面内的任意一点 ，若点 在 的外部，并且在 的内部或其对顶角的内部
所在区域时，则有 .
结论3：对于 内的任意一点 ， 若 ，则 、 、 的面积之比
为 .
即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比.
结论4：对于 所在平面内不在三角形边上的任一点 ， ，则 、 、的面积分别为 .
1.设点 在 的内部，且 ，若 的面积是27，则 的面积为
（ ）
A．9 B．8 C． D．7
【答案】A
【详解】方法一 延长OC到D，使得OD=2OC,因为 ，所以
，
以OA，OD为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE交AC于H,因为 ,所以 ,
因为OC:AE=1:2,所以OH:HE=1:2,所以 ,所以 ,
所以 的面积是 面积的 ，所以 的面积为9.故选：A
方法二：奔驰定理 ,所以 的面积为9.故选：A
2.在 中， 为其内部一点，且满足 ，则 和 的面积比是（ ）
A．3：4 B．3:2 C．1:1 D．1:3
【答案】D
【解析】
取 中点 ,则由 得 ,所以 , 在线段 上,
因此 ，选D.
方法二：极化恒等式可得面积比为1:3，所以选D.3.在平面上有 及内一点O满足关系式： 即称为经典的“奔驰定
理”，若 的三边为a，b，c，现有 则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为 ， ， ， ，因
为 ，则 ，即
，又因为 ，所以 ，所以点P是△ABC的内
心.
故选：B
1．（2021·四川凉山·统考三模）如图， 为 内任意一点，角 ， ， 的对边分别为 ， ， .总有
优美等式 成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以
下命题：
①若 是 的重心，则有 ；
②若 成立，则 是 的内心；
③若 ，则 ；
④若 是 的外心， ， ，则 .
则正确的命题有___________.
【答案】①②④
【详解】对于①：如图所示：因为 分别为 的中点，所以 , ，
同理可得 、 ，
所以 ，又因为
所以 .①正确.
对于②：记点 到 的距离分别为 ， ，因
为 ，则 ，即
，又因为 ，所以 ，所以点 是 的内心.②
正确.
对于③：因为 ，所以 , ,
,
所以 ,
化简得： ，
又因为 不共线.
所以 ，.③错误.
对于④：因为 是 的外心， ，所以 , ，
,
因为 ，则 ，
化简得： ,由题意知 不同时为正.
记 ,
则 ，
因为
所以 .④正确.
故答案为：①②④.
2．（2022·全国·模拟预测）在 中，点 是 的重心，过点 作直线分别交线段 ， 于点
， （ ， 不与 的顶点重合），则 的最小值为___________.
【答案】
【详解】设 ， ， ， .因为 是 的重心，所以 .由 ， ， 三点共线可知，
.
由平面向量基本定理可知 解得 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
因为 是 的重心，所以 ，故
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为： .
（多选）3．（2021·全国·模拟预测）如图，已知点G为 的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，
且D，G，E三点共线， ， ， ， ，记 ， ，四边形BDEC的面
积分别为 ， ， ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】连接AG并延长交BC于点M，如图，因G为 的重心，则M是BC边的中点，且
，
又D，G，E三点共线，即 ，则有 ，
而 ， ，又 ，于是得 ，
而 与 不共线，因此， ， ，A正确；
边AD上的高为 ， 边AB上的高为 ，
则 ，B正确；
由A可知， ，当且仅当 时取“=”，则有 ，即 ，而 ，于是得 ，C正确，D错误.
故选：ABC
【题型二】 极化恒等式
基础知识：
A
简化：在△ 中， 是边 的中点，则 .
B D C
1.已知△ 是边长为 2 的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是
（ ）
C
解析：取 的中点 ，连接 ， ，取 的中点 ，连接 ， D
E
P
A B
由△ 是边长为2的等边三角形， 为中线 的中点 ，
则 ，
所以 .
2.在△ABC中，D是 BC的中点，E，F是 AD上的两个三等分点， ，
，则 的值是________.【答案】 【解析】解法一：基底法
令 ，则 ，则
，
则
由 ， 可得 ，因此 ，
因此 .
解法二：极化恒等式
，
解得： 所以 .
3.已知球 的半径为1， 是球面上的两点，且 ，若点 是球面上任意一点，则 的
取值范围是A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由球 的半径为1， 是球面上的两点，且 ，可得
，
,故选B.
4.如图，已知正方形 的边长为2， 为 的中点，以 为圆心， 为半径，作圆交 于点，若 为劣弧 上的动点，则 的最小值是____________.
【解析】 当 三点共线时 最小，此时
1．（2023·全国·模拟预测）在边长为2的等边三角形 中， 为边 上的动点，则 的最小
值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】取 的中点为 ，连接 ，
则
，因为当 时， 取得最小值，
此时 ，所以 .
故选：C2．（2022春·安徽合肥·高一合肥市第六中学校联考期中） 的外接圆的圆心为 ，满足
且 ， ， ，则 （ ）．
A．36 B．24 C． D．
【答案】A
【详解】如图，设 中点为 ， 中点为 ，
外接圆圆心 为 和 垂直平分线的交点，
则 ，
同理 ，
在 两边分别乘以向量 和 ，
，
即 ①， ②，
① ②得，
，
即 ③，
① ② 得，
，
即 ④，
联立③④，解得 .
故选：A3．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知直线 ： 与圆 ： 交于A，B两点，Р为圆
О上一点，当弦长AB最小时，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】易知直线 ： 过定点 ，且点Q在圆O内，
当Q是弦AB的中点时，弦长AB最小，
此时
.
当P是线段QO的延长线与圆O的交点时， 最大，且最大值是 ，
所以 的最大值是 .
故选：B.
【题型三】 等和线
等和线原理：1.如图， 中， 是斜边 上一点，且满足： ,点 在过点 的直线上，若
, ,则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】 ，因为 三点共线，所以 ，因此
，选B.
2.设 ， ， 是平面内共线的三个不同的点，点 是 ， ， 所在直线外任意-点，且满足
，若点 在线段 的延长线上，则（ ）
A． ， B． ， C． D．
【答案】A
【详解】由题可得： ，所以 可化为：
整理得： ，即： 又点 在线段 的延长线上，所以 与 反向，
所以 ， 故选：A
2π
3.如图，∠BAC= ，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，AD=1，点P是圆M及其内部任意一点，且
3
⃑AP=x⃑AD+ y⃑AE(x、y∈R)，则x+ y的取值范围是（ ）A．[1,4+2√3] B．[4−2√3,4+2√3] C．[1,2+√3] D．[2−√3,2+√3]
【答案】B
【解析】
1 1
连接AM并延长分别交圆M于Q、T，连接DE，DE与AM交于R，显然⃗AR= ⃗AD+ ⃗AE，此时
2 2
x+ y=1，分别过Q、T作DE的平行线，由于AD=AE=1,∠BAC=1200 ，则AM=2,DM=√3，则
1
AQ=2−√3，AR= ，
2
2−√3
⃗AQ= =(4−2√3)⃗AR=(2−√3)⃗AD+(2−√3)⃗AE
1 ，此时x+ y=4−2√3 ，同理可得：
2
⃗AT=(2+√3)⃗AD+(2+√3)⃗AE，x+ y=4+2√3，选B.
1．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山市红星中学校考期中）在矩形ABCD中， ， ，动点P在
以点A为圆心的单位圆上．若 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】C
【详解】构建如下直角坐标系： ，令 ， ，由 可得： ，
则 且 ，
所以当 时， 的最大值为 .
故选：C
2．（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形 中，动点 从点 出发，经过 ， ，到达 ，
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】以 为坐标原点， ， 所在直线分别为 轴， 轴，建立平面直角坐标系，
设 ，则 ，
当点 在 上时，设 ，
则 ，即 ，故 ，
当点 在 上时，设 ，
则 ，即 ，解得 ，
故 ，当点 在 上时，设 ，
则 ，即 ，故
综上， 的取值范围是 .
故选：B
（多选）3．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知 的内角A，B，C所对边的长分别为
a，b，c，已知 ， ， 的面积S满足 ，点O为 的外心，满足
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】解：对于A，已知 ，则 ，
由余弦定理可知 ，所以 ，即，
等号两边同时平方，可得 ，
则 ，即 ，
因为 ，所以 ，
则 ，即 ，
因为 ，则 ，
，A选项正确；
对于B， ，
因为点O为 的外心，所以 ， ，
则 ，B选项正确；
对于C，由余弦定理 ，
由正弦定理 ，则 ，C选项错误；
对于D，因为 ，则 ，
即 ，所以 ①，
同理 ，
即 ，所以 ②，联立①②，解得 ， ，D选项正确；
故选：ABD.
【题型四】 投影向量与向量的投影
1.向量 在 方向上的投影：设 为 、 的夹角，则 为 在 方向上的投影.
2.投影也是一个数量，不是向量.当 为锐角时投影为正值；当 为钝角时投影为负值；当 为直角时投影
为 ；当 时投影为 ；当 时投影为 .
3.向量的数量积的几何意义：数量积 等于 的长度与 在 方向上投影 的乘积.
1．（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知非零向量 满足 ，且向量
在向量 方向的投影向量是 ，则向量 与 的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，即 ①.
因为向量 在向量 方向的投影向量是 ，所以 .
所以 ②，将①代入②得， ，又 ，
所以 .故选：B
2．（2023·湖南·校联考二模）已知向量 ， 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向
量为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以，向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：C．
（多选）3．（2023·广东梅州·统考二模）已知向量 ， ， ，则下列命题正确
的是（ ）
A．当且仅当 时， B． 在 上的投影向量为
C．存在θ，使得 D．存在θ，使得
【答案】ABD
【详解】向量 ， ， ，
对于A， ，A正确；
对于B，因为 ，则 在 上的投影向量为 ，B正确；
对于C， ，假定存在θ，使得 ，则有 ，
而 ，即 不成立，因此不存在θ，使得 ，C错误；
对于D， ，即 ，则 ，因此存在θ，使得 ，D正确.
故选：ABD
（多选）1．（2023·福建·统考模拟预测）已知向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． 在 上的投影向量是 D． 在 上的投影向量是
【答案】BC
【详解】由已知可得， ， .
对于A项，因为 ，故A项错误；
对于B项，因为 ， ，所以 ，故B项正确；
对于C项，因为 ， ， ，
所以 在 上的投影向量是 ，故C项正确；
对于D项， ， ，
所以 在 上的投影向量是 ，故D项错误.
故选：BC.
2．（2023·安徽安庆·校联考模拟预测）已知平面向量 ， 满足 ， ，且 ， 的夹角大小为
，则 在 方向上的投影向量的坐标为__________．
【答案】【详解】因为 ，则 ，
根据条件由投影向量的概念可得，
在 方向上的投影向量的坐标为 ．
故答案为： .
3．（2023·青海西宁·统考二模）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 在 上的投影为
___________.
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
则 在 上的投影为 .
故答案为：
高考模拟练习
1．（2023·安徽·校联考二模）如图，在 中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近
D，A的三等分点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，则 ①；，则 ②；
① ②两式相加， ，即 ，
故选：C.
2．（2023·山东潍坊·校考模拟预测）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，P为AC边上的一个动
点，EF是以B为圆心，3为半径的圆的直径，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】如图可知, ， ，
因为 是 的中点，所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
由条件可得， ， ，
因为P为AC边上的一个动点，
故当P为AC中点时， 最小，此时 ，
当P为A或C时， 最大， ，所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 .
故选：C.
3．（2022·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有 及其内一点O，构成如图所示图形，若将 ，
， 的面积分别记作 ， ， ，则有关系式 ．因图形和奔驰车
的 很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
满足 ，则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【详解】由 得 ，
由 得 ，
根据平面向量基本定理可得 ， ，
所以 ， ，
延长 交 于 ，延长 交 于 ，则 ，又 ，所以 ，
所以 为 的平分线，
同理可得 是 的平分线，
所以 为 的内心.
故选：B
4．（2022秋·江西赣州·高三校联考期中）奔驰定理：已知点O是 内的一点，若
的面积分别记为 ，则 ．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结
论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知
O是 的垂心，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】延长 交 于点P，
是 的垂心， ，．
同理可得 ， ．
又 ，
．
又 ，
．
不妨设 ，其中 ．
，
，解得 ．
当 时，此时 ，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故 ，则 ，故C为锐角，
∴ ，解得 ，
故选：B．
5．（2022春·河南安阳·高一统考期末）已知 是 内的一点，若 的面积分别记为
，则 .这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是 的垂心，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 是 的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图，
则 ， ，
因此， ，同理 ，
于是得 ，
又 ，即 ，由“奔驰定理”有 ，
则 ，而 与 不共线，有 ， ，即 ，
所以 .
故选：A
6．（2023·全国·模拟预测）如图，在平行四边形 中，E为 边上一点，且 ， 与 相
交于F.若 ，则 ___________.【答案】 /
【详解】如图，在平行四边形 中，设AC与BD交于点O，
则由 ， ，
得 ∽ ,则 ，
又 ，故 ，即 ，
所以
，
所以 ，
又 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
故答案为：
7．（2023·福建漳州·统考三模）已知 ，点D满足 ，点E为线段CD上异于C，D的动点，若 ，则 的取值范围是_________.
【答案】
【详解】由题意设 ， ，因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，则 ，
所以 ，
又因为 ，由二次函数得性质得 ，
所以 得取值范围为 .
故答案为： .
8．（2019·四川眉山·仁寿一中校考一模）如图，在平面四边形 中， ，
， ，若点 为 边上的动点，则 的最小值为______．
【答案】【详解】以 点为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图平面直角坐标系，
则 ， ， ，
设点 坐标为 ，则 ， ， ，
∴ ，
∴当 时， ，
故答案为： ．
9．（2023·河南郑州·统考一模）如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，
长度为6的线段EF的中点为点B，则 的取值范围是___________.
【答案】
【详解】由线段EF的中点为点B，得出 ..当点P位于点A或点C时，
取最大值8.
当点P位于 的中点时， 取最小值，即 ，
∴ 的取值范围为 ，∴ 的取值范围为 .
故答案为： .
10．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）设 为原点，双曲线 的右焦点为 ，点 在 的右支
上． 的取值范围是__________．
【答案】
【详解】解：由题知，双曲线 的右焦点为 ，
因为点 在 的右支上，故设 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
所以， ， ，即故答案为：
