文档内容
秘籍 08 不等式归类
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题、解答题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 结合余弦定理、几何等考察最值和范围问题
不等式占据半个数学，肯定是重点，但是直接对基本不等式的考察很少，大多数会结合其他知识点考
察最值或者范围的问题，所以需要对基本不等式熟练的运用，以及相关的不等式问题也需要掌握，类似与
放缩的思想。
【题型一】 同构式比较大小
（多选）1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知 ，
且 ，则下列不等式成立的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】由题设 ，
由 ，则 ，且 ，
所以 ，则 ，故 ，A错误；
由 ，故 ，B正确；由 ，仅当 ，即 时等号成立，
所以等号取不到，则 ，而 ，但不一定有 ，
故 不一定成立，C错误；
由 ，其中等号成立条件为 ，即 时等号成立，
所以等号取不到，则 ，D正确.
故选：BD
2．（2023·辽宁鞍山·统考二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，
，
，则 .
，
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，综上， .
故选：C.
3．（2023·陕西榆林·统考三模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：令 ，则 ．
易得 在 上单调递增，
所以当 时， ，而 ，
因为 ，所以 ．
而 ，
即 ，
所以 ．
故选：A
（多选）1．（2023·山西·校联考模拟预测）已知正实数a，b满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】对于A，因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时，取到等号，
故A正确；
对于B， ，当且仅当 ，即 时，取到等号，故B正确；
对于C， ，当且仅当 ，即
时，取到等号，故C正确；
对于D， ，所以 ，当且仅当 ，即 时，取到
等号，故D错误．
故选：ABC.（多选）2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】对于选项A，因为 ，所以 ， ，
所以 ，故选项A错误；
对于选项B，设 ，则 ，
又因为 ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即： ，
又因为 ，所以 .故选项B正确；
对于选项C， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即： .故选项C正确；
对于选项D，因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，所以 .故选项D正确.
故选：BCD.
3．（2023·河南洛阳·洛阳市第三中学校联考一模）下列结论正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【详解】∵ ，
，
∴ ，所以 .
∵
∴比较 与 的大小，即比较 与 的大小.
令 ，则 .
令 ，则 .
所以 在 上单调递减，
所以当 时， ，所以 ，所以 在 上单调递减.
又因为 ，
所以 ，即 .所以 ，即 .
综上所述， .
故选：B.
【题型二】 公式应用及限制条件
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
1.下列不等式的证明过程正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 则
D．若 ，且 ，则
【答案】D
【详解】对于A选项，当 时， ，所以A选项错误.
对于B选项，如 时， ，所以B选项错误.
对于C选项，由于 ，则 ， ，所以C选项错误.
对于D选项，根据基本不等式成立的条件可知D选项正确.
故选：D
2.给出下列条件：① ；② ；③ ， ；④ ， .其中能使 成立的条件有
（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【详解】由基本不等式可知，要使得 成立，则 ，所以， 、 同号，所以①③④均可以.
故选：C.
3.若a＞0，b＞0，且a≠b，则（ ）
A． ＜ ＜ B． ＜ ＜
C． ＜ ＜ D． ＜ ＜
【答案】B【详解】∵a，b∈R+，且a≠b，∴a+b＞2 ，∴ ＜ ，而 ＝ ＞0，
∴ ＜ ，故选：B
1．（2022·云南·建水实验中学高一阶段练习）若存在 ，使得 成立是假命题，则
实数 可能取值是（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】A
【详解】由题意得：任意的 ， 成立是真命题，
故 在 上恒成立，
由基本不等式得： ，当且仅当 ，
即 时，等号成立，
故 ，
故选：A
2．（2022·上海·高三学业考试）已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，那么lg x·lg y的最大值是（ ）
A．2 B．
C． D．4
【答案】D
【详解】∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，∴ ，当且仅当lg x＝lg y＝2，即x＝y＝100时等号成立．
故选：D.
（多选）3．（2022·江苏泰州·高一期中）已知 ，则a，b满足的关系有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】由 ，则 ，
A： ，正确；
B：由A知： 且 ，所以 ，即 ，故正确，
C：由A、B知： ，而 ，故错误，
D：由上， ，故正确.
故选：ABD.
【题型三】 构造“公式型”
1．基本不等式：≤；
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
(3)基本不等式的变形：①a＋b≥2，常用于求和的最小值；②ab≤2，常用于求积的最大值；
2．常用不等式：
(1)重要不等式：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；
(2)重要不等式链：≥ ≥≥；
1.设 ，则 的最小值为（ ）A． B． C．4 D．
【答案】A
【详解】 ， ，
，当且仅当 ，
即 时取等号故选：A
2.已知 且 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【详解】∵ 且 ，∴ .
当且仅当 即 时取等号，此时 取得最小值小3.
故选:A.
3.若x>1，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由 ，可得 ，
，
当且仅当 ，即 取等号， 的最小值为 ，故选：A.
1．（2023·广东湛江·统考二模）当 ， 时， 恒成立，则m的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 ， 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 ．
所以 ，即 ．
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则函数 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵ ， ,
∴ ，
当且仅当 时，即 时等号成立，
因此，函数 , 的最大值为 ,
故选：C．
3．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考开学考试）在等腰 中，AB＝AC，若AC边上的中线
BD的长为3，则 的面积的最大值是（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【答案】A
【详解】设 ， ，由于 ，
在 和 中应用余弦定理可得：
，整理可得： ，
结合勾股定理可得 的面积：
，
当且仅当 时等号成立．
则 面积的最大值为6．
故选：A.
【题型四】 “1”的代换
1.若 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为 ， ，且 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，所以， 的最小值为 .故选：B2.已知 且 ，若 恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． } C． D．
【答案】D
【详解】∵ ，且 ，
∴ ，
当且仅当 时取等号，∴ ，
由 恒成立可得 ，
解得： ，故选：D.
3.已知正实数 、 满足 ，则 的取值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：因为正实数 、 满足 ，
所以 ， ，当且仅当 ，即
时，等号成立，故选：D
1．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则 的最小值为
（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
所以，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
所以 的最小值为6.
故选：B.
2．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）正数a，b满足 ，若不等式 恒成
立，则实数m的取值范围________．
【答案】
【详解】解析：由题 ，
则 ，
∴ ，
解得: ．
故答案为： .
3．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知向量 ， ，其中 ， ，若 ，
则 的最小值为_______．
【答案】
【详解】 ， ， ，
，即 ，
由 ， ，则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为 .
故答案为：
【题型五】 “积”与“和”混合型
1.形如 求
型，
求
2.形如 型，可以对“积 pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的
“和”的系数系数，如下：
1.若 ，且 ，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，且 ，则 ，即 ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，
整理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，解得 .故选：D
2.已知a，b是正实数， ，则 的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】等式 的两边同除以 可得：当且仅当 ，即 时，取等号，此时
选项D正确，选项ABC错误.故选：D.
3.若正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 可得 ，
因为 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 ，所以 ，解得： ，所以 ，
当且仅当 即 时等号成立， 的最小值为 .故选：D.
（多选）1．（2023春·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）已知正数 、 ，满足 ，则下列
说法正确的是（ ）
A． 的最大值为 . B． 的最大值为 .
C． 的最小值为 . D． 的最小值为 .
【答案】ABD
【详解】对于A，因为 ，
所以 ，则 ，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为1，故A正确；
对于B，因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，则 ，
当且仅当 且 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值为 ，故B正确；
对于C， ，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
所以 的最小值为 ，故C错误；
对于D，令 ， ，则 ， ， ， ，
所以
，
当且仅当 且 ，即 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为1，故D正确.
故选：ABD.
2．（浙江省稽阳联谊学校2023届高三下学期4月联考数学试题）已知正数x，y满足 ，则
的最大值为______．
【答案】【详解】 ，仅当 时等号成立．
所以目标式最大值为 .
故答案为：
3．（2023春·河北沧州·高一沧县中学校考期中）如图，某公园内有一个边长为 的正方形 区域，
点 处有一个路灯， ， ，现过点 建一条直路分别交正方形区域两边 ，
于点 和点 ，若对五边形 区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为________ ．
【答案】
【详解】设 ， ，（ ， ），
∵ ， ，∴ ，
∴ 的面积为 ，
的面积为 ，
∵ 的面积 ，∴ ，即
∵ ， ，
∴由基本不等式得 ，解得 ，即 ，
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，
∴ 的面积的最小值为 ，∴五边形 面积的最大值 ．
故答案为： .
【题型六】 多次均值
1.已知 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．6
【答案】B
【详解】因 ，则 ，
当且仅当 且 ，即 时取“=”，
所以当 时， 取最小值 .
故选：B
2.已知 ， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】当 时， ， ，所以CD选项错误.
当 时， ， ，所以B选项错误.
，
即 当且仅当 或 时等号成立.
则 ， ，解得 .
故选：A
3.若a，b，c均为正实数，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为a，b均为正实数，
则
，
当且仅当 ，且 ，即 时取等号，
则 的最大值为 ．故选：A．
1. 是不同时为0的实数，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为a，b均为正实数，则
，
当且仅当 ，且 取等，即 取等号，
即则 的最大值为 ，故选：A．
2.已知正实数 ， ， 满足 ，则 的最小值为______.
【答案】
【详解】因为 ，即 ，所以，上述两个不等式均是当且仅当 时取等号，所以 的最小值
为 .故答案为： ．
3.设 ，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，
所以 （当且仅当 时取等号），
所以 ，
所以 ，（当且仅当 ，即 时取等号）.
故答案为：D
【题型七】 权方和不等式
权方和不等式：设 证明：
4 1
1.已知实数m,n∈(0,+∞)且m+n=1，则 + 的最小值为__________．
3m+n m+3n
9
【答案】 【详解】令3m+n=x，m+3n= y，∴x+ y=4，∴
4
4 1 4 1 1 4 1 1 4 y x 9
+ = + = ( + )(x+ y) = (5+ + )≥ ，
3m+n m+3n x y 4 x y 4 x y 4
8 4 5 1
当且仅当x=2y,x+ y=4，即x= ,y= ，即m= ,n= 时等号成立.
3 3 6 6
4 1 9 9
+ 的最小值为 ，故答案为 .
3m+n m+3n 4 4权方和：
2.已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意知 ，可得： ，
则 ，
当且仅当 时，等号成立，则 的最小值为 。故选：A．
(√2+1) 2 3+2√2 3 1 √2
¿ = = +√2 =
权方和：
2a−2+2b 2 2
.当且仅当
a−1 b
时，即
a=√2，b=2-√2
时取等号
1.若正数 满足 ，则 的最大值为（ ）
A．2/5 B．4/9 C．1/2 D．4/7
解：∵正数 满足 ，∴ ，解得 ，
∴ ，当且仅当
时，等号成立，∴ 的最大值为 ．故选：B．
权方和：2.已知 为正数，且 ，则 的最大值为 ．
【答案】8
试题分析：因为 ，所以 ，所以
，即 ，令 ，则
，而 ，所以 ，即 ，故应填 ．
权方和：
【题型八】 基本不等式的恒成立问题
（多选）1．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）已知a，b都是正实数，则下列不等式中恒成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】A选项，因为a，b都是正实数，故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，A正确；
B选项，因为a，b都是正实数，故 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，B错误；
C选项， ，故 恒成立，C正确；
D选项，a是正实数，故 ，其中 ，
故 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，D错误.
故选：AC
（多选）2．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）已知 ，且 ，若不等式
恒成立，则 的值可以为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】BCD
【详解】由 ，且 ，
可得 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，
又因为不等式 恒成立，所以 ，
结合选项，可得选项B、C、D符合题意.
故选：BCD.
（多选）3．（2023·湖南·模拟预测）以下说法正确的是（ ）
A．命题 的否定是：
B．若 ，则实数
C．已知 ，“ ”是 的充要条件D．“函数 的图象关于 中心对称”是“ ”的必要不充分条件
【答案】ACD
【详解】对于A,命题 的否定是： ,故A正确，
对于B, ，则 对 恒成立，故 ，由于
，故 ，因此B错误，
对于C， ，若 ，则 ，若 ，此时 ，若
，则 ，因此对任意的 ，都有 ，充分性成立，若 ，
如果 ，则由 ，如果 ，则由
，若 ，显然满足 ，此时 ，如果
，不满足 ，综合可知： ，所以必要性成立，故“ ”是 的充要条件，
故C正确，
对于D， 的对称中心为 ,所以 不一定为0， ，则 ,此时
，故 是 的对称中心，故函数 的图象关于 中心对称”是“
”的必要不充分条件，故D正确，
故选：ACD
1．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）已知实数 满足 ， 且 ，若不等式 恒成立， 则实数 的最大值为 （ ）
A．9 B．12 C．16 D．25
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ，
，
当且仅当 ， 即 时，等号成立．
因不等式 恒成立，只需 ，
因此 ，故实数 的最大值为25．
故选：D
2．（2016·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）若不等式 对于任意正实数x、y成立，则
k的范围为______．
【答案】
【详解】易知 ， ，
．
令 ，分式上下同除y，
则 ，则 即可，
令 ，则 ．可转化为： ，
于是， ．
∴ ，即 时，不等式恒成立（当 时等号成立）．
故答案为：
3．（2023·山西大同·大同市实验中学校考模拟预测）已知 ，若不等式 恒成立，则
的最大值为________．
【答案】
【详解】由 得 ．
又 ，当且仅当 ，即当 时等号成立，
∴ ，∴ 的最大值为 ．
故答案为：
【题型九】 不等式的应用
1．（2023·广西南宁·统考二模）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管
理费用为0.1万元，已知使用 年的维修总费用为 万元，则该设备年平均费用最少时的年限为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C【详解】由题意可得：该设备年平均费用 ，
∵ ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以该设备年平均费用最少时的年限为9.
故选：C.
2．（2023·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正
六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为___________．
【答案】52π
【详解】设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则 ，
正六棱柱的体积 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 正六棱柱的外接球的球心在其上下底面中心的连
线的中点，
其半径为 ，∴外接球的表面积为 ．
故答案为： ．
3．（2023·山东聊城·统考二模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)【详解】（1）由正弦定理及 得，
，
即 ．
再由正弦定理可得 ．
由余弦定理 得， ,
即 ，故 ；
（2）由 及 ，可得 ．
由 得 ，所以 ．
在 中 ，
所以 ．
所以
．
当且仅当 ，即 时等号成立．
故 面积的最大值为
1．（2023·河南·统考二模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
．若 的面积 ，则边a的最小值为_______．
【答案】2【分析】由正弦定理化简已知条件可推得， .根据 ，可求得 ，
.由面积公式可求得 ，根据余弦定理可得出 ，由基本不等式，即可
得出 ，即可得出答案.
【详解】由正弦定理 可得， ， .
由已知可得， ，
所以 .
又 ，所以 ，所以 .
因为 ，
所以 ， .
因为 的面积 ，
所以 .
由余弦定理可得， ，
当且仅当 时，等号成立.
所以， ， 的最小值为 .
故答案为： .
．
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知椭圆 ，点 是椭圆C在第一象限上的一个动点，点 ， ， 分别是点 关于y轴、原点和x轴的对称点，当四边形 的
面积最大时，线段 ，经过椭圆C的右焦点.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知过点 的直线l与椭圆C相交于M，N两点，椭圆C的上顶点为B，求 的面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设 ，则 ， ， ，
所以四边形 是矩形.
因为 在椭圆C上，则 ，所以 ，即 ，
所以四边形 的面积 ，仅当 ，即 时四边形 的面积取得最大值
2ab.
因为此时线段 经过椭圆C的右焦点，所以 ，即 ，
所以 .（2）由（1）知： ，b=c， ，可设椭圆C的方程为 ，
设过点 的直线l的方程为 ，与椭圆C的方程联立，得
消去y并整理，得 .
设 ， ，则
，
又 到直线l的距离 ，
所以 .
令 ， ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 ，故 的最大值为 .3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列 中， ，且点
在直线 上， ， 是数列 的前n项和.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，是否存在最大的整数p，使得对于任意的 ，均有 ？若存在，求出p的
值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，4
【详解】（1）由题意知 ，所以 ，又 ，
所以数列 是以1为首项， 为公差的等差数列，故 .
（2）存在，由（1）知： ，所以 ， ，
所以数列 是以2为首项、2为公差的等差数列，则 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
所以 ，解得 ，因此，当 时最大整数p的值为4.高考模拟练习
1．（2023·江苏·校联考模拟预测）在 中，内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，且 ，
，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】过点 作 的垂线，垂足为 ，如图所示
因为 ，
所以 .
设 ，则 ， ，
所以 ．
当 时等号成立．
当 时， 的最大值是 .
故选：D.
2．（2023·河南·统考二模）已知底面边长为1的正三棱柱既有外接球也有内切球,圆锥SO是三棱柱的外接
圆锥,且三棱柱的一个底面在该圆锥的底面上,则该外接圆锥的轴截面面积的最小值是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
如图1,由三棱柱既有外接球又有内切球,可知三棱柱的高等于内切球直径,而内切球半径等于底面内切圆半
径,即 .
如图2,三角形 是圆锥 的轴截面,四边形 是三棱柱的外接圆柱的轴截面, 为 中点,则
,设 ,
则由 得 ,整理得
,所以轴截面的面积
当且仅当 时等号成立,即轴截面的面积最小值为: ,
故选:C.
3．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 为
与 中较大的数， 恒成立，则a的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵当 时，则 ，可得 ；当 时，则 ，可得 ；
∴当 时， ，
故原题意等价于 对 恒成立，
整理得 ，
∵ ，则 ，可得 ，
故原题意等价于 对 恒成立，
构建 ，可知 开口向上，对称轴 ，
可得 ，或 ，或 ，
解得 ，
所以a的取值范围为 .
故选：A.
4．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）若 ， ， ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】若 ， ， ，满足 ，但 ， ， 不成立，A选项错误；
， ，则有 ，即 ，B选项正确；
，当 时， 不成立，C选项错误；当 时， ，则D选项错误.
故选：B
（多选）5．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知a，b， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ，则
C． D．
【答案】BC
【详解】对于A项，例如 ， ， ，满足 ， ，但不满足 ，故A项不成立；
对于B项，因为 , ， ，所以幂函数 在 上为增函数，所以 ，故B项正确；
对于C项，因为 ， ， ，所以 ，当且仅当
时等号成立，故C项正确；
对于D项，方法1：当 ， 时， ， ，则 ，故D项错误．
方法2：作差法，
，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，故D项错误．故选：BC.
（多选）6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）直角三角形 中， 是斜边 上一点，
且满足 ，点 在过点 的直线上，若 ，则下列结论正确
的是（ ）
A． 为常数 B． 的值可以为：
C． 的最小值为3 D． 的最小值为
【答案】ACD
【详解】如下图所示：
由 ，可得 ，
，
若 ， ， ，
则 ， ，
，
、 、 三点共线，
， ，
故A正确；当 ， 时， ，所以B错误；
，
当且仅当 时，等号成立，C正确；
的面积 ， 的面积 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，当且仅当 时等号成立，
所以当 时， 取最小值，最小值为 ，
所以 的最小值为 ，D正确；
故选：ACD.
7．（2023·新疆喀什·统考模拟预测）在三角形 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，
且 的平分线交 于 ，若 ，则 的最小值为______.
【答案】9
【详解】因为AD平分∠BAC，所以 ， ，
即 ，整理得 ，
得 ，又 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，则 的最小值是9．
故答案为：98．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）已知抛物线 与圆 ，过圆心 的直线 与抛
物线 和圆 分别交于 ， ， ， ，其中 ， 在第一象限， ， 在第四象限，则 最
小值是______.
【答案】
【详解】 的圆心为 ，半径为1，
所以圆心为抛物线 的焦点，且圆M过抛物线 的顶点.
当 轴时， ，则 ，
当 斜率存在时，设其方程为 ， ，
将 代入 得 ，
则 ，
所以，
当且仅当 ，即 时取等号，
由 知， 的最小值为 .
故答案为：
9．（2023·江西鹰潭·统考一模） 的内角 的对边分别为 ，若 ，
且A为锐角，则当 取得最小值时， 的值为___________．
【答案】
【详解】由正弦定理将 变形可得
，
即 ，
由 可得 ，
而 是锐角，所以 ，
则由余弦定理可得 ，
则 ，
当且仅当 时， 取得最小值 ，
故 ，故 ，
所以 .故答案为:
10．（2023·内蒙古赤峰·统考二模）已知函数 ，若 的解集为 .
(1)求实数 ， 的值；
(2)已知 ， 均为正数，且满足 ，求证： .
【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得 ，故 ，即 ，
解得 ，
故 的解集为 ，
当 时， ，解得 ，故 ，
当 时， ，解得 ，故 ，
当 时， ，解得 ，解集为空集，
综上， 的解集为 ，故 ；
（2）由（1）知 ，
已知 ， 均为正数，故 ，即 ， ，
当且仅当 ， 时，等号成立，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
