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第五章 一元函数的导数及其应用
知识点一：平均变化率问题
1.变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量
的比值；
2.平均变化率
一般地，函数f(x)在区间 上的平均变化率为：
要点诠释：
① 本质：如果函数的自变量的“增量”为 ,且 ,相应的函数值的“增量”为 ,
,则函数 从 到 的平均变化率为
② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.即递增或递减幅度的大小。
对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。如位移运动中，位移S（m）从t 秒到t 秒的
1 2
平均变化率即为t 秒到t 秒这段时间的平均速度。
1 2
高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，
就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。
3.如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出 和
②作商：对所求得的差作商，即 。
要点诠释：
1. 是 的一个“增量”，可用 代替 同样 。
，
2. 是一个整体符号，而不是 与 相乘。
3. 求函数平均变化率时注意 ，两者都可正、可负，但 的值不能为零， 的值可以为零。
若函数 为常函数，则 =0.
知识点二：导数的概念
定义：函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数
在 处的导数,记作
要点诠释：
① 增量 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。 的意义： 与0之间距离要多近
有多近，即 可以小于给定的任意小的正数。
② 时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。
即存在一个常数与 无限接近。
③ 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一
时刻的瞬间变化率。
知识点三：求导数的方法：求导数值的一般步骤：
① 求函数的增量： ；
② 求平均变化率： ；
③ 求极限，得导数： 。
也可称为三步法求导数。
知识点四：基本初等函数的导数公式
（1） （C为常数），
（2） （n为有理数），
（3） ，
（4） ，
（5） ，
（6） ，
（7） ，
（8） ， ，这样的形式。
要点诠释：
1．常数函数的导数为0，即C＇=0（C为常数）．其几何意义是曲线 （C为常数）在任意点
处的切线平行于x轴．
2．有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的（n－1）次幂的乘积，即 （n∈Q）．
特别地 ， 。
3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x）＇=cos x．
4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x）＇=－sin x．
5．指数函数的导数： ， ．6．对数函数的导数： ， ．
有时也把 记作：
以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．
知识点五：函数的和、差、积、商的导数
运算法则：
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数： （ ）
要点诠释：
1. 上述法则也可以简记为：
（ⅰ）和（或差）的导数： ，
推广： ．
（ⅱ）积的导数： ，
特别地： （c为常数）．
（ⅲ）商的导数： ，
两函数商的求导法则的特例
，
当 时， ．
这是一个函数倒数的求导法则．
2．两函数积与商求导公式的说明（1）类比： ， （v≠0），注意差异，加以区分．
（2）注意： 且 （v≠0）．
3．求导运算的技巧
在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可
将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．
知识点六：复合函数的求导法则
1．复合函数的概念
对于函数 ，令 ，则 是中间变量u的函数， 是自变量x的函数，
则函数 是自变量x的复合函数．
要点诠释： 常把 称为“内层”， 称为“外层” 。
2．复合函数的导数
设函数 在点x处可导， ，函数 在点x的对应点u处也可导 ，
则复合函数 在点x处可导，并且 ，或写作 ．
3．掌握复合函数的求导方法
（1）分层：将复合函数 分出内层、外层。
（2）各层求导：对内层 ，外层 分别求导。得到
（3）求积并回代：求出两导数的积： ，然后将 ，即可得到
的导数。
要点诠释： 1. 整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，
可以相应地多次用中间变量。
2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求
导后，要把中间变量转换成自变量的函数。
知识点七、有关切线问题
直线与曲线相切，我们要抓住三点：
①切点在切线上
②切点在曲线上
③切线斜率等于曲线在切点处的导数值。
要点诠释：
通过以上三点可以看出，抓住切点是解决此类题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组。知识点八、有关函数单调性的问题
设函数 在区间（a，b）内可导，
（1）如果恒有 ，则函数 在（a，b）内为增函数；
（2）如果恒有 ，则函数 在（a，b）内为减函数；
（3）如果恒有 ，则函数 在（a，b）内为常数函数。
要点诠释：
（1）若函数 在区间（a，b）内单调递增，则 ，若函数 在（a，b）内单调递减，
则 。
（2） 或 恒成立，求参数值的范围的方法：
① 分离参数法： 或 。
的最小值 使
② 若不能隔离参数，就是求含参函数 ， 。
（或是求含参函数 的最大值 使） ）
，
知识点九、函数极值、最值的问题
1.函数极值的问题
①确定函数的定义域；
②求导数
f' (x)；
③求方程
f' (x)=0
的根；
④检查 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右
正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
要点诠释：
（1）先求出定义域
（2）一般都要列表：然后看在每个根附近导数符号的变化：若由正变负，则该点为极大值点；
若由负变正，则该点为极小值点。
注意：无定义的点不用在表中列出
（3）依表给结论：注意一定指出在哪取得极值。
2.函数最值的问题[a,b] [a,b]
若函数 在闭区间 有定义，在开区间 内有导数，则求函数 在 上的最
大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数
f(x)
在
(a,b)
内的导数
f' (x)；
（2）求方程
f' (x)=0
在
(a,b)
内的根；
（3）求在
(a,b)
内使
f' (x)=0
的所有点的函数值和
f(x)
在闭区间端点处的函数值
f(a)
，
f(b)
；
[a,b]
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数 在闭区间 上的最大值，最小者为函数
[a,b]
在闭区间 上的最小值.
要点诠释：
①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的
函数值进行比较即可。
f(x) (a,b)
②若 在开区间 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.
知识点十、优化问题
在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可
用导数来解决。我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，导数在实际生活中的应用主要是解决
有关函数最大值、最小值的实际问题。
利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤：
(1) 分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关
系式y＝f(x)；
(2) 求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；
(3) 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小)者为最大(小)值．
要点诠释
1．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确
定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研
究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．
利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题 建立数学模型 用函数表示的数学问题
解决数学模型
作答
优化问题的答案 用导数解决数学问题
2. 得出变量之间的关系 后，必须由实际意义确定自变量 的取值范围；
3. 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极
大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
4. 在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．
专题一 导数的概念、运算及几何意义
有关导数的概念、运算及几何意义是导数部分的重要考点．导数的四则运算是导数运算的基础知识，
要掌握运用初等函数的导数公式、导数的四则运算与复合函数的求导法则，其中先化简再求导是导数运算
的基本原则．运用导数的几何意义．不仅可以求过曲线上任一点的切线的斜率，从而进一步求出过此点的
切线方程，而且可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形的面积等问题．导数的几何意义是
近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，多以选择题、填空题的形式出现，而在解答
题中往往涉及函数的单调性、最值等问题，所以要掌握好此部分的知识．
例1已知函数 的图像是下列四个图像之一,且其导函数 的图像如图所示，则该函数的图像
是 （ ）(3)求解问题所得的结果要符合问题的实际意义．
