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第四章 数列
要点一：数列的通项公式
数列的通项公式
一个数列 的第n项 与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式 来表示，我们就
把这个公式叫做这个数列的通项公式.
要点诠释：
①不是每个数列都能写出它的通项公式.如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；
②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式
可以写成 ，也可以写成 ；
③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的.
通项 与前n项和 的关系：
任意数列 的前n项和 ；
要点诠释：
由前n项和 求数列通项时，要分三步进行：
（1）求 ，
（2）求出当n≥2时的 ，
（3）如果令n≥2时得出的 中的n=1时有 成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，
否则就只能写成分段的形式.
数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项 与它的前一项 或前若干项间的关系可以用一个公
式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式.
要点诠释：
利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等.
要点二：等差数列
判定一个数列为等差数列的常用方法
①定义法： （常数） 是等差数列；
②中项公式法： 是等差数列；
③通项公式法： （p，q为常数） 是等差数列；
④前n项和公式法： （A，B为常数） 是等差数列.
要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性.
等差数列的有关性质：
（1）通项公式的推广：
（2）若 ，则 ；
特别，若 ，则
（3）等差数列 中，若 .
（4）公差为d的等差数列中，连续k项和 ，… 组成新的等差数列.
（5）等差数列 ，前n项和为
①当n为奇数时， ； ； ；
②当n为偶数时， ； ； .
（6）等差数列 ，前n项和为 ，则 （m、n∈N*，且m≠n）.（7）等差数列 中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），则 .
（8）等差数列 中，公差 d，依次每 k 项和： ， ， 成等差数列，新公差
.
等差数列前n项和 的最值问题：
等差数列 中
①若a ＞0，d＜0， 有最大值，可由不等式组 来确定n；
1
②若 a ＜0，d＞0， 有最小值，可由不等式组 来确定 n，也可由前 n 项和公式
1
来确定n.
要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.
要点三 ：等比数列
判定一个数列是等比数列的常用方法
（1）定义法： （q是不为0的常数，n∈N*） 是等比数列；
（2）通项公式法： （c、q均是不为0的常数n∈N*） 是等比数列；
（3）中项公式法： （ ， ） 是等比数列.
等比数列的主要性质：
（1）通项公式的推广：
（2）若 ，则 .
特别，若 ，则
（3）等比数列 中，若 .（4）公比为q的等比数列中，连续k项和 ，… 组成新的等比数列.
（5）等比数列 ，前n项和为 ，当n为偶数时， .
（6）等比数列 中，公比为q，依次每k项和： ， ， …成公比为qk的等比数
列.
（7）若 为正项等比数列，则 （a＞0且a≠1）为等差数列；反之，若 为等差数列，
则 （a＞0且a≠1）为等比数列.
（8）等比数列 前n项积为 ，则
等比数列的通项公式与函数：
①方程观点：知二求一；
②函数观点：
时，是关于n的指数型函数；
时，是常数函数；
要点诠释：
当 时，若 ，等比数列 是递增数列；若 ，等比数列 是递减数列；
当 时，若 ，等比数列 是递减数列；若 ，等比数列 是递增数列；
当 时，等比数列 是摆动数列；
当 时，等比数列 是非零常数列.
要点四：常见的数列求和方法
公式法：
如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n项和公式求和.
分组求和法：
将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：
a =2n+3n.
n裂项相消求和法：
把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为
非常数列的等差数列的两项积的形式.
若 ，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,
1 1 1 1
a = = ( − )
n (An+B)(An+C) C−B An+B An+C
则 ，如a =
n
错位相减求和法：
a =b ⋅c
通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式： n n n, 其中 是公差d≠0等
差数列， 是公比q≠1等比数列，如a =(2n-1)2n.
n
一般步骤：
S =b c +b c +…+b c +b c
n 1 1 2 2 n−1 n−1 n n，则
(1−q)S =b c +(c +c +……c )d−b c
所以有 n 1 1 2 3 n n n+1
要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.
要点五：数列应用问题
数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关
平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
建立数学模型的一般方法步骤.
①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
⑴明确问题属于哪类应用问题；
⑵弄清题目中的主要已知事项；
⑶明确所求的结论是什么.
②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译
成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数
关系、方程、不等式）.
要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.
要点六 数学归纳法
一般地，证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：（1）归纳奠基：证明当 取第一个值 时命题成立；
（2）归纳递推：假设当 时命题成立，证明当 时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立．
上述证明方法叫做数学归纳法，数学归纳法的框图表示如下：
验证当 时命题成立 若当 时命题成立，证
明当 时命题也成立
归纳奠基 归纳递推
命题对从 开始的所有正整
数 都成立
要点诠释
一般地，对于一些可以递推的与正整数有关的命题，都可以用数学归纳法来证明．其常见应用类型有：
（1）证明恒等式；（2）证明不等式；（3）整除性的证明；（4）探求平面几何中的问题；（5）探求数
列的通项．
专题一 求数列的通项公式
数列的通项公式是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样，有了解析式就可以研究函数的性
质，而有了数列的通项公式便可以求出数列中的任何一项．所以求数列的通项公式往往是解题的关键点和
突破口，常用的求数列通项公式的方法有：
（1）观察法：就是观察数列的特征，找出各项共同的构成规律，归纳出通项公式．
（2）递推公式法：就是根据数列的递推公式，采用迭代、叠加、累乘、转化等方法产生 与 （或
）的关系，得出通项公式．（3）前 项和公式法：就是利用 ，求通项公式，这里应当注意检验 是
否符合 时的形式．
1．利用观察法求通项公式
例1 将乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层
（第一层）分别按人头 所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，
第 堆第 层就放一个乒乓球．以 表示第 堆的乒乓球总数，则 ；
（答案用 表示）．
解析：方法1： 表示第3堆的乒乓球总数，则 ．
设第 堆的最底层有 个乒乓球，则 ．
所以
．
方法2．易知 ．由题意，知 比 多最底层，有 个， 比 多最底层，
有 个， 比 多最底层，有 个， ……, 比 多最底层，有
个 ， 所 以 ． 所 以 由 累 加 法 可 得．
答案：
解后反思：利用观察法求通项公式，体现了由特殊到一般的认识事物的规律．解决这类问题一定要注
意观察项与项数的关系和相邻项间的关系．
2．公式法求通项公式
等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合
等差数列、等比数列的定义．求通项时，只需先求出 与 或 与 ，再代入等差数列通项公式
或等比数列通项公式 中即可．
例2已知等差数列 满足： ，且 成等比数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记 为数列 的前 项和，是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求 的最小
值；若不存在，说明理由．
分析：（1）设等差数列 的公差为 ，利用等比数列的性质得到 ，并利用 表示
来求解公差 ，进而求出通项；（2）首先利用（1）的结论与等差数列的前 项和公式求解 ，然
后根据列不等式 求解．
解：设等差数列 的公差为 ，依题意，知 成等比数列，故 ，
化简，得 ，解得 或 ．
当 时， ；当 时， ，
故数列 的通项公式为 或 ．
（2）当 时， ，显然 ，
此时不存在正整数 ，使得 成立．
当 时， ．
令 ，即 ，解得 或 （舍去），
此时存在正整数 ，使得 成立， 的最小值为 ．
综上，当 时，不存在满足题意的 ；
当 时，存在满足题意的 ，其最小值为 ．
解后反思：运用公式法求数列的通项公式的关键是在已知数列是等差数列还是等比数列的前提下，先
求出首相和公差或公比，再代入求出相应的通项公式．
3．利用 与 的关系求通项公式
如果给出条件中是 与 的关系式，可利用 ，先求出 ，若计算出的
中，当 时，也有 ,则可合并为一个通项公式，否则要分段表述．
例3设各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且 满足 ．
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式．
分析（1）有 与 的关系直接求出 的值；（2）利用前 项和与第 项的关系求解．解：（1）当 时， ，所以 ，解得 （负值舍去）．
（2）由 ，得 ．
又已知各项均为正数，故 ．
当 时， ，
当 时， 也满足上式，
所以 ．
解后反思：前 项和的关系式有两种形式：一种是 与 的关系式，记为 ，可由公式
直接求出 ，但要注意 与 两种情况能否统一；另一种是 与 的关
系式，记为 ，可由它求通项 ．
4．利用累加法求通项公式
对于形如 形的递推公式求通项公式，
（1）当 为常数时，为等差数列，则 ；
（2）当 为 的函数时，用累加法，
方法如下：由 ，得
当 时， ，
……以上 个等式累加，得 ，
所以 ．
为了书写方便，也可以这样写：
因 为 当 时 ，
（3）已知 ， ，其中 可以是关于 的一次函数、二次函数、指数函数、
分式函数，求 ．
①若 是关于 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
②若 是关于 的二次函数，累加后可分组求和；
③若 是关于 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
④若 是关于 的分式函数，累加后可裂项求和．
例4 已知在数列 中， ，且 ，求数列 的通项公式．
分析：由于给出了数列 中连续两项的差，故可考虑用累加法求解．
解：由 ,得
，
，
……，
．
当 时，以上 个等式两边分别相加，得
．
即 ．
又因为 ，所以 ．
因为当 时， 也适合上式，所以数列 的通项公式为 （
）．
解后反思：累加法是从 开始，累加到 ，此时 ，所以求出的
只满足 的所有项，容易漏掉 这一项的检验．在学习过程中，要勇气重视以减少不必要的失分．
5．利用累乘法求通项公式
对于由形如 型的递推公式求通项公式．
（1）当 为常数时，即 （其中 是不为 的常数），此时数列为等比数列，
；
（2）当 为 的函数时，用累乘法．
由 ， 得 当 时 ， ， 所 以．
例5如图所示，互不相同的点 和分别在角 的两条边上，所有 相互平行，且所有梯
形 的面积均相等．设 ，若 ，则数列 的通项公式是
．
分析：利用梯形面积之间的关系探究出 与 之间的关系，累乘后即可得出通项公式．
解析：令 ，因为所有 相互平行且 ，所以 ．
当 时， ，
， ， ， … … ， ， 以 上 各 式
，因为 ，所以 ．
答案： ．
解后反思： ，当 为常数时，则数列为等比数列，可用公式法求通项公式；当
为关于 的表达式时，则用累乘法求通项公式．
6．利用构造法求通项公式
形如 转化为 （ 为待定系数）的形式，比较与 的系数，得 ，所以 ．
所以有 ，
因此数列 是首项为 ,公比为 的等比数列，
于是 ，
所以 ．
例6 在数列 中， ，求 的通项公式．
分析：构造以 为公比的等比数列求解．
解：方法1：因为 , ①
所以 ②
① ②，得
令 ，则 ．
所以 为等比数列，公比为 ，首项 ．
所以 ．即 ③
由①③两式，得 ．
方法2：令 （ 为常数），
则 ，把该式与已知 对应得 ，即 ．
令 ，则数列 是首相为 ，公比为 的等比数列．
所以 ．
所以 ．
所以 ．
解后反思：方法1是解数列问题经常采用的方法；方法2中利用待定系数法确定常数 ，构造新的等
比数列，进而求通项公式，该方法也是常用的解法．
专题二 数列前 项和的求法
求数列的前 项和是数列运算的重要内容之一，也是历年高考考查的热点．对于等差数列、等比数列，
可以直接利用求和公式计算，对于一些具有特殊结构的运算数列，常用倒序相加法、裂项相消法、错位相
减法等求和．
1．公式法
如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差数列或等比数列，则
该数列的前 项和可考虑拆项后利用公式求解．
例7 已知数列 的通项公式 ，求由其奇数项所组成的数列的前 项和 ．
分析：由 ，知 是等比数列，所以其奇数项也成等比数列，确定其首项和公比，直接利用等比数列的前 项公式求和即可．
解：由 ，得 ．又因为 ，
所以 是等比数列，其公比 ，首项 ．
所以 的奇数项也成等比数列，公比为 ，首项为 ，
所以 ．
解后反思：若已知是等差数列或等比数列，则直接利用相应的前 项和公式求解．
2．倒序相加法
这是推导等差数列的前 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列（反序），当它与原
数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的舒蕾可用倒序相加法求和．
例8 已知 ，其中 ，求 ．
分析：观察首项和末项的真数的积与第二项和倒数第二项的真数的积相同，可用倒序相加法求和．
解：将和式中各项倒序排列，得
将此式与原式两边对应相加，得 ．
因为 ，所以 ．
解后反思：对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求其前 项和．
3．错位相减法
若数列 为等差数列，数列 为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为 ，
当求该新数列的前 项的和时，常常采用将 的各项乘以公比 ，并向后错位一项与 的同次项
对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．
例9 数列 的前 项和为 ， ， ， ．
（1）求 ；（2）求数列 的前 项和 ．
分析：（1）先利用 与 的关系求出 ，再分类讨论得出 ；（2）利用错位相减法求前 项和
．
解：（1）因为 ,所以 ，所以 ．
又因为 ．
所以 是首项为1，公比为3的等比数列．
所以 ．
当 时 ，且 ，
所以 ．
（2） ，
当 时， ；
当 时， ， ①
所以 ， ②
① ②，得
,
所以 ．
又因为 也满足上式，所以 ．
解后反思：利用错位相减法求和时，一定要注意作差后项的符号及项的变化．
4．拆项（分组）求和法
如果一个数列中连续分段的和具有一定的规律性，那么可考虑分组求和．分组求和实际上就是首先通
过“拆”和“组”的手段把问题划归为等差数列或等比数列，然后由等差数列、等比数列求和公式求解．
解题时要根据各组的特点，对 的取值进行讨论．
例10设 为数列 的前 项和， ， ，则（1） ；
（2） ．
分析：（1）根据 建立关于 的关系式，并由 的关系式归纳寻找其规律后求
解；（2）将递推关系应用到 中，将和式分组后求和．
解析：（1）因为 ，
所以 ．
当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，
所以当 时， ．
（2）当 为偶数时， ，当 为奇数时， ，可得当 为奇数时，，
故
．
答案：（1） （2）
解后反思：数列求和应从通项公式入手，若无通项公式，则先求其通项公式，再通过对通项公式的变
形，转化为求等差数列或等比数列的前 项和．
5．并项求和法
一个数列的前 项和中，若可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 的类型，可采
用两项合并求解．
例如， ．
例11 数列 的通项公式为 ，求：
（1）数列 的前 项和 ； （2）数列 的前 项和 ．
分析：形如 运用并项求和法，先判断相邻两项和的关系． ，
，
所以 ，即 可以两两合并进行求解．由于 的
奇偶性未知，应分 为奇数和 为偶数两种情况讨论．
解：（1）．
（2）当 为偶数时， ．
因为 成等差数列，共 项，所以 ．
当 为奇数时，
．
故 ．
解后反思：在并项求和时，要先判断项数的多少，由于是两两合并，就要知道最后一项是奇数项还是
偶数项，若不确定，则需分类讨论．
6．裂项相消法
对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可
用待定系数法对通项公式进行裂项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．常见的裂
项公式有：
① ； ②若 为等差数列，公差为 ，则 ；
③ 等．
例12 求数列 的前 项和 ．
分析：先求出通项公式 ，对通项公式化简后，再分成两项的差，使用裂项相消法求和．解 ： 数 列 的 通 项 公 式 ， 则
．
解后反思：（1）裂项原则：直到发现被消去项的规律为止；（2）消项规律：消项后前边剩几项，后
边就剩几项，前边剩第几项，后边剩倒数第几项．
专题三 数列的综合应用
数列（特别是等差数列与等比数列）涉及的内容多、联系多、综合性强，在处理与数列有关的综合问
题是，一定要灵活应用数列的基本知识与方法．数列始终处在知识的交汇点上，常与函数、方程、不等式
等其他知识交汇进行命题．
例13 以数列 的任意相邻两项为横坐标、纵坐标的点 均在一次函数 的
图像上，数列 ．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）设数列 的前 项和分别为 ，若 ，求 的值．
分析：本题考查等比数列与函数的知识．先由 在一次函数 上，结合
，求出 与 的关系，再求出 及其关系，最后利用 求出 的值．
（1）证明：由题意，知 ，
所以 ，
所以 ，即 ．因为 ，所以 ，
所以数列 是以 为公比的等比数列．
（2）解：由（1）中 及 是公比为 的等比数列，得 ，
由 ，得 ，所以
因为 ，
所以 ，解得 ．
所以 的值为 ．
解后反思：本题是等比数列与函数、方程组结合的综合性问题．注意由 可得
，即 ．
专题四 数列的实际应用题
数列的实际应用已成为高中数学学习与研究的一个重要内容，现实生活中涉及银行利率、企业股金、
产品利润、人口增长、工作效率、图形的面积、曲线的长度、堆积物品的总数等实际问题，都需要用数列
的知识加以解决．解答数列应用问题的核心是建立模型，其基本步骤如下．
①审题：仔细阅读材料，认真理解题意．
②建模：将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题；分清该数列是等差数列
还是等比数列，是求通项还是求前 项和．
③求解：求出该问题的数学解．
④还原：将所求结果还原到实际问题．
例14 一列火车自 城驶往 城，沿途有 个车站（包括起点 和终点 ），车上有一节邮政车厢，每停
靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个．
（1）试说明：若列车从第 站出发时，车厢内共有邮袋数为 个；
（2）试判断第几站的车厢内邮袋数最多，最多是多少？分析：（1）根据已知条件，建立数列模型 ，写出 的值，进而退出 的值即可；（2）
由数列 的通项公式求出最大值即可．
解：（1）设列克从各站出发时邮政车厢内的邮袋数构成一个数列 ，则
， ，
，……
所以
（2）由 ，得
当 为偶数， 时， 最大值为 ，当 为奇数， 或 时， 最大值为 ．
即若 为偶数，则第 站的车厢内邮袋数最多，最多为 个；
若 为奇数，则第 或 站的车厢内邮袋数最多，最多为 个．
解后反思：本题通过建立数列模型，利用已知条件得出数列 中的 的表达式，从而使问题得以
解决．本题主要考查了等差数列求和以及二次函数求最值的知识，同时要注意分类讨论思想的应用．
