文档内容
秘籍 12 导数小题归类
概率预测 ☆ ☆ ☆ ☆ ☆
题型预测 选择题、填空题☆ ☆ ☆ ☆ ☆
考向预测 同构式求解参数取值范围、恒成立问题
导数一直是压轴题不可撼动的题型，这里的题型很多，结合的内容也偏多，比如常出现的比较大小和
恒成立问题等都结合着构造函数的思想，而如何构造就需要学生对出题人的出题思路再根据构造函数的思
维从而进行推理，是不简单的知识点。
【题型一】 公切线求参
(1)以曲线上的点(x，f(x))为切点的切线方程的求解步骤：
0 0
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x)；
0
③写出切线方程y－f(x)＝f′(x)(x－x)，并化简．
0 0 0
(2)如果已知点(x ，y)不在曲线上，则设出切点(x ，y)，解方程组 得切点(x ，y)，进而确
1 1 0 0 0 0
定切线方程．
1．（2023·浙江·统考二模）与曲线 和 都相切的直线方程为__________.
【答案】
【详解】设直线与曲线 相切于点 ，
因为 ，所以该直线的方程为 ，即 ，
设直线与曲线 相切于点 ，
因为 ，所以该直线的方程为 ，即 ，所以 ，解得 ，
所以该直线的方程为 ，
故答案为： .
2．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）若曲线 和曲线 恰好存在
两条公切线，则实数a的取值范围为__________．
【答案】
【详解】由题意得 ，
设与曲线 相切的切点为 ，与曲线 相切的切点为 ，
则切线方程为 ，即 ，
，即 ，
由于两切线为同一直线，所以 ，得 ．
令 ，则 ，
当 时， ， 在 单调递减，
当 时， ， 在 单调递增．
即有 处 取得极小值，也为最小值，且为 ．
又两曲线恰好存在两条公切线，即 有两解，
结合当 时， 趋近于0， 趋于负无穷小，故 趋近于正无穷大，
当 时， 趋近于正无穷大，且增加幅度远大于 的增加幅度，故 趋近于正无穷大，由此结合图像可得a的范围是 ，
故答案为：
3．（2023·山东日照·统考二模）已知曲线 与 的两条公切线的夹角余弦值为 ，则
_________．
【答案】
【详解】曲线 与 互为反函数，图象关于 对称，如图所示，
由题意可知， ，
所以 ，
解得 或 ，
因为 为锐角，
所以
由对称性，不妨取直线 进行研究，则直线 的倾斜角为 ，
，设切点 的横坐标为 ，切点 的横坐标为 ，则 ， ，
，
所以 ，
所以直线 的方程为 即
，
所以 ，
所以直线 的方程为 即
所以 即
所以 即 ，
所以 ，即 ，于是有 ，
所以 .
故答案为： .
1．（2023·湖南衡阳·校联考模拟预测）若曲线 与 有三条公切线，则 的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设公切线为 是 与 的切点，由 ，得 ，设 是 与 的切点，由 ，得 ，
所以 的方程为 ，
因为 ，整理得 ，
同理 ，
因为 ，整理得 ，
依题意两条直线重合，可得 ，
消去 ，得 ，
由题意此方程有三个不等实根，设 ，
即直线 与曲线 有三个不同的交点，
因为 ，令 ，则 ，
当 或 时， ；当 时， ，
所以 有极小值为 ， 有极大值为 ，
因为 ， ， ，所以 ，
当 趋近于 时， 趋近于0；当 趋近于 时， 趋近于 ，
故 的图象简单表示为下图:所以当 ，即 时，直线 与曲线 有三个交点.
故选：A.
2．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）定义：若直线l与函数 ， 的图象都相切，则称直线l
为函数 和 的公切线．若函数 和 有且仅有一条公切线，则实
数a的值为（ ）
A．e B． C． D．
【答案】C
【详解】设直线与 的切点为 ，
因为 ，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为 ，
即该直线的方程为 ，即 .
设直线与 的切点为 ，
因为 ，根据导数的几何意义可知该直线的斜率为 ，
即该直线的方程为 ，即 .
因为函数 和 有且只有一条公切线，
所以有 ，即 有唯一实根.
令 ，则 .
解 ，可得 .
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时， ，所以 在 上单调递减.
所以 在 处取得最大值 .
当 时， ， ，函数 图象如图所示，
因为 ， 有唯一实根，所以只有 .
故选：C
3．（2023·江西上饶·统考二模）若曲线 与曲线 有公切线，则实数a的取值范围
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【详解】设 是曲线 的切点，设 是曲线 的切点，
对于曲线 ，其导数为 ，对于曲线 ，其导数为 ，
所以切线方程分别为： ， ，两切线重合，
对照斜率和纵截距可得： ，解得 （
），令 （ ），
，得： ，
当 时， ， 是减函数，
当 时， ， 是增函数，
∴ 且当x趋于 时，， 趋于 ；当 趋于 时， 趋于 ；
∴ ，∴ ；
故选：D．
【题型二】 “过点”切线条数
导数运算及切线的理解应注意的问题：
一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，
同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
1．（2023·河南周口·统考模拟预测）若曲线 有三条过点 的切线，则实数 的取值范围为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设该切线的切点为 ，则切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
又切线过点 ，则 ，整理得 .
要使过点 的切线有3条，需方程 有3个不同的解，
即函数 图象与直线 在R上有3个交点，
设 ，则 ，
令 ，令 或 ，
所以函数 在 上单调递增，在 和 上单调递减，
且极小值、极大值分别为 ，如图，
由图可知，当 时，函数 图象与直线 在R上有3个交点，
即过点 的切线有3条.
所以实数a的取值范围为 .
故选：B.
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若过点 可作曲线 的两条切线，则点可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设切点坐标为 ，对函数 求导可得 ，
所以，切线斜率为 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，
将点 的坐标代入切线方程可得 ，即 ，
因为过点 可作曲线 的两条切线，则关于 的方程 有两个不等的实数解，
所以， ，即 ，即 ，
对于点 ， ，A不满足；
对于点 ， ，B不满足；
对于点 ， ，C满足；
对于点 ， ，D不满足.
故选：C.
3．（2023·陕西西安·统考一模）过点 可作三条直线与曲线 相切，则实数a的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ， ，设切点为 ，则切线方程为 ，
切线过点 ， ，整理得到 ，
方程有三个不等根.
令 ，则 ，令 ，则 或 ，
当 或 时， ，函数单调递增；
当 时， ，函数单调递减，
极大值 ，极小值 ，函数 与 有三个交点，
则 ， 的取值范围为 .
故选：D
1．（2023·江苏泰州·统考一模）若过点 可以作曲线 的两条切线，切点分别为
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设切点 ，
则切线方程为 ，
又切线过 ，则 ，
有两个不相等实根 ，
其中 或 ，令 或 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
即 .
故选：D.
2．（2022·河南濮阳·统考模拟预测）下列条件是“过点 可以作两条与曲线 相切的直线”的充
分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由题知点在直线 上运动, 与 的交点为 ,由图像可知.
要使过点 有两条与曲线 相切的直线,则点 只需要在 点的右侧
结合选项可知 为其充分条件
故选:C.
3．（2023·广东·统考二模）已知 ，若过点 恰能作两条直线与曲线 相切，且这两条切线关于直线 对称，则 的一个可能值为______．
【答案】 （或 或 或 ）
【详解】设切点坐标为 ，因为 ，则 ，切线斜率为 ，
所以，曲线 在 处的切线方程为
将点 的坐标代入切线方程可得 ，
设过点 且与曲线 相切的切线的切点的横坐标分别为 、 ，且 ，
因为这两条切线关于直线 对称，则 ，
所以， ，
易知 、 关于 的方程 的两个根，设该方程的第三个根为 ，
则 ，
则 ，
所以， ，
因为过点 恰能作两条直线与曲线 相切，
则关于 的方程 只有两个不等的实根，不妨设 ，
则 ，若 ，则 ，可得 ，解得 ；
若 ，则 ，所以， ，可得 ， ，
所以， ，解得 .
综上所述， 或 .
故答案为： （或 或 或 ）.
【题型三】 切线法解题
涉及到交点或者零点的小题题型，函数图像通过求导，大多数属于凸凹型函数，则可以用切线分隔（分
界）思维来求解。切线，多涉及到“过点”型切线，
1.已知函数 ， .若 的图象与 轴有且仅有两个交点，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ， 的图象与 轴有且仅有两个交点，
等价于函数 与 的图象在 上有且仅有两个交点.
当直线 与 的图象相切时，
令 ，得 ，即切点为 ，此时 ；
当 的图象过点 时， ，
所以要使函数 与 的图象在 上有且仅有两个交点，则需 .
故选：D.
2..已知 ， ，直线 与曲线 相切，则 的最小值为___________.
【答案】8
【详解】设直线 与曲线 相切于点
由函数 的导函数为 ，则
解得
所以 ，即
则
当且仅当 ，即 时取得等号.
故答案为：8
3.．对任意的 ，若关于 的不等式 恒成立，则 的最小值为__________.
【答案】 ##0.5
【详解】因为关于 的不等式 恒成立，
所以 的图象在函数 的图象上方相切.
当m>0时, 的图象与x轴的交点在x轴的负半轴上.由图可知当正数m最小时,直线 与 在 内相切.
对函数 求导得到 .令 ,解得x=0.所以
,所以切点的坐标为 ，
把点 代入 得： .故答案为： .
1．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知直线 与函数
的图象恰有两个切点，设满足条件的k所有可能取值中最大的两个值分别为
和 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 对于任意 ， ， ， 的范围恒定，
只需考虑 的情况，
设 对应的切点为 ， ， ，
设 对应的切点为 ， ， ，
， ， ，
只需考虑 ， ，其中 的情况，则 ，
，其中 ，
；
又 ， ，
， ；
令 ，则 ，
在 上单调递增，又 ，
，又 ， ，
；
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，
，
即 ， 在 上单调递减， ，
， ；综上所述： .
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （ 为自然对数的底数），则函数
的零点个数为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
【答案】C
【详解】设 ，令 可得： ,
对于 ， ，故 在 处切线的斜率值为 ，
设 与 相切于点 ，
切线斜率 ，则切线方程为： ，
即 ，解得： ；
由于 ，故作出 与 图象如下图所示，
与 有四个不同交点，
即 与 有四个不同交点，设三个交点为 ，由图象可知： ，
作出函数 的图象如图，
由此可知 与 无交点，与 有三个不同交点，与 各有两个不同交点，
的零点个数为7个，
故选：C
3．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知抛物线 ，把该抛物线绕其对称轴旋转一周得到一个几何
体，在该几何体中放置一个小球，若使得小球始终与该几何体的底部相接，则小球体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】要使球的体积取到最大值，球需接触到抛物线旋转所形成的的曲面上，
设此时球与平面 的交点为 ，球心为 ，半径为r，
则 ， ，
设抛物线在点P处的切线为l，则 ，且 到直线l的距离为r，
，所以直线l方程为 ，
即 ，所以点 到直线的距离为
①，又 ，即 ，
整理得 ，代入①式，
得 ，
因为球始终与该几何体的底部相接，所以点P为原点，即 ，此时 ，
所以球的最大体积为 .
故选：C.
【题型四】 恒成立求参
不等式的恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数 恒成立( 即可)或 恒成立（ 即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值 或 恒成立.
涉及到不等式整数解的问题时，要充分利用导数研究函数单调性，结合单调性考查整数解相邻整数点函数
值的符号问题，列不等式求解，考查运算能力与分析问题的能力.
在研究函数时用导数求极值研究极值时，无法正常求出极值点，可设出极值点构造等式或者方程作分析，
进行合适的等量代换或者合适的换元消元消参，考查了分析推理能力，运算能力，综合应用能力，难度很
大.1．（2023·江西·校联考二模）已知函数 ，当 时， 恒成立，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当 时，由 可得 ，
令 ，其中 ，
则 ，
令 ，其中 ，
则 ，所以，函数 在 上为增函数，
因为 ， ，
所以，存在 ，使得 ，
即 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，
因为 ，则 ，则 ，
由 可得 ，则 ，
即 ，可得 ，则 ，
且当 时， ，即 ，此时函数 单调递减，当 时， ，即 ，此时函数 单调递增，
所以， ，所以， ，
故选：D.
2．（2023·全国·模拟预测）已知当 时，关于 的不等式 恒成立，则实数 的值不可能是
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】当 时，关于 的不等式 恒成立，即 恒成立，
令 ，则 ，
当 ，即 时，由 ，得 ，所以 ，所以 在 上为增函数，所以
，符合题意；
当 ，即 时，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
所以 ，
所以只需 即可，
设 ，则 ，
当 时， ，所以 ，所以 在 上为减函数，
因为 ， ，所以存在 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，
要使 ，只需 ，结合选项可知，实数 的值不可能是 .
故选：D
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数 满足 ，且 （ 为 的导函数），若对于任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，可得 的图象关于直线 对称.
又因为 ，所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
因为 的图象是由 的图象向右平移2个单位长度得到的，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 ，可得 ，即 ，
不等号两边同时平方并整理得 ，
即 ，
所以对于任意的 ，不等式 恒成立，
即对于任意的 ，不等式 恒成立，
①当 ，即 时，由 ，可得 或 ，若对于任意的
，不等式 恒成立，
则 或 ，结合 ,得 或 ；②当 ，即 时，由 ，可得 或 ，若对于任意的
，不等式 恒成立，
则 或 ，结合 ,得 .
综上可得，实数 的取值范围是 .
故选：B.
1．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数 在 上单调递增，则实数m的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，则 ，
由题意可得 在 上恒成立，
构建 ，则 ，
注意到 ，则 ，解得 ，
若 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
若 ，因为 ，则 ，可得 ；
若 ，因为 ，则 ，
可得 ；
综上所述：当 时， 在 上恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，符合题意；
故实数m的取值范围为 .
故选：D.
2．（2023·云南·校联考二模）已知 ，使
恒成立的有序数对 有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
【答案】B
【详解】由题得函数定义域为 ，
要想 恒成立，即 恒成立，
只需 恒成立，
只需 恒成立，
设 ，
所以当 时，则 ，使 恒成立的b可取1；
所以当 ，则 ，使 恒成立的b可取1，2，3，
所以 一共有 共4种.
故选：B．3．（2023·福建福州·统考模拟预测）已知 ，函数 ， .若
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 ，即 ，
令 ，
，
令 ，
则 ，所以函数 为增函数，即函数 为增函数，
又 ，
则当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围是 .
故选：C.【题型五】 能成立求参
对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1．（2023·河南开封·开封高中校考一模）若存在 ，使得关于 的不等式 成立，则实
数 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【详解】由 两边取对数可得 ①，
令 则 ，因为 ，所以 ，
则①可转化得 ，
因为 ，
因为存在 ，使得关于 的不等式 成立，
所以存在 ， 成立，故求 的最小值即可，
令
，令
，
令 ，
，
所以 在 上单调递减，所以 ，
，所以 在 上单调递减，
所以
在 上单调递减， ，
，所以实数 的最小值为
故选：D
2．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数 ，若 ，使得
成立，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 ，使得 成立，
则函数 的值域包含 的值域.
当 时，函数 开口向上，对称轴 ，
所以 在 上单调递减，且 ，所以 ；
当 时， ，则 ，
①若 ，当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，解得 ；
②若 ，则 ， 在 上单调递增，
此时 值域为 ，符合题意.
③当 时， 的值域为 ，不符合题意.
综上所述，实数 的取值范围为 .
故选：B.
3．（2023·河南·统考二模）已知函数 ，若曲线 上存在点 使得
，则a的取值范围是_______．
【答案】
【详解】若曲线 上存在点 ，故 ，
设 ，则 ，即 都在 图象上，不难发现该两点关于 对称，故
有解
有解，令 ， ，即 在 上单调递增，
所以
故答案为：
1．（2023·贵州·校联考二模）已知函数 ， ，对任意 ， ，都
有不等式 成立，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】对任意 ， ，都有不等式 成立 ，
， ， ，则 在区间 上单调递增，
∴ ，
， ， ，则 在 上单调递增，
， ，则 在 上单调递减，
， ，故 ，
综上， .
故选：C
2．（2023·四川广安·统考二模）若存在 ，使不等式 成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
令 ，即 ，
因为 ，所以 ，
令 .
则原问题等价于存在 ，使得 成立.
令 ，即 解得 ，
令 ，即 解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
又因为
而 ，
当 时， .
若存在 ，使得 成立.只需 且 ，解得 且 ，
所以 .
故 的取值范围为 .
故选：D
3．（2023·江西·校联考模拟预测）已知 有解，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】不等式 可化为
，
，
令 ，则 且 ，
由已知不等式 在 上有解，
所以 在 上有解.
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 单调递增，
所以 ，所以 ，所以a的取值范围为 ，
故选：A.
【题型六】 零点与隐零点
（多选）1．（2023·广东茂名·统考二模）已知 ，若关于 的方程
恰好有6个不同的实数解，则 的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】记 ，则
所以 在 单调增，在 单调减
所以 的大致图像如下所示：
令 ，所以关于 的方程 有6个不同实根等价于关于 方程
在 内有2个不等实根.即 与 在 内有2个不同交点
又 的大致图像如下所示：
又 ，
所以 .
对照四个选项，AB符合题意.
故选：AB
2．（2023·云南曲靖·统考模拟预测）已知函数 的导函数为 ，且对任意的实数 都有
（ 是自然对数的底数），且 ，若关于 的方程 恰有两个实数
根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可得， ，
令 ，则 ，故 ；
又 ，所以 ，故 ，所以 ，
当 或 时， ，函数分别单调递减；当 时， ，函数单调递增，故当 时，函数取得极大值 ，当 时，函数取得极小值 ，
时 趋于 时 趋于0，故 轴是图像的水平渐近线，其图像如图所示，
结合函数的图像，要使关于 的方程 恰有两个实数根，
实数 的取值范围是 ；
故选：B.
3．（2023·广东湛江·统考二模）对于两个函数 与 ，若这两个函
数值相等时对应的自变量分别为 ，则 的最小值为（ ）
A．-1 B． C． D．
【答案】C
【详解】设 ，则 ， ，
由 ，得 ，则 ， ，
设函数 ， ，
则 ，
因为函数 在 上都是增函数，所以 在 上为增函数，
又 ，
所以当 时， ， 单调递减,当 时， , 单调递增，
故 ，
即 的最小值为 .
故选：C.
1．（2023·河北衡水·模拟预测）已知函数 有两个极值点 ，且 ，
则实数 的取值范围为_________.
【答案】
【详解】原题等价于 是导函数 的两个零点， ，
即是方程 的两个不相等的实数根， 显然不符合方程 0，
所以 和 是方程 的两个根，
即函数 的图像与直线 有两个不同的交点，
由于 ，所以当 或 时， ；当 时， ，故 的减区间为
和 ，增区间为 ，
当x趋于 时， 趋于0，且 ，当 且x趋于0时，
趋于 ，当 时，x趋于0时， 趋于 ，在 处， 取得极小值 ；当 时，x趋于 时， 趋于 ，
作出 的大致图像如下图所示，
由图可知， ，且 ，
因为 ，取 ，并令 ，则 ， 单调递增， ，解
得 ，此时 ，即 ，
故答案为： .
2．（2023·陕西西安·长安一中校考二模）若函数 在 和 ，两处取得极值，且
，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【详解】因为 ，则 ，
令 ，且 ，整理得 ，
原题意等价于 与 有两个不同的交点，
构建 ，则 ，令 ，解得 ；令 ，解得 或 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，且 ，
由图可得：若 与 有两个不同的交点，可得： ，
因为 ，则 ，
由图可知：当 增大时，则 减小， 增大，可得 减小，
取 ，令 ，则 ，
因为 ，解得 ，
所以 ，则 ，
即实数a的取值范围是 .
故答案为： .
3．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知函数 有两个极值点 ，则
实数a的取值范围为________；若 ，则 的最大值为________．
【答案】【详解】 的定义域为 ， ，
由已知得 是 的两个变号零点，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ，
如图：
由图可知，只需 即可，所以 ，
即实数a的取值范围是 ；
若 ，又 ，则令 ，
由已知 ，则 ，
则 ，则 ， ，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上递增，又因为 ，所以当 时， ，即 ，
所以函数 在 上递增，所以 ，
所以 的最大值为 ．
【题型七】 双变量问题
一般地，若 时，涉及到双变量的不等式的证明，函数的最值问题可以使用比值换元，令
，将问题转化为关于 的函数，利用导数进行求解.
1．（2023·湖北武汉·统考二模）已知直线 与函数 的图象恰有两个切点，
设满足条件的 所有可能取值中最大的两个值分别为 和 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 对于任意 ， ， ， 的范围恒定，
只需考虑 的情况，
设 对应的切点为 ， ， ，
设 对应的切点为 ， ， ，
， ， ，
只需考虑 ， ，其中 的情况，
则 ，，其中 ，
；
又 ， ，
， ；
令 ，则 ，
在 上单调递增，又 ，
，又 ， ，
；
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，
，
即 ， 在 上单调递减， ，
， ；
综上所述： .故选：B.
2．（2022·四川成都·统考一模）已知 ，且 ，则下列说法正确的有（ ）
① ； ② ；③ ； ④ .
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④
【答案】B
【详解】令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
故 在 上为增函数，在 上为减函数，
而 ， ，故 ，
而 ，故 ，故①错误.
又 ，故 ，
故②正确， 此时 ，故④正确.
设 ，
则 （不恒为零），
故 在 上为增函数，
故 ，必有 即 ，
所以 ，即 ，
由 的单调性可得 即 ，故③成立.
故选：B.
【点睛】思路点睛：导数背景下不等关系的讨论，注意根据等式或不等式的关系构建新函数，并结合单调
性来比较大小关系，在不等式关系的讨论中，注意利用极值点偏移来处理大小关系.（多选）3．（2022·广东广州·统考一模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】对于A选项，当 时， .
设 ，其中 .
则 ，故 在 上单调递增.
又 ， ，则 ，使 .
即存在 ， ，使 .
但此时， .故A错误.
对于B选项，
.设 ，其中 .则 .
得 在 上单调递增.
注意到 .
则 .又 在 上递增，
则有 .故B正确.对于C选项，由B选项可知 ，则由 ，
有 .故C正确.
对于D选项，因 ， ，
则 .设 ，其中 .
则 .
设 ，其中 .则 ，
得 在 上单调递增.
（1）若 ，注意到 ， ，则 ，使 .即
，
则 ，设 ，则 ，
得 在 上单调递减，则 .
（2）当 ， ，注意到 .
则 ，此时 .
（3）当 ，注意到
则 ，又由（1）分析可知 在 上单调递增.
则 .
综上，有 .故D正确.
故选：BCD（多选）1．（2022·全国·模拟预测）已知方程 有两个不同的根 ， ，则下列
结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】A，B选项：方程 等价于方程 ，
构造函数 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则 ，因此只需满足 ，即 ．
当 时，
， ，
由以上可知，当 时， 分别在 ， 上各有一个零点，（零点存在定理的应用）
则方程 有两个不同的根 ， ，因此选项A正确，选项B错误；
C选项：构造函数 ，则 ，
因此 在 上单调递减，易知 ，假设 ,则 ，即 成立，
又 ，则 ，因此 ，即 ，因此选项C正确；
D选项：由 即 ，得 ，不一定成立，故选项D错误．故选：AC
（多选）2．（2022·云南·统考模拟预测）函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．若 ，x､y均为正数，则 D．若 有两个不相等的实根 ，则
【答案】ABD
【详解】由 得：
令 得，
当x变化时， ， 变化如下表：
x
0
单调递增 极大值 单调递减
故， 在 上递增，在 上递减， 是极大值也是最大值，
时， 时， ，且 时 ， 时， ， .
对于A，因为 在 上递减，所以 ，故A对；
对于B，因为 ，且 在 单调递增，所以 ，即 ，所以
，即 ，故B正确；
对于C，设 ，且x，y均为正数，则
，，故C错误.
对于D，因为 有两个不相等的零点
不妨设 要证： ，即要证： 在 单调递增，∴只需证：
即：
只需证：
令 ，则
当 时， 在 单调递增
.即： ，故D正确.
故选：ABD.
3．（2023·全国·模拟预测）若对于 ， ，使得不等式
恒成立，则实数x的范围为______．
【答案】 .
【详解】 恒成立，
等价于 .
令 ， ，则 ，
注意到 时， ， ， 时， .则 在 上单调递减，在 上单调递增，则 .
则 ，则
.
令 ， .
当 ， ，故 满足条件；
当 ，则 在 上单调递减，故
.
令 ， .
则 ，得 在 上单调递增，
时， ，因 此时无最值，且 ， .
则 不合题意；
当 ， 在 上单调递增，故
.
令 .
则 .
令 ， .
则 ，故 在 上单调递减，
则 ，则 在 上单调递增，则 ，则 符合题意.
综上， .
故答案为： .
【题型八】 构造函数求参
1.构造函数法求解函数解析式，利用导数研究函数增减性，常用以下方法：
（1）利用含导数方程还原原表达式需要结合导数四则运算特征，如本题中同乘 移项后就得到除法对应导
数公式；
（2）利用导数研究函数增减性,如遇导数不能判断正负的情况下，往往需要再次求导，通过二阶导数判断
一阶导数的正负，再通过一阶导数的正负判断原函数的增减.
2.几种导数的常见构造：
对于 ，构造
若遇到 ，构造
对于 ，构造
对于 ，构造
对于 或 ，构造
对于 ，构造
对于 ，构造
1.已知函数 的导函数为 ，任意 均有 ，且 ，若函数
在 上有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设函数 ，则 ，
因为 ，则 ，
设 ，则 ，所以 ，即 ， ， ，
则 在 单调递减，在 单调递增， ，
要使函数 有两个零点，等价于曲线 与 有两个交点，
，所以实数 的取值范围为 .故选:D.
2.）若定义域 的函数 满足 且 ，若 恒成立，则m的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数 满足 ， ，则 ，
可设 ，c为常数，故 ， ，
，故 ， ， ，
令 ， ，则 ，
时， ，故 单调递减； 时， ，故 单调递增， 在 时
取得最小值 ， 恒成立，
在 成立，故 在 上递增，又 ，所以不等式
即 ，根据单调性得 ，解得 .故选：D.
3.设奇函数 的定义域为 ，且 的图象是连续不间断， ，有
，若 ，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令 ， ，因为 为奇函数，所以 ，
则函数 是定义在 上的奇函数，则 ，
因为当 时， ，所以 ，
则函数 在 上单调递减，则函数 在 上是奇函数且单调递减，
又因为 等价于 ，即 ，
所以 ，且 ，所以 .故选：D.
1．（2023·广东深圳·统考二模）已知 ， ，且 ，则下列关系式恒成立的
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】构造 ， ，
则 ，
当 时， ， ，
所以 在 单调递增，
因为 ，
当 ， 时，则 ,所以 所以
单调递增，所以 ;
当 ， 时 ,所以 所以 ,单调递减，所以 .
故选：A
2．（2023·四川乐山·统考三模）已知函数 有两个零点 、 ，函数 有两个零点
、 ，给出下列 个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中所有正确结论的序号
是（ ）
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
【答案】D
【详解】在同一坐标系作出 与 的图象，
设 在 处的切线方程过原点， ，
则曲线 在 处的切线方程为 ，
将原点代入切线解得 ，故 在 处的切线方程为 ，
有两个零点，则 ，
由于 与 ， 与 互为反函数，
故 有两个零点，则 ，
设函数 与 图象交点坐标分别为 、 ；
与 图象交点坐标分别为 、 ．其中点 、 关于直线 对称， 、 关于直线 对称，
则 ， ，且 ，
对于③，构造函数 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增，则 ，
故当 时， ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
故当 时， ，即 （当且仅当 时，等号成立），
若 ，则 ，又因为 ，可得 ，
所以， ，与④矛盾，③错.
故选：D.
3．（2023·山东日照·统考二模）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】令 ，若 ，则 ，
若 ，则 ，则函数 在 上单调递减，在 上单调递
增.则 ，即 ， .
取 ，则 ，即 .取 ，则 ，即 ， .
又 ，令 ，
则函数 都在 上单调递增，则 .
所以 时， .
.
又函数 在 上单调递增，所以 .
即 ， .
故选：A
【题型九】 极值点偏移
1．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知 ， ， ，则a，b，c的大小
关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】要比较 ， ， 等价于比较 的大小,等价于比较 ,
即比较 ,
构造函数 , ,
令 得 ,令 得 ,
所以 在 单调递增, 单调递减.
所以 ,
因为 ，
所以 最大，即 ， ， 中 最大，
设 ，
结合 的单调性得， ，
先证明 ，其中 ，
即证 ，
令 ， ，其中 ，
则 ，
所以，函数 在 上为增函数，当 时， ，
所以，当 时， ，
则有 ，由 可知 ，
所以 ，
因为 ，所以 即 ，
因为 ， 在 单调递增，
所以 ，即 ，
因为 所以 所以 ，
即 ，
因为 ， 在 单调递减.
所以 ，
即 ，即 ，
综上， .
故选：D
2．（2023·江西·校联考模拟预测）已知 ， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A， ， ，令 ,则 ，
所以 在 单调递减，在 上单调递增，且 ，故 .
令则 ，所以 在 上单调递减，且 ，
， ， ，
即 ,故选项A错误；
对于B， ，
令 ，
则 ，所以 在 单调递增，在 上单调递减，
且 ，故 .
令
所以 在 上单调递减，且 ，
， ， ，
， ，即 ，故选项B错误；
对于C， ， ，
，又 在 单调递增， ， ，故选项C错误；
对于D，由C可知， ， 又 在 单调递减 ，
，故选项D正确.
故选：D.
3．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）已知两个不相等的正实数x，y满足 ，则下列结
论一定正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】因为 ， ，
所以 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，
当 时， ，则 单调递减；
当 时， ，则 单调递增,
所以 ，
对于 ，总有 ，即 在 上单调递增，
故 ，即 在 上恒成立，
所以对于 ，对于任意 ，在 上取 ，
则 ，
所以当 且 趋向于0时， 趋向于无穷大，
当 趋向于无穷大时， 趋向于无穷大， 趋向于0，故 趋向于无穷大，
所以 的大致图像如图所示：
.对于AD，因为 ， ，不妨设 ，
由图象可知， ，故 ，故AD错误；
对于B，假设 成立，取 ，
则 ，显然不满足 ，故B错误；
对于C，令 ，又 ，
则 ，
所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，即 ，
又 ，则 ，
因为 ，所以 ，又 ， 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故C正确.
故选：C.
（多选）1．（2022·河北衡水·衡水市第二中学校考一模）直线 ： 与 的图象交于 、
两点 ， 在A､B两点的切线交于 ， 的中点为 ，则（ ）
A． B．点 的横坐标大于1
C． D． 的斜率大于0
【答案】BC【详解】
对A，因为直线 与曲线 交于 、 两点 ，
有两个不同正根，
即直线 与曲线 有两个不同的交点.
在 上单调递减，在 单调递增，
且 ，
，故A错误.
对B，由题意得，
，设
令
在 单调递减.
，
在 单调递减，
.
，又 ，
.
的方程： ，
的方程： ，
联立可解得 ，
故选项B正确.
对C，设 ，
，
，且 ，
，设 ,
，
，
，
，
是 的两个根， 是方程 的两根，
，所以C正确.
对D，
，，
可以利用对数均值不等式证明如下：
对数均值不等式： ，
， ，
，
， ，
，即 <1, ， .
所以D错误.
故选：BC
（多选）2．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）若当实数a变化时，直线 恒与定曲线
相切，且 ，则（ ）
A． 有一个极大值点 B．
C． D．
【答案】AD
【详解】因为直线 恒与定曲线 相切，
则曲线 为坐标平面上挖去诸切线上的点后余下的所有点形成的边界（边界为虚边界），而余下的
不在切线上，故 无解，
设 ，则 ，
若 ，则 ，当 时， 无解，此时边界点为若 ，则 ，故 在 上为增函数，
而当 时， ， 时， ，
故无论 取何值，从而 总有解.
若 ，则 时， ， ， ，
故 在 上为减函数，在 上为增函数，
故 ，
若 ，则 无解，故 即 ，
边界对应的函数为 ， .
若 ，因此 时， ，故此时 总有解.
综上， ，故C错误.
当 时， ，
当 时， ；当 时， ，
故 在 上为增函数，在 为减函数，
故 有唯一的极大值点 ，且极大值为 ，故A正确.
又 的图象如图所示：当 时，由 可得 或 ，即 或 ，
有两个不同的解，故B错误.
若 ，则由图象可得 ，不妨设 ，
当 时， ，此时 成立；
当 时，令 ，其中 ，
则 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 在 上为减函数，故 ，
所以 ，故 ，
故 ，而 ，
由 的单调性可得 即 ，综上，D成立，
故选：AD.
（多选）3．（2022·重庆江北·校考一模）已知函数 则下列结论正确的有（ ）
A．当 时， 是 的极值点
B．当 时， 恒成立
C．当 时， 有2个零点
D．若 是关于x的方程 的2个不等实数根，则
【答案】ABD
【详解】对于A，当 时， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 是 的极大值点，故A正确；
对于B，令 ，得 ，
令 ，则 ，
令 ，解得 ，
故当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减；
所以 ，
因为 ，所以 ，故 ，整理得 ，即 恒成立，故B正确；对于C，令 ，则 ，令 ，解得 ，故 只有1个零点，故C错误；
对于D，因为 是关于 的方程 的2个不等实数根，
所以 ，即 ，
所以问题等价于 有两个零点 ，证明 ，
不妨设 ，则由 得到 ，
要证 ，只需要证明 ，
即只需证明： ，
只需证明： ，即 ，
令 ，
只需证明： ，
令 ，
则 ，即 在 上单调递增，
又 ，所以 ，即 恒成立，
综上所述，原不等式成立，即 成立，故D正确.
故选：ABD.
高考模拟练习1．（2023·浙江台州·统考二模）设函数 ，则（ ）
A．函数 有且仅有一个零点
B．对 ， ，函数 有且仅有一个零点
C． ， 恒成立
D． ， 恒成立
【答案】D
【详解】对于A， ，
则 ，
令 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，函数 递减，
当 时， ，函数 递增，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，所以 ，则 ，
所以函数 在 上有零点，
所以 在 上有无数个零点，
即函数 在 上有无数个零点，故A错误；
对于B， ，
又 ，所以 ，
所以存在 ，使得函数 有两个交点，
即存在 ，使得函数 有 个零点，故B错误；
对于C，当 时， ，则 ，
所以当 时， ，
所以不存在 ， 恒成立，故C错误；
对于D，取 ， ，
令 ，则 ，所以函数 在 上递增，
所以 ，
即 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
故可取 ， 恒成立，故D正确.
故选：D.
2．（2023·江苏南通·三模）已知宽为 的走廊与另外一条走廊垂直相连，若长为 的细杆能水平地通过拐
角，则另外一条走廊的宽度至少是( ).
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意如图，设细杆与另外一条走廊一边的夹角为 ，
设另一走廊的宽度为 ，则 ，
,
所以 ，
所以 ，
令 ，又 ，所以 在 上单调递增，
令 ，
且 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，
故另外一条走廊的宽度至少是
故选：D.
3．（2023·四川成都·成都七中校考模拟预测）函数 与其导函数为 ，满足
，其中 ；若 ， ，其中 ，则下列不等式
一定成立的有（ ）个
①
②
③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，因为 ，所以 ，
，因为 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 ，
由 得 ，虽说 ，但 、 的符号不确定，则①不正确；
由 得 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以②不正确；
由 得 ，所以 ，
即 ，所以 ，所以③正确；
由 得 ，即 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，所以④不正确.
故选：A
4．（2023·重庆·统考二模）在数学王国中有许多例如 ， 等美妙的常数，我们记常数 为 的零点，
若曲线 与 存在公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【详解】由题意可知，曲线 与 存在公切线，设切点分别为 ， ，则公切
线为 ，即 ，
而切线斜率 ， ，
则 ，而点 在公切线上，故代入切线方程得， ，化简得
，其中 ，
令 ，其中 ，
，可知 在 上单调递减，而 为 的零点，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
故
，即
故选：A.
5．（2023·河南郑州·统考二模） 和e是数学上两个神奇的无理数． 产生于圆周，在数学中无处不在，
时至今日，科学家借助于超级计算机依然进行 的计算．而当涉及到增长时，e就会出现，无论是人口、
经济还是其它的自然数量，它们的增长总是不可避免地涉及到e．已知 ， ， ，
，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意， ， ， ，
令函数 ，求导得 ，函数 在 上单调递增，
则当 时， ，即 ，而 ，因此 ，即 ；
令函数 ，求导得 ，函数 在 上单调递减，
则当 时， ，即 ，因此 ，即 ；令函数 ，求导得 ，函数 在 上单调递增，
则当 时， ，即 ，
因此 ，即 ，
所以 .
故选：A
6．（2023·河南·校联考二模）已知函数 ，其中 ，若函数满足以下条件：
①函数 在区间 上是单调函数；② 对任意 恒成立；
③经过点 的任意直线与函数 恒有交点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由函数 可知，函数的周期为 ，
由条件② 对任意 恒成立，可知 是函数的一条对称轴，
结合条件①函数 在区间 上是单调函数，则有
，又 ，解得 ，即 ，
又因为 ，故 ，解得 ，又 ，
从而 或 .当 时， ；当 时， ，
由② 对任意 恒成立， ，则
，由③经过点 的任意直线与函数 恒有交点，得
，解得 ，易知 ， ， ，
此时由 ，可得 ，从而 ，
由 或 ，得 或 ，
所以 或 ，
故选：A.
7．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知曲线 ，过曲线上A，B两点分
别作曲线的切线交于点P，AP⊥BP．记A，B两点的横坐标分别为 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【详解】当 时， ，当 时， ，
依题意，曲线 在点A，B处的切线互相垂直，则 在1的两侧，不妨令 ，
因此 ，解得 .
故选：B
8．（2023·江西吉安·统考一模）已知 ，且 ，则 的可能取值为（ ）
（参考数据： ， ）A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，可得 且 ，所以 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ， 为单调递增函数，
即 单调递增，
又 ，
所以存在 ，使得 ，
所以 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，
又因为 ， 在 上递增，所以D正确.
故选：D.
9．（2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集 上的函数 ，如果 ，使得 ，则称
为函数 的不动点.给定函数 ， ，已知函数 ， ， 在
上均存在唯一不动点，分别记为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】由已知可得， ，则 ，
且 ，所以 .
又 ， .
令 ， ，则 恒成立，
所以， 在 上单调递增，所以 ，所以 .
所以， ，即 .
令 ， ，
因为函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，且 ，
根据复合函数的单调性可知，函数 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减.
又 ， ，所以 .
因为 在 上单调递减， ，所以 .
又 ，所以 ，即 .
令 ， ，则 恒成立，
所以， 在 上单调递减.
又 ， ，
所以 .
综上可得， .故选：C.
10．（2023·河北·河北衡水中学校考模拟预测）过正态分布曲线 上非顶点的一点 作切线，
若切线与曲线仅有一个交点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为正态分布曲线 在拐点处切线穿过曲线，与曲线有且仅有一个交点
令
即
故选：A
