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第1讲 随机抽样、用样本估计总体
复习要点 1.理解简单随机抽样及分层随机抽样的方法.2.了解分布的意义和作用，会
列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图，理解它们各自的特点.3.理解样本数据
标准差的意义和作用，会计算数据的标准差.4.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均
数、标准差等)，并给出合理的解释.5.会用样本的频率分布估计总体的频率分布，会用样本
的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．
一 简单随机抽样
1．定义：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(1≤n＜N)个
个体作为样本，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，就把这种抽样方
法叫做简单随机抽样．
2．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
二 分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个
子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一
起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
三 统计图表
1．常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等．
2．画频率分布直方图的步骤
(1)求极差；
(2)决定组距与组数；
(3)将数据分组；
(4)列频率分布表；
(5)画频率分布直方图．
四 总体百分位数
定义 意义
一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的
百分 反映该组数中小于或等于该百分位数
顺序排列后，处于 p % 位置的数．中位数就是一个50%
位数 的分布特点
分位数
五 总体集中趋势估计
1．中位数
将一组数据按大小依次排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均
数)叫做这组数据的中位数．
2．众数
一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．
3．平均数
一组数据的算术平均数即为这组数据的平均数，n个数据x ，x ，…，x 的平均数为 ( x
1 2 n 1＋ x ＋…＋ x )．
2 n
六 总体离散程度估计
1．假设一个样本中个体的变量值分别是 x ，x ，…，x ，用表示样本的平均数，那么
1 2 n
样本的标准差和方差的计算公式如下：
(1)标准差
s＝.
(2)方差
s2＝[(x－)2＋(x－)2＋…＋(x－)2]．
1 2 n
2．总体方差和总体标准差
(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为 Y ，Y ，…，Y ，总体平均数为，则
1 2 N
总体方差S2＝(Y－)2.
i
(2)加权式：如果总体的 N 个变量值中，不同的值共有 k(k≤N)个，不妨记为 Y ，
1
Y，…，Y，其中Y出现的频数为f(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝(Y－)2.
2 k i i i i
常/用/结/论
1．从总体中，逐个不放回地随机抽取n个个体作为样本，一次性批量随机抽取n个个
体作为样本，两种方法是等价的．
2．频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形底边的中点对应的横坐标；
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐
标之和；
即每组的频率．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
即从左到右频率和为0.5的位置．
3．简单随机抽样样本平均数、方差的计算公式的推广
(1)若数据x，x，…，x 的平均数为，则数据mx＋a，mx＋a，mx＋a，…，mx＋a的
1 2 n 1 2 3 n
平均数是m＋a；
(2)若数据x ，x ，…，x 的方差为s2，则数据ax ＋b，ax ＋b，…，ax ＋b的方差为
1 2 n 1 2 n
a2s2.
4．分层随机抽样样本均值、方差的计算公式的推广
如果将总体分为k层，第j层抽取的样本量为n，样本均值为 ，样本方差为s，j＝
j j
1,2，…，k，记n＝，那么所有数据的样本均值和方差s2为＝(n )，s2＝ns＋n(－)2]．
j jj j j j
1．判断下列结论是否正确．
(1)分层随机抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．()
(2)频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．
(√)
(3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变．(√)
(4)一组数据的众数可以是一个或几个，那么中位数也具有相同的结论．()
(5)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中．()2．(多选)下列说法正确的是( )
A．众数可以准确地反映出总体的情况
B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大
解析：对于A，众数体现了样本数据的最大集中点，但对其他数据信息的忽略使得其
无法客观反映总体特征，所以A错误；对于B，一组数据的平均数不可能大于这组数据中
的每一个数据，所以B错误；对于C，平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数
据的集中趋势，所以C正确；对于D，方差可以用来衡量一组数据波动的大小，方差越小，
数据波动越小，方差越大，数据波动越大，所以D正确．
答案：CD
3．某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出 80名学生，其数学成绩(均为整
数)的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的众数为________，这次测试数学成
绩的中位数为________(精确到0.1)，这次测试数学成绩的平均数为________．
解析：由图知众数为＝75.
设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，
因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3.由图知这次测试数学成绩
的平均数为×0.005×10＋×0.015×10＋×0.020×10＋×0.030×10＋×0.025×10＋×0.005×10＝72.
答案：75 73.3 72
4．(2024·河北名校联考)9月19日，航天科技集团五院发布消息称，近日，在法国巴
黎召开的第73届国际宇航大会上，我国首次火星探测天问一号任务团队获得国际宇航联合
会2022年度“世界航天奖”．为科普航天知识，某校组织学生参与航天知识竞答活动，某
班8位同学成绩如下：7,6,8,9,8,7,10，m.若去掉m，该组数据的第25百分位数保持不变，
则整数m(1≤m≤10)的值可以是________．(写出一个满足条件的m的值即可)
解析：原数据去掉 m 后，剩余数据从小到大依次为 6,7,7,8,8,9,10，因为 7×0.25＝
1.75，所以这7个数据的第25百分位数为7，所以数据7,6,8,9,8,7,10，m的第25百分位数
为7，又8×0.25＝2，所以7为这8个数据从小到大排序后的第2个数与第3个数的平均数，
所以m(1≤m≤10)的值可以是7或8或9或10.
答案：7(8,9,10也可)
题型 抽样方法
典例1 (1)用简单随机抽样的方法从含有每个个体被抽到的可能性相等．
10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可
能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A．， B．，
C．， D．，
(2)(2024·四川成都检测)中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代
会试分南卷、北卷、中卷，按11∶7∶2的比例录取，若某年会试录取人数为100，则中卷
录取人数为( )
A．10 B．35
C．55 D．75
(3)(2024·江西吉安模拟)总体由编号为00,01,02，…，48,49的50个个体组成，利用下面
的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的 第 9 列 和 第 10 列 数
数字3. 数字3.
字开始从左到右依次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为 ( )
附：第6行至第9行的随机数表如下：
2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950
3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732
2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620
7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125
A．3 B．16
C．38 D．20
(4)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用比例分配的分层随机
抽样的方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体；若 A ， B ， C 三层的
样本的平均数分别为 15,30,20 ，则样本的平均数 为________．直接利用分层随机抽样的平
均数公式．
解析：(1)方法一：在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容
量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为.
方法二：第一次被抽到，显然为；第二次被抽到， 也可这样理解：第一次
没抽到，第二次抽到：9×1，则概率P＝＝.
首先第一次不能被抽到，第二次才可能被抽到，可能性为×＝.故选A．
(2)由题意，知会试录取人数为100，根据比例分配的分层随机抽样的性质可知，中卷
录取人数为100×＝10.故选A．
(3)按随机数法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个
数字，超出
因为编号由2个数字组成．
00～49及重复的不选，则编号依次为33,16,20,38,49,32，…，则选出的第3个个体的编
号为20.故选D．
(4)∵A，B，C三层的个体数之比为5∶3∶2，总体中每个个体被抽到的概率相等，∴应从C中抽取100×＝20(个)个体．样本的平均数为＝×15＋×30＋×20＝20.5.
故答案为20 20.5.
1．在简单随机抽样、分层随机抽样中，总体中每个个体入样的可能性是相同的．
2．分层随机抽样是按比例抽样，抽样比＝＝.
3．在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均数为；第二层的样本量为n，
平均数为，则样本的平均数为.
对点练1 (1)随着人们环保意识的增强，一次性筷子的使用率在降低．某调
查小组为了了解目前一次性筷子的使用情况，在街头随机抽取了一部分人做了一次问卷调
查，其中老年人、中年人、青年人填写的问卷分别有200份、300份、500份，现在用比例
分配的分层随机抽样方法抽出样本进行研究，若抽取的样本中中年人填写的问卷有 60份，
则样本量为( )
A．60 B．150
C．200 D．300
(2)(2024·河北正定中学考试)假设要检验某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从
500 支疫苗中抽取 50 支进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将 500 支疫苗按
000,001，…，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则抽取的第3
支疫苗的编号为( )
(下面摘取了随机数表第7行至第9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 05 76
63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 62 02 79 54
A．331 B．068
C．455 D．572
(3)记样本x ，x ，…，x 的平均数为，样本y ，y ，…，y 的平均数为(≠)．若样本x ，
1 2 m 1 2 n 1
x，…，x ，y，y，…，y 的平均数为＝＋，则的值为( )
2 m 1 2 n
A．3 B．4
C． D．
解析：(1)设样本量为n，则＝，解得n＝200.
(2)从随机数表第7行第8列的数开始向右读，依次为331,572(舍去)，455,068，…，则
第3支疫苗的编号为068.故选B．
(3)由题意知x ＋x ＋…＋x ＝m，y ＋y ＋…＋y ＝n，＝＝＝＋＝＋，所以＝，＝，可
1 2 m 1 2 n
得3m＝n，所以＝.
答案：(1)C (2)B (3)D题型 总体取值规律、百分位数的估计
典例2某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民
的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200
千瓦时但不超过 400千瓦时的部分按 0.8元/千瓦时收费，超过 400千瓦时的部分按 1.0
元/千瓦时收费．
(1)求某户居民月用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；
(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民的用电量，统计
分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过
260 元的占 80% ，求a，b的值；
由(1)知，当y＝260时，x＝400，即400左侧频率和为0.8，右侧频率和为0.2.
(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的 75% 分位数 ．
类比中位数求法，设75%分位数是m，则m左侧的频率和为0.75.
解：(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；
当200400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－400)＝x－140.
所以y与x之间的函数解析式为
y＝
(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400 千瓦时的占80%，结合频
率分布直方图可知
解得a＝0.001 5，b＝0.002 0.
(3)设75%分位数为m，
因为用电量低于300千瓦时的所占比例为(0.001 0＋0.002 0＋0.003 0)×100×100%＝
60%，
用电量不超过400千瓦时的占80%，
所以75%分位数m在[300,400)内，
所以0.6＋(m－300)×0.002 0＝0.75，
解得m＝375，即用电量的75%分位数为375.1．频率分布直方图的相关结论
(1)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1.
(2)频率分布直方图中纵轴表示，所以每组的频率＝×组距，即小长方形的面积．
2．总体百分位数的估计的注意事项
(1)数据要从小到大排序．
(2)确定要求的p%分位数所在分组[A，B)，由频率分布直方图可知，样本中小于 A的
频率为a，小于B的频率为b，所以p%分位数＝A＋组距×.
对点练2 (1)(2024·江苏南通质检)“双减”政策实施后，学生的课外阅读时间
增多．某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：
借书数量(单位：本) 5 6 7 8 9 10
频数(单位：人) 5 8 13 11 9 4
则这50名学生的借书数量的上四分位数是( )
A．8 B．8.5
C．9 D．10
(2)(多选)在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视
为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中正确的有( )
A．成绩在[70,80]分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1 000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数约为75分
解析：(1)由50×75%＝37.5，故第75百分位数为借书数量从小到大排序后的第38个，
又5＋8＋13＋11＝37<38<5＋8＋13＋11＋9＝46，故上四分位数(第75百分位数)是9.
(2)根据频率分布直方图得，成绩出现在[70,80]的频率最大，故A正确；不及格的考生
人数为10×(0.010＋0.015)×4 000＝1 000，故B正确；根据频率分布直方图估计考生竞赛成
绩的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，故C正确；
0.1＋0.15＋0.2＝0.45<0.5,0.1＋0.15＋0.2＋0.3＝0.75>0.5，所以考生竞赛成绩的中位数约为
70＋≈71.67(分)，故D错误．故选ABC．
答案：(1)C (2)ABC
题型 总体集中趋势、离散程度的估计
典例3 (1)(多选)(2023·新高考全国Ⅰ卷)有一组样本数据x ，x ，…，x ，其中
1 2 6x 是最小值，x 是最大值，则( )
1 6
A．x ，x ，x ，x 的平均数等于x ，x ，…，x 的平均数即判断x ＋x ＋x ＋x 与2(x ＋
2 3 4 5 1 2 6 2 3 4 5 1
x)的大小．
6
B．x ，x ，x ，x 的中位数等于x ，x ，…，x 的中位数本质也是研究x ，x ，x ，x 的
2 3 4 5 1 2 6 2 3 4 5
中位数．
C．x ，x ，x ，x 的标准差不小于x ，x ，…，x 的标准差 x ，x ，…，x 的波动性
2 3 4 5 1 2 6 1 2 6
≥x，x，x，x 的波动性．
2 3 4 5
D．x，x，x，x 的极差不大于x，x，…，x 的极差最大值－最小值：x－x≤x－x.
2 3 4 5 1 2 6 5 2 6 1
(2)(多选)(2024·湖北荆州中学模拟)某公司为提高职工政治素养，对全体职工进行了一
次时事政治测试，随机抽取了100名职工的成绩，并将其制成如图所示的频率分布直方图，
以样本估计总体，则下列结论中正确的是( )
A．该公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的80%
B．该公司职工测试成绩的中位数约为70分
C．该公司职工测试成绩的平均值约为68分
D．该公司职工测试成绩的众数约为60分
3个选项研究频率分布直方图中的众数、中位数、平均数的求法．
(3)(2024·安徽宣城模拟)某学校有男生400人，女生600人，为调查该校全体学生每天
运动时间的情况，按照男女比例通过分层随机抽样的方法取到一个样本，样本中男生每天
运动时间的平均值为80分钟，方差为10，女生每天运动时间的平均值为60分钟，方差为
20.结合数据，估计该校全体学生每天运动时间的方差为( )
考查分层随机抽样的方差，要在理解的基础上准确应用公式．
A．15 B．16
C．96 D．112
(4)(2023·全国乙卷，理)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进
行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工
艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后
的橡胶产品的伸缩率分别记为x，y(i＝1,2，…，10)．试验结果如下：
i i
试验序
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号i
伸缩率
545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
x
i
伸缩率
536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
y
i记z＝x－y(i＝1,2，…，10)，记z，z，…，z 的样本平均数为，样本方差为s2.
i i i 1 2 10
①求，s2；根据表中数据计算z＝x－y，再求和s2.
i i i
②判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有
显著提高
(如果≥2，则认为甲工艺计算和2，比较大小即可得出结论.,处理后的橡胶产品的伸缩
率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高).
解析：(1)对于选项A，设x ，x ，x ，x 的平均数为m，x ，x ，…，x 的平均数为n，
2 3 4 5 1 2 6
则n－m＝－＝，
因为没有确定2(x＋x)，x＋x＋x＋x 的大小关系，所以无法判断m，n的大小，
1 6 2 3 4 5
例如1,2,3,4,5,6，可得m＝n＝3.5；
例如1,1,1,1,1,7，可得m＝1，n＝2；
例如1,2,2,2,2,2，可得m＝2，n＝，故A错误．
对于选项B，不妨设x≤x≤x≤x≤x≤x，
1 2 3 4 5 6
可知x，x，x，x 的中位数等于x，x，…，x 的中位数均为，故B正确．
2 3 4 5 1 2 6
对于选项C，因为x 是最小值，x 是最大值，
1 6
则x ，x ，x ，x 的波动性不大于x ，x ，…，x 的波动性，即x ，x ，x ，x 的标准差
2 3 4 5 1 2 6 2 3 4 5
不大于x，x，…，x 的标准差，
1 2 6
例如 2,4,6,8,10,12 ，则平均数n＝×(2＋4＋6＋8＋10＋12)＝7，
通过举反例说明选项说法的错误性．
标准差s＝
1
＝，
4,6,8,10，则平均数m＝×(4＋6＋8＋10)＝7，
标准差s＝
2
＝，显然>，即s>s.故C错误．
1 2
对于选项D，不妨设x≤x≤x≤x≤x≤x，
1 2 3 4 5 6
则x－x≥x－x，当且仅当x＝x，x＝x 时，等号成立，故D正确．
6 1 5 2 1 2 5 6
故选BD．
(2)对于A，该公司职工的测试成绩不低于60分的频率为(0.02＋0.015)×20＝0.70，∴该
公司职工的测试成绩不低于60分的人数约占总人数的70%，故A错误；对于B，测试成绩
在[20,60)的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，测试成绩在[60,80)的频率为0.02×20＝0.4，∴该
公司职工测试成绩的中位数约为60＋×20＝70(分)，故B正确；对于C，该公司职工测试成
绩的平均值约为30×0.005×20＋50×0.01×20＋70×0.02×20＋90×0.015×20＝68(分)，故C正确；
对于D，该公司职工测试成绩的众数约为＝70(分)，故D错误．故选BC．
(3)由题意，按比例分配的分层随机抽样的方式抽取样本，且该样本中男、女生的比为
＝，不妨设抽取的男、女生分别为 2n,3n，那么样本的总数为 5n.则所有样本的平均值为
×(80×2n＋60×3n)＝68，方差为×[10＋(80－68)2]＋×[20＋(60－68)2]＝112.故选D．
(4)解：①＝×(545＋533＋551＋522＋575＋544＋541＋568＋596＋548)＝552.3，
＝×(536＋527＋543＋530＋560＋533＋522＋550＋576＋536)＝541.3，则＝－＝552.3－541.3＝11，
z＝x－y 的值分别为9,6,8，－8,15,11,19,18,20,12，
i i i
故s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋0＋(19－11)2＋(18－
11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.
②由①知，＝11,2＝2＝，满足≥2，
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显
著提高．
1．方差公式可变形为s2＝－2.
如何推导呢？s2＝[(x －)2＋(x －)2＋…＋(x －)2]＝[(x＋x＋…＋x)－2(x ＋x ＋…＋x)＋
1 2 n 1 2 n
n2]＝－×2n2＋2＝－2.
2．分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均数为，方差为s；第二层的样本
量为n，平均数为，方差为s，则样本的平均数为＝，方差为s2＝[s＋(－)2]＋[s＋(－)2].
对点练3 (1)为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人
某天生产该产品的数量，得到频率分布直方图如图所示，则：
①这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________；
②这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________；
③这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．
(2)为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了 40名
学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了 6个区间：[0,10]，
(10,20]，(20,30]，(30,40]，(40,50]，(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：
图1 甲高中图2 乙高中
①求图1中a的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数．
②估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值 及方差s(同一组中的数据用该
乙
组区间的中点值作代表)．
③若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m，n的两个样本，经计算得它们的平均数
和方差分别为，s与，s，记总的样本平均数为，样本方差为s2，证明：
a.＝＋；
b．s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}．
(3)我国航空事业的发展，离不开航天器上精密的零件．某车间使用数控机床制造一种
圆形齿轮零件A．由于零件A的高精度要求，该车间负责人需要每隔一个生产周期对所生
产零件的直径进行统计，排查机床可能存在的问题并及时调试维修．已知该负责人在两个
相邻生产周期(分别记为周期Ⅰ和周期Ⅱ)中分别随机检查了10枚零件A，测量得到的直径
(单位：mm)如下表所示：
周期Ⅰ 4.9 5.1 5.0 5.0 5.1 5.0 4.9 5.2 5.0 4.8
周期Ⅱ 4.8 5.2 5.0 5.0 4.8 4.8 5.2 5.1 5.0 5.1
周期Ⅰ和周期Ⅱ中所生产零件A直径的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为
1 2
s和s.
①求 ，，s，s；
1 2
②判断机床在周期Ⅱ是否出现了比周期Ⅰ更严重的问题
(如果 >2.050，则认为机床在周期Ⅱ出现了比周期Ⅰ更严重的问题，否则不认为出
现了更严重的问题).
(1)解析：①在[55,75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
②设中位数为x，易知x∈[55,65)，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，解得x＝62.5.
③平均数为0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64.
答案：①13 ②62.5 ③64
(2)解：①由频率分布直方图可得(0.005＋0.020＋a＋0.025＋0.015)×10＝1，解得a＝
0.035，
估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是＝35.
② ＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.2＋45×0.15＋55×0.05＝27.5，
乙s＝(5－27.5)2×0.1＋(15－27.5)2×0.2＋(25－27.5)2×0.3＋(35－27.5)2×0.2＋(45－
27.5)2×0.15＋(55－27.5)2×0.05＝178.75.
③证明：a.＝＝＋，即得证．
b．s2＝(x－)2＋(y－)2
i j
＝(x－＋－)2＋(y－＋－)2，
i i
∵(x－)＝－m＝0，
i i
∴(x－)(－)＝2(－)(x－)＝0，
i i
同理可得(y－)(－)＝0，
j
∴s2＝(x－)2＋(－)2＋(y－)2＋(－)2
i j
＝[ms＋m(－)2＋ns＋n(－)2]，所以s2＝{m[s＋(－)2]＋n[s＋(－)2]}，即得证．
(3)解：①由表可知
＝×(4.9＋5.1＋5.0＋5.0＋5.1＋5.0＋4.9＋5.2＋5.0＋4.8)＝5.0，
1
＝×(4.8＋5.2＋5.0＋5.0＋4.8＋4.8＋5.2＋5.1＋5.0＋5.1)＝5.0，
2
s＝(4×0.12＋2×0.22)＝0.012，
s＝(2×0.12＋5×0.22)＝0.022.
②由①可知
F＝＝＝<2<2.050，
所以无法推测机床在周期Ⅱ出现了比周期Ⅰ更严重的问题．
