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第06讲：统计和概率高频考点突破
【考点梳理】
考点一．随机抽样
(1)简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每
次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)系统抽样：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出的规则，从每一部
分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样．
(3)分层抽样：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量
的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
考点二．用样本的频率分布估计总体分布
(1)在频率分布直方图中，纵轴表示 频率 / 组距 ，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长方形
的面积总和等于1.
(2)频率分布折线图和总体密度曲线
①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．
②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于
一条光滑曲线，即总体密度曲线．
(3)茎叶图
茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．
考点三．用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的数．
(2)中位数：将数据从小到大排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数；若有偶数个数，则中间两数的平均数
是中位数．
(3)平均数：＝，反映了一组数据的平均水平．
(4)标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，s＝ .
(5)方差：s2＝[(x－)2＋(x－)2＋…＋(x－)2](x是样本数据，n是样本容量，是样本平均数)．
1 2 n n
考点四．概率和频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n为事件A出现
A
的频数，称事件A出现的比例f(A)＝为事件A出现的频率．
n
(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率
n
f(A)来估计概率P(A)．
n
考点五．事件的关系与运算
符号表
定义
示
B A
若事件A发生，事件B一定发生，则称事件B
包含关系 (或
⊇
包含事件A(或称事件A包含于事件B)
A B)
相等关系 若B A且A B，则称事件A与事件B相等 A＝B
⊆
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发
并事件 ⊇ ⊇ A∪B
生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或A＋
(和事件) (或和事件)
B)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发
交事件 A∩B
生，则称此事件为事件A与事件B的交事件
(积事件) (或AB)
(或积事件)
A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互 A∩B＝
互斥事件
斥 ∅
A∩B＝
∅且
P(A∪B)
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，则
对立事件 ＝
称事件A与事件B互为对立事件
P ( A ) ＋
P ( B )
＝ 1
考点六.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围： 0≤ P (A )≤ 1.
(2)必然事件的概率P(E)＝1.
(3)不可能事件的概率P(F)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝ P ( A ) ＋ P ( B )．
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝ 1 － P (B )．
【题型梳理】
题型一：随机抽样
1．（2023秋·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期末）总体编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用
下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列和第4列数字开始由左到右依次选取两个数
字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．02 B．15 C．16 D．19
2．（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）为庆祝党的二十大胜利召开，某校举办“学习党的历史，争做新时代好少
年”主题教育活动．为评估本次教育活动的效果，拟抽取150名同学进行党史测试．已知该校高一学生360人，高
二学生300人，高三学生340人，采用分层抽样的方法，应抽取高一学生人数为（ ）A．60 B．54 C．51 D．45
3．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）从某班 名同学中选出 人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，
先将 名同学按 、 、 、 进行编号，然后从随机数表第 行的第 列和第 列数字开始往右依次选取两个
数字，则选出的第 个同学的编号为（ ）
0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6297
7424 6292 4281 1457 2042 5332 3732 1676
（注：表中的数据为随机数表第 行和第 行）
A． B． C． D．
题型二：用样本估计总体
4．（2023春·江苏连云港·高一校考期末）某高校为传承中华文化，举办了“论语吟唱”的比赛在比赛中，由A，B
两个评委小组（各9人）给参赛选手打分．根据两个评委小组对同一名选手的打分绘制成如图所示折线图，则下
列说法正确的是（ ）
A．A组打分的众数为50
B．B组打分的中位数为75C．A组的意见相对一致
D．B组打分的均值小于A组打分的均值
5．（2023春·浙江丽水·高一统考期末）某中学组织三个年级的学生进行党史知识竞赛. 经统计，得到前 名学
生分布的扇形图（如图）和前 名中高一学生排名分布的频率条形图（如图），则下列命题错误的是（ ）
A．成绩前 名的学生中，高一人数比高二人数多 人
B．成绩前 名的学生中，高一人数不超过 人
C．成绩前 名的学生中，高三人数不超过 人
D．成绩第 名到第 名的学生中，高二人数比高一人数多
6．（2023秋·北京·高一校考期末）最早发现于2019年7月的某种流行疾病给世界各国人民的生命财产带来了巨大
的损失.近期某市由于人员流动出现了这种疾病，市政府积极应对，通过3天的全民核酸检测，有效控制了疫情的
发展，决定后面7天只针对41类重点人群进行核酸检测，下面是某部门统计的甲､乙两个检测点7天的检测人数统
计图，则下列结论不正确的是（ ）
A．甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数
B．甲检测点的数据极差大于乙检测点的数据极差
C．甲检测点数据的中位数大于乙检测点数据的中位数
D．甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差
题型三：平均数 方差和百分位数
7．（2023秋·北京·高一校考期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为 ，且数据 的平均数为 ，方差为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若数据 ，方差 ，则所有的数据 都为0
B．若数据 ，的平均数为 ，则 的平均数为6
C．若数据 ，的方差为 ，则 的方差为12
D．若数据 ，的 分位数为90，则可以估计总体中有至少有 的数据不大于90
8．（2023秋·北京石景山·高一统考期末）甲、乙两人进行飞镖游戏，甲的10次成绩分别为8，6，7，7，8，10，
10，9，7，8，乙的10次成绩的平均数为8，方差为0.4，则下列说法不正确的是（ ）
A．甲的10次成绩的极差为4 B．甲的10次成绩的 分位数为8
C．甲和乙的20次成绩的平均数为8 D．乙比甲的成绩更稳定
9．（2023春·四川宜宾·高一校考期末） 是空气质量的一个重要指标，我国 标准采用世卫组织设定的
最宽限值，即 日均值在 以下空气质量为一级，在 之间空气质量为二级，在
以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日 日均值(单位： )的统计数据，则下列叙述
不正确的是（ ）
A．从这10天的日均 监测数据中随机抽出一天的数据，空气质量为一级的概率是
B．从5日到9日， 日均值逐渐降低
C．这10天中 日均值的平均数是49.3
D．这10天的 日均值的中位数是题型四：互斥事件和对立事件
10．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数
学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（ ）
A．至少有1名男生与全是男生；
B．至少有1名男生与全是女生；
C．恰有1名男生与恰有2名男生；
D．至少有1名男生与至少有1名女生．
11．（2020春·甘肃定西·高一校考期末）袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则
①恰有1个白球和全是白球；
②至少有1个白球和全是黑球；
③至少有1个白球和至少有2个白球；
④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为（ ）
A．② B．① C．③ D．④
12．（2020秋·山西长治·高一山西省长治市第二中学校校考期末）将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面
出现的点数不超过2，事件B表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C表示向上的一面出现奇数点，则（ ）
A．A与B是对立事件 B．A与B是互斥而非对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件 D．B与C是对立事件
题型五：随机事件的概率
13．（2023春·河南·高一校联考期末）连续抛掷一枚均匀的骰子两次，向上的点数分别记为a，b， ，则
（ ）
A．事件“ 是偶数”与“a为奇数，b为偶数”互为对立事件
B．事件“ ”发生的概率为
C．事件“ ”与“ ”互为互斥事件
D．事件“ 且 ”的概率为
14．（2023春·江苏南通·高一校考期末）围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之”，
围棋至今已有四千多年历史，蕴含者中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋
手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
15．（2021春·陕西西安·高一统考期末）从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 “抽到一等品”，事件
“抽到二等品”，事件 “抽到三等品”，且已知 ， ， ，则事件“抽到的不是
一等品”的概率为（ ）．
A．0.65 B．0.35 C．0.3 D．0.05
题型六：事件的相互独立性
16．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）已知事件 ， ，且 ， ，如果 与 互斥，那么
，如果 与 相互独立，那么 ，则 ， 分别为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
17．（2023春·浙江温州·高一统考期末）在一个盒子中有红球和黄球共5个球，从中不放回的依次摸出两个球，事
件 “第二次摸出的球是红球”，事件 “两次摸出的球颜色相同”，事件 “第二次摸出的球是黄球”，
若 ，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
18．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）某商场推出抽奖活动，在甲抽奖箱中有四张有奖奖票.
六张无奖奖票；乙抽奖箱中有三张有奖奖票，七张无奖奖票.每人能在甲乙两箱中各抽一次，以A表示在甲抽奖箱
中中奖的事件，B表示在乙抽奖箱中中奖的事件，C表示两次抽奖均末中奖的事件.下列结论中不正确的是（ ）
A． B．事件A与事件 相互独立
C． 与 和为 D．事件A与事件B互斥
题型七：频率和概率
19．（2021春·陕西咸阳·高一统考期末）某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生0 9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手
术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模
拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为
（ ）
A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.6
20．（2020秋·辽宁大连·高一统考期末）关于频率和概率，下列说法正确的是（ ）
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为 ；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12000次硬币，得到正面向上的频率为0.5016；抛掷24000次硬币，得
到正面向上的频率为0.5005.如果他抛掷36000次硬币，正面向上的频率可能大于0.5005；
③某类种子发芽的概率为0.903，当我们抽取2000粒种子试种，一定会有1806粒种子发芽；
④将一个均匀的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000次.
A．②④ B．①④ C．①② D．②③
21．（2020春·甘肃武威·高一校考期末）一个容量为20的样本数据，分组后组距为10，区间与频数分布如下：
(10，20]，2；(20，30]，3；(30，40]，4；(40，50]，5；(50，60]，4；(60，70]，2.则样本在(10，50]上的频率为（
）
A． B． C． D．
题型八：统计和概率的综合
22．（2023春·河南周口·高一校联考期末）居民小区物业服务联系着千家万户，关系着居民的“幸福指数”．某物
业公司为了调查小区业主对物业服务的满意程度，以便更好地为业主服务，随机调查了100名业主，根据这100名
业主对物业服务的满意程度给出评分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五组，得到如图所
示的频率分布直方图.(1)在这100名业主中，求评分在区间[70，80)的人数与评分在区间[50，60)的人数之差；
(2)估计业主对物业服务的满意程度给出评分的众数和90%分位数；
(3)若小区物业服务满意度（满意度＝ ）低于0.8，则物业公司需要对物业服务人员进行再培训．请
根据你所学的统计知识，结合满意度，判断物业公司是否需要对物业服务人员进行再培训，并说明理由．（同一
组中的数据用该区间的中点值作代表）
23．（2023春·河南·高一校联考期末）大学毕业生小张和小李通过了某单位的招聘笔试考试，正在积极准备结构化
面试，每天相互进行多轮测试，每轮由小张和小李各回答一个问题，已知小张每轮答对的概率为 ，小李每轮答
对的概率为 ．在每轮活动中，小张和小李答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求两人在两轮活动中都答对的概率；
(2)求两人在两轮活动中至少答对3道题的概率；
(3)求两人在三轮活动中，小张和小李各自答对题目的个数相等且至少为2的概率．
24．（2023春·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外
阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，
女生60名经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位，小时）的频数分布表和60名女生一周课外
阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图：（以各组的区间中点值代表该组的各个值）女生一周自读时间频率
分布直方图
男生一周阅读时间频数分布表9
25
3
3
(1)从一周课外阅读时间为 的学生中按比例分配抽取6人，则男生，女生各抽出多少人?
(2)分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数 ；
(3)估计总样本的平均数 和方差 ．
参考数据和公式;男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为 和 ．
， 和 分别表示男生和女生一周
阅读时间的样本，其中 ．
【专题突破】
一、单选题
25．（2023春·江苏连云港·高一校考期末）“抛掷一颗骰子，结果向上的点数小于3”记为事件A，“抛掷一颗骰子，
结果向上的点数大于1且小于5”记为事件B，则（ ）．
A．事件A，B互斥 B．事件A，B对立 C．事件A，B相互独立D．事件A与 不相互独立
26．（2023春·河南·高一校联考期末）有一组样本数据如下：56，62，63，63，65，66，68，69，71，74，76，
76，77，78，79，79，82，85，87，88，95，98，则其25%分位数与75%分位数的和为（ ）
A．144 B．145 C．148 D．15327．（2023春·河南焦作·高一统考期末）随机抽查了某校 名高三学生的视力情况，得到的频率分布直方图如图
所示，由于不慎将部分数据丢失，但知道后 组的频数和为 ，设视力在 到 之间的学生人数为 ，各组中
频率最大的为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
28．（2023春·江苏常州·高一常州市第一中学校考期末）随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也
得到了极大的发展，据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数(单位：百万)折线图如图所示，则下列
结论不正确的是（ ）
A．近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数
B．近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差
C．近十年，农村居民国内游客人数的中位数为1240
D．2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加
29．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）已知某运动员每次投篮命中的概率都为 ，现采用随机模拟的方式估计
该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定 表示命中，
表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：
，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中
的概率为（ ）
A． B． C． D．
30．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）从高一（男、女生人数相同,人数很多）抽三名学生参加数学竞赛，记事件A为“三名学生都是女生”，事件B为“三名学生都是男生”，事件C为“三名学生至少有一名是男生”，事件D
为“三名学生不都是女生”，则以下错误的是（ ）
A． B．
C．事件A与事件B互斥 D．事件A与事件C对立
31．（2022春·安徽滁州·高一统考期末）某校课外活动兴趣小组设计一控制模块，电路如右图所示，当且仅当电子
元件A，B至少有一个正常工作，且电子元件C正常工作，控制模块才能正常工作．已知电子元件A，B，C正常
工作的概率分别为0.8，0.7，0.6，则该控制模块能正常工作的概率为（ ）
A．0.704 B．0.644 C．0.564 D．0.336
32．（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）对于事件 ， ，下列命题不正确的是（ ）
A．若 ， 互斥，则 B．若 ， 对立，则
C．若 ， 独立，则 D．若 ， 独立，则
33．（2022秋·辽宁大连·高一统考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京开幕．党
的二十大报告鼓舞人心，内涵丰富．某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），
现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（ ）
A． B． C． D．
34．（2022春·湖北恩施·高一恩施土家族苗族高中校考期末）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算
工具.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位，十位､百位､千位.....，上面一粒珠子（简称上珠）代
表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十
位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.现将算盘的个位､十位，百位，千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件
“表示的四位数能被3整除”， “表示的四位数能被5整除”，则有：① ② ；③
④ .上述结论正确的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
35．（2023春·江苏苏州·高一统考期末）为了进一步培养全校学生的法律意识，强化学生自我保护能力，知法守法，
某中学举行法规知识竞赛（满分 分），对全校参赛的 名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照
、 、 、 、 分成 组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列
说法正确的是（ ）
A．
B．得分在区间 内的学生人数为
C．该校学生法规竞赛成绩的中位数大于
D．估计该校学生法规竞赛成绩的平均数落在区间 内
36．（2023春·浙江温州·高一统考期末）国家统计网最新公布的一年城市平均气温显示昆明与郑州年平均气温均为
16.9摄氏度，该年月平均气温如表（表1）所示，并绘制如图所示的折线图，则（ ）
表1
月
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
份
昆
9.3 12.4 16.5 19 21.6 21.5 21.3 21.2 20.4 16.8 12.4 10.5
明
郑
2.9 8.7 11.9 16.5 23.6 28.9 28.6 26.7 23.1 15.2 11.3 5.7
州A．昆明月平均气温的极差小于郑州月平均气
温的极差
B．昆明月平均气温的标准差大于郑州月平均气温的标准差
C．郑州月平均气温的中位数小于昆明月平均气温的中位数
D．郑州月平均气温的第一四分位数为10
37．（2023春·河南·高一校联考期末）2021年3月，中共中央、国务院印发了《关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果
同乡村振兴有效衔接的意见》，某村在各级政府的指导和支持下，开展新农村建设，两年来，经济收入实现翻番．
为更好地了解经济收入变化情况，统计了某村新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形图：
则下面结论中正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入增加了14%
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入持平
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
38．（2023秋·辽宁锦州·高一统考期末）为了解某地区经济情况，对该地区家庭年收入进行抽样调查，将该地区家
庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：则下列结论正确的是（ ）
A．图中 的值是0.16
B．估计该地区家庭年收入的中位数为7.5万元
C．估计该地区家庭年收入的平均值不超过7万元
D．估计该地区家庭年收入不低于9.5万元的农户比例为20%
39．（2023春·江苏连云港·高一校考期末）下列说法错误的是（ ）
A．甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125
B．若事件 为两个互斥事件，且 则
C． 、 分别是事件 、 的对立事件，如果 、 两个事件独立，则
D．一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
40．（2023春·江苏南通·高一校考期末）已知事件 、 发生的概率分别为 ， ，则（ ）
A．若 ，则事件 与 相互独立
B．若 与 相互独立，则
C．若 与 互斥，则
D．若 发生时 一定发生，则
三、填空题
41．（2023春·河南周口·高一校联考期末）从分别写有1.2.3.4.5.6.7的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽
取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为___________．
42．（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）2022年11月8日至13日第十四届中国国际航空航天博览会在珠海国际航
展中心举行．歼-20､运-20和空警-500､轰-6K､红-9B等主战装备集中亮相，运油-20､歼-16､攻击-2无人机首次振翅
中国航展，空军八一飞行表演队和空军航空大学“红鹰”飞行表演队劲舞长空，中国航展成为中国航空航天产业
发展和国防实力最重要的展示平台，更是展示中国力量，彰显中国价值，弘扬中国精神的一个窗口，国产某型防
空导弹的单发命中率为90%，为了确保对敌机的摧毁效果，实战中往往采取双发齐射的方式，则双发齐射的命中率为___________．
43．（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）蚌埠市2022年人冬第一周出现了“小阳春”，气温跟往年比偏高，这一
周（11月6日至11月12日）的日最高气温（单位：℃）分别为 ， ， ， ， ， ， ，则这周的日
最高气温的 分位数是___________℃.
44．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）下表是某班10个学生的一次测试成绩，对单科成绩分别评等级：
学生学
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
号
数学成
140 136 136 135 134 133 128 127 124
绩
语文成
102 110 111 126 102 134 97 95 98
绩
在这10名学生中，已知数学成绩为“A等”的有8人，语文成绩为“A等”的有7人，数学与语文两科成绩全是
“A等”的有6人，则下列说法中，所有正确说法的序号是__________.
①当 时， ；
②当 时， ；
③恰有1名学生两科均不是“A等”；
④学号1~6的学生两科成绩全“A等”.
四、解答题
45．（2023春·江苏南通·高一校考期末）为庆祝“五四”青年节，广州市有关单位举行了“五四”青年节团知识竞
赛活动，为了解全市参赛者成绩的情况，从所有参赛者中随机抽样抽取 名，将其成绩整理后分为 组，画出频
率分布直方图如图所示（最低 分，最高 分），但是第一、二两组数据丢失，只知道第二组的频率是第一组
的 倍.(1)求第一组、第二组的频率各是多少？
(2)现划定成绩大于或等于上四分位数即第 百分位数为“良好”以上等级，根据直方图，估计全市“良好”以上
等级的成绩范围（保留 位小数）；
(3)现知道直方图中成绩在 内的平均数为 ，方差为 ，在 内的平均数为 ，方差为 ，求成
绩在 内的平均数和方差.
46．（2023春·河南·高一校联考期末）后疫情时代，为了可持续发展，提高人民幸福指数，国家先后出台了多项减
税增效政策．某地区对在职员工进行了个人所得税的调查，经过分层随机抽样，获得2000位在职员工的个人所得
税（单位：百元）数据，按 ， ， ， ， ， ， ， ，分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：
(1)求直方图中t的值：
(2)根据频率分布直方图估计该市的70%职工年个人所得税不超过m（百元），求m的最小值；
(3)已知该地区有20万在职员工，规定：每位在职员工年个人所得税不超过5000元的正常收取，若超过5000元，
则超出的部分退税20%，请估计该地区退税总数约为多少．
47．（2023春·江苏连云港·高一校考期末）从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）
整理后画出的频率直方图如图所示．观察图形，回答下列问题：(1)估计该次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）；
(2)求89.5的百分位数．
(3)现从样本中利用分层抽样的方法从 ， 的两组中抽取5个人，再从这5个人中随机抽取两人，
求抽取到两人的成绩不在同一组的概率．
48．（2023秋·辽宁·高一大连二十四中校联考期末）某校团委举办“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛.比赛共
分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，
选手甲、乙胜出的概率分别为 ， ，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 ， .甲、乙两人在每轮比赛
中是否胜出互不影响.
(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.
49．（2023秋·辽宁·高一校联考期末）某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖
项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关．已知第一关的通过率为0.7，第二关、
第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.2，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加．假设选手是否通过每一关
相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动．
(1)求甲未获得奖金的概率；
(2)求甲和乙最后所得奖金之和为900元的概率．
50．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）通信信号利用BEC信道传输，若BEC信道传输成功，则接收端收到的
信号与发来的信号完全相同．若BEC信道传输失败，则接收端收不到任何信号．传输技术有两种：一种是传统通
信传输技术，采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图1）．另一种是华为公司5G信号现使用的土耳其通讯技术专家Erdal Arikan教授的发明的极化码技术（以两个信道为例，
如图2）．传输规则如下，信号 直接从信道2传输；信号 在传输前先与 “异或”运算得到信号 ，再从
信道1传输．若信道1与信道2均成功输出，则两信号通过“异或”运算进行解码后，传至接收端，若信道1输出
失败信道2输出成功，则接收端接收到信道2信号，若信道1输出成功信道2输出失败，则接收端对信号进行自身
“异或”运算而解码后，传至接收端．
（注：定义“异或”运算： ）．假设每个信道传输成功的概率
均为 ．
(1)对于传统传输技术，求信号 和 中至少有一个传输成功的概率；
(2)对于Erdal Arikan教授的极化码技术；
①求接收端成功接收信号 的概率；
②若接收端接收到信号 才算成功完成一次任务，求利用极化码技术成功完成一次任务的概率．
