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专题九 平面解析几何
9.1 直线和圆
基础篇
考点 一 直线的方程 的坐标可以是 或 .故选 .
(２ꎬ０) (０ꎬ－２) ＡＤ
３.( 届天津咸水沽一中开学检测ꎬ )若过
考向一 直线的倾斜角与直线方程
２０２３ １４
点 Ｐ ａ ａ 与点 Ｑ ａ 的直线的倾斜
１.( 湖南永州一中月考ꎬ )过圆 ｘ ２ (１－ ꎬ１＋ ) (３ꎬ２ )
２０２２ ５ ( ＋２) ＋
角是钝角 则实数 ａ 的取值范围是 .
ｙ２ 的圆心且与直线 ｘ ｙ 垂直的直线方 ꎬ
＝４ ＋ ＝０
答案
程为 (－２ꎬ１)
( )
解析 过点 Ｐ ａ ａ 和 Ｑ ａ 的直
ｘ ｙ ｘ ｙ ∵ (１－ ꎬ１＋ ) (３ꎬ２ )
Ａ. ＋ －２＝０ Ｂ. － －２＝０
线的倾斜角为钝角 直线的斜率小于 即
ｘ ｙ ｘ ｙ ꎬ∴ ０ꎬ
Ｃ. － ＋２＝０ Ｄ. ＋ ＋２＝０
ａ ａ
答案 Ｃ 圆 ｘ ２ ｙ２ 的圆心为 ２ － －１ ａ ａ ａ .
( ＋２) ＋ ＝４ (－２ꎬ ａ <０⇔( －１)( ＋２)<０⇔－２< <１
与直线 ｘ ｙ 垂直的直线的斜率为 ３－１＋
０)ꎬ ＋ ＝０ １ꎬ
考向二 两条直线间的位置关系
所以所求直线方程为 ｙ ｘ 即 ｘ ｙ
－０＝１×( ＋２)ꎬ －
１.( 山东青岛胶州一中月考ꎬ )已知直线
故选 . ２０２２ ３
＋２＝０ꎬ Ｃ
２.(多选)( 石家庄二中开学考ꎬ )瑞士
ｌ
１:
ａ２ｘ
＋
ｙ
－２＝０
与直线 ｌ
２:
ｘ
－(２
ａ
＋３)
ｙ
＋１＝０
２０２２ １２
垂直 则 ａ
数学家欧拉在其所著的 三角形的几何学 一 ꎬ ＝ ( )
« »
或 或
书中提出 任意三角形的外心 重心 垂心在 Ａ.３ Ｂ.１ －３ Ｃ.－１ Ｄ.３ －１
: 、 、
答案 Ｄ 根据直线 ｌ ａ２ｘ ｙ 与直线
同一条直线上.后人称这条直线为欧拉线.已 １: ＋ －２＝０
知
△
ＡＢＣ 的顶点Ａ
(－４ꎬ０)ꎬ
Ｂ
(０ꎬ４)ꎬ
其欧拉线
ｌ
２:
ｘ
－(２
ａ
＋３)
ｙ
＋１＝０
垂直
ꎬ
则有 ａ２
－(２
ａ
＋３)
解得 ａ 或 .故选
方程为ｘ ｙ 则顶点Ｃ 的坐标可以是 ＝ ０ꎬ ＝３ －１ Ｄ.
－ ＋２＝０ꎬ
２.(多选)( 届山东青岛调研ꎬ )已知直线
２０２３ ９
( )
ｌ ｘ ｙ ｌ ｍ ｘ ｍ ｙ ｍ
Ａ.(２ꎬ０) Ｂ.(０ꎬ２) １:４ －３ ＋４＝０ꎬ ２:( ＋２) －( ＋１) ＋２ ＋５
ｍ Ｒ 则
Ｃ.(－２ꎬ０) Ｄ.(０ꎬ－２) ＝０( ∈ )ꎬ ( )
答案 ＡＤ 设 Ｃ ａ ｂ ＡＢＣ 的外心为 Ｍ. 直线 ｌ 过定点
( ꎬ )ꎬ△ Ａ. ２ (－３ꎬ－１)
易知 ＡＢ 的垂直平分线为 ｙ ｘ ＡＢＣ 的外 当 ｍ 时 ｌ ｌ
＝－ ꎬ△ Ｂ. ＝１ ꎬ １⊥ ２
心 Ｍ 为欧拉线 ｘ ｙ 与直线 ｙ ｘ 的交 当 ｍ 时 ｌ ｌ
－ ＋２＝０ ＝－ Ｃ. ＝２ ꎬ １∥ ２
当 ｌ ｌ 时 两直线 ｌ ｌ 之间的距离为
点 易知 Ｍ ＭＣ ＭＡ
ꎬ (－１ꎬ１)ꎬ∴ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝ １０ꎬ Ｄ. １∥ ２ ꎬ １ꎬ ２ １
答案 ＡＣＤ 对于 将 ｌ 的方程 ｍ ｘ
∴ △ ＡＢＣ 的外接圆方程为 ( ｘ ＋１) ２ ＋( ｙ －１) ２ ＝ Ａꎬ ２ ( ＋２) －
ｍ ｙ ｍ ｍ Ｒ 化为 ｍ ｘ ｙ
点 Ｃ 在 ＡＢＣ 的外接圆上 ａ ２ ( ＋１) ＋２ ＋５＝０( ∈ ) ( － ＋２)
１０ꎬ∵ △ ꎬ∴ ( ＋１)
ｘ ｙ
ｂ ２ .由 Ａ Ｂ Ｃ ａ ＋２ － ＋５＝０ꎬ 专
＋( －１) ＝１０① (－４ꎬ０)ꎬ (０ꎬ４)ꎬ ( ꎬ 题
æａ ｂ ö {ｘ ｙ {ｘ 九
ｂ 可知 ＡＢＣ 的重心为ç －４ ＋４÷ 代入欧 令 － ＋２＝０ꎬ 则 ＝－３ꎬ因此直线 ｌ 过定
)ꎬ △ è ꎬ øꎬ ｘ ｙ ｙ ２ 平
３ ３ ２ － ＋５＝０ꎬ ＝－１ꎬ 面
解
拉线方程 ｘ ｙ 得 ａ ｂ 联立 点 正确 对于 当 ｍ 时 ｌ
析
－ ＋２＝０ꎬ － －２＝０②ꎬ ① (－３ꎬ－１)ꎬＡ ꎻ Ｂꎬ ＝１ ꎬ ２:
几
解得 ａ ｂ 或 ａ ｂ . 顶点 Ｃ ｘ ｙ 故两 何
② ＝２ꎬ ＝０ ＝０ꎬ ＝－２ ∴ ３ －２ ＋７＝０ꎬ∵ ４×３＋(－３)×(－２)≠０ꎬ
３３５
直线不垂直 故 错误 对于 当 ｍ 时 ｋ
ꎬ Ｂ ꎻ Ｃꎬ ＝２ ꎬ 即 ｋ ｋ２ 所以 ｄ ｜ ＋１｜
｜ ＋１｜ ≤ ＋１ ２ꎬ ＝ ≤
ｋ２
ｌ ｘ ｙ ４ －３ ９ 故两直线平行 ＋１
２:４ －３ ＋９＝０ꎬ ＝ ≠ ꎬ ꎬ
４ －３ ４ 故点 到直线 ｙ ｋ ｘ 距离的最
２ꎬ (０ꎬ－１) ＝ ( ＋１)
ｍ ｍ
正确 对于 当 ｌ ｌ 时 ＋２ －( ＋１) 大值为 .故选 .
Ｃ ꎻ Ｄꎬ １∥ ２ ꎬ ＝ ２ Ｂ
４ －３
解法二 由题意知 直线 ｌ ｙ ｋ ｘ 是过点
ｍ : ꎬ : ＝ ( ＋１)
２ ＋５ ｍ 此时ｌ ｘ ｙ 则两直
≠ ⇒ ＝２ꎬ ２:４ －３ ＋９＝０ꎬ Ｐ
(－１ꎬ０)
且斜率存在的直线
ꎬ
点 Ｑ
(０ꎬ－１)
到
４
直线 ｌ 的最大距离在直线 ｌ 与直线 ＰＱ 垂直
线之间的距离为 ５ 故 正确.
＝１ꎬ Ｄ 时取得 此时 ｋ 最大距离为 ＰＱ 故
２ ２
４ ＋(－３) ꎬ ＝１ꎬ ｜ ｜ ＝ ２ꎬ
故选 选 .
ＡＣＤ. Ｂ
３.( 届贵州遵义新高考协作体入学质量监 ２.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)若过点 的圆
２０２３ ２０２０ Ⅱ ５ ５ (２ꎬ１)
测ꎬ )直线 ｌ ｍｘ ｙ ｌ ｘ ｍ ｙ 与两坐标轴都相切 则圆心到直线 ｘ ｙ
１３ １: ＋２ ＋１＝０ꎬ ２: ＋( －１) － ꎬ ２ － －３＝
若 ｌ ｌ 则 ｍ . 的距离为
１＝０ꎬ １∥ ２ꎬ ＝ ０ ( )
答案
２ ５ ２ ５ ３ ５ ４ ５
解析 若 ｌ ｌ 则必有 ｍ ｍ 成立 Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
５ ５ ５ ５
１∥ ２ꎬ ( －１)＝ ２ ꎬ
答案 Ｂ 设圆心为 Ｐ ｘ ｙ 半径为 ｒ
即 ｍ２
－
ｍ
－２＝(
ｍ
＋１)(
ｍ
－２)＝ ０ꎬ
解得 ｍ
＝－１
( ０ꎬ ０)ꎬ ꎬ∵
圆与 ｘ 轴 ｙ 轴都相切 ｘ ｙ ｒ 又圆
或 ｍ
＝２
. ꎬ ꎬ∴ ｜ ０｜ ＝ ｜ ０｜ ＝ ꎬ
当 ｍ ＝－１ 时 ꎬ ｌ １:－ ｘ ＋２ ｙ ＋１＝０ꎬ ｌ ２: ｘ －２ ｙ －１＝０ꎬ 经过点 (２ꎬ１)ꎬ∴ ｘ ０ ＝ ｙ ０ ＝ ｒ 且 (２－ ｘ ０) ２ ＋(１－
两直线重合 不符合题意 舍去 ｙ ２ ｒ２ ｒ ２ ｒ ２ ｒ２ 解得 ｒ 或
ꎬ ꎬ ꎻ
０) ＝ ꎬ∴ ( －２) ＋( －１) ＝ ꎬ ＝１
ｒ .
当 ｍ 时 ｌ ｘ ｙ ｌ ｘ ｙ 两
＝５
＝２ ꎬ １:２ ＋２ ＋１＝０ꎬ ２: ＋ －１＝０ꎬ
ｒ 时 圆心 Ｐ 则圆心到直线 ｘ ｙ
直线平行 满足题意.故 ｍ .
① ＝１ ꎬ (１ꎬ１)ꎬ ２ －
ꎬ ＝２
４.( 辽宁六校期初联考ꎬ )已知直线 ｌ ｙ
２０２２ １３ １:
－３＝０
的距离 ｄ
＝
｜２－１－３｜
＝
２ ５
ꎻ
ａ２ ｘ 与直线 ｌ ｙ ｘ ａ 平行 则 ａ ２ ２ ＋(－１) ２ ５
＝(２ －１) －２ ２: ＝７ ＋ ꎬ
ｒ 时 圆心 Ｐ 则圆心到直线 ｘ ｙ
. ② ＝５ ꎬ (５ꎬ５)ꎬ ２ －
＝
答案
２ 的距离 ｄ ｜１０－５－３｜ ２ ５.故选 .
－３＝０ ＝ ＝ Ｂ
解析 两直线平行
{
２
ａ２
－１＝７ꎬ解得 ａ ２
２
＋(－１)
２ ５
∵ ꎬ∴ ａ ３.(多选)( 重庆梁平调研ꎬ )已知直线
≠－２ꎬ ２０２２ ９
. ｌ ｘ ｙ 则下列结论正确的是
＝２ : ３ － ＋１＝０ꎬ ( )
考向三 距离公式
直线 ｌ 的倾斜角是π
Ａ.
１.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)点 到直线 ｙ ３
２０２０ Ⅲ ８ ５ (０ꎬ－１)
5
若直线 ｍ ｘ ｙ 则 ｌ ｍ
年 ＝ ｋ ( ｘ ＋１) 距离的最大值为 ( ) Ｂ. : － ３ ＋１＝０ꎬ ⊥
高
考 点 到直线 ｌ 的距离是
3 Ａ.１ Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ.２ Ｃ. ( ３ꎬ０) ２
年 答案 Ｂ 解法一 点 到直线 ｙ ｋ ｘ 过点 与直线 ｌ 平行的直线方程是
模 : (０ꎬ－１) ＝ ( Ｄ. (２ ３ꎬ２)
拟
ｋ ｋ ｋ ｘ ｙ
A 的距离为 ｄ ｜ ０－(－１)＋ ｜ ｜ ＋１｜ ３ － －４＝０
＋１) ＝ ＝ ꎬ
版 ｋ２
＋１
ｋ２
＋１ 答案 ＡＣＤ 直线 ｌ ｘ ｙ 的斜率 ｋ
: ３ － ＋１＝０
高
考
注意到ｋ２
＋１≥２
ｋ
ꎬ
于是
２(
ｋ２
＋１)≥
ｋ２
＋２
ｋ
＋１＝
数 则其倾斜角为π 正确 直线 ｍ ｘ
学 ｋ ２ 当且仅当 ｋ 时取等号. ＝ ３ꎬ ꎬＡ ꎻ : －
｜ ＋１｜ ꎬ ＝１ ３
３３６
ｘ ２ ｙ２ ｘ ２ ｙ２
ｙ 的斜率ｋ′ ３ 显然 ｋ′ｋ 即ｌ Ｃ.( ＋２) ＋ ＝４ Ｄ.( ＋２) ＋ ＝８
３ ＋１＝０ ＝ ꎬ ꎬ ≠－１ꎬ 答案 Ｄ 由圆的圆心在 ｘ 轴上 设圆心为
３ ꎬ
与 ｍ 不垂直 不正确 点 到直线 ｌ ａ 因为圆过点 且与直线 ｙ ｘ
ꎬＢ ꎻ ( ３ꎬ０) ( ꎬ０)ꎬ (０ꎬ２) ＝ －２
ａ
的距离 ｄ ｜ ３× ３＋１｜ 正确 设过
相切
ꎬ
所以 ａ２
＋４ ＝
｜ －２｜
ꎬ
则 ａ
＝－２ꎬ
因此圆
＝ ＝２ꎬＣ ꎻ
２ ２ ２
( ３) ＋(－１)
的半径为 所求圆的方程为 ｘ ２ ｙ２
点 与直线 ｌ 平行的直线方程是 ｘ ２ ２ꎬ ( ＋２) ＋ ＝
(２ ３ꎬ２) ３ － 故选
ｙ ａ ａ 则有 ａ 解得 ａ ８ꎬ Ｄ.
＋ ＝０( ≠１)ꎬ ３×２ ３－２＋ ＝０ꎬ ２.(多选)( 届辽宁鞍山质量监测ꎬ )在
２０２３ １１
所以过点 与直线 ｌ 平行的直
＝－４ꎬ (２ ３ꎬ２) 平面直角坐标系 ｘＯｙ 中 Ａ Ｂ
ꎬ (１ꎬ０)ꎬ (－２ꎬ０)ꎬ
线方程是 ｘ ｙ 正确.故选
３ － －４＝０ꎬＤ ＡＣＤ. ＰＡ
点 Ｐ 满足｜ ｜ １ 设点 Ｐ 的轨迹为 Ｃ 则
４.( 届长沙雅礼中学月考ꎬ ) 对圆 ＰＢ ＝ ꎬ ꎬ
２０２３ １５ ｜ ｜ ２
ｘ ２ ｙ ２ 上任意一点 Ｐ ｘ ｙ 若
( －１) ＋( －１) ＝１ ( ꎬ )ꎬ ( )
点 Ｐ 到直线 ｌ ｘ ｙ 和 ｌ ｘ ｙ ａ Ｃ 的周长为
１:３ －４ －９＝０ ２:３ －４ ＋ ＝ Ａ. ４π
的距离和都与 ｘ ｙ 无关 则 ａ 的取值范围 ＰＯ Ｏ Ｐ 不重合时 平分 ＡＰＢ
０ ꎬ ꎬ Ｂ. ( ꎬ ) ∠
为 . ＡＢＰ 面积的最大值为
Ｃ.△ ６
答案 当 ＡＰ ＡＢ 时 直线 ＢＰ 与轨迹 Ｃ 相切
[６ꎬ＋∞) Ｄ. ⊥ ꎬ
解析 点 Ｐ ｘ ｙ 到直线 ｌ ｘ ｙ 和 答案 ＡＢＤ 设 Ｐ ｘ ｙ 因为 Ａ Ｂ
( ꎬ ) １:３ －４ －９＝０ ( ꎬ )ꎬ (１ꎬ０)ꎬ (－
ｘ ｙ ＰＡ
ｌ ｘ ｙ ａ 的距离和为 ｄ ｜３ －４ －９｜ 且 点 Ｐ 满 足 ｜ ｜ １ 所 以
２:３ －４ ＋ ＝０ ＝ ＋ ２ꎬ ０)ꎬ ＰＢ ＝ ꎬ
２ ２ ｜ ｜ ２
３ ＋(－４)
ｘ ｙ ａ ｘ ２ ｙ２
｜３ －４ ＋ ｜ 因为ｄ 与ｘ ｙ 无关 所以距离之 ( －１) ＋ １ 整理得 ｘ ２ ｙ２ 即
ꎬ ꎬ ꎬ ＝ ꎬ ( －２) ＋ ＝４ꎬ
２ ２ ｘ ２ ｙ２ ２
３ ＋(－４) ( ＋２) ＋
和与点 Ｐ ｘ ｙ 无关 Ｃ 的方程为 ｘ ２ ｙ２ .
( ꎬ ) ꎬ ( －２) ＋ ＝４
如图所示 当 ｌ ｘ 对于 Ｃ 是半径为 的圆 所以其周长为
ꎬ ２:３ － Ａꎬ ２ ꎬ
ｙ ａ 在圆的左上 所以 正确.
４ ＋ ＝０ ２π×２＝４πꎬ Ａ
方 包含与圆相切 对于 因为 Ａ Ｂ
( ) Ｂꎬ (１ꎬ０)ꎬ
时 Ｐ 点与直线 ｌ ｌ ＯＡ
ꎬ １ꎬ ２ 所以｜ ｜ １
(－２ꎬ０)ꎬ ＯＢ ＝ ꎬ
的距离之和均为 ｌ ｌ
｜ ｜ ２
１ꎬ ２
ＯＡ ＰＡ
之间的距离 即此时与 ｘ ｙ 的值无关 当直 所以 ｜ ｜ ｜ ｜ 延长
ꎬ ꎬ ꎬ ＯＢ ＝ ＰＢ ꎬ
｜ ｜ ｜ ｜
ａ ＢＰ 到 Ｑ 使 ＡＰ ＰＱ 连接 ＡＱ 如图所
线ｌ 与圆相切时 ｜３－４＋ ｜ 化简得 ａ ꎬ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ꎬ ꎬ
２ ꎬ ＝１ꎬ ｜ －１｜
５ ＯＢ ＰＢ
示 因为 ＡＰ ＰＱ 所以 ｜ ｜ ｜ ｜
解得 ａ 或 ａ 舍去 所以 ａ . ꎬ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ꎬ ＯＡ ＝ ＰＡ ＝
＝５ꎬ ＝６ ＝－４( )ꎬ ≥６ ｜ ｜ ｜ ｜
ＰＢ
｜ ｜ 所以 ＯＰ ＡＱ 所以 ＯＰＢ Ｑ
考点 二 圆的方程 ＰＱ ꎬ ∥ ꎬ ∠ ＝ ∠ ꎬ
｜ ｜
ＯＰＡ ＱＡＰ 因 为 ＡＰ ＰＱ 所 以 专
１.( 届河南安阳调研ꎬ )过点 且与直 ∠ ＝ ∠ ꎬ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ꎬ 题
２０２３ ５ (０ꎬ２) ＱＡＰ Ｑ 所以 ＯＰＡ Ｑ 所以 ＯＰＢ 九
∠ ＝∠ ꎬ ∠ ＝∠ ꎬ ∠
线ｙ ｘ 相切 圆心在ｘ 轴上的圆的方程为 平
＝ －２ ꎬ ＯＰＡ 即 ＰＯ 平分 ＡＰＢ 所以 正确.对 面
＝∠ ꎬ ∠ ꎬ Ｂ 解
( ) 析
于 Ｓ １ ＡＢ ｙ ３ ｙ 要使得 几
ｘ ２ ｙ２ ｘ ２ ｙ２ Ｃꎬ △ ＡＢＰ＝ ｜ ｜｜ Ｐ｜ ＝ ｜ Ｐ｜ꎬ 何
Ａ.( ＋１) ＋ ＝３ Ｂ.( ＋１) ＋ ＝５ ２ ２
３３７
ＡＢＰ 的面积最大 只需 ｙ 最大 由点 Ｐ
△ ꎬ ｜ Ｐ ｜ ꎬ 圆心 ３ 为半径的圆 故 符合题意. 故
ꎬ ꎬ Ｄ
的轨迹为 Ｃ :( ｘ －２) ２ ＋ ｙ２ ＝４ꎬ 可得 ｜ ｙ Ｐ｜ｍａｘ ＝２ꎬ ２
选 .
所以 ＡＢＰ 面积的最大值为 所以 错误.
ＢＤ
△ ３ꎬ Ｃ
４.( 广东珠海一模ꎬ )若方程 ｘ２ ｙ２ λｘｙ
对于 当 ＡＰ ＡＢ 时 Ｐ 或 Ｐ ２０２１ １４ ＋ ＋
Ｄꎬ ⊥ ꎬ (１ꎬ ３) (１ꎬ－
ｋｘ ｙ ｋ λ 表示圆 则 ｋ 的取值范围
不妨取Ｐ 则直线 ＢＰ 的方程为 ＋２ ＋４ ＋５ ＋ ＝０ ꎬ
３)ꎬ (１ꎬ ３)ꎬ
为 .
ｙ ３－０ ｘ 答案
＝ ( ＋２)ꎬ (－∞ꎬ１)∪(４ꎬ＋∞)
１－(－２)
解析 若方程 ｘ２ ｙ２ λｘｙ ｋｘ ｙ ｋ λ
＋ ＋ ＋２ ＋４ ＋５ ＋ ＝０
即 ｙ
＝
３
(
ｘ
＋２)ꎬ
因为圆心 Ｃ
(２ꎬ０)
到直线 表示圆
ꎬ
则 λ
＝０ꎬ
方程为 ｘ２
＋
ｙ２
＋２
ｋｘ
＋４
ｙ
＋５
ｋ
＝
３
ｋ ２ ２ ｋ 即ｋ２ ｋ 解得
０ꎬ∴ (２ ) ＋４ －４×５ >０ꎬ －５ ＋４>０ꎬ
３ ２ ３ ｋ 或 ｋ 故 ｋ 的 取 值 范 围 为
×２＋
< １ > ４ꎬ
ＢＰ 的距离 ｄ ３ ３ 所以 ｄ ｒ
＝ ＝２ꎬ ＝ ꎬ .
æ ö２ (－∞ꎬ１)∪(４ꎬ＋∞)
çç ３÷÷
１＋
è ø
５.( 全国甲文ꎬ ꎬ 分)设点 Ｍ 在直线 ｘ
３ ２０２２ １４ ５ ２
即直线 ＢＰ 与圆相切 所以 正确. 故 ｙ 上 点 和 均在 Ｍ 上
ꎬ Ｄ ＋ －１＝０ ꎬ (３ꎬ０) (０ꎬ１) ☉ ꎬ
选 则 Ｍ 的方程为 .
ＡＢＤ. ☉
３.(多选)( 广东珠海月考ꎬ )在平面内 答案 ｘ ２ ｙ ２
２０２２ １０ ꎬ ( －１) ＋( ＋１) ＝５
已知线段 ＡＢ 的长度为 则满足下列条件的 解析 解法一 设 Ｍ 的圆心为 ａ ｂ 半径
: ☉ ( ꎬ )ꎬ
４ꎬ
点 Ｐ 的轨迹为圆的是 ì ï ａ ｂ
２ ＋ －１＝０ꎬ
( ) ï
Ａ.∠ ＡＰＢ ＝９０ ° Ｂ.｜ ＰＡ ｜ ２ ＋｜ ＰＢ ｜ ２ ＝１０ 为 ｒ ( ｒ > ０)ꎬ 则 í ï(３－ ａ ) ２ ＋(０－ ｂ ) ２ ＝ ｒ２ ꎬ 解
ï
Ｐ→Ａ Ｐ→Ｂ ＰＡ ＰＢ î (０－ ａ ) ２ ＋(１－ ｂ ) ２ ＝ ｒ２ ꎬ
Ｃ. ＝－６ Ｄ.｜ ｜ ＝３｜ ｜
ìａ
答案 ＢＤ 以线段 ＡＢ 所 ï ＝１ꎬ
ïï
在直线为 ｘ 轴
ꎬ
线段 ＡＢ 的
得í
ï
ｂ
＝－１ꎬ
ï
中垂线为 ｙ 轴建立平面直 îｒ
＝ ５ꎬ
角坐标系 如图 则 Ａ 所以 Ｍ 的方程为 ｘ ２ ｙ ２ .
ꎬ ꎬ (－２ꎬ ☉ ( －１) ＋( ＋１) ＝５
解法二 易得过 和 的直线方程为
Ｂ 设 Ｐ ｘ ｙ .对于 若 ＡＰＢ
: (３ꎬ０) (０ꎬ１)
０)ꎬ (２ꎬ０)ꎬ ( ꎬ ) Ａꎬ ∠ ＝
ｘ
° 则点 Ｐ ｘ ｙ 的轨迹是以 ＡＢ 为直径的 ｙ 即 ｘ ｙ .
９０ ꎬ ( ꎬ ) ＋ ＝１ꎬ ＋３ －３＝０
圆不包含 Ａ Ｂ 两点 故 不符合题意 对于 ３
ꎬ ꎬ Ａ ꎻ 以 和 为端点的线段的垂直平分
若 ＰＡ ２ ＰＢ ２ 则 ｘ ２ ｙ２ ｘ (３ꎬ０) (０ꎬ１)
Ｂꎬ ｜ ｜ ＋｜ ｜ ＝１０ꎬ ( ＋２) ＋ ＋( － { ｘ ｙ
２ ｙ２ 即 ｘ２ ｙ２ 所以点 Ｐ 的轨迹为 线的方程为 ｘ ｙ 联立 ２ ＋ －１＝０ꎬ解
２) ＋ ＝１０ꎬ ＋ ＝１ꎬ ３ － －４＝０ꎬ ｘ ｙ
３ － －４＝０ꎬ
5 圆 故 符合题意 对于 Ｐ→Ａ ｘ ｙ {ｘ
年 ꎬ Ｂ ꎻ Ｃꎬ ＝(－２－ ꎬ－ )ꎬ 得 ＝１ꎬ 所以圆心为 则所求圆的
高
考 Ｐ→Ｂ ｘ ｙ 所以Ｐ→Ａ Ｐ→Ｂ ｘ２ ｙ２ ｙ
＝－１ꎬ
(１ꎬ－１)ꎬ
3 ＝(２－ ꎬ－ )ꎬ ＝ ＋ －４＝－６ꎬ
年
模
即 ｘ２
＋
ｙ２
＝－２ꎬ
显然不存在
ꎬ
故
Ｃ
不符合题 半径 ｒ
＝ (１－３)
２
＋(－１－０)
２
＝ ５ꎬ
所以
☉
Ｍ
拟
A 意 ꎻ 对于 Ｄꎬ 由 ｜ ＰＡ ｜ ＝３｜ ＰＢ ｜ 得 ｜ ＰＡ ｜ ２ ＝９｜ ＰＢ 的方程为 ( ｘ －１) ２ ＋( ｙ ＋１) ２ ＝５ .
版 ｜ ２ ꎬ 即 ( ｘ ＋２) ２ ＋ ｙ２ ＝９[( ｘ －２) ２ ＋ ｙ２ ]ꎬ 整理得 ｘ２ ６.( ２０２２ 全国乙ꎬ理 １４ ꎬ文 １５ ꎬ ５ 分)过四点 (０ꎬ
高
中的三点的一个
考 æ ö
０)ꎬ(４ꎬ０)ꎬ(－１ꎬ１)ꎬ(４ꎬ２)
数 ｙ２ ｘ 则点 Ｐ 的轨迹是以ç５ ÷为
学 ＋ －５ ＋４＝０ꎬ è ꎬ０ø 圆的方程为 .
２
３３８
æ
答案 ｘ ２ ｙ ２ ç或 ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 所求圆的方程为 ｘ２ ｙ２ １６ｘ ｙ １６ .
( －２) ＋( －１) ＝５ è ＋ －４ －６ ＋ － －２ － ＝０
５ ５
或 ｘ２ ｙ２ ８ｘ １４ｙ 或 ｘ２ ｙ２ １６ｘ ｙ
＝０ ＋ － － ＝０ ＋ － －２ － 考点 三 直线与圆的位置关系
３ ３ ５
ö １.(多选)( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知直线
１６ ÷ ２０２１ Ⅱ １１ ５
＝０ ø
５ ｌ ａｘ ｂｙ ｒ２ 与圆 Ｃ ｘ２ ｙ２ ｒ２ 点 Ａ ａ ｂ
: ＋ － ＝０ : ＋ ＝ ꎬ ( ꎬ )ꎬ
解析 选取 时 不妨设
(０ꎬ０)ꎬ(４ꎬ０)ꎬ(４ꎬ２) ꎬ 则下列说法正确的是
( )
这三点分别为 Ｏ Ａ Ｂ 则线段 ＯＡ 的垂直平
ꎬ ꎬ ꎬ 若点 Ａ 在圆 Ｃ 上 则直线 ｌ 与圆 Ｃ 相切
Ａ. ꎬ
分线的方程为 ｘ 线段 ＡＢ 的垂直平分线
＝２ꎬ 若点 Ａ 在圆 Ｃ 内 则直线 ｌ 与圆 Ｃ 相离
Ｂ. ꎬ
的方程为 ｙ 所以经过这三点的圆的圆心
＝１ꎬ 若点 Ａ 在圆 Ｃ 外 则直线 ｌ 与圆 Ｃ 相离
Ｃ. ꎬ
坐标为 记为 Ｃ 圆的半径 ｒ ＣＯ
(２ꎬ１)ꎬ ꎬ ＝ ｜ ｜ ＝ 若点 Ａ 在直线 ｌ 上 则直线 ｌ 与圆 Ｃ 相切
Ｄ. ꎬ
２ ２ 所以所求圆的方程为 ｘ ２ 答案 ＡＢＤ 圆心 Ｃ 到直线 ｌ 的距离
２ ＋１ ＝ ５ꎬ ( －２) ＋ (０ꎬ０)
ｙ ２ . ｒ２
( －１) ＝５ ｄ 若点Ａ ａ ｂ 在圆Ｃ 上 则ａ２ ｂ２
选取 时 设所求圆的 ＝ ａ２ ｂ２ ꎬ ( ꎬ ) ꎬ ＋ ＝
(０ꎬ０)ꎬ(４ꎬ０)ꎬ(－１ꎬ１) ꎬ ＋
方程为 ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ Ｄ２ Ｅ２ Ｆ ｒ２
＋ ＋ ＋ ＋ ＝０( ＋ －４ >０)ꎬ ｒ２ 所以 ｄ ｒ 所以直线 ｌ 与圆 Ｃ
ꎬ ＝ ＝ ｜ ｜ꎬ
ì
ï
Ｆ
＝０ꎬ
ａ２
＋
ｂ２
ï
则í Ｄ Ｆ 相切 故 正确.若点 Ａ ａ ｂ 在圆 Ｃ 内 则
ï１６＋４ ＋ ＝０ꎬ ꎬ Ａ ( ꎬ ) ꎬ
ï
î Ｄ Ｅ Ｆ ｒ２
１＋１－ ＋ ＋ ＝０ꎬ ａ２ ｂ２ ｒ２ 所以 ｄ ｒ 所以直线 ｌ 与
＋ < ꎬ ＝ >｜ ｜ꎬ
ìＤ ａ２ ｂ２
ï ＝－４ꎬ ＋
ï
解得íＥ 所以所求圆的方程为 ｘ２ ｙ２ ｘ 圆 Ｃ 相离 故 正确.若点 Ａ ａ ｂ 在圆 Ｃ
ï ＝－６ꎬ ＋ －４ ꎬ Ｂ ( ꎬ )
î ï Ｆ . ｒ２
＝０ 外 则 ａ２ ｂ２ ｒ２ 所以 ｄ ｒ 所以直
ꎬ ＋ > ꎬ ＝ <｜ ｜ꎬ
ｙ . ａ２ ｂ２
－６ ＝０ ＋
选取 时 设所求圆的 线 ｌ 与圆 Ｃ 相交 故 错误.若点 Ａ ａ ｂ 在
(０ꎬ０)ꎬ(－１ꎬ１)ꎬ(４ꎬ２) ꎬ ꎬ Ｃ ( ꎬ )
方程为 ｘ２
＋
ｙ２
＋
Ｄｘ
＋
Ｅｙ
＋
Ｆ
＝０(
Ｄ２
＋
Ｅ２
－４
Ｆ
>０)ꎬ
直线 ｌ 上
ꎬ
则 ａ２
＋
ｂ２
－
ｒ２
＝０ꎬ
即 ａ２
＋
ｂ２
＝
ｒ２
ꎬ
所以
ì
ｒ２
ï ｄ ｒ 所以直线 ｌ 与圆 Ｃ 相切 故
Ｄ ８
ì
ï
Ｆ ï ＝－ ꎬ ＝ ａ２ ｂ２ ＝ ｜ ｜ꎬ ꎬ
＝０ꎬ ï ３ ＋
ï ï
则í Ｄ Ｅ Ｆ 解得í 正确.故选 .
ï１＋１－ ＋ ＋ ＝０ꎬ ïＥ １４ Ｄ ＡＢＤ
ï ＝－ ꎬ
î Ｄ Ｅ Ｆ ï ３ ２.( 届浙南名校联盟联考ꎬ )已知直线
１６＋４＋４ ＋２ ＋ ＝０ꎬ ï ２０２３ １３
ï
îＦ .
＝０ ｌ ｙ ｘ 与圆 Ｃ ｘ ２ ｙ２ ｒ２ ｒ 相切
: ＝ ＋１ :( －１) ＋ ＝ ( >０) ꎬ
所以所求圆的方程为 ｘ２
＋
ｙ２
－
８ｘ
－
１４ｙ
＝０
. 则 ｒ
＝
.
３ ３ 答案
选取 时 设所求圆的 ２
(４ꎬ０)ꎬ(－１ꎬ１)ꎬ(４ꎬ２) ꎬ 解析 由直线ｌ ｙ ｘ 与圆Ｃ ｘ ２ ｙ２
方程为 ｘ２ ｙ２ Ｄｘ Ｅｙ Ｆ Ｄ２ Ｅ２ Ｆ : ＝ ＋１ :( －１) ＋ ＝
＋ ＋ ＋ ＋ ＝０( ＋ －４ >０)ꎬ
ì
ï Ｄ １６
ｒ２
(
ｒ
>０)
相切可得｜１＋１｜
＝
ｒ
⇒
ｒ
＝ ２
. 专
题
ì ï Ｄ Ｆ ï ＝－ ꎬ ２ 九
１６＋４ ＋ ＝０ꎬ ï ５
ï ï ３.( 届天津咸水沽一中开学检测ꎬ )直线 平
则í Ｄ Ｅ Ｆ 解得íＥ 所以 ２０２３ １２ 面
ï１＋１－ ＋ ＋ ＝０ꎬ ï ＝－２ꎬ 解
î ï Ｄ Ｅ Ｆ ï ｌ 过点 (４ꎬ０) 且与圆 ( ｘ －１) ２ ＋( ｙ －２) ２ ＝２５ 交 析
１６＋４＋４ ＋２ ＋ ＝０ꎬ ïＦ １６. 几
ï
î ＝－ 于 Ａ Ｂ 两点 如果 ＡＢ 那么直线 ｌ 的方 何
５ ꎬ ꎬ ｜ ｜ ＝８ꎬ
３３９
程为 . 解析 设直线 ｘ ｙ 为 ｌ 则 ＡＣ ｌ 又
２ － ＋３＝０ ꎬ ⊥ ꎬ
答案 ｘ 或 ｘ ｙ ｋ
＝４ ５ －１２ －２０＝０ ｌ＝２ꎬ
解析 当直线 ｌ 的斜率不存在时 直线为 ｘ ｍ
ꎬ ＝ ｋ ＋１ １ 解得 ｍ Ｃ
∴ ＡＣ＝ ＝－ ꎬ ＝－２ꎬ∴ (０ꎬ－２)ꎬ
与圆的交点为 和 这两点间
０＋２ ２
４ꎬ (４ꎬ－２) (４ꎬ６)ꎬ
的距离为 满足题意 当直线 ｌ 的斜率存在 ｒ ＡＣ ２ ２ .
８ꎬ ꎬ ∴ ＝ ｜ ｜ ＝ (０＋２) ＋(－２＋１) ＝ ５
时 设其方程为 ｙ ｋ ｘ 即 ｋｘ ｙ ｋ ６.( 浙江ꎬ ꎬ 分)已知直线 ｙ ｋｘ ｂ ｋ
ꎬ ＝ ( －４)ꎬ － －４ ＝０ꎬ ２０２０ １５ ６ ＝ ＋ ( >
因为圆心坐标为 圆的半径为 所以 与圆 ｘ２ ｙ２ 和圆 ｘ ２ ｙ２ 均相切
(１ꎬ２)ꎬ ５ꎬ ０) ＋ ＝１ ( －４) ＋ ＝１ ꎬ
ｋ ｋ 则 ｋ ｂ .
｜ －２－４ ｜ ２ ２ 解得 ｋ ５ 直线方程为 ＝ ꎬ ＝
＝ ５ －４ ꎬ ＝ ꎬ
ｋ２
１２
＋１
答案 ３ ２ ３
－
ｙ ５ ｘ 即 ｘ ｙ .故直线ｌ 的方 ３ ３
＝ ( －４)ꎬ ５ －１２ －２０＝０
解析 解法一 由直线与圆相切的充要条
１２
:
程为 ｘ 或 ｘ ｙ .
件知
＝４ ５ －１２ －２０＝０
４.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)设点 Ａ
ì ｂ
２０２２ Ⅱ １５ ５ (－２ꎬ３)ꎬ ï
｜ ｜
Ｂ ａ 若直线 ＡＢ 关于 ｙ ａ 对称的直线与 ï ＝１ꎬ
(０ꎬ )ꎬ ＝
í
ï ｋ２ ＋１
圆 ｘ ２ ｙ ２ 有公共点 则 ａ 的取 ï ｋ ｂ ⇔
( ＋３) ＋( ＋２) ＝１ ꎬ ï｜４ ＋ ｜
值范围是 . ï ＝１
î ｋ２
＋１
é ù
答案 ê １ ３ ú ì ï
ë ê ３ ꎬ ２ û ú { ｂ ｋ ｂ ï ï ｋ ＝ ３ ( 舍非正数 )ꎬ
解析 设直线ＡＢ 关于ｙ ａ 对称的直线为ｌ ｜ ｜ ＝ ｜４ ＋ ｜ꎬ í ３
＝ ꎬ ｂ ｋ２
⇔ï
｜ ｜ ＝ ＋１ ïｂ ２ ３.
ａ ａ ï
ｋ －３ ｋ －３. î ＝－
∵ ＡＢ＝ ꎬ∴ ｌ＝－ ３
２ ２ 解法二 如图所示.由图
显然点 Ｂ ａ 在直线 ｌ 上 直线 ｌ 的方程 :
(０ꎬ ) ꎬ∴ 易知 直线 ｙ ｋｘ ｂ 经
ꎬ ＝ ＋
ａ
为 ｙ －３ｘ ａ 即 ａ ｘ ｙ ａ . ｌ 与 过点 且倾斜角
＝－ ＋ ꎬ ( －３) ＋２ －２ ＝０ ∵ (２ꎬ０)ꎬ
２
圆有公共点
为 ° 从而 ｋ ３ 且 ２ ３ ｂ ｂ ２ ３.
ꎬ
３０ ꎬ ＝ ꎬ ０＝ ＋ ⇒ ＝－
圆心 到直线 ｌ 的距离 ｄ ｒ ３ ３ ３
∴ (－３ꎬ－２) ≤ ꎬ
ａ ａ
即｜－３( －３)＋２×(－２)－２ ｜ 即 ａ２ ａ 考点 四 圆与圆的位置关系
≤１ꎬ ６ －１１
ａ ２
( －３) ＋４
１.( 届海南琼海嘉积中学月考ꎬ )圆 Ｏ
. ２０２３ ３ １:
＋３≤０
ｘ２ ｙ２ 与圆 Ｏ ｘ２ ｙ２ ｘ 的位置关
解得 １ ａ ３ 实数 ａ 的取值范围
＋ ＝１ ２: ＋ －４ ＋１＝０
≤ ≤ ꎬ∴ 系为
３ ２ ( )
5 é ù 相交 外离 外切 内切
年 为ê １ ３ ú. Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
高
考
3
ë ê
３
ꎬ
２
û ú 答案 Ａ 圆 Ｏ
１:
ｘ２
＋
ｙ２
＝１
的圆心为 Ｏ
１(０ꎬ
年 模 ５.( ２０１９ 浙江ꎬ １２ ꎬ ６ 分)已知圆 Ｃ 的圆心坐标 ０)ꎬ 半径为 ｒ １ ＝１ .
拟 是
(０ꎬ
ｍ
)ꎬ
半径长是 ｒ.若直线
２
ｘ
－
ｙ
＋３＝０
与 圆Ｏ ｘ２ ｙ２ ｘ 的圆心为Ｏ 半径
２: ＋ －４ ＋１＝０ ２(２ꎬ０)ꎬ
A 圆 Ｃ 相切于点 Ａ 则 ｍ
版 (－２ꎬ－１)ꎬ ＝ ꎬ 为ｒ . Ｏ Ｏ ｒ ｒ Ｏ Ｏ ｒ ｒ 所以
ｒ . ２ ＝ ３ ｜ １ ２｜＝２ꎬ ２ － １<｜ １ ２｜< ２ ＋ １ꎬ
高 ＝ 两圆相交.故选
考 Ａ.
数 答案
学 －２ ５ ２.( 届安徽十校联考ꎬ )已知直线 ｌ ｍｘ ｙ
２０２３ ８ : ＋
３４０
ｍ 与圆 Ｍ ｘ ２ ｙ ２ 交 圆 Ｃ′的方程为 ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ
－３ －２＝０ :( －５) ＋( －４) ＝２５ Ａ. ＋ －３ －４ ＝０
于 Ａ Ｂ 两点 当弦 ＡＢ 的长最短时 圆 Ｍ 与 直线 ＡＢ 的方程为 ｘ ｙ
ꎬ ꎬ ꎬ Ｂ. ３ －４ －２１＝０
圆 Ｎ ｘ ｍ ２ ｙ２ 的位置关系是 ＯＡ ＯＢ 均与圆 Ｃ 相切
:( ＋２ ) ＋ ＝９ ( ) Ｃ. ꎬ
内切 外离 外切 相交 四边形 ＣＡＯＢ 的面积为
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. Ｄ. ４ ２１
答案 Ｂ 直线 ｌ
:
ｍｘ
＋
ｙ
－３
ｍ
－２＝０
即 ｍ
(
ｘ
－
答案 ＡＣ 由圆 Ｃ
:
ｘ２
＋
ｙ２
－６
ｘ
－８
ｙ
＋２１＝０ꎬ
得
３)＋ ｙ －２＝０ 过定点 Ｐ (３ꎬ２)ꎬ 因为 (３－５) ２ ＋ ( ｘ －３) ２ ＋( ｙ －４) ２ ＝４ꎬ 则圆心为 Ｃ (３ꎬ４)ꎬ 线段
２ 故 Ｐ 在圆 Ｍ ｘ ２ æ ö
(２－４) <２５ꎬ (３ꎬ２) :( －５) ＋ ＯＣ 的中点坐标为ç３ ÷ 则以 ＯＣ 为直径的
ｙ ２ 内 故弦 ＡＢ 的长最短时直线 ｌ è ꎬ２øꎬ
( －４) ＝２５ ꎬ ２
æ ö２
垂直于 ＰＭ 又 ｋ ４－２ 所以 ｍ 圆的方程为çｘ ３÷ ｙ ２ ２５ 整理得 ｘ２
ꎬ ＰＭ ＝ ＝１ꎬ １(－ ) è － ø ＋( －２) ＝ ꎬ
５－３ ２ ４
解得 ｍ 此时圆 Ｎ 的方程是 ｘ ２ ｙ２ ｘ ｙ 即圆 Ｃ′的方程为 ｘ２ ｙ２ ｘ
＝ －１ꎬ ＝１ꎬ ( ＋２) ＋ －３ －４ ＝０ꎬ ＋ －３ －
ｙ２ . ｙ 故 正 确. 联 立
＋ ＝９ ４ ＝ ０ꎬ Ａ
两 圆 圆 心 之 间 的 距 离 ＭＮ {ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ
｜ ｜ ＝ ＋ －３ －４ ＝０ꎬ 两式相减得 ｘ ｙ
ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ３ ＋４ －２１
２ ２ ＋ －６ －８ ＋２１＝０ꎬ
(５＋２) ＋(４－０) ＝ ６５ꎬ
即直线 ＡＢ 的方程为 ｘ ｙ 故
又 所以这两圆外离.故选 ＝０ꎬ ３ ＋４ －２１＝０ꎬ Ｂ
６５> ６４ ＝５＋３ꎬ Ｂ.
错误. Ａ Ｂ 在以 ＯＣ 为直径的圆上
３.( 江苏苏州中学月考ꎬ )已知圆 Ｍ ｘ２ ∵ ꎬ ꎬ
２０２２ ６ : ＋
ＣＡ ＯＡ ＣＢ ＯＢ 可得 ＯＡ ＯＢ 均与圆 Ｃ
ｙ２ ａｙ ａ 截直线 ｘ ｙ 所得线段的 ∴ ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ꎬ
－２ ＝０( >０) ＋ ＝０ 相切 故 正确. ＣＡ ＯＡ 且 ＯＣ ＣＡ
长度为 则圆 Ｍ 与圆 Ｎ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ꎬ Ｃ ∵ ⊥ ꎬ ｜ ｜ ＝５ꎬ｜
２ ２ꎬ : ＋ －６ －１２ －
ＯＡ ＯＣ ２ ＣＡ ２
的位置关系是 ｜ ＝ ２ꎬ∴ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ －｜ ｜ ＝ ２５－４ ＝
４＝０ ( )
内切 外切 四边形 ＣＡＯＢ 的面积 Ｓ １
Ａ. Ｂ. ２１ꎬ∴ ＝ ２× ×２×
相交 外离 ２
Ｃ. Ｄ. 故 错误.故选 .
答案 Ａ 圆Ｍ 的圆心为Ｍ ａ 半径ｒ ２１ ＝２ ２１ꎬ Ｄ ＡＣ
(０ꎬ )ꎬ １ ＝ ５.( 山东威海 月模拟ꎬ )圆 ｘ２ ｙ２ ｘ
ａ ２０２２ ５ １４ ＋ ＋４ ＝
ａ ａ 圆心 Ｍ 到直线 ｘ ｙ 的距离为
ꎬ >０ꎬ ＋ ＝０ ꎬ 与圆 ｘ２ ｙ２ ｙ 的公共弦长为 .
０ ＋ ＋４ ＝０
２
答案
æ ａ ö２ æ ö２
２ ２
所以çç ÷÷ çç２ ２÷÷ ａ２ ａ 所以 Ｍ
è ø ＋ è ø ＝ ⇒ ＝ ２ꎬ (０ꎬ 解析 设圆 Ｃ ｘ２ ｙ２ ｘ 与圆 Ｃ ｘ２ ｙ２
２ ２ １: ＋ ＋４ ＝０ ２: ＋ ＋
ｒ .圆Ｎ 的圆心为Ｎ 半径ｒ ｙ 交于 Ａ Ｂ 两点 把两圆方程相减 化简
２)ꎬ １ ＝２ (３ꎬ６)ꎬ ２ ＝７ꎬ ４ ＝０ ꎬ ꎬ ꎬ
ＭＮ ｒ ｒ 所以两圆的位置关系是内 得 ｘ ｙ 即 ｌ ｘ ｙ 圆心 Ｃ 到
｜ ｜ ＝５＝ ２ － １ꎬ － ＝０ꎬ ＡＢ: － ＝０ꎬ １(－２ꎬ０)
切.故选 .
Ａ 直线 ＡＢ 的距离 ｄ ｜－２｜ 又 ｒ
＝ ＝ ２ꎬ １ ＝ ２ꎬ
４.(多选)( 广东茂名月考ꎬ )已知圆 Ｃ
２
２０２２ １０ :
ｘ２
＋
ｙ２
－６
ｘ
－８
ｙ
＋２１＝０ꎬ
Ｏ 为坐标原点
ꎬ
以 ＯＣ æ
è
ç｜ ＡＢ ｜ ö
ø
÷ ２
＋
ｄ２
＝
ｒ２
１ꎬ
所以
｜
ＡＢ
｜ ＝２
ｒ２
１ －
ｄ２
＝２ ２ꎬ
为直径的圆 Ｃ′与圆 Ｃ 交于 Ａ Ｂ 两点 则 ２
ꎬ ꎬ
故答案为 .
２ ２
( ) 专
题
九
平
面
解
析
几
何
３４１
综合篇
考法 一 对称问题 光线所在的直线方程为
( )
ｘ ｙ ｘ ｙ
１.( 届江苏扬州高邮学情调研ꎬ )与直线 Ａ.２ －３ ＋１＝０ Ｂ.２ －３ －１＝０
２０２３ ４
ｘ ｙ ｘ ｙ
ｘ ｙ 关于 ｙ 轴对称的直线的方程为 Ｃ.３ －２ ＋１＝０ Ｄ.３ －２ －１＝０
３ － ＋１＝０ 答案 Ａ 点 关于 ｘ 轴的对称点为
(－５ꎬ３)
( ) .
ｘ ｙ ｘ ｙ (－５ꎬ－３)
Ａ. －３ ＋１＝０ Ｂ.３ ＋ －１＝０ 由题意知 反射光线经过圆的圆心 且
ｘ ｙ ｘ ｙ ꎬ (１ꎬ１)ꎬ
Ｃ. ＋３ ＋１＝０ Ｄ.３ ＋ ＋１＝０ 反射光线的反向延长线经过点 所
答案 Ｂ 设 Ｐ ｘ ｙ 为所求直线上任一点 (－５ꎬ－３)ꎬ
( ꎬ ) ꎬ
则 Ｐ ｘ ｙ 关于 ｙ 轴对称的点为 ｘ ｙ 由 以反射光线所在直线的斜率为１＋３ ２ 其方
( ꎬ ) (－ ꎬ )ꎬ ＝ ꎬ
１＋５ ３
题意可得点 ｘ ｙ 在直线 ｘ ｙ 上 所
(－ ꎬ ) ３ － ＋１＝０ ꎬ
程为 ｙ ２ ｘ 即 ｘ ｙ 故选
以 ｘ ｙ 即 ｘ ｙ 所以与直线 －１＝ ( －１)ꎬ ２ －３ ＋１＝０ꎬ Ａ.
－３ － ＋１＝０ꎬ ３ ＋ －１＝０ꎬ ３
ｘ ｙ 关于ｙ 轴对称的直线的方程为 ｘ ５.( 广东实验中学质检ꎬ )直线 ｘ ｙ
３ － ＋１＝０ ３ ２０２２ ６ ３ －２ ＝０
ｙ .故选
＋ －１＝０ Ｂ. æ ö
关于点ç１ ÷对称的直线方程为
２.( 石家庄二中开学考ꎬ )若直线ｌ ｙ ｋｘ è ꎬ０ø ( )
２０２２ ２ １: ＝ ３
ｋ 与直线 ｌ 关于点 对称 则直线 ｌ ｘ ｙ ｘ ｙ
－ ＋１ ２ (２ꎬ３) ꎬ ２ Ａ.２ －３ ＝０ Ｂ.３ －２ －２＝０
过定点 ｘ ｙ ｘ ｙ
( ) Ｃ. － ＝０ Ｄ.２ －３ －２＝０
答案 Ｂ 在直线 ｘ ｙ 上任取一点 Ａ
Ａ.(－３ꎬ５) Ｂ.(３ꎬ－５) ３ －２ ＝０
ｍ ｎ 则 ｍ ｎ . 设点 Ａ 关于点
Ｃ.(３ꎬ５) Ｄ.(５ꎬ３) ( ꎬ )ꎬ ３ － ２ ＝ ０
答案 Ｃ 直线 ｌ ｙ ｋｘ ｋ 当 ｘ 时 ｙ æ ö
１: ＝ － ＋１ꎬ ＝１ ꎬ
è
ç１
ꎬ０ø
÷对称的点的坐标为 Ｂ
(
ｘ
ꎬ
ｙ
)ꎬ
与 ｋ 无关 故直线 ｌ 过定点 .点 ３
＝１ꎬ ꎬ (１ꎬ１) (１ꎬ
关于点 的对称点的坐标为 则 ｘ ２ ｍ ｙ ｎ 即 ｍ ２ ｘ ｎ ｙ
１) (２ꎬ３) (３ꎬ５)ꎬ ＝ － ꎬ ＝－ ꎬ ＝ － ꎬ ＝－ ꎬ
直线 ｌ ｙ ｋｘ ｋ 与直线 ｌ 关于点 ３ ３
∵ １: ＝ － ＋１ ２ (２ꎬ３) æ ö
对称 直线 ｌ 过定点 .故选 . ç２ ｘ÷ ｙ 即 ｘ ｙ 故
ꎬ∴ ２ (３ꎬ５) Ｃ
∴ ３è
３
－ ø－２(－ )＝ ０ꎬ ３ －２ －２＝ ０ꎬ
３.( 山东滕州一中月考ꎬ )若直线 ｘ ｙ
选
２０２２ ３ ２ ＋ －１
Ｂ.
＝０
是圆
(
ｘ
－
ａ
)
２
＋
ｙ２
＝１
的一条对称轴
ꎬ
则 ａ
＝
６.(
２０２２
南京
３
月模拟ꎬ
３
)圆ｘ２
＋
ｙ２
－２
ｘ
＋４
ｙ
－４＝
关于直线 ｘ ｙ 对称的圆的方程是
( )
０ ＋ －１＝０
１ １
( )
Ａ. Ｂ.－ Ｃ.１ Ｄ.－１
２ ２ ｘ ２ ｙ２ ｘ２ ｙ ２
Ａ.( －３) ＋ ＝１６ Ｂ. ＋( －３) ＝９
答案 Ａ 圆 ｘ ａ ２ ｙ２ 的圆心坐标为
5 ( － ) ＋ ＝１ ｘ２ ｙ ２ ｘ ２ ｙ２
年 ａ 直线 ｘ ｙ 是圆 ｘ ａ ２ ｙ２ Ｃ. ＋( －３) ＝１６ Ｄ.( －３) ＋ ＝９
高 ( ꎬ０)ꎬ∵ ２ ＋ －１＝０ ( － ) ＋ ＝ 答案 Ｄ 圆ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 的圆心坐标
考 ＋ －２ ＋４ －４＝０
的一条对称轴 圆心在直线 ｘ ｙ
3 １ ꎬ∴ ２ ＋ －１＝０ 为 半径为 设点 关于直线 ｘ
年 (１ꎬ－２)ꎬ ３ꎬ (１ꎬ－２)
模
上 可得 ａ 即 ａ １.故选 ｙ 的 对 称 点 坐 标 为 ｍ ｎ 则
拟 ꎬ ２ ＋０－１＝０ꎬ ＝ Ａ. ＋ － １ ＝ ０ ( ꎬ )ꎬ
A ２ ìｎ
ï
版 ４.( ２０２２ 湖北孝感模拟ꎬ ６ )已知从点 (－５ꎬ３) 发 ï ïｍ ＋２ ＝１ꎬ {ｍ
高 í －１ 解得 ＝３ꎬ
出的一束光线 经ｘ 轴反射后 反射光线恰好
考 ïｍ ｎ ｎ
ꎬ ꎬ
数 ï ＋１ －２ ＝０ꎬ
ï
学 平分圆 ｘ ２ ｙ ２ 的圆周 则反射 î ＋ －１＝０ꎬ
:( －１) ＋( －１) ＝５ ꎬ ２ ２
３４２
则圆ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 关于直线 ｘ ｙ
＋ －２ ＋４ －４＝０ ＋ －１＝０
考法 二 与圆的切线相关的问题
对称的圆的圆心坐标为 则该圆的方
(３ꎬ０)ꎬ
程为 ｘ ２ ｙ２ 故选 １.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)若直线 ｌ 与曲线 ｙ
( －３) ＋ ＝９ꎬ Ｄ. ２０２０ Ⅲ １０ ５
７.( 届福建部分名校联考ꎬ )在唐诗 白
２０２３ ７ “ ｘ和圆 ｘ２ ｙ２ １都相切 则 ｌ 的方程为
＝ ＋ ＝ ꎬ
日登山望烽火 黄昏饮马傍交河 中隐含着
５
ꎬ ”
一个有趣的数学问题 将军饮马 问题
( )
———“ ” ꎬ
即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发
ｙ ｘ ｙ ｘ １
ꎬ Ａ. ＝２ ＋１ Ｂ. ＝２ ＋
先到河边饮马后再回到军营 怎样走才能使 ２
ꎬ
总路程最短 在平面直角坐标系中 设军营 ｙ １ｘ ｙ １ｘ １
? ꎬ Ｃ. ＝ ＋１ Ｄ. ＝ ＋
２ ２ ２
所在区域为 ｘ ２ ｙ ２ 若将军从点
( ＋１) ＋( －１) ≤１ꎬ 答案 Ｄ 由题可知直线 ｌ 的斜率存在且不
处出发 河岸线所在直线方程为 ｘ ｙ
(１ꎬ０) ꎬ ＋２ 为 设直线ｌ 的方程为ｙ ｋｘ ｍ 直线ｌ 与曲
０ꎬ ＝ ＋ ꎬ
并假定将军只要到达军营所在区域
－５＝０ꎬ
线 ｙ ｘ的切点为 Ａ ｘ ｙ .由导数的几何
即认为回到军营 则当 将军饮马 的总路程 ＝ ( ０ꎬ ０)
ꎬ “ ”
最短时 将军去往河边饮马的行走路线所在 意义可知 １ ｋ 即 ｘ １ 点 Ａ 既在直
ꎬ ｘ ＝ ꎬ ０ ＝ ｋꎬ
的直线方程为 ２ ０ ２
( ) { ｙ ｋｘ ｍ
ｘ ｙ ｘ ｙ 线 ｌ 上 又在曲线 ｙ ｘ上 ０ ＝ ０ ＋ ꎬ
Ａ.１２ ＋５ －１２＝０ Ｂ.２１ ＋２ －２１＝０ ꎬ ＝ ꎬ∴ ∴
ｙ ｘ .
ｘ ｙ ｘ ｙ ＝
Ｃ.４ ＋ －４＝０ Ｄ.１１ ＋２ －１１＝０ ０ ０
答案 Ｂ 军营所在区域为 ( ｘ ＋１) ２ ＋( ｙ －１) ２ ｋｘ ｍ ｘ 即 ｋ æ ç １ ö ÷ ２ ｍ １ 化简可得
０ ＋ ＝ ０ꎬ è ｋø ＋ ＝ ｋꎬ
即在以 为圆心 为半径的圆内 ２ ２
≤１ꎬ (－１ꎬ１) ꎬ１
和圆上. ｍ １ 又 直线 ｌ 与圆 ｘ２ ｙ２ １ 相切
＝ ｋꎬ ∵ ＋ ＝ ꎬ
设圆心 Ｃ 关于直线 ｘ ｙ 的对 ４ ５
(－１ꎬ１) ＋２ －５＝０
ｍ
称点的坐标为 Ｂ ａ ｂ ｜ ｜ ５ 将 ｍ １ 代入化简得 ｋ４
( ꎬ )ꎬ ∴ ＝ ꎬ ＝ ｋ １６ ＋
ｋ２
５ ４
ì
ï
ｂ ì
ï
１＋
－１ ａ ３
则í ï ïａ ＋１ ＝２ꎬ 解得í ï ï ＝ ５ ꎬ １６ ｋ２ －５＝０ꎬ 解得ｋ２ ＝ １或ｋ２ ＝－ ５ ( 舍去 ) . ∵ ｙ
ïａ ï ４ ４
ï －１ ｂ ïｂ ２１.
ï ï
î ＋ ＋１－５＝０ꎬ î ＝
２ ５ ｘ的图象在第一象限 ｋ ｋ １ ｍ
＝ ꎬ∴ >０ꎬ∴ ＝ ꎬ∴
如图 由对称性可知 ＰＡ ２
ꎬ ꎬ｜ ｜
ＰＣ ＰＡ ＰＢ 所以 １ ｌ 的方程为 ｙ １ｘ １.故选 .
＋｜ ｜ ＝ ｜ ｜＋｜ ｜ꎬ ＝ ꎬ∴ ＝ ＋ Ｄ
当将军去往河边饮马的行 ２ ２ ２
２.( 江苏南通期末ꎬ )在平面直角坐标系
走路线所在的直线经过 Ａ ２０２１ ７
ｘＯｙ 中 已知圆 Ｃ ｘ ２ ｙ２ 若直线 ｌ ｘ
æ ö ꎬ :( －１) ＋ ＝４ꎬ :
Ｂç３ ２１÷ 两点时
ｙ ｍ 上有且只有一个点 Ｐ 满足 过点 Ｐ
(１ꎬ０)ꎬ è ꎬ ø ꎬ ＋ ＋ ＝０ :
５ ５
将军饮马 的总路程最短 因为 ｋ 作圆 Ｃ 的两条切线 ＰＭ ＰＮ 切点分别为 Ｍ
“ ” ꎬ ＡＢ＝ ꎬ ꎬ ꎬ
Ｎ 且使得四边形 ＰＭＣＮ 为正方形 则正实数
ꎬ ꎬ 专
２１
题
ｍ 的值为
５ ２１ 所以该直线方程为 ｙ ２１ ｘ ( ) 九
＝－ ꎬ ＝－ ( －
３ ２ ２ 平
－１ Ａ.１ Ｂ.２ ２ Ｃ.３ Ｄ.７ 面
５ 答案 Ｃ 由 ｘ ２ ｙ２ 可知圆心为 Ｃ 解 析
即 ｘ ｙ .故选 ( －１) ＋ ＝４
１)ꎬ ２１ ＋２ －２１＝０ Ｂ. 几
半径为 .因为四边形 ＰＭＣＮ 为正方 何
(１ꎬ０)ꎬ ２
３４３
形 且边长为 所以 ＰＣ 所以直线 故 正确.设ＯＰ
ꎬ ２ꎬ ｜ ｜ ＝ ２ ２ꎬ ０ꎬ Ｂ
ｌ ｘ ｙ ｍ 上有且只有一个点 Ｐ 使得 ＰＣ 交 ＡＢ 于 Ｈ 易知
: ＋ ＋ ＝０ ꎬ ｜ ｜ ꎬ
ＯＰ ＡＢ.由等面积
所以圆心 Ｃ 到直线 ｌ 的距离为 ⊥
＝２ ２ꎬ ２ ２ꎬ
ｍ 法可得 １ ＡＯ
所以｜１＋０＋ ｜ 解得 ｍ 或 ｍ ｜ ｜｜
＝ ２ ２ꎬ ＝ ３ ＝ －５ ２
１＋１
舍 故选 . ＰＡ １ ＡＨ
( )ꎬ Ｃ ｜ ＝ ｜ ｜
２
３.( 山东ꎬ ꎬ 分)一条光线从点
２０１５ ９ ５ (－２ꎬ－３) ＯＰ 即 ＡＯ ＰＡ ＡＨ ＯＰ 所以
｜ ｜ꎬ ｜ ｜｜ ｜ ＝ ｜ ｜｜ ｜ꎬ ２
射出 经 ｙ 轴反射后与圆 ｘ ２ ｙ ２
ꎬ ( ＋３) ＋( －２) ＝１
相切 则反射光线所在直线的斜率为 ＡＨ 即 ＡＨ ２ ２１ 所以 ＡＢ
× ２１ ＝５｜ ｜ꎬ ｜ ｜ ＝ ꎬ ｜ ｜ ＝
ꎬ ( )
５
５或 ３ ３或 ２
Ａ.－ － Ｂ.－ － ４ ２１ 故 错误.四边形 ＰＡＣＢ 的外接圆是
３ ５ ２ ３ ꎬ Ａ
５
５或 ４ ４或 ３ æ ö
Ｃ.－ － Ｄ.－ － 以 ＰＣ 为直径的圆 其圆心为ç３ ÷ 半径为
４ ５ ３ ４ ꎬ è ꎬ２øꎬ
２
答案 Ｄ 由题意知反射光线所在直线过点
æ ö２
圆心坐标为 半径为 设 ５ 故方程为çｘ ３÷ ｙ ２ ２５ 即 ｘ２ ｙ２
(２ꎬ－３)ꎬ (－３ꎬ－２)ꎬ １ꎬ ꎬ è － ø ＋( －２) ＝ ꎬ ＋ －
２ ２ ４
反射光线所在直线方程为 ｙ ｋ ｘ 即 ｘ ｙ 故 正 确. 因 为 ＰＨ
＋３＝ ( －２)ꎬ ３ － ４ ＝ ０ꎬ Ｃ ｜ ｜ ＝
ｋｘ ｙ ｋ . 反射光线所在直线与圆相
－ －２ －３＝０ ∵ æ ö２
ｋ ｋ ＰＡ ２ ＡＨ ２ ２ çç２ ２１÷÷ ２１
切 ｜－３ －２－２ －３｜ 解得 ｋ ４或 ｋ ｜ ｜ －｜ ｜ ＝ ( ２１) － è ø ＝ ꎬ
ꎬ∴ ＝１ꎬ ＝－ ＝ ５ ５
ｋ２
３
＋１
所以 Ｓ １ ２１ ４ ２１ ４２ ２１ 故 正
３. △ ＰＡＢ ＝ × × ＝ ꎬ Ｄ
－ ２ ５ ５ ２５
４ 确.故选 .
４.(多选)( 广东珠海二中月考ꎬ )过点 ＢＣＤ
２０２２ １１ ｘ２
Ｐ
(３ꎬ４)
作圆 Ｃ
:
ｘ２
＋
ｙ２
＝４
的两条切线
ꎬ
切点
５.(
２０２２
全国甲理ꎬ
１４
ꎬ
５
分)若双曲线 ｙ２
－ｍ２ ＝
分别为 Ａ Ｂ 则下列说法正确的是
ꎬ ꎬ ( )
ｍ 的渐近线与圆 ｘ２ ｙ２ ｙ 相切
１( >０) ＋ －４ ＋３＝０ ꎬ
则 ｍ .
ＡＢ ２ ２１ ＝
Ａ.｜ ｜ ＝
５
答案 ３
ＡＢ 所在直线的方程为 ｘ ｙ
Ｂ. ３ ＋４ －４＝０
３
四边形ＰＡＣＢ 的外接圆方程为ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ
ｘ
Ｃ. ＋ －３ －４ 解析 易得双曲线的渐近线方程为 ｙ
＝±ｍ
＝０
ｍ
ＰＡＢ 的面积为４２ ２１ ( >０)ꎬ
5 Ｄ.△ 圆的方程可化为 ｘ２ ｙ ２ 其半径 ｒ
２５ ＋( －２) ＝ １ꎬ
年
高 答案 ＢＣＤ 如图 因为 ＰＡ ＰＢ 所以
考 ꎬ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ꎬ ＝１ꎬ
3 以 Ｐ 为圆心 ＰＡ 的长为半径的圆交圆 ｘ２ ｙ２ 渐近线与圆相切 圆心 到渐近线
年 ꎬ ＋ ∵ ꎬ∴ (０ꎬ２)
模 于 Ａ Ｂ 两点 因为 ＰＡ ２ ＯＰ ２ ＯＡ ２
拟 ＝４ ꎬ ꎬ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ －｜ ｜ 的距离等于 ｒ 即 ２ ｍ２ １ 又 ｍ
A ＝３ ２ ＋４ ２ －２ ２ ＝２１ꎬ 所以以 Ｐ 为圆心 ꎬ ＰＡ 的长 ꎬ １ ＝１ꎬ∴ ＝ ３ ꎬ >
版
为半径的圆为 ｘ ２ ｙ ２ 由 ｘ
１＋ｍ２
高 ( －３) ＋( －４) ＝２１ꎬ ( －
考 ２ ｙ ２ 与 ｘ２ ｙ２ 相减得 ｘ ｙ
数 ３) ＋( －４) ＝２１ ＋ ＝４ ３ ＋４ － ｍ ３.
学 所以 ＡＢ 所在直线的方程为 ｘ ｙ ０ꎬ∴ ＝
３
４＝０ꎬ ３ ＋４ －４＝
３４４
６.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)写出与圆ｘ２ ｙ２ ７.( 届江苏扬州高邮学情调研ꎬ )圆 Ｃ
２０２２ Ⅰ １４ ５ ＋ ＝１ ２０２３ １８ :
和 ｘ ２ ｙ ２ 都相切的一条直线 ｘ ２ ｙ ２ 过点 Ｐ 向圆 Ｃ
( －３) ＋( －４) ＝１６ ( －２) ＋( －１) ＝ ９ꎬ (－１ꎬ３)
的方程 . 引两切线 Ａ Ｂ 为切点.
ꎬ ꎬ
答案 ｘ 或 ｘ ｙ 或 ｘ ｙ 求切线的方程
＝－１( ３ ＋４ －５＝０ ７ －２４ －２５ (１) ꎻ
＝０) 求Ｐ→Ａ Ｐ→Ｂ的值.
(２)
解析 ∵ 两圆 Ｃ １: ｘ２ ＋ ｙ２ ＝１ꎬ Ｃ ２:( ｘ －３) ２ ＋( ｙ － 解析 若过点 Ｐ 的直线斜率不存在 切
(１) ꎬ
４) ２ ＝１６ 的圆心分别为 Ｃ １(０ꎬ０)ꎬ Ｃ ２(３ꎬ４)ꎬ ｒ １ 线方程为 ｘ ＝－１ꎬ 符合题意 ꎻ
ｒ Ｃ Ｃ ｒ ｒ 则两圆外切
＝１ꎬ ２ ＝４ꎬ∴ ｜ １ ２｜ ＝５＝ １ ＋ ２ꎬ ꎬ 若过点Ｐ 的直线斜率存在 设切线方程为ｙ
ꎬ －
如图所示 均与直线 ｌ ｘ 相切 两圆圆
ꎬ １: ＝－１ ꎬ ｋ ｘ 即 ｋｘ ｙ ｋ 圆心 Ｃ 到切线
３＝ ( ＋１)ꎬ － ＋ ＋３＝０ꎬ
心连线 Ｃ Ｃ 所在直线的方程为 ｙ ４ｘ 记为 ｋ
１ ２ ＝ ꎬ 的距离为｜３ ＋２｜ 解得 ｋ ５ 则切线方
３ ＝３ꎬ ＝ ꎬ
ｋ２
１２
æ ö ＋１
ｌ ｌ 与 ｌ 交于点Ｐç ４÷ 由两圆另一外公
程为 ｘ ｙ .
ꎬ １ è－１ꎬ－ øꎬ ５ －１２ ＋４１＝０
３
综上 切线方程为 ｘ 或 ｘ ｙ .
切线 ｌ 过点 Ｐ 设 ｌ ｙ ４ ｋ ｘ 由 ｌ 与 ꎬ ＝－１ ５ －１２ ＋４１＝０
２ ꎬ ２: ＋
３
＝ ( ＋１)ꎬ ２ ＰＣ ＰＡ ＰＢ ＰＣ２ ｒ２
(２) ｜ ｜ ＝ １３ꎬ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝ － ＝
ｋ ４
－ １３－９ ＝２ꎬ
圆 Ｃ ｘ２ ｙ２ 相切 得 ３ 求出 ｋ
ＣＡ
１: ＋ ＝１ ꎬ
ｋ２
＝１ꎬ ＝
则 ＣＰＡ ｜ ｜ ３
１＋ ｓｉｎ∠ ＝ ＰＣ ＝ ꎬ
｜ ｜ １３
７ 则直线 ｌ 的方程为 ｘ ｙ 由内
２４ ꎬ ２ ７ －２４ －２５＝０ꎬ ＡＰＢ ２ ＣＰＡ æ çç ３ ö ÷÷ ２
ｃｏｓ∠ ＝ １－２ｓｉｎ ∠ ＝ １－２× è ø ＝
１３
公切线 ｌ 与 ｌ 垂直 设 ｌ 的方程为 ｙ ３ｘ
３ ꎬ ３ ＝－ ＋
４ ５
－ ꎬ
ｍ
１３
ｍ 由 ｌ 与圆 Ｃ ｘ２ ｙ２ 相切得 ｜ ｜
ꎬ ３ １: ＋ ＝１ æ ö２ Ｐ→Ａ Ｐ→Ｂ Ｐ→Ａ Ｐ→Ｂ ＡＰＢ
ç ３÷ ∴ ＝ ｜ ｜ ｜ ｜ ｃｏｓ∠ ＝ ２×２×
１＋è－ ø æ ö
４
ç ５ ÷ ２０.
è－ ø ＝－
ｍ ５ 或 ５.当 ｍ ５ 时 ｙ ３ ｘ １３ １３
＝１ꎬ∴ ＝ － ＝－ ꎬ ＝－ －
４ ４ ４ ４
考法 三 与圆有关的最值问题
５ 与圆Ｃ 不相切 不符合题意 舍去.故ｍ
ꎬ ２ ꎬ ꎬ ＝
４ １.( 北京ꎬ ꎬ 分)已知半径为 的圆经过
２０２０ ５ ４ １
５ 则直线 ｌ 的方程为 ｘ ｙ . 点 则其圆心到原点的距离的最小值为
ꎬ ３ ３ ＋４ －５＝０ (３ꎬ４)ꎬ
４
综上 可知三条切线方程分别为 ｘ ｘ ( )
ꎬ ＝－１ꎬ３ ＋
ｙ ｘ ｙ . Ａ.４ Ｂ.５ Ｃ.６ Ｄ.７
４ －５＝０ꎬ７ －２４ －２５＝０
答案 Ａ 设圆心为 Ａ ｘ ｙ 由已知得 ｘ
( ꎬ )ꎬ ( －
２ ｙ ２ 即 Ａ 在以 为圆心
３) ＋( －４) ＝１ꎬ (３ꎬ４) ꎬ１
为半径的圆上 所以圆心 Ａ 到原点的距离的
ꎬ 专
题
最小值为
２ ２
.故
九
(３－０) ＋(４－０) －１＝５－１＝４
选 . 平
Ａ 面
２.(
２０２０
课标
Ⅰ
文ꎬ
６
ꎬ
５
分)已知圆 ｘ２
＋
ｙ２
－６
ｘ
＝
解
析
几
过点 的直线被该圆所截得的弦的长 何
０ꎬ (１ꎬ２)
３４５
度的最小值为 确.故选
( ) ＡＣＤ.
４.(多选)( 届南京学情调研ꎬ )已知直
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４ ２０２３ １１
答案 Ｂ 设圆的圆心为 Ｃ 点 Ｐ 的坐标为 线 ｌ ｘ 点 Ｐ 圆心为 Ｍ 的动圆经
ꎬ : ＋１＝０ꎬ (１ꎬ０)ꎬ
过点 Ｐ 的直线与圆 Ｃ 交于 Ａ Ｂ 两 过点 Ｐ 且与直线 ｌ 相切 则
(１ꎬ２)ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ( )
点 圆的方程可化为 ｘ ２ ｙ２ 则圆心 Ｃ 点 Ｍ 的轨迹为抛物线
ꎬ ( －３) ＋ ＝９ꎬ Ａ.
的坐标为 半径 ｒ 设圆心到直线 圆 Ｍ 面积的最小值为
(３ꎬ０)ꎬ ＝ ３ꎬ Ｂ. ４π
ＡＢ 的 距 离 为 ｄ 则 ｄ ＣＰ
ꎬ ≤ ｜ ｜ ＝ 当圆 Ｍ 被 ｙ 轴截得的弦长为 时 圆 Ｍ
Ｃ. ２ ５ ꎬ
２ ２ 故 ＡＢ ｒ２ ｄ２ 的半径为
(３－１) ＋(０－２) ＝２ ２ꎬ ｜ ｜ ＝２ － ３
则所求的最小值为 .故选 .
ＭＯ
≥２ꎬ ２ Ｂ
存在点 Ｍ 使得｜ ｜ ２ ３ 其中 Ｏ 为坐
３.(多选)( 届江苏扬州高邮学情调研ꎬ Ｄ. ꎬ ＭＰ ＝ ꎬ
２０２３ ｜ ｜ ３
)过点 Ｐ 的直线 ｌ 与圆 Ｃ ｘ２ ｙ２ ｙ 标原点
１２ (－１ꎬ０) : ＋ －４
交于 Ａ Ｂ 两点 线段 ＭＮ 是圆 Ｃ 的一 答案 ＡＣＤ 对于 由题意知点 Ｍ 到点 Ｐ
－１２＝０ ꎬ ꎬ Ａꎬ
与到定直线ｌ 的距离相等 且点Ｐ 不在直线ｌ
条动弦 且 ＭＮ 则
ꎬ
ꎬ ｜ ｜ ＝２ ７ꎬ ( )
上 符 合 抛 物 线 定 义
ＡＢ 的最小值为 ꎬ ꎬ
Ａ.｜ ｜ ２ １１
点 Ｍ 的轨迹为抛物线 正确
ＡＢＣ 面积的最大值为 ∴ ꎬＡ ꎻ
Ｂ.△ ８
对于 由 知 点 Ｍ 的轨迹为抛物线 则当
ＡＢＣ 面积的最大值为 Ｂꎬ Ａ ꎬ ꎬ
Ｃ.△ ５５ Ｍ 与坐标原点重合时 点 Ｍ 到直线 ｌ 的距离
ꎬ
Ｐ→Ｍ Ｐ→Ｎ 的最小值为
Ｄ.｜ ＋ ｜ ６－２ ５ 最小 即此时圆 Ｍ 的半径最小 即 ｒ
答案 ＡＣＤ ｘ２ ｙ２ ｙ 即 ｘ２ ꎬ ꎬ ｍｉｎ ＝１ꎬ∴
∵ ＋ －４ －１２ ＝ ０ ＋ 圆 Ｍ 面积的最小值为 错误
πꎬＢ ꎻ
ｙ ２ 圆心为 Ｃ 半径 ｒ .Ｐ
( －２) ＝１６ꎬ∴ (０ꎬ２)ꎬ ＝４ 对于 由 得点 Ｍ 的轨迹方程为 ｙ２ ｘ
Ｃꎬ Ａ ＝４ ꎬ
在圆 Ｃ 内 ＰＣ
设 Ｍ ｘ ｙ 则圆Ｍ 的半径ｒ ｘ 点Ｍ 到ｙ
(－１ꎬ０) ꎬ｜ ｜ ＝ ５ꎬ
( ꎬ )ꎬ ＝ ＋１ꎬ
设圆心 Ｃ 到直线 ＡＢ 的距离为 ｄ 由题意得
轴的距离 ｄ ｘ
ꎬ ０
＝ ꎬ
ｄ
≤ ≤ ５ꎬ ｒ２ ｄ２ ｘ ２ ｘ２ 解得 ｘ
∴ ２ － ＝ ２ ( ＋１) － ＝ ２ ５ꎬ
ＡＢ ｄ２ ＡＢ
∵ ｜ ｜ ＝２ １６－ ꎬ∴ ｜ ｜ｍｉｎ ＝２ １６－５ ＝２ ＝２ꎬ
故 正确. 圆 Ｍ 的半径 ｒ ｘ 正确
１１ꎬ Ａ ∴ ＝ ＋１＝３ꎬＣ ꎻ
ＭＯ
Ｓ １ ＡＢ ｄ １ ｄ２ ｄ 对于 假设存在点 Ｍ 使得｜ ｜ ２ ３.设
△ ＡＢＣ ＝ ｜ ｜ ＝ × ２ １６－ ＝ Ｄꎬ ꎬ ＭＰ ＝
２ ２ ｜ ｜ ３
ｄ２ ｄ４ ｄ２ ２ ｄ２ ｙ４
１６ － ＝ －( －８) ＋６４ꎬ∵ ０≤ ≤５ꎬ∴ ｙ２
æｙ２ ö ＭＯ ２ ＋
当 ｄ２ 时 Ｓ 故 错误 Ｍç ｙ÷ 则｜ ｜ １６ ４ 整理可
＝５ ꎬ( △ ＡＢＣ)ｍａｘ ＝ ５５ꎬ Ｂ ꎬＣ è ꎬ øꎬ ＭＰ ２ ＝æｙ２ ö２ ＝ ꎬ
5 正确. ４ ｜ ｜ è ç －１ø ÷ ＋ ｙ２ ３
年 ４
高 取 ＭＮ 的中点 Ｅ 连接 ＣＥ 则 ＣＥ ＭＮ 又
考 ꎬ ꎬ ⊥ ꎬ ｜ 得 ｙ４ ｙ２ 解得 ｙ２ ｙ
－１６ ＋６４＝０ꎬ ＝８ꎬ∴ ＝±２ ２ꎬ
3
ＭＮ 则 ＣＥ 点Ｅ 的轨
年 ｜ ＝２ ７ꎬ ｜ ｜ ＝ １６－７ ＝３ꎬ∴ Ｍ 或 正确. 故
模 ∴ (２ꎬ２ ２) (２ꎬ－ ２ ２)ꎬＤ
拟 迹是以 Ｃ 为圆心 为半径的圆.
(０ꎬ２) ꎬ３ 选
A ＡＣＤ.
版
因为
｜
Ｐ→Ｍ
＋
Ｐ→Ｎ
｜ ＝２｜
Ｐ→Ｅ
｜ꎬ
且
｜
Ｐ→Ｅ
｜ｍｉｎ ＝３－｜
ＰＣ
｜ ５.(多选)(
２０２１
新高考
Ⅰ
ꎬ
１１
ꎬ
５
分)已知点 Ｐ
高
考 ＝３－ ５ꎬ 在圆 ( ｘ －５) ２ ＋( ｙ －５) ２ ＝１６ 上 ꎬ 点 Ａ (４ꎬ０)ꎬ
数
学 所以 Ｐ→Ｍ Ｐ→Ｎ 的最小值为 故 正 Ｂ 则
｜ ＋ ｜ ６－２ ５ꎬ Ｄ (０ꎬ２)ꎬ ( )
３４６
点 Ｐ 到直线 ＡＢ 的距离小于 ｋ
Ａ. １０ 故由 ｄ ｜ ＋ ２ ｜ 且 ｋ 解得 ｋ .故
点 Ｐ 到直线 ＡＢ 的距离大于 ＝ ＝ ２ >０ꎬ ＝２ ２
Ｂ. ２
ｋ２
＋１
当 ＰＢＡ 最小时 ＰＢ 选 .
Ｃ. ∠ ꎬ｜ ｜ ＝３ ２ Ａ
当 ＰＢＡ 最大时 ＰＢ ７.( 届广东六校联考ꎬ )已知 Ｃ ｘ２ ｙ２
Ｄ. ∠ ꎬ｜ ｜ ＝３ ２ ２０２３ １５ ☉ : ＋ －
答案 ＡＣＤ 由题意可知直线 ＡＢ 的方程为 ｘ ｙ 直线 ｌ ｘ ｙ Ｍ 为直线 ｌ
２ －２ －２＝０ꎬ : ＋２ ＋２＝０ꎬ
ｘ ｙ 上的动点 过点 Ｍ 作 Ｃ 的切线 ＭＡ ＭＢ 切
即 ｘ ｙ 则圆心 到直 ꎬ ☉ ꎬ ꎬ
＋ ＝１ꎬ ＋２ －４＝０ꎬ (５ꎬ５) 点为 Ａ Ｂ 当四边形 ＭＡＣＢ 的面积取最小值
４ ２
ꎬ ꎬ
时 直线 ＡＢ 的方程为 .
线 ＡＢ 的距离 ｄ ｜５＋２×５－４｜ １１ ５ 直 ꎬ
＝ ＝ >４ꎬ∴
２ ２ ５ 答案 ｘ ｙ
１ ＋２ ＋２ ＋１＝０
线 ＡＢ 与圆 ｘ ２ ｙ ２ 相离 解析 Ｃ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ 的标准方程
( －５) ＋( －５) ＝１６ ꎬ ☉ : ＋ －２ －２ －２＝０
点 Ｐ 到直线 ＡＢ 的距离的取值范围为 为 ｘ ２ ｙ ２ 则圆心 Ｃ 半径
∴ ( －１) ＋( －１) ＝４ꎬ (１ꎬ１)ꎬ
é ù ｒ .连接 ＣＭ.
ê
１１ ５ １１ ５
ú
１１ ５
＝２
ë êê －４ꎬ ＋４û úúꎬ∵ － ４∈(０ꎬ１)ꎬ 因为四边形 ＭＡＣＢ 的面积 Ｓ Ｓ ＣＡ
５ ５ ５ ＝２ △ ＣＡＭ ＝ ｜ ｜
ＡＭ ＡＭ ＣＭ ２ 要使四边形
１１ ５ ｜ ｜ ＝２｜ ｜ ＝２ ｜ ｜ －４ꎬ
＋４∈(８ꎬ９)ꎬ∴
５ ＭＡＣＢ 的面积最小 则 ＣＭ 最小 此时 ＣＭ
ꎬ ｜ ｜ ꎬ
选项 正确 选项
Ａ ꎬ Ｂ 与直线 ｌ 垂直
ꎬ
错误.过点Ｂ 作圆的两
直线 ＣＭ 的方程为 ｙ ｘ 即 ｙ ｘ
－１＝２( －１)ꎬ ＝２
条切线 切点分别为
ꎬ
－１ꎬ
Ｐ Ｐ 如图 当点 Ｐ 在切点 Ｐ 的位置时
１ꎬ ２ꎬ ꎬ １ ꎬ 联立 {ｙ ＝２ ｘ －１ꎬ 解得 Ｍ 则 ＣＭ
ＰＢＡ 最小 当点 Ｐ 在切点 Ｐ 的位置时
∠ ꎬ ２ ꎬ ｘ ｙ (０ꎬ－１)ꎬ ｜ ｜
＋２ ＋２＝０ꎬ
ＰＢＡ 最大 易知 Ｐ Ｂ Ｐ Ｂ 圆心
∠ ꎬ ｜ １ ｜ ＝ ｜ ２ ｜ꎬ (５ꎬ５)
＝ ５ꎬ
到点 Ｂ 的距离为 圆的半径为 所以
３４ꎬ ４ꎬ ｜ æ ö２
则以 ＣＭ 为直径的圆的方程为çｘ １÷ ｙ２
Ｐ Ｂ Ｐ Ｂ 故选项 è － ø ＋
１ ｜ ＝ ｜ ２ ｜ ＝ ３４－１６ ＝ １８ ＝３ ２ꎬ ２
均正确.故选 .
ＣꎬＤ ＡＣＤ ５
６.( 四省八校期中ꎬ )若倾斜角为锐角的 ＝ ꎬ
４
２０２２ １０
与 Ｃ 的方程作差可得直线 ＡＢ 的方程为 ｘ
直线 ｌ ｙ ｋｘ 与圆 Ｃ ｘ２ ｙ２ ｘ ｙ ☉ ＋
: ＝ ＋ ２＋１ : ＋ －２ －２ －２
ｙ .
交于 Ａ Ｂ 两点 当 ＡＢＣ 的面积最大时 ２ ＋１＝０
＝０ 、 ꎬ △ ꎬ
８.( 届湖北起点考试ꎬ )已知圆 Ｃ ｘ
直线 ｌ 的斜率为 ２０２３ １５ :( －
( )
２ ｙ ２ 过点 Ｐ 作不过圆心的
３) ＋( －４) ＝４ꎬ (３ꎬ３)
Ａ.２ ２ Ｂ. ２ Ｃ. ２＋１ Ｄ.１
直线交圆 Ｃ 于 Ａ Ｂ 两点 则 ＡＢＣ 面积的取
答案 Ａ 易得直线 ｌ 过定点 Ｐ ꎬ ꎬ △
(０ꎬ ２＋１)ꎬ 值范围是 .
且在圆 Ｃ 内 圆 Ｃ 的圆心为 Ｃ 半径 Ｒ
ꎬ (１ꎬ１)ꎬ
答案
.因为 ＡＣＢ 所以 ＡＣＢ (０ꎬ ３]
＝２ ０<∠ <πꎬ ０<ｓｉｎ∠ ≤１ꎬ
解析 因为 Ｃ 过点 Ｐ 的直线不
专
(３ꎬ４)ꎬ (３ꎬ３)
所以 Ｓ １Ｒ２ ＡＣＢ 所以当 ＡＣＢ 题
△ ＡＢＣ＝ ｓｉｎ∠ ≤２ꎬ ∠ 过圆心 所以该直线的斜率存在 设其方程 九
２ ꎬ ꎬ
为 ｙ ｋ ｘ 即 ｋｘ ｙ ｋ 所以圆 平
π 即 ＡＣ ＢＣ 时 ＡＢＣ 的面积最大 此 －３＝ ( －３)ꎬ － －３ ＋３＝０ꎬ 面
＝ ꎬ ⊥ ꎬ△ ꎬ 解
２ 心 Ｃ 到该直线的距离 ｄ １ 因 析
＝ ∈(０ꎬ１]ꎬ 几
时 ＡＢ 圆心到直线 ｌ 的距离 ｄ ｋ２ 何
｜ ｜ ＝２ ２ꎬ ＝ ２ꎬ ＋１
３４７
为 ＡＢ ｒ２ ｄ２ ｄ２ 所以 Ｓ
｜ ｜ ＝ ２ － ＝ ２ ４－ ꎬ △ ＡＢＣ ＝
１ ＡＢ ｄ ｄ ｄ２ ｄ４ ｄ２ .
｜ ｜ ＝ ４－ ＝ － ＋４ ∈(０ꎬ ３]
２
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
３４８
