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8.2 点、线、面的位置关系
基础篇
考点 一 点、线、面的位置关系 题中的真命题是
( )
若 ｍ β α β 则 ｍ α
１.( 届江苏常州一中期初检测ꎬ )设 ｍ ｎ Ａ. ⊂ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥
２０２３ ３ ꎬ
若 α γ ｍ β γ ｎ ｍ ｎ 则 α β
是两条不同的直线 α β 是两个不同的平面 Ｂ. ∩ ＝ ꎬ ∩ ＝ ꎬ ∥ ꎬ ∥
ꎬ ꎬ ꎬ
若 ｍ β ｍ α 则 α β
则下列说法正确的是 Ｃ. ⊥ ꎬ ∥ ꎬ ⊥
( )
若 α γ α β 则 β γ
若 ｍ α ｎ β ｍ ｎ 则 α β Ｄ. ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥
Ａ. ⊥ ꎬ ⊂ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥
答案 Ｃ 对于 若 ｍ β α β 则 ｍ α
若 ｍ α ｍ ｎ 则 ｎ α Ａꎬ ⊂ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥
Ｂ. ∥ ꎬ ∥ ꎬ ∥
或 ｍ α 或 ｍ α 或 ｍ 与 α 相交但不垂直
若 ｍ ｎ ｎ β ｍ α 则 α β ∥ ⊂ ꎬ
Ｃ. ∥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊂ ꎬ ⊥
故 中命题错误.
若 α β α β ｍ ｎ ｍ 则 ｎ β Ａ
Ｄ. ⊥ ꎬ ∩ ＝ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥
对于 若 α γ ｍ β γ ｎ ｍ ｎ 则 α β
答案 Ｃ 对于 若 ｍ α ｎ β ｍ ｎ 则 Ｂꎬ ∩ ＝ ꎬ ∩ ＝ ꎬ ∥ ꎬ ∥
Ａꎬ ⊥ ꎬ ⊂ ꎬ ⊥ ꎬ
或 α 与 β 相交 故 中命题错误.
α 与 β 平行或相交 故 错误 ꎬ Ｂ
ꎬ Ａ ꎻ
对于 若ｍ α 则在α 内必存在直线ｌ 使ｌ
对于 若 ｍ α ｍ ｎ 则 ｎ α 或 ｎ α 故 Ｃꎬ ∥ ꎬ ꎬ
Ｂꎬ ∥ ꎬ ∥ ꎬ ∥ ⊂ ꎬ
ｍ 又 ｍ β 所以 ｌ β 故 α β 故 中命
错误 ∥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ Ｃ
Ｂ ꎻ
题正确.
对于 若ｍ ｎ ｎ β 则ｍ β 又ｍ α 所
Ｃꎬ ∥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊂ ꎬ
对于 若 α γ α β 则 β γ 或 β γ 或 β
以由面面垂直的判定定理可得 α β 故 Ｄꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ∥
⊥ ꎬ Ｃ
与 γ 相交但不垂直 故 中命题错误.故
正确
ꎬ Ｄ
ꎻ
选 .
对于 若 α β α β ｍ ｎ ｍ 则 ｎ β 或 Ｃ
Ｄꎬ ⊥ ꎬ ∩ ＝ ꎬ ⊥ ꎬ ⊂
４.( 广东茂名一模ꎬ )下面四个命题中 其
ｎ 与 β 相交或 ｎ β 故 错误.故选
２０２２ ３ ꎬ
∥ ꎬ Ｄ Ｃ.
２.( 广东惠州一中月考ꎬ )已知 ｍ ｎ 为两 中正确的命题是
( )
２０２２ ４ ꎬ
ｐ 如果两个平行平面同时和第三个平面相
条不同的直线 α β 为两个不同的平面 则下
ꎬ ꎬ ꎬ
１:
交 那么它们的交线平行
列说法正确的是
ꎬ
( )
若 ｍ ｎ ｎ α 则 ｍ α ｐ 两个平面垂直 如果有一条直线垂直于这
Ａ. ∥ ꎬ ⊂ ꎬ ∥
２: ꎬ
两个平面的交线 那么这条直线与其中一个
若 ｍ α ｎ α 则 ｍ ｎ
ꎬ
Ｂ. ∥ ꎬ ⊂ ꎬ ∥
若 ｍ α ｎ β ｍ ｎ 则 α β 平面垂直
Ｃ. ⊂ ꎬ ⊂ ꎬ ∥ ꎬ ∥
若 α β ｍ α 则 ｍ β ｐ 一条直线与一个平面平行 如果过该直线
Ｄ. ∥ ꎬ ⊂ ꎬ ∥ ３: ꎬ
答案 Ｄ 对于 若 ｍ ｎ ｎ α 则 ｍ α 的平面与此平面相交 那该直线与交线平行
Ａꎬ ∥ ꎬ ⊂ ꎬ ∥ ꎬ
或 ｍ α. ｐ 一条直线与一个平面内的一条直线平行
⊂ ４: ꎬ
对于 若 ｍ α ｎ α 则 ｍ ｎ 或 ｍ ｎ 则这条直线就与这个平面平行
5 Ｂꎬ ∥ ꎬ ⊂ ꎬ ∥ 、
年 异面. ｐ 与 ｐ ｐ 与 ｐ
高 Ａ. １ ２ Ｂ. ２ ３
考 对于 若 ｍ α ｎ β ｍ ｎ 则 α β 或 α ｐ 与 ｐ ｐ 与 ｐ
3 Ｃꎬ ⊂ ꎬ ⊂ ꎬ ∥ ꎬ ∥ Ｃ. ３ ４ Ｄ. １ ３
年
与 β 相交. 答案 Ｄ 对于 ｐ 利用面面平行的性质定
模
１ꎬ
拟
对于 由 α β ｍ α 得直线 ｍ 和平面 β 理可知 ｐ 正确
A Ｄꎬ ∥ ꎬ ⊂ ꎬ １ ꎻ
版 没有公共点 所以 ｍ β 故选 . 对于 ｐ 面面垂直的性质定理 如果两个平
ꎬ ∥ ꎬ Ｄ ２ꎬ :
高 ３.( 山东潍坊月考ꎬ )若 ｍ ｎ 是两条不同 面垂直 那么在一个平面内垂直于它们交线
考
２０２２ ６ 、 ꎬ
数
学 的直线 α β γ 是三个不同的平面 则下列命 的直线垂直于另一个平面 当这条直线不在
ꎬ 、 、 ꎬ ꎬ
２７４
这两个平面内时 ｐ 错误 命题错误.因为 ＥＦ ＣＧ ＡＢ 与 ＣＧ 成 °角
２ ꎻ ∥ ꎬ ９０ ꎬ
对于 ｐ 利用线面平行的性质定理可知 ｐ 所以ＡＢ 与ＥＦ 成 °角 故 中命题错误.因
３ꎬ ３ ９０ ꎬ Ｃ
正确 为 ＣＤ ＡＥ 所以 ＥＡＢ 或其补角 为异面
ꎻ ∥ ꎬ ∠ ( )
对于 ｐ 线面平行的判定定理 平面外一条 直线 ＡＢ 与 ＣＤ 所成的角 在 ＡＥＢ 中 ＡＥ
４ꎬ : ꎬ △ ꎬ ＝
直线与此平面内的一条直线平行 则该直线 ＥＢ ＡＢ 所以 ＥＡＢ ° 所以 ＡＢ 与 ＣＤ 成
ꎬ ＝ ꎬ ∠ ＝６０ ꎬ
与此平面平行 故这条直线在平面内就错 °角 故 中命题正确.故选 .
ꎬ ６０ ꎬ Ｄ Ｄ
了 故 ｐ 错误.故选 ３.( 河北张家口 月模考ꎬ )在正方体
ꎬ ４ Ｄ. ２０２１ ３ ４
ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｐ 是正方形 ＣＤＤ Ｃ 的
考点 二 异面直线所成的角 － １ １ １ １ ꎬ １ １
中心 点Ｑ 在线段ＡＡ 上 且ＡＱ １ＡＡ Ｅ 是
１.( 湖北部分学校质量检测ꎬ )在长方体 ꎬ １ ꎬ ＝ １ꎬ
２０２２ ７ ３
ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 ＢＢ ＡＢ ＢＣ Ｐ Ｑ 分 ＢＣ 的中点 则异面直线 ＰＱ ＤＥ 所成角的大
－ １ １ １ １ ꎬ １ ＝２ ＝２ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
别为 Ｂ Ｃ ＢＣ 的中点 则异面直线 ＡＱ 与 ＢＰ 小为
１ １ꎬ ꎬ ( )
所成角的余弦值是 ° ° ° °
( ) Ａ.３０ Ｂ.４５ Ｃ.６０ Ｄ.９０
答案 Ｄ 如图所示 在正方体 ＡＢＣＤ
ꎬ －
５ ２ １７ ８５ ２ ８５
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 ＰＱ 在底
５ １７ ８５ ８５ １ １ １ １ ꎬ
答案 Ｃ 不妨设 ＡＢ 则 ＢＣ ＢＢ 面 ＡＢＣＤ 上的射影为
＝２ꎬ ＝２ꎬ
１
＝４ꎬ
连接 Ａ Ｐ Ａ Ｂ 则 Ａ Ｐ ＡＱ Ａ ＰＢ 或其 ＡＭ 在正方形 ＡＢＣＤ
１ ꎬ １ ꎬ １ ∥ ꎬ∴ ∠ １ ( ꎬ
补角 为异面直线 ＡＱ 与 ＢＰ 所成的角.由勾 中 由 Ｅ Ｍ 分别为
) ꎬ ꎬ
ＢＣ ＣＤ 的中点 可得
股定理得 ＢＰ Ａ Ｐ Ａ Ｂ 在
＝ １７ꎬ １ ＝ ５ꎬ １ ＝ ２ ５ꎬ ꎬ ꎬ
ＤＥ ＡＭ 又 ＤＥ ＡＱ 且 ＡＭ ＡＱ Ａ 所以
Ａ ＢＰ 中 由余弦定理的推论得 Ａ ＰＢ
⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ∩ ＝ ꎬ
△ １ ꎬ ꎬｃｏｓ∠ １
ＤＥ 平面 ＡＭＰＱ 又 ＰＱ 平面 ＡＭＰＱ 所以
２ ２ ２ ⊥ ꎬ ⊂ ꎬ
( １７) ＋( ５) －(２ ５) ８５.故选 .
＝ ＝ Ｃ ＤＥ ＰＱ 则异面直线 ＰＱ ＤＥ 所成角的大小
２× １７× ５ ８５ ⊥ ꎬ ꎬ
为 °.故选 .
２.( 全国新高考月考一ꎬ )正方体的平面 ９０ Ｄ
２０２２ ５
展开图如图 下列命题正确的是
ꎬ ( )
ＡＢ 与 ＣＦ 成 °角 ＢＤ 与 ＥＦ 成 °角
Ａ. ４５ Ｂ. ４５
ＡＢ 与 ＥＦ 成 °角 ＡＢ 与 ＣＤ 成 °角
Ｃ. ６０ Ｄ. ６０
答案 Ｄ 由题意 将正方体的平面展开图
ꎬ
还原为正方体 如图 因为 ＣＦ 平面 ＡＣＢＧ
ꎬ ꎬ ⊥ ꎬ
ＡＢ 平面 ＡＣＢＧ 所以 ＡＢ ＣＦ 故 ＡＢ 与 ＣＦ
⊂ ꎬ ⊥ ꎬ
成 °角 故 中命题错
９０ ꎬ Ａ
专
误.因为 ＢＤ ＣＦ ＣＦ
题
∥ ꎬ ⊥
八
ＥＦ 所以 ＢＤ ＥＦ 故 ＢＤ
ꎬ ⊥ ꎬ 立
与 ＥＦ 成 °角 故 中 体
９０ ꎬ Ｂ 几
何
２７５
综合篇
考法 一 点、线、面位置关系的判定及其应用 β 故错误.故选
ꎬ ＢＣ.
３.(多选)( 届湖北名校联盟联合测评ꎬ )
１.( 广东ꎬ ꎬ 分)若直线 ｌ 和 ｌ 是异面直 ２０２３ ９
２０１５ ６ ５ １ ２
已知 Ｅ Ｆ Ｇ Ｈ 分别是三棱锥 Ａ ＢＣＤ 的棱
线 ｌ 在平面α内 ｌ 在平面β内 ｌ 是平面α与 、 、 、 －
ꎬ１ ꎬ２ ꎬ
ＡＢ ＡＤ ＣＤ ＣＢ 上的点 不是端点 则下列
平面β的交线 则下列命题正确的是
、 、 、 ( )ꎬ
ꎬ ( )
说法正确的是
ｌ 与 ｌ ｌ 都不相交
( )
Ａ. １ꎬ ２
若直线 ＥＦ ＨＧ 相交 则交点一定在直线
ｌ 与 ｌ ｌ 都相交
Ａ. 、 ꎬ
Ｂ. １ꎬ ２
ｌ 至多与 ｌ ｌ 中的一条相交 ＢＤ 上
Ｃ. １ꎬ ２
ｌ 至少与 ｌ ｌ 中的一条相交 若直线 ＥＦ ＨＧ 异面 则直线 ＥＦ ＨＧ 中至
Ｄ. １ꎬ ２ Ｂ. 、 ꎬ 、
答案 Ｄ 解法一 如图 ｌ 与 ｌ 是异面直 少有一条与直线 ＢＤ 相交
: １ꎬ １ ２
线 ｌ 与 ｌ 平行 ｌ 与 ｌ 相交 故 不正确 若直线 ＥＦ ＨＧ 异面 则直线 ＥＦ ＨＧ 中至
ꎬ １ ꎬ ２ ꎬ ＡꎬＢ ꎻ Ｃ. 、 ꎬ 、
如图 ｌ 与 ｌ 是异面直线 ｌ ｌ 都与 ｌ 相 少有一条与直线 ＢＤ 平行
２ꎬ １ ２ ꎬ １ꎬ ２
交 故 不正确 选 . 若直线 ＥＦ ＨＧ 平行 则直线 ＥＦ ＨＧ 与直
ꎬ Ｃ ꎬ Ｄ Ｄ. 、 ꎬ ꎬ
线 ＢＤ 平行
答案 ＡＢＤ 对于 若直线 ＥＦ ＨＧ 相交
Ａꎬ 、 ꎬ
设 ＥＦ ＧＨ Ｐ 则 Ｐ ＥＦ Ｐ ＧＨ 又 ＥＦ
∩ ＝ ꎬ ∈ ꎬ ∈ ꎬ ⊂
平面 ＡＢＤ ＧＨ 平面 ＢＤＣ 所以 Ｐ 是平面
解法二 因为ｌ 分别与ｌ ｌ 共面 故ｌ 与ｌ ｌ ꎬ ⊂ ꎬ
: １ꎬ ２ ꎬ １ꎬ ２ ＡＢＤ 与平面ＣＢＤ 的公共点 由基本事实 可
要么都不相交 要么至少与 ｌ ｌ 中的一条相 ꎬ ３
ꎬ １ꎬ ２ 知 点 Ｐ 在平面 ＡＢＤ 与平面 ＣＢＤ 的交线 ＢＤ
交.若 ｌ 与 ｌ ｌ 都不相交 则 ｌ ｌ ｌ ｌ 从 ꎬ
１ꎬ ２ ꎬ ∥ １ꎬ ∥ ２ꎬ 上 即 Ｐ ＢＤ 正确
而 ｌ ｌ 与 ｌ ｌ 是异面直线矛盾 故 ｌ 至少 ꎬ ∈ ꎬＡ ꎻ
１∥ ２ꎬ １ꎬ ２ ꎬ 对于 用反证法 假设结论不成立 即直线
与 ｌ ｌ 中的一条相交 选 . Ｂꎬ : ꎬ
１ꎬ ２ ꎬ Ｄ
ＥＦ ＨＧ 与直线 ＢＤ 都不相交 即两直线与直
２.(多选)( 福建莆田锦江中学期中ꎬ )已 、 ꎬ
２０２２ ９
线 ＢＤ 平行 当 ＥＦ ＢＤ 且 ＨＧ ＢＤ 时 ＥＦ
知 ｍ ｎ 为两条不重合的直线 α β 为两个不 ꎬ ∥ ꎬ ∥ ꎬ
ꎬ ꎬ ꎬ
ＨＧ 所以若直线 ＥＦ ＨＧ 都与直线 ＢＤ 平
重合的平面 则 ∥ ꎬ 、
ꎬ ( )
行 则直线 ＥＦ ＨＧ 共面 与已知两直线 ＥＦ
若 ｍ α ｎ β α β 则 ｍ ｎ ꎬ 、 ꎬ 、
Ａ. ∥ ꎬ ∥ ꎬ ∥ ꎬ ∥
ＨＧ 异面矛盾 从而可得 正确
若 ｍ α ｎ β α β 则 ｍ ｎ ꎬ Ｂ ꎻ
Ｂ. ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥
对于 如图所示 尽管有直线 ＥＦ ＨＧ 异面
若 ｍ ｎ ｍ α ｎ β 则 α β Ｃꎬ ꎬ 、 ꎬ
Ｃ. ∥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ∥
但直线 ＥＦ ＨＧ 也可都与直线 ＢＤ 相交 故
若 ｍ ｎ ｎ α α β 则 ｍ β
、 ꎬ Ｃ
5 Ｄ. ∥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ∥
年 答案 ＢＣ 对于 若 ｍ α ｎ β α β 错误
高 Ａꎬ ∥ ꎬ ∥ ꎬ ∥ ꎬ ꎻ
考
则 ｍ 与ｎ 相交 平行或异面 故错误.对于
3
、 ꎬ Ｂꎬ
年
若 ｍ α ｎ β α β 则由线面垂直 面面垂
模
⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ 、
拟
直的性质定理得 ｍ ｎ 故正确.对于 若 ｍ
A ⊥ ꎬ Ｃꎬ
版 ｎ ｍ α ｎ β 则由线面垂直的性质定理
∥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ
高
和面面平行的判定定理得 α β 故正确.对
考
∥ ꎬ
数
学 于 若 ｍ ｎ ｎ α α β 则 ｍ β 或 ｍ 对于 若 ＥＦ ＨＧ 又 ＥＦ 平面 ＢＣＤ 且
Ｄꎬ ∥ ꎬ ⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ∥ ⊂ Ｄꎬ ∥ ꎬ ⊄ ꎬ
２７６
ＧＨ 平面 ＢＣＤ 则 ＥＦ 平面 ＢＣＤ 又 ＥＦ 答案 Ｃ 连接 ＢＥ.因为
⊂ ꎬ ∥ ꎬ ⊂
平面 ＡＢＤ 平面 ＡＢＤ 平面 ＢＣＤ ＢＤ 所以 ＣＤ ＡＢ 所以 ＥＡＢ 或
ꎬ ∩ ＝ ꎬ ∥ ꎬ ∠ (
ＥＦ ＢＤ 又 ＥＦ ＨＧ 所以 ＨＧ ＢＤ 正 其补角 为异面直线 ＡＥ
∥ ꎬ ∥ ꎬ ∥ ꎬＤ )
确 故选 与 ＣＤ 所成的角.设正方体
ꎬ ＡＢＤ.
４.( 届广西柳州摸底ꎬ )在正方体 ＡＢＣＤ 的棱长为 则 ＢＥ .因
２０２３ １６ － ２ꎬ ＝ ５
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 点 Ｅ 为线段 Ｂ Ｄ 上的动点 现 为 ＡＢ 平面 ＢＣＥ ＢＥ 平面 ＢＣＥ 所以 ＡＢ
１ １ １ １ ꎬ １ １ ꎬ ⊥ ꎬ ⊂ ꎬ
有下面四个命题
: ＢＥ
ＢＥ 则 ＥＡＢ ５.故选 .
直线 ＤＥ 与直线 ＡＣ 所成角为定值 ⊥ ꎬ ｔａｎ∠ ＝ＡＢ＝ Ｃ
① ꎻ ２
点 Ｅ 到直线 ＡＢ 的距离为定值 ２.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)已知直三棱柱
② ꎻ
２０１７ Ⅱ １０ ５
三棱锥 Ｅ Ａ ＢＤ 的体积为定值
③ － １ ꎻ ＡＢＣ － Ａ １ Ｂ １ Ｃ １ 中 ꎬ∠ ＡＢＣ ＝１２０ ° ꎬ ＡＢ ＝２ꎬ ＢＣ ＝
三棱锥 Ｅ Ａ ＢＤ 外接球的体积为定值.
④ － １ ＣＣ 则异面直线 ＡＢ 与 ＢＣ 所成角的余
其中所有真命题的序号是 . １
＝１ꎬ
１ １
弦值为
( )
答案
①③
解析 因为 ＡＣ 平面 ＢＢ Ｄ Ｄ ＤＥ 平面 ３ １５ １０ ３
⊥ １ １ ꎬ ⊂ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２ ５ ５ ３
ＢＢ Ｄ Ｄ 所以恒有 ＡＣ ＤＥ 则直线 ＤＥ 与直
１ １ ꎬ ⊥ ꎬ 答案 Ｃ 将直三棱柱 ＡＢＣ Ａ Ｂ Ｃ 补形成
线 ＡＣ 所成角为 ° 所以 是真命题.点 Ｅ
－
１ １ １
９０ ꎬ ① 直四棱柱 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 如图 连接
到直线 ＡＢ 的距离与点 Ｅ 到直线 Ａ Ｂ 的距 － １ １ １ １( )ꎬ
１ １ ＡＤ Ｂ Ｄ 则 ＡＤ ＢＣ .
离有关 所以 是假命 １ꎬ １ １ꎬ １∥ １
ꎬ ②
题.因为 Ｂ Ｄ ＢＤ 所以
１ １∥ ꎬ
由线面平行的判定定理
可得 Ｂ Ｄ 平面 Ａ ＢＤ
１ １∥ １ ꎬ
故点 Ｅ 到平面 Ａ ＢＤ 的
１
则 Ｂ ＡＤ 或其补角 为异面直线 ＡＢ 与
距离 ｄ 为定值 则 Ｖ １ ｄ Ｓ 为定 ∠ １ １( ) １
ꎬ Ｅ － Ａ １ ＢＤ ＝ △ Ａ １ ＢＤ ＢＣ 所成的角 易求得 ＡＢ ＢＣ ＡＤ
３ １ ꎬ １ ＝ ５ꎬ １ ＝ １ ＝
值 所以 是真命题.Ｂ Ｄ 平面 Ａ ＢＤ Ｅ 在
Ｂ Ｄ .在 ＡＢ Ｄ 中 由余弦定理的
ꎬ ③ １ １∥ １ ꎬ ２ꎬ １ １ ＝ ３ △ １ １ ꎬ
Ｂ Ｄ 上移动 例如点Ｅ 在Ｄ 处和在Ｂ Ｄ 的
１ １ ꎬ １ １ １
推论得 Ｂ ＡＤ １０.故选 .
中点处时 三棱锥 Ｅ Ａ ＢＤ 的外接球半径不 ｃｏｓ∠ １ １ ＝ Ｃ
ꎬ － １ ５
同 故其外接球的体积不是定值 所以 是 ３.( 福建双十中学质检ꎬ )三棱锥 Ａ ＢＣＤ
ꎬ ꎬ ④ ２０２２ ７ －
假命题.故答案为 . 的所有棱长都相等 Ｍ Ｎ 分别是棱 ＡＤ ＢＣ
①③
ꎬ ꎬ ꎬ
的中点 则异面直线 ＢＭ 与 ＡＮ 所成角的余
考法 二 异面直线所成的角的求解方法 ꎬ
弦值为
( )
考向一 平移法求异面直线所成角
１ ２ ３ ２
１.( 重庆一中检测ꎬ )在正方体 ＡＢＣＤ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２０２２ ６ － ３ ４ ３ ３
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｅ 为棱 ＣＣ 的中点 则异面直 答案 Ｄ 连接 ＤＮ 取 ＤＮ 的中点 Ｏ 连接 专
１ １ １ １ ꎬ １ ꎬ ꎬ ꎬ 题
线 ＡＥ 与 ＣＤ 所成角的正切值为 ＭＯ ＢＯ Ｍ 是 ＡＤ 的中点 ＭＯ ＡＮ 八
( ) ꎬ ꎬ∵ ꎬ∴ ∥ ꎬ∴
立
ＢＭＯ 或其补角 是异面直线 ＢＭ 与 ＡＮ 所
体
∠ ( )
２ ３ ５ ７ 几
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 成的角.设三棱锥 Ａ ＢＣＤ 的所有棱长为 何
２ ２ ２ ２ － ２ꎬ
２７７
则 ＡＮ ＢＭ ＤＮ ５.( 山东泰安三模ꎬ )
＝ ＝ ＝ ２０２１ ６
２ ２ 则 ＭＯ 如图 ＡＢ 为圆锥底面直
２ －１ ＝ ３ꎬ ＝ ꎬ
径 点 Ｃ 是底面圆 Ｏ 上异
ꎬ
１ＡＮ ３ ＮＯ １ＤＮ
＝ ＝ ＝ ꎬ 于Ａ Ｂ 的动点 已知ＯＡ
２ ２ ２ ꎬ ꎬ ＝
则 ＢＯ ＢＮ２ ＮＯ２ 圆锥侧面展开图是圆心角为 的扇
＝ ＋ ＝ ３ꎬ ３π
形 当 ＰＢ 与 ＢＣ 所成角为π时 ＰＢ 与 ＡＣ 所
３ ７.
ꎬ ꎬ
１＋ ＝
３
４ ２
成角为
在 ＢＭＯ 中 由余弦定理的推论得
( )
△ ꎬ ｃｏｓ
π π π ５π
３ ７
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
ＢＭ２ ＭＯ２ ＢＯ２ ３＋ －
３ ６ ４ ６
ＢＭＯ ＋ － ４ ４ ２
∠ ＝ ＢＭ ＭＯ ＝ ＝ ꎬ∴ 答案 Ｃ 设圆锥母线长为 ｌ 则 ｌ
２ ３ ３ ꎬ ３π＝２
２× ３×
２ 解得 ｌ
３πꎬ ＝２ꎬ
异面直线 ＢＭ 与 ＡＮ 所成角的余弦值为２.
ＰＢ ＰＣ ＰＢＣ π ＰＢＣ 是等边三角
３ ∵ ＝ ꎬ∠ ＝ ꎬ∴ △
３
４.( 全国乙理ꎬ ꎬ 分)在正方体 ＡＢＣＤ
２０２１ ５ ５ － 形 ＢＣ
ꎬ∴ ＝２ꎬ
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｐ 为 Ｂ Ｄ 的中点 则直线 ＰＢ
在 ＡＢＣ 中 ＡＣ
１ １ １ １ ꎬ １ １ ꎬ ∴ Ｒｔ△ ꎬ ＝２
与 ＡＤ 所成的角为
１ ( ) 作 ＢＤ ＡＣ 与圆 Ｏ
２ꎬ ∥
π π π π 交于点 Ｄ 连接 ＡＤ ＰＤ
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ꎬ ꎬ ꎬ
２ ３ ４ ６ 易证四边形 ＡＣＢＤ 为平
答案 Ｄ 如图所示 连接 ＢＣ Ｃ Ｐ 易知四
ꎬ １ꎬ １ ꎬ 行四边形 则 ＢＤ ＡＣ 则 ＰＢＤ 或其
边形 ＡＢＣ Ｄ 是平行四边形 ＢＣ ＡＤ ꎬ ＝ ＝２ ２ꎬ ∠ (
１ １ ꎬ∴ １∥ １ꎬ∴
补角 为 ＰＢ 与 ＡＣ 所成角 在 ＰＢＤ 中 由
Ｃ ＢＰ 或其补角 就是异面直线ＡＤ 与ＢＰ ) ꎬ △ ꎬ
∠ １ ( ) １
所成的角 设正方体的棱长为 ａ 则 ＢＣ
ＰＤ
＝
ＰＢ
＝２ꎬ
ＢＤ
＝２ ２ꎬ
可得 ＰＤ２
＋
ＰＢ２
＝
ＢＤ２
ꎬ
ꎬ ꎬ １ ＝ ２
ＰＤ ＰＢ ＰＢＤ π 即 ＰＢ 与 ＡＣ 所成
ａ Ｃ Ｐ ２ａ 连接 ＡＣ ＢＤ 设 ＡＣ 交 ＢＤ 于点 ∴ ⊥ ꎬ∴ ∠ ＝ ꎬ
ꎬ １ ＝ ꎬ 、 ꎬ ４
２
Ｏ 连接 ＯＰ 则 ＯＰ 平面 ＡＢＣＤ ＯＢ 平 角为π.故选 .
ꎬ ꎬ ⊥ ꎬ∵ ⊂ Ｃ
４
面 ＡＢＣＤ ꎬ∴ ＯＰ ⊥ ＯＢ ꎬ∴ ＰＢ ＝ ａ２ ＋ æ è çç ２ａ ö ø ÷÷ ２ ＝ ６.( ２０１５ 浙江ꎬ １３ ꎬ ４ 分)如图 ꎬ 在三棱锥 Ａ － ＢＣＤ
２ 中 ＡＢ ＡＣ ＢＤ ＣＤ ＡＤ ＢＣ 点 Ｍ Ｎ
ꎬ ＝ ＝ ＝ ＝３ꎬ ＝ ＝２ꎬ ꎬ
６ａ.在 Ｃ ＢＰ 中 分别为 ＡＤ ＢＣ 的中点 则异面直线 ＡＮ ＣＭ
△ １ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
２ 所成的角的余弦值是 .
5
ＢＰ２ ＢＣ２ ＰＣ２
年 ＰＢＣ ＋ １ － １
高 ｃｏｓ∠ １ ＝ ＢＰ ＢＣ
考 ２ １
3
年 ３
模 ＝ ꎬ
拟 ２
A ＰＢＣ π 即直线 ＰＢ 与 ＡＤ 所成的角
版 ∴ ∠ １ ＝ ꎬ １
６
答案 ７
高
考 为π.故选 . ８
数 Ｄ
学 ６ 解析 连接 ＤＮ 取 ＤＮ 的中点 Ｈ 连接 ＨＭ
ꎬ ꎬ ꎬ
２７８
ＨＣ 因为 Ｍ Ｈ 分别为 ＡＤ ＤＮ 的中点 所以 个动点 若ＭＰ 平面Ａ ＢＣ 则Ｐ 在线段ＥＦ
ꎬ 、 ꎬ ꎬ ꎬ ∥ １ １ꎬ
ＭＨ ＡＮ 所以 ＣＭＨ 或其补角 为异面直 上.因为 ＥＦ Ａ Ｃ 所以 ＭＰ 与 Ａ Ｃ 所成的
∥ ꎬ ∠ ( ) ∥ １ １ꎬ １ １
线 ＡＮ ＣＭ 所成的角.因为 ＡＢ ＡＣ ＢＤ ＣＤ 角就是 ＭＰ 与 ＥＦ 所成的角.易知 ＭＥＦ 是
ꎬ ＝ ＝ ＝ △
ＡＤ ＢＣ 又 Ｍ Ｎ 为 ＡＤ ＢＣ 的中点
＝３ꎬ ＝ ＝２ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ 等边三角形 则 ＭＰ 与 ＥＦ 所成角最大为π
ꎬ
所 以 ＣＭ ＡＤ ＡＮ ＢＣ 所 以 ＣＭ
２
⊥ ꎬ ⊥ ꎬ ＝
ＣＤ２ ＭＤ２ ＡＮ ＡＣ２ ＮＣ２ Ｐ 为 ＥＦ 的中点时 最小为π Ｐ 与 Ｅ 或 Ｆ
－ ＝ ２ ２ꎬ ＝ － ＝ ２ ２ꎬ ( )ꎬ (
３
ＭＨ
＝
１ＡＮ
＝ ２ꎬ
ＨＣ
＝
ＮＣ２
＋
ＮＨ２
＝ ３ꎬ
则
ｃｏｓ 重合时 所以所求角的范围是
é
ê π π
ù
ú.故
ê ú
２ )ꎬ ë ꎬ û
３ ２
ＣＭ２ ＭＨ２ ＨＣ２
ＨＭＣ ＋ － ７. 故异面直线 选 .
∠ ＝ ＣＭ ＭＨ ＝ Ｃ
２ ８
２.( 广东珠海综合测
２０２１
ＡＮ ＣＭ 所成角的余弦值为７.
ꎬ 试ꎬ )如图 在平行六面
８ ８ ꎬ
体 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 以
考向二 利用向量法求异面直线所成的角
－ １ １ １ １ ꎬ
顶点Ａ 为端点的三条棱长
１.( 山东滨州二模ꎬ )在正方体 ＡＢＣＤ
２０２１ ７ －
都为 且两两夹角为 ° 则 ＢＤ 与 ＡＣ 夹
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｍ 是棱 ＤＤ 的中点 Ｐ 是底面 １ꎬ ６０ ꎬ １
１ １ １ １ ꎬ １ ꎬ 角的余弦值是
ＡＢＣＤ 包括边界 内的一个动点 若 ＭＰ 平 ( )
( ) ꎬ ∥
面 Ａ ＢＣ 则异面直线 ＭＰ 与 Ａ Ｃ 所成角的
３ ６ ２１ ２１
１ １ꎬ １ １ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
取值范围是 ３ ６ ７ ３
( )
æ ù é ù 答案 Ｂ ＢＤ→ Ｂ→Ａ Ａ→Ｄ ＤＤ→ Ａ→Ｄ Ａ→Ｂ
ç π ú ê π π ú ∵ １ ＝ ＋ ＋ １ ＝ － ＋
ú ê ú
Ａ.è０ꎬ û Ｂ.ë ꎬ û
３ ６ ３ ＡＡ→ ＢＤ→ ２ Ａ→Ｄ Ａ→Ｂ ＡＡ→ ２ Ａ→Ｄ２ Ａ→Ｂ２
１ꎬ∴ ｜ １｜ ＝( － ＋ １) ＝ ＋ ＋
é ù é ö
ê ú ê
ê π π ú ê π ÷ ＡＡ→２ Ａ→Ｄ Ａ→Ｂ Ａ→Ｄ ＡＡ→ Ａ→Ｂ ＡＡ→
Ｃ.ë ꎬ û Ｄ.ë ꎬπø １ －２ ＋２ １ －２ １ ＝１＋
３ ２ ３
° °
答案 Ｃ 如图 以 Ｄ 为原点 ＤＡ ＤＣ ＤＤ １＋１－２×１×１×ｃｏｓ ６０ ＋２×１×１×ｃｏｓ ６０ －２×１×
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ １
所在直线分别为 ｘ ｙ ｚ
° ＢＤ→ . Ａ→Ｃ Ａ→Ｂ Ａ→Ｄ
ꎬ ꎬ １×ｃｏｓ ６０ ＝２ꎬ∴ ｜ １ ｜ ＝ ２ ∵ ＝ ＋ ꎬ
轴建立空间直角坐标系 Ａ→Ｃ ２ Ａ→Ｂ Ａ→Ｄ ２ Ａ→Ｂ２ Ａ→Ｄ２ Ａ→Ｂ Ａ→Ｄ
ꎬ ∴ ｜ ｜ ＝( ＋ ) ＝ ＋ ＋２
设 ＡＢ 则 Ａ
° . Ａ→Ｃ .而
＝２ꎬ (２ꎬ０ꎬ０)ꎬ
＝１＋１＋２×１×１×ｃｏｓ ６０ ＝３ ∴ ｜ ｜ ＝ ３
Ｂ Ｃ Ａ
(２ꎬ２ꎬ０)ꎬ (０ꎬ２ꎬ０)ꎬ １ ＢＤ→ Ａ→Ｃ Ａ→Ｄ Ａ→Ｂ ＡＡ→ Ａ→Ｂ Ａ→Ｄ Ａ→Ｄ２
Ｃ
１ ＝( － ＋ １)( ＋ )＝
(２ꎬ０ꎬ２)ꎬ １(０ꎬ２ꎬ２)ꎬ
Ａ→Ｂ２ ＡＡ→ Ａ→Ｂ ＡＡ→ Ａ→Ｄ
Ｄ Ｍ － ＋ １ ＋ １ ＝ １－１＋１×１×ｃｏｓ
１(０ꎬ０ꎬ２)ꎬ (０ꎬ０ꎬ１)ꎬ
° ° ＢＤ→ Ａ→Ｃ
则Ｃ→Ｂ 取 ＡＤ 的中点 Ｅ ＤＣ 的中 ６０ ＋１×１×ｃｏｓ ６０ ＝ １ꎬ∴ ｃｏｓ‹ １ꎬ › ＝
１ ＝(２ꎬ０ꎬ－２)ꎬ ꎬ
ＢＤ→ Ａ→Ｃ
点 Ｆ 连接 ＥＭ ＥＦ ＭＦ 则 Ｅ １ １ ６. 异面直线夹角
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ (１ꎬ０ꎬ０)ꎬ ＝ ＝ ∵
ＢＤ→ Ａ→Ｃ
Ｆ 则Ｍ→Ｅ Ｃ→Ｂ Ｍ→Ｅ 所 ｜ １｜｜ ｜ ２× ３ ６
(０ꎬ１ꎬ０)ꎬ ＝(１ꎬ０ꎬ－１)ꎬ １ ＝２ ꎬ æ ù
以 Ｃ Ｂ ＭＥ 同理 ＥＦ Ａ Ｃ .又 ＭＥ 平面 的取值范围为ç π ú ú ＢＤ 与ＡＣ 夹角的余
１ ∥ ꎬ ꎬ ∥ １ １ ⊄ è０ꎬ ２ ûꎬ∴ １
Ａ ＢＣ Ｃ Ｂ 平面 Ａ ＢＣ 所以 ＭＥ 平面
１ １ꎬ １ ⊂ １ １ꎬ ∥ 专
弦值为 ６.故选 . 题
Ａ ＢＣ 同理 ＥＦ 平面 Ａ ＢＣ 而 ＥＦ ＭＥ Ｂ 八
１ １ꎬ ∥ １ １ꎬ ∩ ＝ ６
Ｅ ＥＦ ＭＥ 平面 ＭＥＦ 所以平面 ＭＥＦ 平 ３.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)ａ ｂ 为空间中两条 立
ꎬ ꎬ ⊂ ꎬ ∥ ２０１７ Ⅲ １６ ５ ꎬ 体
几
面 Ａ ＢＣ .Ｐ 是底面 ＡＢＣＤ 包括边界内 的一 互相垂直的直线 等腰直角三角形 ＡＢＣ 的直 何
１ １ ( ) ꎬ
２７９
角边 ＡＣ 所在直线与 ａ ｂ 都垂直 斜边 ＡＢ 以 接 ＡＤ ＢＣ 如图 因为 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ Ｂ
ꎬ ꎬ １ꎬ １ꎬ １ꎬ １ １∥ １ １ꎬ １ １
直线 ＡＣ 为旋转轴旋转 有下列结论 平面 ＡＤ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ 平面 ＡＤ Ｃ Ｂ 所以
ꎬ : ⊄ １ １ ꎬ １ １⊂ １ １ ꎬ
当直线 ＡＢ 与 ａ 成 °角时 ＡＢ 与 ｂ 成 Ａ Ｂ 平面 ＡＤ Ｃ Ｂ 则截面 ＡＤ Ｃ Ｂ 把正方
① ６０ ꎬ
１ １∥ １ １ ꎬ １ １
°角
体截成两个三棱柱
３０ ꎻ
ꎻ
当直线 ＡＢ 与 ａ 成 °角时 ＡＢ 与 ｂ 成
② ６０ ꎬ
°角
６０ ꎻ
直线 ＡＢ 与 ａ 所成角的最小值为 °
③ ４５ ꎻ
直线 ＡＢ 与 ａ 所成角的最大值为 °.
④ ６０
其中正确的是 . 填写所有正确结论
(
的编号
图 图
)
１ ２
答案
②③
解析 过点 Ｃ 作直线 ａ ａ ｂ ｂ 则直线
１∥ ꎬ １∥ ꎬ
ＡＣ ａ ｂ 两两垂直.不妨分别以直线 ａ ｂ
、 １、 １ １、 １、
ＡＣ 为 ｘ ｙ ｚ 轴建立空间直角坐标系 取 ｎ
、 、 ꎬ １ ＝
为ａ 的方向向量 ｎ 为ｂ
(１ꎬ０ꎬ０) １ ꎬ ２ ＝(０ꎬ１ꎬ０) １
图
的 方 向 向 量 令 Ａ . 可 设 ３
ꎬ ( ０ꎬ ０ꎬ １) 分别取 Ａ Ｄ Ｂ Ｃ ＢＢ ＡＡ 的中点 Ｅ Ｆ Ｇ
１ １ꎬ １ １ꎬ １ꎬ １ ꎬ ꎬ ꎬ
Ｂ θ θ 则Ａ→Ｂ θ θ .
(ｃｏｓ ꎬｓｉｎ ꎬ０)ꎬ ＝(ｃｏｓ ꎬｓｉｎ ꎬ－１) Ｈ 连接 ＥＦ ＦＧ ＧＨ ＨＥ 则 ＥＦ Ａ Ｂ ＧＨ
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ∥ １ １∥ ꎬ
当直线 ＡＢ 与 ａ 成 °角时 ｎ Ａ→Ｂ 又 ＥＦ 平面 ＥＦＧＨ Ａ Ｂ 平面 ＥＦＧＨ 所以
６０ ꎬ｜ｃｏｓ‹ １ꎬ ›｜ ＝
⊂ ꎬ １ １⊄ ꎬ
Ａ Ｂ 平面 ＥＦＧＨ 则截面 ＥＦＧＨ 把正方体
１ θ ２ θ ２ ｎ １ １∥ ꎬ
ꎬ∴ ｜ｃｏｓ ｜ ＝ ꎬ｜ｓｉｎ ｜ ＝ ꎬ∴ ｜ｃｏｓ‹ ２ꎬ
２ ２ ２ 截成一个三棱柱和一个五棱柱 分别在 ＢＣ
ꎻ ꎬ
Ａ→Ｂ １ 即 ＡＢ 与 ｂ 所成角也是 °.
›｜ ＝ ꎬ ６０ ∵ ｜ｃｏｓ ＡＤ 上取点 Ｍ Ｎ 使 ＭＢ １ＢＣ ＮＡ １ＡＤ 分
２ ꎬ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ꎬ
４ ４
θ θ
ｎ Ａ→Ｂ ｜ｃｏｓ ｜ ｜ｃｏｓ ｜ ２ 别取 Ａ Ｄ Ｂ Ｃ 的中点 Ｅ Ｆ 连接 ＭＮ ＮＥ
‹ １ꎬ ›｜ ＝ ＝ ≤ ꎬ １ １ꎬ １ １ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
１× ２ ２ ２ ＥＦ ＦＭ 则可证 Ｅ Ｆ Ｍ Ｎ 四点共面 且
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
直线 ＡＢ 与 ａ 所成角的最小值为 °.
∴ ４５ Ａ Ｂ 平面 ＥＦＭＮ 则截面 ＥＦＭＮ 把正方体
综上 和 正确 和 错误.故填 . １ １∥ ꎬ
ꎬ② ③ ꎬ① ④ ②③ 截成两个四棱柱 不存在平行于 Ａ Ｂ 的截
ꎬ １ １
考法 三 空间几何体的截面问题 面将正方体截成两个四棱台.故选
Ｂ.
１.( 届山西长治质量检测ꎬ ) 正方体 ２.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)已知正方体的棱
２０２３ ３ ２０１８ Ⅰ １２ ５
ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 用平行于 Ａ Ｂ 的截面 长为 每条棱所在直线与平面 α 所成的角
5 － １ １ １ １ ꎬ １ １ １ꎬ
年 将正方体截成两部分 则所截得的两个几何 都相等 则 α 截此正方体所得截面面积的最
高 ꎬ ꎬ
考 体不可能是 大值为
3 ( ) ( )
年 两个三棱柱
模 Ａ. ３ ３ ２ ３ ３ ２ ３
拟
两个四棱台 Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
A Ｂ. ４ ３ ４ ２
版 两个四棱柱 答案 Ａ 解法一 正方体共顶点的三条棱
Ｃ. :
高 一个三棱柱和一个五棱柱 所在直线与平面α 所成的角均相等.如图 正
考 Ｄ. ꎬ
数
答案 Ｂ 在正方体 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 连 方体 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中
学
－ １ １ １ １ ꎬ － １ １ １ １ ꎬ
２８０
正方形 平行四边形
Ａ. Ｂ.
正五边形 正六边形
Ｃ. Ｄ.
答案 Ｄ 如图 由 ＥＦ ＰＱ 可以确定一个
ꎬ ∥
平面
ꎬ
这个 平 面 与 正 方 体
易知棱 ＡＢ ＡＤ ＡＡ 所在直线与平面 Ａ ＢＤ
ꎬ ꎬ １ １ ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的棱
所成的角均相等 所以 α 平面 Ａ ＢＤ 当平 － １ １ １ １
ꎬ ∥ １ ꎬ ＢＢ ＤＤ 分别交于 Ｍ
面 α 趋近于点 Ａ 时 截面图形的面积趋近于 １、 １ ꎬ
ꎬ Ｎ 由正方体的性质得
当平面 α 经过正方体的中心 Ｏ 时 截面图 ꎬ
０ꎻ ꎬ ＦＮ ＭＰ ＮＱ ＭＥ 且
∥ ꎬ ∥ ꎬ
形为正六边形 其边长为 ２ 截面图形的面 ＥＦ ＦＮ ＮＱ ＱＰ ＰＭ ＭＥ 正方体过 Ｐ
ꎬ ꎬ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ꎬ∴ ꎬ
２ Ｑ Ｅ Ｆ 的截面图形的形状是正六边形.故
ꎬ ꎬ
æ ö２
积为 ３ çç ２÷÷ ３ ３ 当平面 α 趋近于 选
６× × è ø ＝ ꎻ Ｄ.
４ ２ ４ ４.( 山东青岛二模ꎬ )已知正方体 ＡＢＣＤ
Ｃ 时 截面图形的面积趋近于 所以截面 ２０２１ ７ －
１ ꎬ ０ꎬ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的棱长为 点 Ｐ 在矩形 ＡＣＣ Ａ
１ １ １ １ ２ꎬ １ １
图形面积的最大值为３ ３ 故选 . 区域 包含边界 内运动 且 ＰＢＤ ° 则
ꎬ Ａ ( ) ꎬ ∠ ＝４５ ꎬ
４
动点 Ｐ 的轨迹长度为
解法二 特殊位置法 正方 ( )
( ):
体 ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的所有
Ａ.π Ｂ. ２π Ｃ.２π Ｄ.２ ２π
－
１ １ １ １
答案 Ｂ 因为 ＰＢＤ ° 所以 Ｐ 在以 Ｂ
棱与截面 α 所成角相等 则 ∠ ＝４５ ꎬ
ꎬ
为顶点 ＢＤ 所在直线
过顶点 Ｂ 的三条棱 Ｂ Ａ
ꎬ
１ １ １ꎬ
为轴 母线与轴夹角
Ｂ Ｂ Ｂ Ｃ 与平面 α 所成的
ꎬ
１ ꎬ １ １
为 °的圆锥的侧面
角都相等 如图所示 因此截面 α 平面
４５
ꎬ ꎬ ∥
上 由于轴 ＢＤ 对角
Ａ ＢＣ 或 α 与平面 Ａ ＢＣ 重合.
ꎬ ⊥
１ １ １ １
面 ＡＣＣ Ａ ＡＢＤ
根据图形的对称性选择恰当的截面进行探 １ １ꎬ∠ ＝
ＣＢＤ ° 因此在
索.分别设 ＡＢ ＢＣ ＣＣ Ｃ Ｄ Ｄ Ａ Ａ Ａ 的中 ∠ ＝ ４５ ꎬ
ꎬ ꎬ １ꎬ １ １ꎬ １ １ꎬ １
矩形 ＡＣＣ Ａ 区域 含边界 内 Ｐ 点的轨迹是
点为 Ｅ ꎬ Ｆ ꎬ Ｇ ꎬ Ｈ ꎬ Ｋ ꎬ Ｌ ꎬ 依次连接 ꎬ 则正六边形 １ １ ( )
ＥＦＧＨＫＬ 所在平面平行于平面 Ａ ＢＣ 由 ＫＨ 以 ＡＣ 为直径的半圆弧 又 ＡＣ 因此动
１ １ꎬ ꎬ ＝２ ２ꎬ
点 Ｐ 的轨迹长度为 .故选 .
Ａ Ｃ ＫＨ １ Ａ Ｃ 得 ＫＨ ２ 正六边形 π× ２ ＝ ２π Ｂ
∥ １ １ꎬ ＝ １ １ꎬ ＝ ꎬ ５.(多选)( 江苏苏州
２ ２ ２０２２
ＥＦＧＨＫＬ 的 面 积 Ｓ 外国语学校月考ꎬ )如
＝ ６
９
æ ö 图 在 正 方 体 ＡＢＣＤ
ç１ ＫＨ２ °÷ ３ ３.因为３ ３ ２ ３ ꎬ －
è ｓｉｎ ６０ ø ＝ > > Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 ＡＢ Ｅ
２ ４ ４ ３
１ １ １ １ ꎬ ＝ ２ꎬ
为棱 ＢＣ 的中点 Ｆ 为棱
３ ２ ３ 故选 . ꎬ
> ꎬ Ａ Ａ Ｄ 上的一动点 过点 Ａ Ｅ Ｆ 作该正方体
４ ２ １ １ ꎬ ꎬ ꎬ
３.( 湖南衡阳联考ꎬ )在正方体 ＡＢＣＤ 的截面 则该截面可能是 专
２０２２ ６ － ꎬ ( ) 题
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 Ｐ Ｑ Ｅ Ｆ 分别是 ＡＢ ＡＤ 平行四边形 等腰梯形 八
１ １ １ １ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ Ａ. Ｂ.
Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ 的中点 则正方体过 Ｐ Ｑ Ｅ Ｆ 的 五边形 六边形 立
１ １ꎬ １ １ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ Ｃ. Ｄ. 体 几
截面图形的形状是 答案 ＡＢＣ 当 Ａ Ｆ 即 Ｆ 与 Ａ 重合时 何
( ) １ ＝０ꎬ １ ꎬ
２８１
如图 取 Ｂ Ｃ 的中点 Ｇ 截面为矩形 ＡＥ￣
１ꎬ １ １ ꎬ ＥＦ
ＧＡ
１ꎻ
当 Ａ Ｆ 时 如图 截面为平行四边形
０< １ ≤１ ꎬ ２ꎬ
ＡＥＧＦ
ꎻ
当 Ａ Ｆ 时 如图 截面为五边形 ＡＥ￣
１< １ <２ ꎬ ３ꎬ
ＧＨＦ
ꎻ
当Ａ Ｆ 即Ｆ 与Ｄ 重合时 如图 截面为 １ ＝２ꎬ １ ꎬ ４ꎬ
等腰梯形 ＡＥＧＦ.故选
ＡＢＣ.
图 图
１ ２
图 图
３ ４
６.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知直四棱柱
２０２０ Ⅰ １６ ５
ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 的棱长均为 ＢＡＤ °.
－ １ １ １ １ ２ꎬ∠ ＝６０
以 Ｄ 为球心 为半径的球面与侧面
１ ꎬ ５
ＢＣＣ Ｂ 的交线长为 .
１ １
答案 ２π
２
解 析 易 知 四 边 形
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 为 菱 形
１ １ １ １ ꎬ
Ｂ Ａ Ｄ ° 连 接
∠ １ １ １ ＝ ６０ ꎬ
Ｂ Ｄ 则 Ｂ Ｃ Ｄ 为正
5 １ １ꎬ △ １ １ １
年 三角形 取Ｂ Ｃ 的中点
高 ꎬ １ １
考 Ｏ 连接 Ｄ Ｏ 易证 Ｄ Ｏ 平面 ＢＣＣ Ｂ
3 ꎬ １ ꎬ １ ⊥ １ １ꎬ
年
取 ＢＢ 的中点 Ｅ ＣＣ 的中点 Ｆ 连接 Ｄ Ｅ
模 １ ꎬ １ ꎬ １ ꎬ
拟
Ｄ Ｆ ＯＥ ＯＦ ＥＦ 易知 Ｄ Ｅ Ｄ Ｆ 易知
A １ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ １ ＝ １ ＝ ５ꎬ
版
以 Ｄ 为球心 为半径的球面与侧面
高 １ ꎬ ５
考 ＢＣＣ Ｂ 的交线是以 Ｏ 为圆心 ＯＥ 为半径的
数 １ １ ꎬ
学
２８２
(
Ｂ Ｅ Ｂ Ｏ ＯＥ 同理 ＯＦ
ꎬ∵ １ ＝ １ ＝１ꎬ∴ ＝ ２ꎬ ＝
易知 ＥＦ ＥＯＦ ° ＥＦ
２ꎬ ＝２ꎬ∴ ∠ ＝９０ ꎬ∴
(
的长
＝
１ ２π.
×(２π× ２)＝
４ ２
７.( 湖南张家界测试ꎬ )已知在棱长为
２０２２ １４ ６
的正方体ＡＢＣＤ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 中 点Ｅ Ｆ 分别是
－ １ １ １ １ ꎬ ꎬ
棱 Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ 的中点 过 Ａ Ｅ Ｆ 三点作该正
１ １ꎬ １ １ ꎬ ꎬ ꎬ
方体的截面 则截面图形的周长为 .
ꎬ
答案
６ １３＋３ ２
解析 如图 延长 ＥＦ
ꎬ ꎬ
Ａ Ｂ 相交于点 Ｍ 连接
１ １ꎬ ꎬ
ＡＭ 交 ＢＢ 于点 Ｈ 延长
ꎬ １ ꎬ
ＦＥ Ａ Ｄ 相交于点 Ｎ
ꎬ １ １ꎬ ꎬ
连接ＡＮ 交ＤＤ 于点Ｇ
ꎬ １ ꎬ
连接 ＦＨ ＥＧ 可得截面为五边形ＡＨＦＥＧ.由
ꎬ ꎬ
题意得 ＥＦ 易知 Ｄ Ｎ Ｂ Ｍ 则 Ａ Ｎ
＝３ ２ꎬ １ ＝ １ ꎬ １ ＝
Ａ Ｍ 则 Ｂ ＭＦ ° 则 Ｂ Ｍ Ｂ Ｆ .由
１ ꎬ ∠ １ ＝ ４５ ꎬ １ ＝ １ ＝ ３
Ｂ ＭＨ Ａ ＭＡ 可求得 Ｂ Ｈ 则 ＢＨ
△ １ ∽△ １ １ ＝ ２ꎬ ＝
同理 ＤＧ .由勾股定理得 ＡＧ ＡＨ
４ꎬ ＝ ４ ＝ ＝
ＥＧ ＦＨ 则截面图形的周长为
２ １３ꎬ ＝ ＝ １３ꎬ
ＡＨ ＨＦ ＥＦ ＥＧ ＡＧ .
＋ ＋ ＋ ＋ ＝６ １３＋３ ２
