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9.4 抛物线及其性质
基础篇
考点 一 抛物线的定义及标准方程 一题多解
由题意可知 Ｆ( ꎬ )ꎬ所以 ＢＦ ꎬ又 ＡＦ
１.( 重庆市涪陵高级中学质检ꎬ )抛物线 １ ０ ｜ ｜ ＝２ ｜ ｜
２０２２ ３ ＢＦ ꎬ所以 ＡＦ ꎬ所以 Ａ 的横坐标为 ꎬ
＝ ｜ ｜ ｜ ｜ ＝２ １
ｙ ｘ２ 上的 Ａ 点到焦点 Ｆ 的距离为１７ 则点 此时 Ａ 的纵坐标为 或 ꎬ所以 ＡＦ ｘ 轴ꎬ
＝４ ꎬ ２ －２ ⊥
１６
所以 ＡＦＢ 为等腰直角三角形ꎬ所以 ＡＢ
Ａ 的纵坐标为 △ ｜ ｜ ＝
( )
ꎬ故选 .
２ ２ Ｂ
１７ １ ９
Ａ.１ Ｂ. Ｃ. Ｄ. ４.( 课标 ꎬ文 ꎬ理 ꎬ 分)若抛物线ｙ２
１６ １６ １６ ２０１９ Ⅱ ９ ８ ５ ＝
ｘ２ ｙ２
答案 Ａ 由题得 ｘ２ １ｙ 所以抛物线的准 ｐｘ ｐ 的焦点是椭圆 的一个焦
＝ ꎬ ２ ( >０) ｐ＋ ｐ ＝１
４ ３
点 则 ｐ
线方程为 ｙ １.设点 Ａ 的纵坐标为 ｙ 则 ꎬ ＝ ( )
＝ － Ａꎬ
１６
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.８
ｙ Ａ－
æ
è ç － １
ö
ø ÷ ＝ １７ ꎬ 所以 ｙ Ａ＝１ .故选 Ａ.
答案 Ｄ
∵
抛物线 ｙ２
＝２
ｐｘ
(
ｐ
>０)
的焦点坐
１６ １６ æ ｐ ö
标为ç ÷
２.( 广州花都调研ꎬ )已知抛物线 ｘ２ ａｙ è ꎬ０øꎬ
２０２２ ３ ＝ ２
的焦点为 Ｆ 且 Ｍ 为抛物线上的点 则 ｘ２ ｙ２
ꎬ (２ꎬ１) ꎬ 由已知得椭圆 的一个焦点
∴ ｐ ＋ ｐ ＝ １
ＭＦ
３
｜ ｜ ＝ ( )
æ ｐ ö
为ç ÷
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
è ꎬ０øꎬ
答案 Ｂ 因为点Ｍ 在抛物线上 所以 ２
(２ꎬ１) ꎬ
ｐ２
ａ 即抛物线为 ｘ２ ｙ 其准线方程为 ｙ ｐ ｐ 又 ｐ ｐ .
４＝ ꎬ ＝４ ꎬ ＝－ ∴ ３ － ＝ ꎬ >０ꎬ∴ ＝８
４
由抛物线的定义可知 ＭＦ .故
１ꎬ ｜ ｜ ＝１＋１＝２ ５.( 河北邯郸二模ꎬ )已知抛物线 Ｃ ｙ２
２０２２ ４ : ＝
选 .
Ｂ ｐｘ ｐ 的焦点为 Ｆ 点 Ａ 在 Ｃ 上 点 Ｂ 满
２ ( >０) ꎬ ꎬ
３.( 全国乙ꎬ理 ꎬ文 ꎬ 分)设 Ｆ 为抛物
２０２２ ５ ６ ５ 足Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｆ Ｏ 为坐标原点 且线段 ＡＢ 的
线 Ｃ ｙ２ ｘ 的焦点 点 Ａ 在 Ｃ 上 点 ＝５ ( )ꎬ
: ＝ ４ ꎬ ꎬ ＡＢ
Ｂ 若 ＡＦ ＢＦ 则 ＡＢ 中垂线经过点 Ｆ 则｜ ｜
(３ꎬ０)ꎬ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ꎬ ｜ ｜ ＝ ( ) ꎬ ＡＦ ＝ ( )
｜ ｜
Ａ.２ Ｂ.２ ２ Ｃ.３ Ｄ.３ ２
３
答案 Ｂ 由题意可知 Ｆ 准线方程 Ａ. Ｂ.１ Ｃ. ２ Ｄ. ３
ꎬ (１ꎬ０)ꎬ ２
æｙ２ ö æ ｐ ö
为 ｘ 设Ａçç ０ ｙ ÷÷ 由抛物线定义可知 答案 Ｂ 由题设知 Ｆç ÷ 由Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｆ
＝－１ꎬ è ꎬ ０øꎬ ｜ è ꎬ０øꎬ ＝５ ꎬ
４ ２
ＡＦ
ｙ２
０ 又 ＢＦ 所以由 ＡＦ 得Ｂç
æ
５
ｐ ö
÷ 又ＡＢ 的中垂线经过点Ｆ 则 ＡＦ
｜ ＝ ＋１ꎬ ｜ ｜ ＝３－１＝２ꎬ ｜ ｜ ＝ è ꎬ０øꎬ ꎬ ｜
２
４
ＢＦ ｐ 不妨设 Ａ ｘ ｙ 且 ｙ 则 ＡＦ 专
ｙ２ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝２ ꎬ ( ꎬ ) >０ꎬ ｜ ｜ 题
ＢＦ 可得 ０ 解得 ｙ 所以 Ａ 九
｜ ｜ꎬ ４ ＋１＝２ꎬ ０ ＝±２ꎬ (１ꎬ ｘ ｐ ｐ 可得 ｘ ３ ｐ 故 ｙ ｐ
＝ ＋ ＝２ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ３ ꎬ 平
或 Ａ 不妨取 Ａ 则 ＡＢ ２ ２ 面
２) (１ꎬ－２)ꎬ (１ꎬ２)ꎬ ｜ ｜ ＝ 解
æ ｐ ｐö２ ＡＢ 析
２ ２ 故选 . 所以 ＡＢ ç３ ５ ÷ ｐ２ ｐ 则｜ ｜ 几
(１－３) ＋(２－０) ＝ ８ ＝２ ２ꎬ Ｂ ｜ ｜ ＝ è － ø ＋３ ＝２ ꎬ ＡＦ ＝ 何
２ ２ ｜ ｜
３８３
１.故选
Ｂ. 答案 Ｃ 将抛物线方程ｙ ４ｘ２ 化为ｘ２ ３
＝ ＝
６.( 石家庄 月质检ꎬ )已知 Ｆ 是抛物线
３ ４
２０２１ ３ ７
æ ö
Ｃ ｙ２ ｘ 的焦点 Ｍ 是 Ｃ 上一点 ＭＦ 的延长 ｙ 则抛物线的焦点坐标为ç ３ ÷ 故选
: ＝８ ꎬ ꎬ ꎬ è０ꎬ øꎬ Ｃ.
１６
线交 ｙ 轴于点 Ｎ.若Ｍ→Ｆ Ｆ→Ｎ 则 ＭＦ 为
＝２ ꎬ ｜ ｜
２.( 广东茂名测试ꎬ )抛物线 ｘ ４ｙ２ 的焦
２０２２ ２ ＝
( )
３
点坐标为
Ａ.８ Ｂ.６ Ｃ.４ Ｄ.２
( )
答案 Ａ 由题意得 Ｆ 设 Ｍ ｘ ｙ
æ ö æ ö æ ö æ ö
(２ꎬ０)ꎬ ( ０ꎬ ０)ꎬ
ç１ ÷ ç １ ÷ ç ３ ÷ ç ２ ÷
Ｎ ｙ 则由Ｍ→Ｆ Ｆ→Ｎ 可得 ｘ Ａ.è ꎬ０ø Ｂ.è０ꎬ ø Ｃ.è ꎬ０ø Ｄ.è０ꎬ ø
３ ３ １６ ３
(０ꎬ )ꎬ ＝２ ꎬ ２－ ０ ＝２×(－
ｐ
则 ｘ 则 ＭＦ .
２)ꎬ ０ ＝６ꎬ ｜ ｜ ＝６＋２＝８
答案 Ｃ 由ｘ
＝
４ｙ２ 得ｙ２
＝
３ｘ
ꎬ∴ ２
ｐ
＝
３
ꎬ
７.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)已知Ａ 为抛物线Ｃ ３ ４ ４ ２
２０２０ Ⅰ ４ ５ :
æ ö
ｙ２ ｐｘ ｐ 上一点 点 Ａ 到 Ｃ 的焦点的距 ３ 焦点坐标为ç ３ ÷.故选 .
＝２ ( >０) ꎬ ＝ ꎬ∴ è ꎬ０ø Ｃ
１６ １６
离为 到 ｙ 轴的距离为 则 ｐ
１２ꎬ ９ꎬ ＝ ( ) ３.( 山东枣庄二模ꎬ )已知点 在抛
２０２１ ４ (１ꎬ１)
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.６ Ｄ.９ 物线 Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 上 则 Ｃ 的焦点到其准
答案 Ｃ 设焦点为 Ｆ 点 Ａ 的坐标为 ｘ : ＝２ ( >０) ꎬ
ꎬ ( ０ꎬ 线的距离为
ｐ ( )
ｙ 由抛物线定义得 ＡＦ ｘ 点 Ａ 到
０)ꎬ ｜ ｜ ＝ ０ ＋ ꎬ∵ １ １
２ Ａ. Ｂ. Ｃ.１ Ｄ.２
ｐ ４ ２
ｙ 轴的距离为 ｘ ｐ 答案 Ｂ 因为点 在抛物线 Ｃ 上 所
９ꎬ∴ ０ ＝９ꎬ∴ ９＋ ＝１２ꎬ∴ ＝ (１ꎬ１) ꎬ
２
.故选 . 以 ｐ 解得 ｐ １ 故 Ｃ 的焦点到其准线
６ Ｃ １＝２ ꎬ ＝ ꎬ
８.( 北京ꎬ ꎬ 分)已知抛物线 ｙ２ ｘ 的 ２
２０２１ １２ ５ ＝４
焦点为 Ｆ 点 Ｍ 在抛物线上 ＭＮ 垂直 ｘ 轴于 的距离为１ 故选 .
ꎬ ꎬ ꎬ Ｂ
２
点 Ｎ. 若 ＭＦ 则点 Ｍ 的横坐标为
｜ ｜ ＝ ６ꎬ ４.( 课标 ꎬ文 ꎬ理 ꎬ 分)设 Ｏ 为坐标
２０２０ Ⅲ ７ ５ ５
ＭＮＦ 的面积为 .
ꎻ△ 原点 直线ｘ 与抛物线 Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 交
ꎬ ＝２ : ＝２ ( >０)
答案
５ ４ ５ 于Ｄ Ｅ 两点 若ＯＤ ＯＥ 则Ｃ 的焦点坐标为
ꎬ ꎬ ⊥ ꎬ
解析 设点 Ｍ 的坐标为 ｘ ｙ 则有 ＭＦ
( ０ꎬ ０)ꎬ ｜ ｜
( )
ｘ 解得 ｘ 所以点 Ｍ 的横坐标是
＝
０
＋１＝６ꎬ
０
＝５ꎬ æ ö æ ö
ç１ ÷ ç１ ÷
.将 ｘ 代入 ｙ２ ｘ 得 ｙ 由题意 Ａ.è ꎬ０ø Ｂ.è ꎬ０ø Ｃ.(１ꎬ０) Ｄ.(２ꎬ０)
５ ０ ＝５ ＝４ ꎬ ｜ ０｜ ＝２ ５ꎬ ４ ２
答案 Ｂ 由抛物线的对称性不妨设 Ｄ 在 ｘ
得 Ｓ １ .
△ ＭＮＦ＝ ×(５－１)×２ ５ ＝４ ５ {ｘ
２
轴上方 Ｅ 在 ｘ 轴下方.由 ＝２ꎬ 得 Ｄ
、 ｙ２ ｐｘ (２ꎬ２
5 考点 二 抛物线的几何性质 ＝２
年
ｐ Ｅ ｐ ＯＤ ＯＥ Ｏ→Ｄ Ｏ→Ｅ
高 １.( 届辽宁鞍山质量监测ꎬ )抛物线 ｙ )ꎬ (２ꎬ－２ )ꎬ∵ ⊥ ꎬ∴ ＝４
考
２０２３ ４ ＝ æ ö
3
ｐ ｐ Ｃ 的焦点坐标为ç１ ÷
年
模
４ｘ２ 的焦点坐标为
( )
－４ ＝０ꎬ∴ ＝１ꎬ∴ è
２
ꎬ０øꎬ
拟
３ 故选 .
A æ ö æ ö Ｂ
版
Ａ.è
ç
０ꎬ
１
ø
÷
Ｂ.
ç
è
１
ꎬ０ø
÷ ５.(
２０２１
辽宁朝阳一模ꎬ
８
)抛物线 Ｃ
:
ｙ２
＝２
ｐｘ
(
ｐ
３ ３
高
的焦点为Ｆ 过Ｆ 与ｘ 轴垂直的直线交Ｃ
考 æ ö æ ö
>０) ꎬ
数 ç ３ ÷ ç ２ ÷
学 Ｃ.è０ꎬ ø Ｄ.è０ꎬ ø 于点 Ｍ Ｎ 有下列四个命题
１６ ３ ꎬ ꎬ :
３８４
甲 点 Ｆ 的坐标为 答案 Ｄ 过点 Ａ 作 ＡＤ ｌ
: (１ꎬ０)ꎻ ⊥
乙 抛物线 Ｃ 的准线方程为 ｘ 于点 Ｄ 直线 ｌ 与 ｘ 轴交于
: ＝－２ꎻ ꎬ
丙 线段 ＭＮ 的长为 点 Ｅ 如图所示
: ４ꎻ ꎬ ꎬ
丁 直线 ｙ ｘ 与抛物线 Ｃ 相切. ＦＡ
: ＝ ＋１ 由Ｆ→Ａ Ｆ→Ｂ ０ 得｜ ｜
＋２ ＝ ꎬ ＦＢ ＝２ꎬ
如果只有一个命题是假命题 则该命题是
｜ ｜
ꎬ
ＦＢ
即｜ ｜ １.
( )
ＡＢ ＝
甲 乙 丙 丁 ｜ ｜ ３
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
ＦＢ ＥＦ
答案 Ｂ 由题意知甲 乙不能同时为真.当 在 ＡＢＤ 中 ＦＥ ＡＤ ｜ ｜ ｜ ｜ １.
、 △ ꎬ∵ ∥ ꎬ∴ ＡＢ ＝ ＡＤ ＝
甲为真时 ｐ 抛物线的通径为 ｐ 丙为 ｜ ｜ ｜ ｜ ３
ꎬ ＝２ꎬ ２ ＝４ꎬ 由 ｙ２ ｘ 得 ｐ 即 ｐ Ｆ
真 抛物线方程为 ｙ２ ｘ 与 ｙ ｘ 联立 化 ＝ ４ ꎬ ２ ＝ ４ꎬ ＝ ２ꎬ∴ (１ꎬ０)ꎬ
ꎻ ＝４ ꎬ ＝ ＋１ ꎬ Ｅ 则 ＥＦ ＡＤ ＥＦ
简得 ｘ２ ｘ Δ ２ 则 (－１ꎬ０)ꎬ ｜ ｜ ＝２ꎬ∴ ｜ ｜ ＝３｜ ｜ ＝２×３
－２ ＋１＝０ꎬ ＝(－２) －４×１×１＝０ꎬ
直线 ｙ ｘ 与抛物线 Ｃ 相切 丁为真.当乙
＝６ꎬ
＝ ＋１ ꎬ 由抛物线的定义知 ＡＦ ＡＤ .故选
为真时 ｐ 则甲 丙 丁为假.故选 . ꎬ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝６ Ｄ.
ꎬ ＝４ꎬ 、 、 Ｂ ２.( 广东深圳三中检测ꎬ )已知抛物线 ｙ２
６.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知 Ｏ 为坐标原 ２０２２ ７
２０２１ Ⅰ １４ ５ ｘ 的焦点为 Ｆ 过点 Ｆ 的直线 ｌ 交抛物线
点 抛物线Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点为Ｆ Ｐ 为 ＝４ ꎬ
ꎬ : ＝２ ( >０) ꎬ 于Ａ Ｂ 两点 延长ＦＢ 交准线于点Ｃ 若 ＢＣ
Ｃ 上一点 ＰＦ 与 ｘ 轴垂直 Ｑ 为 ｘ 轴上一点 ꎬ ꎬ ꎬ ｜ ｜
ꎬ ꎬ ꎬ ＢＦ
且 ＰＱ ＯＰ.若 ＦＱ 则 Ｃ 的准线方程为 ＢＦ 则｜ ｜
⊥ ｜ ｜ ＝６ꎬ ＝２｜ ｜ꎬ ＡＦ ＝ ( )
｜ ｜
.
１ １ １ ２
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
答案 ｘ ３ ４ ３ ２ ３
＝－
答案 Ｂ 由题意可知
２
解析 不妨设点 Ｐ 位于 ｘ 轴上方
抛物线的焦点坐标为 Ｆ
ꎬ
æ ｐ ö
点 Ｐ 在抛物线上且 ＰＦ ｘ 轴 Ｐç ｐ÷ 准线为直线 ｘ
(１ꎬ０)ꎬ ＝
∵ ⊥ ꎬ∴ è ꎬ øꎬ
２ .过 Ａ Ｂ 分别作抛物线
－１ ꎬ
ＯＰ ＰＱ
∵ ⊥ ꎬ 准线的垂线 垂足分别为
由射影定理得 ＰＦ ２ ＯＦ ＦＱ ꎬ
∴ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜｜ ｜ꎬ Ｍ Ｎ 则有 ＢＦ ＢＮ
ꎬ ꎬ ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ꎬ｜
ｐ
又 ＦＱ ｐ２ ＡＦ ＡＭ 因为 ＢＣ ＢＦ 所以 ＢＣ
∵ ｜ ｜ ＝６ꎬ∴ ＝ ×６ꎬ ｜＝｜ ｜ꎬ ｜ ｜ ＝２｜ ｜ꎬ ｜ ｜ ＝
２
ＢＣ ＢＮ
ｐ 或 ｐ 舍 ＢＮ 所以｜ ｜ ２ 所以｜ ｜ ２ 所以
∴ ＝３ ＝０( )ꎬ ２｜ ｜ꎬ ＣＦ ＝ ꎬ ｐ ＝ ꎬ
｜ ｜ ３ ３
Ｃ 的准线方程为 ｘ ３.
∴ ＝－
ＢＮ ＢＦ ４ ＢＣ ８ 所以 ＣＦ
２
｜ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝ ꎬ｜ ｜ ＝ ꎬ ｜ ｜ ＝４ꎬ
３ ３
考点 三 直线与抛物线的位置关系 ｐ ＣＦ ＣＦ
因为 ｜ ｜ 所以 ２ ｜ ｜
ＡＭ ＝ ＣＡ ꎬ ＡＭ ＝ ＣＦ ＡＦ ＝
１.( 届海南琼海嘉积中学月考ꎬ )已知抛 ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜ ｜＋｜ ｜
２０２３ ６
物线 Ｃ ｙ２ ｘ 的焦点为 Ｆ Ａ 为抛物线 Ｃ 上 ４ ４ 解得 ＡＭ 所以 ＡＦ
: ＝４ ꎬ ＡＦ ＝ ＡＭ ꎬ ｜ ｜ ＝４ꎬ ｜ ｜ 专
一点 直线 ＡＦ 交抛物线 Ｃ 的准线 ｌ 于点 Ｂ ４＋｜ ｜ ４＋｜ ｜ 题
ꎬ ꎬ 九
４
且Ｆ→Ａ Ｆ→Ｂ ０ 则 ＡＦ ＢＦ 平
＋２ ＝ ꎬ ｜ ｜ ＝ ( ) 所以｜ ｜ ３ １ 故选 . 面
＝４ꎬ ＡＦ ＝ ＝ ꎬ Ｂ 解
｜ ｜ ４ ３ 析
１０ １１
几
Ａ. Ｂ.４ Ｃ. Ｄ.６ ３.(多选)( 届浙江嘉兴一中期中ꎬ )直
３ ２ ２０２３ １０ 何
３８５
线 ｌ 与抛物线 ｙ２ ｘ 相交于 Ａ ｘ ｙ
＝ ２ ( １ꎬ １)ꎬ Ｓ １ ｙ ｙ ｙ ｙ ２ ｙ ｙ
Ｂ ｘ ｙ 若 ＯＡ ＯＢ 则 △ ＯＡＢ＝ ×４×｜ １ － ２｜ ＝２ ( １ ＋ ２) －４ １ ２ ＝
２
( ２ꎬ ２)ꎬ ⊥ ꎬ ( )
直线 ｌ 的斜率为定值 ｋ２ 当且仅当 ｋ 时取等号
Ａ. ２ １６ ＋６４≥１６( ＝０ )ꎬ
直线 ｌ 过定点 故 错误
Ｂ. Ｃ ꎻ
ＯＡＢ 面积的最小值为 ｘ ｘ
Ｃ.△ ４ 设 ＡＢ 的 中 点 为 Ｍ 则 ｘ １ ＋ ２
ｙ ｙ ꎬ Ｍ ＝ ＝
Ｄ. １ ２ ＝－４ ２
答案 ＢＣＤ 设直线 ｌ 的方程为 ｘ ｍｙ ｔ ｔ ｋ ｙ ｙ ｙ ｙ
＝ ＋ ꎬ ( １ ＋ ２)＋８ ｋ２ ｙ １ ＋ ２ ｋ 所以 ｘ
{ｘ ｍｙ ｔ ＝２ ＋４ꎬ Ｍ ＝ ＝２ ꎬ Ｍ
２ ２
≠０ꎬ
联立
ｙ２
＝
＝２
ｘ
＋
ꎬ
ꎬ消 ｘ 可得 ｙ２
－２
ｍｙ
－２
ｔ
＝０ꎬ
＝
ｙ２ Ｍ
＋４ꎬ
即ｙ２
Ｍ＝２
ｘ
Ｍ－８ꎬ
所以Ｍ 点的轨迹为一
则 Δ ｍ２ ｔ ｙ ｙ ｍ ｙ ｙ ｔ 则 ２
＝４ ＋８ >０ꎬ １ ＋ ２ ＝２ ꎬ １ ２ ＝－２ ꎬ 条抛物线 故 正确.故选
ｙ ｙ ２ ꎬ Ｄ ＡＢＤ.
ｘ ｘ ( １ ２) ｔ２ 因为 ＯＡ ＯＢ 所以 ｘ ｘ ５.(多选)( 山东师大附中开学考试ꎬ )
１ ２ ＝ ＝ ꎬ ⊥ ꎬ １ ２ ＋ ２０２２ １１
４
ｙ ｙ ｔ２ ｔ 解得 ｔ 则直线 ｌ 恒过定点
过抛物线 ｙ２
＝４
ｘ 的焦点 Ｆ 作直线交抛物线
１ ２
＝ －２ ＝０ꎬ ＝２ꎬ
于 Ａ Ｂ 两点 Ｍ 为线段 ＡＢ 的中点 则下列结
且 ｙ ｙ .
ꎬ ꎬ ꎬ
(２ꎬ０)ꎬ １ ２ ＝－４
论正确的是
( )
ＯＡＢ 的 面 积 为 Ｓ １ ｙ ｙ
△ ＝ × ２ ｜ １ － ２ ｜ ＝
２ 以线段 ＡＢ 为直径的圆与直线 ｘ １相交
Ａ. ＝－
ｙ ｙ ２ ｙ ｙ ｍ２ 当 ｍ ２
( １ ＋ ２) －４ １ ２ ＝ ４ ＋１６ ≥４ꎬ ＝ ０ 以线段 ＢＭ 为直径的圆与 ｙ 轴相切
时 Ｓ 取得最小值 .综上分析可得 选项 Ｂ.
ꎬ ４ ꎬ ＢＣＤ
均正确.故选 当Ａ→Ｆ Ｆ→Ｂ时 ＡＢ ９
ＢＣＤ. Ｃ. ＝２ ꎬ｜ ｜ ＝
２
４.(多选)( 届湖湘名校教育联合体大联
２０２３ ＡＢ 的最小值为
Ｄ.｜ ｜ ４
考ꎬ
１１
)已知抛物线 Ｃ
:
ｙ２
＝２
ｐｘ
(
ｐ
>０)ꎬ
直线 ｌ
答案 ＡＣＤ 由题意知抛物线的焦点坐标为
与抛物线 Ｃ 交于 Ａ Ｂ 两点 且 Ａ ｘ ｙ
ꎬ ꎬ ( １ꎬ １)ꎬ
(１ꎬ０)ꎬ
准线为直线 ｘ
＝－１
.对于
Ａꎬ
点 Ｍ 到准
Ｂ ｘ ｙ Ｏ 为坐标原点 且 ＯＡ ＯＢ 若直
( ２ꎬ ２)ꎬ ꎬ ⊥ ꎬ
线ｘ 的距离为１ ＡＦ ＢＦ １ ＡＢ
线 ｌ 恒过点 则下列说法正确的是 ＝－１ (｜ ｜＋｜ ｜)＝ ｜ ｜ꎬ
(４ꎬ０)ꎬ ２ ２
所以以线段 ＡＢ 为直径的圆与直线 ｘ
( ) ＝
抛物线方程为 ｙ２ ｘ 相切 所以以线段 ＡＢ 为直径的圆与直线
Ａ. ＝４ －１ ꎬ
ｘ ｘ ｙ ｙ
Ｂ. １ ２ ＝１６ꎬ １ ２ ＝－１６ ｘ １一定相交 故 中结论正确.
ＯＡＢ 面积的最小值为 ＝－ ꎬ Ａ
Ｃ.△ ３２ ２
弦 ＡＢ 中点的轨迹为一条抛物线
Ｄ. 对于 线段 ＢＭ 的中点到 ｙ 轴的距离与１
Ｂꎬ ｜
答案 ＡＢＤ 设直线 ｌ ｘ ｋｙ 联立 ２
: ＝ ＋ ４ꎬ
5 {ｘ ｋｙ ＢＭ ｜ 不一定相等 ꎬ 故 Ｂ 中结论不正确.
年
高
考 ｙ２
＝
ｐ
＋
ｘ
４ꎬ消 ｘ 得 ｙ２
－２
ｐｋｙ
－８
ｐ
＝０ꎬ
所以 ｙ
１
＋
ｙ
２ 对于 设 Ａ
æ
çç
ｙ２
１ ｙ
ö
÷÷ Ｂ
æ
çç
ｙ２
２ ｙ
ö
÷÷ 由Ａ→Ｆ Ｆ→Ｂ
3 ＝２ ꎬ Ｃꎬ è ꎬ １øꎬ è ꎬ ２øꎬ ＝２ ꎬ
年 ｐｋ ｙ ｙ ｐ 因为Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ 所以 ｘ ｘ ４ ４
模 ＝２ ꎬ １ ２ ＝－８ ꎬ ＝０ꎬ １ ２ ｙ２ ｙ２
拟
A ｙ ｙ 又 ｘ ｘ ( ｙ １ ｙ ２) ２ 所以 ｐ
得 ｙ
１ ＝－２
ｙ
２ꎬ１－ ４
１
＝ ２
２
－２ꎬ
解得 ｙ２
２ ＝２ꎬ
则 ｙ２
１ ＝
版 ＋ １ ２ ＝０ꎬ １ ２ ＝
４
ｐ２ ＝１６ꎬ １６－８ ｙ２ ｙ２
故 ＡＢ １ ２ ８＋２ ９ 故 中结
高 解得 ｐ 所以抛物线方程为 ｙ２ ｘ 且 ８ꎬ ｜ ｜ ＝ ＋ ＋２＝ ＋２＝ ꎬ Ｃ
考 ＝０ꎬ ＝２ꎬ ＝４ ꎬ ４ ４ ４ ２
数
学 ｘ ｘ ｙ ｙ 故 正确 论正确.
１ ２ ＝１６ꎬ １ ２ ＝－１６ꎬ ＡꎬＢ ꎻ
３８６
对于 当 ＡＢ 为抛物线的通径时 ＡＢ 最
若Ａ→Ｐ Ｐ→Ｂ 求 ＡＢ .
Ｄꎬ ꎬ｜ ｜
(２) ＝３ ꎬ ｜ ｜
小 为 故 中结论正确.故选 .
ꎬ ４ꎬ Ｄ ＡＣＤ
解析 设直线 ｌ ｙ ３ｘ ｔ Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ
６.( 济南二模ꎬ )已知抛物线 ｘ２ ｐｙ ｐ : ＝ ＋ ꎬ ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ
２０２１ ７ ＝２ ( > ２
过焦点 Ｆ 的直线与抛物线交于 Ａ Ｂ 两点 ｙ .
０)ꎬ ꎬ ２)
æ ö
由题设得Ｆç３ ÷ 故 ＡＦ ＢＦ ｘ ｘ
点 Ａ 在第一象限 .若直线 ＡＢ 的斜率为 ３
( ) ꎬ (１) è ꎬ０øꎬ ｜ ｜＋｜ ｜ ＝ １ ＋ ２
４
３
３
点 Ａ 的纵坐标为３ 则 ｐ 的值为
＋ ꎬ
ꎬ ( )
２
２
由题设可得 ｘ ｘ ５.
１ １
＋ ＝
Ａ. Ｂ. Ｃ.１ Ｄ.２ １ ２
２
４ ２
ì
答案 Ｃ 由题意得
ꎬ
抛物线 ｘ２
＝２
ｐｙ
(
ｐ
>０)
ï
ïｙ ３ｘ ｔ
由í ＝ ＋ ꎬ可得 ｘ２ ｔ ｘ ｔ２
ｐ ï ２ ９ ＋１２( －１) ＋４ ＝０ꎬ
的焦点在 ｙ 轴上 准线方程为 ｙ 设 Ａ ï
ꎬ ＝－ ꎬ îｙ２ ｘ
＝３
２
ｔ
ｐ ｐ
ｘ ｙ 则 ＡＦ ｙ ３ 设直线 ＡＢ 则 ｘ ｘ １２( －１).
( Ａꎬ Ａ)ꎬ ｜ ｜ ＝ Ａ＋ ＝ ＋ ꎬ １ ＋ ２ ＝－
９
２ ２ ２
ｔ
从而 １２( －１) ５ 得 ｔ ７.
的倾斜角为 α 则 α ３ 因为 α － ＝ ꎬ ＝－
ꎬ ｔａｎ ＝ ꎬ ∈[０ꎬ ９ ２ ８
３
ｐ ｐ 所以 ｌ 的方程为 ｙ ３ｘ ７.
ｙ ３ ＝ －
Ａ－ － ２ ８
所以 α π 所以 ＡＦ ２ ２ ２
π)ꎬ ＝ ꎬ ｜ ｜ ＝ α ＝ α ＝ 由 Ａ→Ｐ Ｐ→Ｂ 可 得 ｙ ｙ . 由
６ ｓｉｎ ｓｉｎ (２) ＝ ３ １ ＝ － ３ ２
ｐ ｐ ｐ ì
２ｓ
３
ｉ
－
ｎ
α＝
２
３
×
－
１
＝３－ ｐ ꎬ 所以 ３－ ｐ ＝
２
３ ＋
２
ꎬ 解得 ｐ í ï ï
ï
ｙ ＝
２
３ｘ ＋ ｔ ꎬ可得 ｙ２
－２
ｙ
＋２
ｔ
＝０
.所以 ｙ
１ ＋
ｙ
２ ＝２
.
ï
２ îｙ２ ｘ
＝３
故选 .
＝１ꎬ Ｃ 从而 ｙ ｙ 故 ｙ ｙ .
７.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)已知抛物线 Ｃ ｙ２
－３
２
＋
２
＝２ꎬ
２
＝－１ꎬ
１
＝３
２０１９ Ⅰ １９ １２ :
代入 Ｃ 的方程得 ｘ ｘ １. 故 ＡＢ
１ ＝ ３ꎬ ２ ＝ ｜ ｜
ｘ 的焦点为 Ｆ 斜率为３ 的直线 ｌ 与 Ｃ 的 ３
＝３ ꎬ
２
４ １３.
交点为 Ａ Ｂ 与 ｘ 轴的交点为 Ｐ.
＝
ꎬ ꎬ
３
若 ＡＦ ＢＦ 求 ｌ 的方程
(１) ｜ ｜＋｜ ｜ ＝４ꎬ ꎻ
专
题
九
平
面
解
析
几
何
３８７
综合篇
考法 一 利用抛物线的定义解题 æ ö
１ｙ 则抛物线的焦点为ç １ ÷ 准线方程为
ꎬ è０ꎬ øꎬ
１.( 届山西长治质量检测ꎬ )抛物线 ｙ ４ １６
２０２３ ４ ＝
ｙ １.设点 Ｍ 的纵坐标为 ｙ 由抛物线定
４
ｘ２ 上的一点 Ｍ 到焦点的距离为
１ꎬ
则点 Ｍ ＝－ ０ꎬ
１６
的纵坐标为
( )
义知 ｙ １ 解得 ｙ １５.故选
０ ＋ ＝１ꎬ ０ ＝ Ｂ.
１７ １５ ７ １６ １６
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.０ ２.( 福建莆田华侨中学月考ꎬ )已知抛物
１６ １６ ８
２０２２ ４
答案 Ｂ 抛物线的方程 ｙ
＝４
ｘ２ 可化为 ｘ２
＝ 线 Ｃ ｙ２ ｘ 的焦点为 Ｆ 点 Ｐ 为抛物线 Ｃ 上
: ＝４ ꎬ
一点 点 Ａ 则 ＰＡ ＰＦ 的最小值为 抛物线 Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点 Ｆ 且与 Ｃ 交
ꎬ (２ꎬ２)ꎬ ｜ ｜＋｜ ｜ : ＝２ ( >０) ꎬ
于 Ａ Ｂ 两点 则 ＡＢ
( ) 、 ꎬ ｜ ｜ ＝ ( )
Ａ. ５ Ｂ.２ Ｃ. １０ Ｄ.３ Ａ.６ Ｂ.８ Ｃ.２ Ｄ.４
答案 Ｄ 抛物线 Ｃ
:
ｙ２
＝４
ｘ 的准线为 ｘ
＝－
答案 Ｂ 因为抛物线 Ｃ
:
ｙ２
＝２
ｐｘ
(
ｐ
>０)
的
显然点 Ａ 在抛物线 Ｃ 内 过 Ａ 作 ＡＭ 垂直 æ ｐ ö
１ꎬ ꎬ 焦点坐标为Ｆç ÷ 又直线 ｙ ｘ 过抛物
è ꎬ０øꎬ ＝ －１
于准线 垂足为Ｍ 交抛物线Ｃ 于Ｐ 如图 在 ２
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
ｐ
抛物线 Ｃ 上任取不同于点 Ｐ 的点 Ｐ′ 过 Ｐ′ 线 Ｃ ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点 Ｆ 所以
ꎬ : ＝２ ( >０) ꎬ ０＝ －１ꎬ
作 Ｐ′Ｎ 垂直于准线于点 Ｎ 连接 ＰＦ ＡＮ Ｐ′ ２
ꎬ ꎬ ꎬ ｐ 抛 物 线 Ｃ 的 方 程 为 ｙ２ ｘ 由
Ａ Ｐ′Ｆ 由抛物线定义 ＝ ２ꎬ ＝ ４ ꎬ
ꎬ ꎬ {ｙ ｘ
知 ＰＡ ＰＦ ＰＡ ＝ －１ꎬ得ｘ２ ｘ 所以ｘ ｘ 所以
ꎬ｜ ｜＋｜ ｜ ＝ ｜ ｜＋ ｙ２ ｘ －６ ＋１＝０ꎬ Ａ＋ Ｂ＝６ꎬ
ＰＭ ＡＭ ＡＮ ＝４
｜ ｜ ＝ ｜ ｜ <｜ ｜ <｜ ＡＢ ｘ ｘ ｐ .故选
Ｐ′Ａ Ｐ′Ｎ Ｐ′Ａ ｜ ｜ ＝ Ａ＋ Ｂ＋ ＝６＋２＝８ Ｂ.
｜＋｜ ｜ ＝ ｜ ｜＋｜ ２.( 届河南安阳调研ꎬ )已知抛物线 Ｃ
Ｐ′ Ｆ 于 是 得 ２０２３ １１ :
｜ꎬ
ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点为 Ｆ 点 Ａ Ｂ 在 Ｃ 上 Ａ
ＰＡ ＰＦ ＡＭ ＝２ ( >０) ꎬ ꎬ (
(｜ ｜＋｜ ｜)ｍｉｎ ＝ ｜
在第四象限 Ｂ 在第一象限 满足 ＡＦ ＢＦ
即点 Ｐ 是准线过点 Ａ 的垂线 ꎬ )ꎬ ⊥ ꎬ
｜ ＝２－(－１)＝ ３ꎬ
且 ＡＦ ＢＦ 则直线 ＡＢ 的斜率为
与抛物线 Ｃ 的交点时 ＰＡ ＰＦ 取最小 ２｜ ｜ ＝ ｜ ｜ꎬ
ꎬ ｜ ｜ ＋｜ ｜
值 最小值为 .故选 ( )
ꎬ ３ Ｄ.
３.( 辽宁辽阳模拟ꎬ )已知 Ｐ 为抛物线 Ａ.２ Ｂ. ３ Ｃ. ２ Ｄ.１
２０２２ １４
答案 Ａ 过 Ｂ 作准
ｙ２ ｘ 上的一个动点 Ｑ 为圆 ｘ２ ｙ ２
＝４ ꎬ ＋( －４) ＝１
线的垂线交准线于点
上的一个动点 那么点 Ｐ 到点 Ｑ 的距离与点
ꎬ
Ｃ 过 Ａ 作准线的垂线
Ｐ 到抛物线准线的距离之和的最小值是 ꎬ
交准线于点 Ｄ
. ꎬ
过点 Ａ 作 ＢＣ 的垂线
答案
１７－１ 交 ＢＣ 于点 Ｅ 因为
解析 设抛物线的焦点为 ꎬ ２｜
ＡＦ ＢＦ 所以设 ＡＦ ｍ 则 ＡＤ ｍ
Ｆ 圆的圆心为 Ｅ.抛物线 ｙ２ ｜ ＝ ｜ ｜ꎬ ｜ ｜ ＝ ꎬ ｜ ｜ ＝ ꎬ｜
ꎬ
ＢＦ ＢＣ ｍ ＢＥ ｍ 因为 ＡＦ ＢＦ 所
ｘ 的准线方程为 ｘ ｜ ＝ ｜ ｜ ＝２ ꎬ｜ ｜ ＝ ꎬ ⊥ ꎬ
＝４ ＝－１ꎬ
焦点坐标为 Ｆ
(１ꎬ０)ꎬ
圆 ｘ２
＋
以
｜
ＡＢ
｜ ＝ ５
ｍ
ꎬ
所以在
Ｒｔ△
ＡＢＥ 中
ꎬ
有
ｙ ２ 的圆心坐标为 Ｅ ｍ
( －４) ＝１ ＡＥ ｍ 所以 ＡＢＥ ２ 因为直线
｜ ｜ ＝２ ꎬ ｔａｎ∠ ＝ ｍ ＝２ꎬ
半径为 Ｒ 设点 Ｐ
(０ꎬ４)ꎬ ＝１ꎬ
到抛物线准线的距离为 ＰＰ′ 则 ＰＰ′ ＡＢ 的倾斜角与 ＡＢＥ 相等 所以直线 ＡＢ 的
｜ ｜ꎬ ｜ ｜ ＝ ｜ ∠ ꎬ
5
年 ＰＦ 故 ＰＰ′ ＰＱ ＰＦ ＰＱ 斜率为 .故选
高 ｜ꎬ ｜ ｜＋｜ ｜ ＝ ｜ ｜＋｜ ｜ꎬ ２ Ａ.
考 所以当动点 Ｑ Ｐ 位于线段 ＥＦ 上时 点 Ｐ 到 ３.( 湖北部分学校质检ꎬ )已知抛物线 ｙ２
3 ꎬ ꎬ ２０２２ ６
年 点 Ｑ 的距离与点 Ｐ 到抛物线准线的距离之 ｘ 直线 ｌ 与抛物线交于 Ａ Ｂ 两点 若线段
模 ＝４ ꎬ ꎬ ꎬ
拟
和最小 为 ＥＦ Ｒ . ＡＢ 中点的纵坐标为 则直线 ＡＢ 的斜率为
A ꎬ ｜ ｜－ ＝ １７－１ ２ꎬ
版
( )
考法 二 直线与抛物线的位置关系问题
高
考
数 ３
学 １.( 届广东六校联考一ꎬ )直线 ｙ ｘ 过 Ａ.２ Ｂ. ３ Ｃ. Ｄ.１
２０２３ ３ ＝ －１ ３
３８８
答案 Ｄ 设直线 ｌ 的方程为 ｘ ｍｙ ｎ Ａ
＝ ＋ ꎬ Ｂ→Ｐ Ｂ→Ｑ ＢＡ ２ 故选项 正确.故
｜ ｜ ｜ ｜ > ｜ ｜ ꎬ Ｄ
{ｘ ｍｙ ｎ
选 .
ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 联立得 ＝ ＋ ꎬ消去 ｘ ＢＣＤ
( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ ｙ２ ｘ ５.(多选)( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知 Ｏ 为
＝４ ꎬ
２０２２ Ⅱ １０ ５
ｙ ｙ
得 ｙ２ ｍｙ ｎ 则 ｙ ｙ ｍ 因为 １ ＋ ２ 坐标原点 ꎬ 过抛物线 Ｃ : ｙ２ ＝２ ｐｘ ( ｐ >０) 焦点 Ｆ
－４ －４ ＝０ꎬ １ ＋ ２ ＝４ ꎬ
２ 的直线与 Ｃ 交于 Ａ Ｂ 两点 其中 Ａ 在第一象
ꎬ ꎬ
所以 ｍ 即 ｍ 所以直线 ｌ 的方程
＝２ꎬ ４ ＝４ꎬ ＝１ꎬ 限 点 Ｍ ｐ .若 ＡＦ ＡＭ 则
ꎬ ( ꎬ０) ｜ ｜ ＝ ｜ ｜ꎬ ( )
为 ｙ ｘ ｎ 所以直线 ＡＢ 的斜率为 .故选 .
＝ － ꎬ １ Ｄ 直线 ＡＢ 的斜率为
４.(多选)( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知 Ｏ 为 Ａ. ２ ６
２０２２ Ⅰ １１ ５ ＯＢ ＯＦ
Ｂ.｜ ｜ ＝ ｜ ｜
坐标原点 点 Ａ 在抛物线 Ｃ ｘ２ ｐｙ ｐ
ꎬ (１ꎬ１) : ＝２ ( ＡＢ ＯＦ
Ｃ.｜ ｜>４｜ ｜
上 过点 Ｂ 的直线交 Ｃ 于 Ｐ Ｑ 两
>０) ꎬ (０ꎬ－１) ꎬ ＯＡＭ ＯＢＭ °
Ｄ.∠ ＋∠ <１８０
点 则
ꎬ ( ) æ ｐ ö
Ｃ 的准线为 ｙ 答案 ＡＣＤ 由题意得 Ｆç ÷ 如图 设
Ａ. ＝－１ è ꎬ０øꎬ ꎬ
２
直线 ＡＢ 与 Ｃ 相切
ＦＭ 的中点为 Ｎ 连接 ＡＮ 则 ＡＮ 与 ｘ 轴垂
Ｂ.
ꎬ ꎬ
ＯＰ ＯＱ ＯＡ ２ æ ｐ ö ｐ
Ｃ.｜ ｜｜ ｜>｜ ｜
直 且Ｎç３ ÷ 将 ｘ ３ 代入 ｙ２ ｐｘ 解得 ｙ
ＢＰ ＢＱ ＢＡ ２ ꎬ è ꎬ０øꎬ ＝ ＝２ ꎬ
Ｄ.｜ ｜｜ ｜>｜ ｜ ４ ４
答案 ＢＣＤ 由点 Ａ 在抛物线 Ｃ 上 æ ｐ ö
(１ꎬ１) ꎬ ６ｐ 舍负 故Ａçç３ ６ｐ÷÷ 故直线 ＡＢ 的
知 ｐ 所以抛物线 Ｃ ｘ２ ｙ 其准线方程 ＝ ( )ꎬ è ꎬ øꎬ
１＝２ ꎬ : ＝ ꎬ ２ ４ ２
为 ｙ １ 故选项 错误.
６ｐ
＝－ ꎬ Ａ
－０
４
斜率为 ２ 选项 正确.对于 直
ｐ ｐ ＝２ ６ꎬ Ａ Ｂꎬ
易知 ＡＢ ｙ １－(－１) ｘ 即 ｙ ｘ ３
: －(－１)＝ ( －０)ꎬ ＝２ －
１－０ ４ ２
{ｘ２ ｙ æ ｐ ö
联立 ＝ ꎬ 消去 ｙ 得 ｘ２ ｘ Δ 线 ＡＢ 的方程为 ｙ çｘ ÷ 与抛物线
－１ꎬ ｙ ｘ －２ ＋１＝０ꎬ ＝２ ６è － øꎬ
２
＝２ －１ꎬ
即直线 ＡＢ 与 Ｃ 相切 故选项
方程联立并整理得 ｘ２ ｐｘ ｐ２
１２ －１３ ＋３ ＝０ꎬ
＝４－４＝ ０ꎬ ꎬ Ｂ
ｐ ｐ ｐ
正确.
设 Ｂ ｘ ｙ 则 ｘ ３ １３ 解得 ｘ
( １ꎬ １)ꎬ １ ＋ ＝ ꎬ １ ＝ ꎬ
设 ＰＱ ｙ ｋｘ Ｐ ｘ ｙ Ｑ ｘ ｙ 联立 ４ １２ ３
: ＝ －１ꎬ ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ
{ｘ２ ｙ 则 Ｂ æ çç ｐ ６ｐ ö ÷÷ 所以 ＯＢ ７ ｐ ＯＦ 故
＝ ꎬ 消 去 ｙ 得 ｘ２ ｋｘ 则 è ꎬ－ øꎬ ｜ ｜ ＝ ≠｜ ｜ꎬ
ｙ ｋｘ － ＋ １ ＝ ０ꎬ ３ ３ ３
＝ －１ꎬ
ｐ
{ｘ ｘ ｋ 错误.对于 因为 ＡＢ １３ ｐ ２５ｐ ＯＦ
ｘ
１
ｘ
＋ ２ ＝ ꎬ且 Δ
＝
ｋ２
－４>０ꎬ
即 ｋ２
>４
. Ｂ Ｃꎬ ｜ ｜ ＝
１２
＋ ＝
１２
ꎬ｜
１ ２
＝１ꎬ ｐ
所 以 ＡＢ
由于Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｑ ｘ ｘ ｙ ｙ ｘ ｘ ｘ２ｘ２ ｜ ＝ ꎬ ｜ ｜ >
＝ １ ２ ＋ １ ２ ＝ １ ２ ＋ １ ２ ＝ ２ ＝ ２
ＯＦ 成立 故 正确.对于
ＯＡ ２ Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｑ Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｑ且向量Ｏ→Ｐ ４｜ ｜ ꎬ Ｃ
｜ ｜ ꎬ｜ ｜｜ ｜≥ ꎬ
æ ö
Ｏ→Ｑ不共线 所以 Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｑ Ｏ→Ｐ Ｏ→Ｑ 即 因为Ｏ→Ａ çç ３ｐ ６ｐ÷÷ Ｏ→Ｂ
ꎬ ｜ ｜｜ ｜> ꎬ ｜ Ｄꎬ ＝ è ꎬ øꎬ ＝ 专
４ ２ 题
ＯＰ ＯＱ ＯＡ ２ 故选项 正确. 九
｜｜ ｜>｜ ｜ ꎬ Ｃ æ ｐ ö æ ｐ ö
çç ６ｐ÷÷ Ｍ→Ａ çç ６ｐ÷÷ Ｍ→Ｂ 平
因为Ｂ→Ｐ Ｂ→Ｑ ＝ ｘ １ ｘ ２ ＋( ｙ １ ＋１)( ｙ ２ ＋１)＝ ｙ １ ＋ ｙ ２ ＋ è ３ ꎬ－ ３ øꎬ ＝ è－ ４ ꎬ ２ øꎬ 面 解
ｋ ｘ ｘ ｋ２ 因为ｋ２ 并注意到 析
３＝ ( １ ＋ ２)＋１＝ ＋１ꎬ >４ꎬ ｜ 几
何
Ｂ→Ｐ Ｂ→Ｑ Ｂ→Ｐ Ｂ→Ｑ Ｂ→Ａ ２ 所以
｜｜ ｜ ＝ ꎬ｜ ｜ ＝１＋４＝５ꎬ
３８９
æ ö ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点为 Ｆ Ａ 为抛物线上第
çç ２ｐ ６ｐ÷÷ ＝２ ( >０) ꎬ
＝ è－ ꎬ－ øꎬ 一象限内一点 直线 ＡＦ 与 ｙ 轴交于点 Ｂ 且
３ ３ ꎬ ꎬ
所以Ｏ→Ａ
Ｏ→Ｂ
＝
ｐ２
－
ｐ２
＝－
３ｐ２
<０ꎬ
Ａ→Ｆ
＝
Ｆ→Ｂ
ꎬ
则直线 ＡＢ 的斜率为 .
４ ４ 答案
ｐ２ ２ ２
Ｍ→Ａ Ｍ→Ｂ ｐ２ ５ ｐ２ 所以 ＡＯＢ 与
æ ｐ ö
＝ － ＝－ <０ꎬ ∠
解析 由题意可知 Ｆç ÷.设 Ａ ｘ ｙ Ｂ
６ ６
è ꎬ０ø ( １ꎬ １)ꎬ
ＡＭＢ 均为钝角 即 ＡＯＢ ＡＭＢ °. ２
∠ ꎬ ∠ ＋∠ >１８０
æ ｐ ö æ ｐ ö
所以在四边形 ＯＡＭＢ 中 ＯＡＭ ＯＢＭ ｙ 则Ａ→Ｆ ç ｘ ｙ ÷ Ｆ→Ｂ ç ｙ ÷
ꎬ∠ ＋∠ < (０ꎬ ２)ꎬ ＝è － １ꎬ－ １øꎬ ＝è－ ꎬ ２øꎬ
° 故 正确 故选 . ２ ２
１８０ ꎬ Ｄ ꎬ ＡＣＤ ｐ ｐ
６.(多选)( 湖南衡阳联考一ꎬ )已知抛 Ａ→Ｆ Ｆ→Ｂ ｘ ｘ ｐ ｙ２ ｐｘ
２０２１ １１ ∵ ＝ ꎬ∴ － １ ＝－ ꎬ∴ １ ＝ ꎬ∴ １ ＝２ １
２ ２
物线 Ｃ
:
ｘ２
＝ ２
ｐｙ
(
ｐ
>０)ꎬ
过其准线上的点
＝２
ｐ２
ꎬ∵
Ａ 为抛物线上第一象限内一点
ꎬ∴
ｙ
１
Ｔ 作 Ｃ 的两条切线 切点分别为 Ａ Ｂ
(１ꎬ－１) ꎬ 、 ꎬ ｙ ｐ
ｐ 直线 ＡＦ 的斜率为 ｋ １ －０ ２
下列说法正确的是 ＝ ２ ꎬ∴ ＝ ｐ ＝ ｐ
( ) ｘ ｐ
ｐ １ － －
Ａ. ＝１ ２ ２
ＴＡ ＴＢ 直线 ＡＢ 的斜率为 .
Ｂ. ⊥ ＝２ ２ꎬ∴ ２ ２
直线 ＡＢ 的斜率为１ ８.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)斜率为 的直线
２０２０ Ⅰ １３ ５ ３
Ｃ.
２ 过抛物线 Ｃ ｙ２ ｘ 的焦点 且与 Ｃ 交于 Ａ Ｂ
线段 ＡＢ 中点的横坐标为 : ＝４ ꎬ ꎬ
Ｄ. １ 两点 则 ＡＢ .
答案 ＢＣＤ 易知准线方程为 ｙ ｐ ꎬ ｜ ｜ ＝
＝－１ꎬ∴ ＝
Ｃ ｘ２ ｙ.设过点 Ｔ 的直线方程为 ｙ ｋ 答案 １６
２ꎬ : ＝４ ＋１＝
３
ｘ２ ｘ２
ｘ 代入 ｙ 得 ｋｘ ｋ 当直线 解析 解法一 由题意知 ｐ 斜率为 的
( －１)ꎬ ＝ ꎬ － ＋ ＋１＝０ꎬ : ２ ＝４ꎬ ３
４ ４
与 Ｃ 相切时 有 Δ 即 ｋ２ ｋ 设 ＴＡ 直线倾斜角 θ π 过焦点的弦长 ＡＢ
ꎬ ＝０ꎬ － －１＝０ꎬ ꎬ ＝ ꎬ∴ ｜ ｜ ＝
ＴＢ 的斜率分别为 ｋ ｋ 易知 ｋ ｋ 是方程 ３
１ꎬ ２ꎬ １ꎬ ２ ｐ
ｋ２
－
ｋ
－１＝０
的两根
ꎬ
故 ｋ
１
ｋ
２ ＝－１ꎬ
故 ＴＡ
⊥
ＴＢ.
ｓｉ
２
ｎ
２θ＝
４
２ π
＝
３
４
＝
１
３
６.
ｘ２ ｘ２ ｓｉｎ
设 Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 其中 ｙ １ ｙ ２ ３ ４
( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ １ ＝ ꎬ ２ ＝ ꎬ 解法二 设 Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 由已知可得
４ ４ : ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ
对ｙ
ｘ２
求导得ｙ′
ｘ
则ｋ
ｘ
１ 则直线ＴＡ
抛物线 ｙ２
＝４
ｘ 的焦点为 Ｆ
(１ꎬ０)ꎬ
过点 Ｆ 且
＝ ＝ ꎬ ＴＡ＝ ꎬ :
４ ２ ２ 斜率为 的直线方程为 ｙ ｘ 联立
３ ＝ ３( －１)ꎬ
ｘ２ ｘ ｘ
ｙ １ １ ｘ ｘ 即 ｙ １ｘ ｙ 把 代 {ｙ２ ｘ
－ ＝ ( － １)ꎬ ＝ － １ꎬ (１ꎬ－１) ＝４ ꎬ 消去 ｙ 得 ｘ２ ｘ ｘ
４ ２ ２ ｙ ｘ ３ －１０ ＋３＝０ꎬ∴ １
5 入得 ｘ ｙ .同理可得 ｘ ｙ 故 ＝ ３( －１)ꎬ
年 １ －２ １ ＋２＝０ ２ －２ ２ ＋２＝０ꎬ
高
考 3 直线 ＡＢ : ｘ －２ ｙ ＋２ ＝ ０ꎬ 故 ｋ ＡＢ ＝ １ ꎬ 由 ｋ ＡＢ ＝ ＋
ｘ
２ ＝
１
３
０
ꎬ
ｘ
１
ｘ
２ ＝ １ꎬ ∴ ｜
ＡＢ
｜ ＝ １＋
ｋ２
年 ２
模
拟 ｙ ｙ
ｘ２
１ －
ｘ２
２ ｘ ｘ ｘ ｘ ( ｘ １ ＋ ｘ ２) ２ －４ ｘ １ ｘ ２ ＝ １＋３× １００ －４ ＝ １６.
A １ － ２ ４ ４ １ ＋ ２ １ 得 １ ＋ ２ 即线段 ９ ３
版 ｘ ｘ ＝ｘ ｘ ＝ ＝ ꎬ ＝１ꎬ ９.( 全国甲ꎬ理 ꎬ文 ꎬ 分)设抛物线
１ － ２ １ － ２ ４ ２ ２ ２０２２ ２０ ２１ １２
高
考
ＡＢ 中点的横坐标为
１
.故选
ＢＣＤ
. Ｃ
:
ｙ２
＝２
ｐｘ
(
ｐ
>０)
的焦点为 Ｆ
ꎬ
点Ｄ
(
ｐ
ꎬ０)ꎬ
过
数
学 ７.( 届重庆南开中学月考ꎬ )已知抛物线 Ｆ 的直线交 Ｃ 于 Ｍ Ｎ 两点.当直线 ＭＤ 垂直
２０２３ １４ ꎬ
３９０
于 ｘ 轴时 ＭＦ . { ｙ ｙ
ꎬ｜ ｜ ＝３ 不妨设 Ｍ 位于第一象限 由 １ ＋ ２ ＝２ ２ꎬ解
求 Ｃ 的方程 ꎬ
ｙ ｙ
(１) ꎻ
１ ２
＝－４ꎬ
设直线 ＭＤ ＮＤ 与 Ｃ 的另一个交点分别
(２) ꎬ 得 ｙ 则 ｙ 则 Ａ
为 Ａ Ｂ 记直线 ＭＮ ＡＢ 的倾斜角分别为 α １ ＝ ６＋ ２ꎬ ３ ＝２( ２－ ６)ꎬ (８－４
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
β.当 α β 取得最大值时 求直线 ＡＢ 的方程. ３ꎬ２( ２－ ６))ꎬ
－ ꎬ
解析 当直线 ＭＤ 垂直于 ｘ 轴时 ＭＦ 又 ｋ ２ 直线 ＡＢ 的方程为 ｙ
(１) ꎬ｜ ｜ ＡＢ＝ ꎬ∴ ＋２( ６ －
ｐ ２
ｐ ｐ Ｃ 的方程为 ｙ２ ｘ.
＝ ＋ ＝３ꎬ∴ ＝２ꎬ∴ ＝４
２ ｘ 整理得 ｙ ２ ｘ
２
２)＝ [ －(８－４ ３)]ꎬ ＝ －
设 Ｍ ｘ ｙ Ｎ ｘ ｙ Ａ ｘ ｙ Ｂ ２ ２
(２) ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ ( ３ꎬ ３)ꎬ
.
ｘ ｙ
２ ２
( ４ꎬ ４)ꎬ
１０.( 全国乙文ꎬ ꎬ 分)已知抛物线 Ｃ
易知直线 ＭＮ 不可能与 ｘ 轴重合 设直线
２０２１ ２０ １２ :
ꎬ∴
ＭＮ 的方程为 ｘ
＝
ｎｙ
＋１ꎬ
与 ｙ２
＝４
ｘ 联立
ꎬ
得 ｙ２ ｙ２
＝２
ｐｘ
(
ｐ
>０)
的焦点 Ｆ 到准线的距离为
２
.
求 Ｃ 的方程
ｎｙ
－４ －４＝０ꎬ (１) ꎻ
{ｙ ｙ ｎ 已知 Ｏ 为坐标原点 点 Ｐ 在 Ｃ 上 点 Ｑ
１ ＋ ２ ＝４ ꎬ且 α ｋ １ (２) ꎬ ꎬ
∴ ｙ ｙ ｔａｎ ＝ ＭＮ＝ ｎꎬ 满足Ｐ→Ｑ Ｑ→Ｆ 求直线 ＯＱ 斜率的最大值.
１ ２ ＝－４ꎬ ＝９ ꎬ
易知直线 ＭＡ 不可能与 ｘ 轴重合 设直线 解析 抛物线 ｙ２ ｐｘ ｐ 的焦点 Ｆ
ꎬ∴ (１)∵ ＝２ ( >０)
ＭＡ 的方程为 ｘ ｍｙ 与 ｙ２ ｘ 联立 得 ｙ２ 到准线的距离为 ｐ . 抛物线 Ｃ 的方
＝ ＋２ꎬ ＝４ ꎬ ２ꎬ∴ ＝２ ∴
ｍｙ 程为 ｙ２ ｘ.
－４ －８＝０ꎬ ＝４
由已知不妨设点Ｐ ｘ２ ｘ Ｑ ｘ ｙ
ｙ ｙ 即 ｙ －８ 同理 ｙ －８ (２) (４ ０ꎬ４ ０)ꎬ ( １ꎬ １)ꎬ
∴ １ ３ ＝－８ꎬ ３ ＝ ｙ ꎬ ４ ＝ ｙ ꎬ
１ ２ 则Ｐ→Ｑ ｘ ｘ２ ｙ ｘ
ｙ ｙ ｙ ｙ ＝( １ －４ ０ꎬ １ －４ ０)ꎬ
β ｋ ４ － ３ ４ － ３ ４ Ｆ Ｑ→Ｆ ｘ ｙ
∴ ｔａｎ ＝ ＡＢ ＝ ｘ
－
ｘ ＝ ｙ２ ｙ２ ＝ ｙ
＋
ｙ ＝ ∵ (１ꎬ０)ꎬ∴ ＝(１－ １ꎬ－ １)ꎬ
４ ３ ４
－
３ ３ ４ {ｘ ｘ２ ｘ
４ ４ Ｐ→Ｑ Ｑ→Ｆ １ －４ ０ ＝９(１－ １)ꎬ
∵ ＝９ ꎬ∴ ｙ ｘ ｙ
４ １ －４ ０ ＝９(－ １)ꎬ
æ ö ＝ ì
ï
－８è
ç
ｙ
１
＋ｙ
１
ø
÷
ï ï
ｘ
１ ＝
１
(９＋４
ｘ２
０)ꎬ ｙ ｘ
１ ２ 整理得í １０ ｋ １ ４ ０
ｙ ｙ ï ∴ ＯＱ＝ｘ ＝ ｘ２ ꎬ
１ ２ １ ï ï ｙ ４ｘ １ ９＋４ ０
ｙ ｙ ＝ ｎꎬ î １ ＝ ０ꎬ
－２( １ ＋ ２) ２ １０
１ １ 当 ｋ 最大时 ｘ ｋ ４ ４
α β ｎ－ ｎ ＯＱ ꎬ ０>０ꎬ∴ ＯＱ＝ ≤ ＝
α β ｔａｎ －ｔａｎ ２ ９ ｘ ２ ３６
∴ ｔａｎ( － ) ＝ α β ＝ ＝ ｘ ＋４ ０
１＋ｔａｎ ｔａｎ １ １ ０
１＋ｎ ｎ
２
１ 当且仅当 ｘ ９时取 此时 ｘ ３
ꎬ ４ ０ ＝ｘ “＝”ꎬ ０ ＝ ꎬ
１ ２ 当且仅当ｎ ２时 等号成立 此 ３ ０ ２
≤ ꎬ ＝ ꎬ ꎬ 点 Ｐ 的坐标为 因此 ｋ 的最大值
ｎ １ ４ ２ (９ꎬ６)ꎬ ＯＱ
２ ＋ｎ
为１. 专
题
时 ｋ ２. ３ 九
ＡＢ＝
平
２
面
解
析
几
何
３９１
