文档文本内容
5.3 三角函数的图象及性质
基础篇
考点 一 三角函数的图象及其变换 é æ ö ù æ ö
ê çｘ π÷ π ú 所以将函数 ｙ ç ｘ π÷的
ê ú
ë２è － ø＋ ûꎬ ＝ｃｏｓè２ － ø
１.( 浙江ꎬ ꎬ 分)为了得到函数ｙ ｘ １２ ３ ６
２０２２ ６ ４ ＝２ｓｉｎ ３
图象向右平移π个单位长度即可.故选
æ ö
Ａ.
的图象 只要把函数 ｙ ç ｘ π÷图象上 １２
ꎬ ＝２ｓｉｎè３ ＋ ø
５ ３.( 届沈阳四中月考ꎬ )为了得到函数 ｙ
２０２３ ６ ＝
所有的点
( ) æ ö æ ö
ç ｘ π÷ ç ｘ π÷的图象 只需把函
向左平移π个单位长度 ｃｏｓè２ ＋ ø－ ３ｓｉｎè２ ＋ ø ꎬ
３ ３
Ａ.
５ 数 ｙ ｘ ｘ 的图象
＝４ｓｉｎ ｃｏｓ ( )
向右平移π个单位长度
Ｂ. 向右平移７π个单位长度
５ Ａ.
６
向左平移π个单位长度
Ｃ. 向左平移７π个单位长度
１５ Ｂ.
１２
向右平移π个单位长度
Ｄ. 向右平移π个单位长度
１５ Ｃ.
３
æ ö
答案 Ｄ 因为 ｙ ç ｘ π÷
＝ ２ｓｉｎ è３ ＋ ø ＝ ２ｓｉｎ 向左平移７π个单位长度
５ Ｄ.
６
é æ öù æ ö
ê çｘ π÷ ú 所以把函数 ｙ ç ｘ π÷图象 æ ö æ ö
ë ê ３è ＋ øû ú ꎬ ＝２ｓｉｎè３ ＋ ø 答案 Ｂ ｙ ç ｘ π÷ ç ｘ π÷ １
１５ ５ ＝ｃｏｓè２ ＋ ø－ ３ｓｉｎè２ ＋ ø ＝
３ ３ ２
上所有的点向右平移π个单位长度 可以得 æ ö
ꎬ ｘ ３ ｘ çç １ ｘ ３ ｘ÷÷
１５ ｃｏｓ ２ － ｓｉｎ ２ － ３è ｓｉｎ ２ ＋ ｃｏｓ ２ ø ＝－ ３
到 ｙ ｘ 的图象 故选 . ２ ２ ２
＝２ｓｉｎ ３ ꎬ Ｄ
ｘ ｘ
２.( 武汉部分学校质量检测ꎬ )要得到函 ｓｉｎ ２ －ｃｏｓ ２
２０２２ ６ æ ö æ ö
æ ö çç ３ ｘ １ ｘ÷÷ ç ｘ ７π÷.
数 ｙ ç ｘ π÷的图象 可以将函数 ｙ ＝２è－ ｓｉｎ ２ － ｃｏｓ ２ ø ＝２ｓｉｎè２ ＋ ø
＝ ｓｉｎè２ ＋ ø ꎬ ＝ ２ ２ ６
６
ｙ ｘ ｘ ｘ 所以把函数 ｙ
æ ö ＝４ｓｉｎ ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ ２ ꎬ ＝４ｓｉｎ
ç ｘ π÷的图象
ｃｏｓè２ － ø ( ) ｘ ｘ 的图象向左平移７π个单位长度得到
６
ｃｏｓ
１２
向右平移π个单位长度
æ ö æ ö
Ａ. 函数 ｙ ç ｘ π÷ ç ｘ π÷的图象.故
１２ ＝ｃｏｓè２ ＋ ø－ ３ｓｉｎè２ ＋ ø
３ ３
向左平移π个单位长度
选
Ｂ.
Ｂ.
１２
４.( 全国乙理ꎬ ꎬ 分)把函数 ｙ ｆ ｘ 图
２０２１ ７ ５ ＝ ( )
向右平移π个单位长度
Ｃ.
６ 象上所有点的横坐标缩短到原来的１ 纵坐 专
ꎬ 题
向左平移π个单位长度 ２ 五
Ｄ.
三
６ 标不变 再把所得曲线向右平移π个单位长
角
ꎬ
æ ö 函
答案 Ａ 因 为 ｙ ç ｘ π÷ ３ 数
＝ ｃｏｓ è２ － ø ＝ ｓｉｎ æ ö 与
６ 度 得到函数 ｙ çｘ π÷的图象 则 ｆ ｘ
解
æ ö æ ö ꎬ ＝ｓｉｎè － ø ꎬ ( )＝ 三
４
ç ｘ π π÷ ç ｘ π÷ 而 ｙ 角
è２ － ＋ ø ＝ ｓｉｎè２ ＋ øꎬ ＝ ｓｉｎ 形
６ ２ ３ ( )
１５９
æ ｘ ö æ ｘ ö 由 ｙ ｘ 的图象得到 ｙ ｘ 的图象 需
ç ７π÷ ç π÷ ＝ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ２ ꎬ
Ａ.ｓｉｎè － ø Ｂ.ｓｉｎè ＋ ø
２ １２ ２ １２
将曲线Ｃ 上各点的横坐标缩短到原来的１
æ ö æ ö １ ꎬ
ç ｘ ７π÷ ç ｘ π÷ ２
Ｃ.ｓｉｎè２ － ø Ｄ.ｓｉｎè２ ＋ ø 纵坐标不变 由 ｙ ｘ 的图象得到 ｙ
１２ １２ ꎻ ＝ｃｏｓ ２ ＝
æ ö
é æ öù
答案 Ｂ 将函数 ｙ çｘ π÷的图象向左 ê çｘ π÷ ú的图象 需将 ｙ ｘ的图象
＝ｓｉｎè － ø ｃｏｓë ê ２è ＋ øû ú ꎬ ＝ｃｏｓ ２
４
１２
平移 π 个 单 位 长 度 可 得 函 数 ｙ 上的各点向左平移π个单位长度 故选 .
＝ ｓｉｎ ꎬ Ｄ
３ １２
é ë ê ê æ è çｘ ＋ π ö ø ÷ － π ù û ú ú ＝ｓｉｎ æ è çｘ ＋ π ö ø ÷的图象 ꎬ 再将该函 ６.(多选)( ２０２３ 届福建部分名校联考ꎬ １０ )函
３ ４ １２ 数 ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ω φ
( )＝ ｓｉｎ( ＋ )( >０ꎬ >０ꎬ０< <２π)
数图象上所有点的横坐标伸长到原来的
２ 的部分图象如图所示 则
ꎬ ( )
倍 纵坐标不变 可得函数 ｙ ｆ ｘ 的图象
ꎬ ꎬ ＝ ( ) ꎬ
æ ｘ ö
则 ｆ ｘ ç π÷ 故选 .
( )＝ ｓｉｎè ＋ øꎬ Ｂ
２ １２
５.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)已知曲线 Ｃ ｙ
２０１７ Ⅰ ９ ５ １: ＝
ω φ ３π
æ ö Ａ. ＋ ＝
ｘ Ｃ ｙ ç ｘ ２π÷ 则下面结论正确的是 ２
ｃｏｓ ꎬ ２: ＝ｓｉｎè２ ＋ øꎬ
３
ｆ ２
( ) Ｂ. (－２)＝ －
２
把Ｃ 上各点的横坐标伸长到原来的 倍
Ａ. １ ２ ꎬ ｆ ｘ 在区间 上存在 个零点
Ｃ. ( ) (０ꎬ２ ０２２) ５０６
纵坐标不变 再把得到的曲线向右平移π 将 ｆ ｘ 的图象向右平移 个单位长度后
ꎬ Ｄ. ( ) ３ ꎬ
６ æ ö
个单位长度 得到曲线 Ｃ 得到函数 ｇ ｘ çπｘ÷的图象
ꎬ ２ ( )＝ －ｃｏｓè ４ ø
把 Ｃ 上各点的横坐标伸长到原来的 倍
Ｔ
Ｂ. １ ２ ꎬ 答案 ＢＤ 由题图可知 Ａ
＝１ꎬ ＝３－１＝２ꎬ
纵坐标不变 再把得到的曲线向左平移π ４
ꎬ
１２
则 Ｔ 由 ２π ω 得 ω π ｆ ｘ
个单位长度 得到曲线 Ｃ ＝ ８ꎬ ω ＝ ８ꎬ >０ ＝ ꎬ ( )＝
ꎬ ２ ｜ ｜ ４
æ ö
把 Ｃ 上各点的横坐标缩短到原来的１ 纵 çπｘ φ÷
Ｃ. １ ꎬ ｓｉｎè ＋ øꎬ
２ ４
æ ö
坐标不变 再把得到的曲线向右平移π个 又 ｆ çπ φ÷ 其中π π φ ９π
ꎬ (１)＝ ｓｉｎè ＋ ø ＝１ꎬ < ＋ < ꎬ
６ ４ ４ ４ ４
单位长度 得到曲线 Ｃ æ ö
ꎬ ２ 所以π φ π φ π 则 ｆ ｘ çπｘ π÷.
＋ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ( )＝ ｓｉｎè ＋ ø
４ ２ ４ ４ ４
把 Ｃ 上各点的横坐标缩短到原来的１ 纵
5 Ｄ. １ ꎬ æ ö
年 ２ ω φ π 不正确.ｆ ç π÷ ２
高 ＋ ＝ ꎬＡ (－２)＝ ｓｉｎè－ ø ＝－ ꎬ
考 坐标不变 再把得到的曲线向左平移π个 ２ ４ ２
3 ꎬ 正确.
年 １２ Ｂ
模
单位长度 得到曲线 Ｃ
拟
ꎬ ２ 由πｘ π ｋ ｋ Ｚ 可得 ｘ ｋ ｋ Ｚ 由
＋ ＝ πꎬ ∈ ꎬ ＝４ －１ꎬ ∈ ꎬ
A æ ö
版 答 案 Ｄ ｙ ç ｘ ２π÷ ４ ４
＝ ｓｉｎ è２ ＋ ø ＝ ｃｏｓ ｘ 可得 ｋ ｋ Ｚ
３ ∈(０ꎬ２ ０２２)ꎬ ０<４ －１<２ ０２２ꎬ ∈ ꎬ
高
考 æ ö æ ö é æ öù
数 ç ｘ ２π π÷ ç ｘ π ÷ ê çｘ π÷ ú 即１ ｋ ２ ０２３ ｋ 则 ｆ ｘ 在区
学 è２ ＋ － ø ＝ｃｏｓ è２ ＋ ø ＝ｃｏｓë ê ２è ＋ øû ú ꎬ < < ꎬ ＝１ꎬ２ꎬꎬ５０５ꎬ ( )
３ ２ ６ １２ ４ ４
１６０
间 上存在 个零点 不正确. ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为
(０ꎬ２ ０２２) ５０５ ꎬＣ Ｄ. ( ) ２πꎬ ４
将 ｆ ｘ 的图象向右平移 个单位长度后得 答案 Ｂ ｆ ｘ ２ｘ ２ｘ
( ) ３ ( )＝ ２ｃｏｓ －ｓｉｎ ＋２ ＝ ２(１－
æ ö ｘ
到 ｇ ｘ ｆ ｘ çπｘ π÷ ２ｘ ２ｘ ２ｘ １－ｃｏｓ ２
( ) ＝ ( － ３) ＝ ｓｉｎ è － ø ＝ － ｃｏｓ ｓｉｎ )－ｓｉｎ ＋２＝４－３ｓｉｎ ＝４－３× ＝
４ ２ ２
æ ö ｘ
çπｘ÷的图象 正确.故选 ５ ３ｃｏｓ ２ ｆ ｘ 的最小正周期 Ｔ 当
è ø ꎬＤ ＢＤ. ＋ ꎬ∴ ( ) ＝πꎬ
４ ２ ２
ｘ 时 ｆ ｘ 取最大值 为 .故选 .
ｃｏｓ ２ ＝１ ꎬ ( ) ꎬ ４ Ｂ
考点 二 三角函数的性质及其应用
４.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)下列区间中 函数
２０２１ Ⅰ ４ ５ ꎬ
ｘ
æ ö
１.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)函数 ｆ ｘ ｔａｎ
２０１８ Ⅲ ６ ５ ( )＝ ２ｘ
ｆ
(
ｘ
)＝ ７ｓｉｎè
çｘ
－
π
ø
÷单调递增的区间是
( )
１＋ｔａｎ
６
的最小正周期为 æ ö æ ö
( ) ç π÷ çπ ÷
Ａ.è０ꎬ ø Ｂ.è ꎬπø
π π ２ ２
Ａ. Ｂ. Ｃ.π Ｄ.２π æ ö æ ö
４ ２ ç ３π÷ ç３π ÷
答 案 Ｃ ｆ ｘ 的 定 义 域 为 Ｃ.èπꎬ ø Ｄ.è ꎬ２πø
( ) ２ ２
ｘ æ ö
ｓｉｎ 答案 Ａ ｆ ｘ çｘ π÷ 令 ｋ π ｘ
{ } ｘ ( )＝ ７ｓｉｎè － øꎬ ２ π－ ≤
ｘ ｘ ｋ π ｋ Ｚ .ｆ ｘ ｃｏｓ ６ ２
≠ π＋ ꎬ ∈ ( )＝ æ ｘö２ ＝ｓｉｎ
２ çｓｉｎ ÷ π ｋ π ｋ Ｚ 解得 ｋ π ｘ ｋ
１＋è ｘø － ≤２ π＋ ꎬ ∈ ꎬ ２ π－ ≤ ≤２ π＋
ｃｏｓ ６ ２ ３
ｘ ｘ １ ｘ ２π ｋ Ｚ 令 ｋ 得 π ｘ ２π.因为
ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ２ ꎬ ꎬ ∈ ꎬ ＝ ０ꎬ － ≤ ≤
２ ３ ３ ３
æ ö é ù
ｆ ｘ 的最小正周期 Ｔ ２π . ç π÷ ê π ２π ú 故选 .
∴ ( ) ＝ ＝π è０ꎬ ø⫋ë ê － ꎬ û ú ꎬ Ａ
２ ２ ３ ３
ｘ ５.( 届辽宁鞍山质量监测ꎬ ) 函数 ｙ
２.( 全国乙文ꎬ ꎬ 分)函数 ｆ ｘ ２０２３ ５ ＝
２０２１ ４ ５ ( )＝ ｓｉｎ ＋
３ æ ö
çπ ｘ÷的单调减区间是
ｘ ｓｉｎè －２ ø ( )
的最小正周期和最大值分别是
４
ｃｏｓ ( )
３ é ù
ê ｋ π ｋ ３π ú ｋ Ｚ
ê ú
和 和 Ａ.ë π－ ꎬ π＋ û( ∈ )
Ａ.３π ２ Ｂ.３π ２ ８ ８
和 和 é ê ｋ π ｋ ３π ù ú ｋ Ｚ
Ｃ.６π ２ Ｄ.６π ２ ê ú
Ｂ.ë２ π－ ꎬ２ π＋ û( ∈ )
ｘ ｘ ８ ８
答案 Ｃ ｆ ｘ
( ) ＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝ é ê ｋ ３π ｋ ７π ù ú ｋ Ｚ
３ ３ ê ú
Ｃ.ë２ π＋ ꎬ２ π＋ û( ∈ )
æ ｘ ｘ ö æ ｘ ö ８ ８
çç ２ ２ ÷÷ ç π÷ 则最 é ù
２è ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ø ＝ ２ｓｉｎè ＋ øꎬ ê ｋ ３π ｋ ７π ú ｋ Ｚ
２ ３ ２ ３ ３ ４ Ｄ.ë ê π＋ ꎬ π＋ û ú ( ∈ )
８ ８
小正周期 Ｔ ２π 最大值为 故选 . æ ö
＝ ＝６πꎬ ２ꎬ Ｃ 答案 Ａ 由 于 ｙ çπ ｘ÷
１ ＝ ｓｉｎ è －２ ø ＝ － ｓｉｎ
专
４
３ 题
æ ö æ ö 五
３.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)已知函数 ｆ ｘ ç ｘ π÷ 要求函数 ｙ çπ ｘ÷的单调减
２０１８ Ⅰ ８ ５ ( )＝ è２ － øꎬ ＝ｓｉｎè －２ ø 三
４ ４
２ｘ ２ｘ 则 角
２ｃｏｓ －ｓｉｎ ＋２ꎬ ( ) æ ö 函
ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为 区间 即求函数ｙ ç ｘ π÷的单调增区间. 数
Ａ. ( ) πꎬ ３ ꎬ ＝ｓｉｎè２ － ø 与
４
解
ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为
三
Ｂ. ( ) πꎬ ４
令 π ｋ ｘ π π ｋ ｋ Ｚ 得 π 角
ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为 － ＋２ π≤２ － ≤ ＋２ πꎬ ∈ ꎬ － ＋ 形
Ｃ. ( ) ２πꎬ ３ ２ ４ ２ ８
１６１
æ ö
ｋ ｘ ３π ｋ ｋ Ｚ 则函数的单调减区间 周期 Ｔ ç５π π÷ 则 ω ２π ｆ ｘ
π≤ ≤ ＋ πꎬ ∈ ꎬ ＝４è － ø ＝πꎬ ＝ ＝２ꎬ ( )＝
８ １２ ６ π
é ù ｘ φ
为ê ｋ π ｋ ３π ú ｋ Ｚ .故选 ２ｓｉｎ(２ ＋ )ꎬ
ê ú
ë π－ ꎬ π＋ û( ∈ ) Ａ.
æ ö
８ ８
因为函数图象过点 çπ ÷ 所以
６.( 全国甲文ꎬ ꎬ 分) 将函数ｆ ｘ è ꎬ２øꎬ ２ ＝ ２ｓｉｎ
２０２２ ５ ５ ( ) ＝ ６
æ ö æ ö
çωｘ π÷ ω 的图象向左平移π个单位 çπ φ÷ 则π φ ｋ π ｋ Ｚ 又 φ π
ｓｉｎè ＋ ø( >０) è ＋ øꎬ ＋ ＝２ π＋ ꎬ ∈ ꎬ ｜ ｜< ꎬ
３ ２ ３ ３ ２ ２
长度后得到曲线 Ｃ 若 Ｃ 关于 ｙ 轴对称 则 ω æ ö
ꎬ ꎬ 所以 φ π 故 ｆ ｘ ç ｘ π÷.
的最小值是 ＝ ꎬ ( )＝ ２ｓｉｎè２ ＋ ø
６ ６
( )
æ ö
１ １ １ １ 对于 当 ｘ 时 ｆ ç π÷
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. Ａꎬ ＝π ꎬ (π)＝ ２ｓｉｎè２π＋ ø ＝１ꎬ
６
６ ４ ３ ２
答案 Ｃ 设平移后的曲线 Ｃ 对应的函数为 故直线 ｘ 不是 ｆ ｘ 图象的一条对称轴
＝π ( ) ꎬＡ
错误
ｙ ｇ ｘ
＝ ( )ꎬ ꎻ
é æ ö ù æ ö
则 ｇ ｘ ê ωçｘ π÷ π ú 对于 令 ｆ ｘ ç ｘ π÷ 则 ｘ π
( ) ＝ ｓｉｎ ë ê è ＋ ø＋ û ú ＝ Ｂꎬ ( )＝ ２ｓｉｎè２ ＋ ø ＝０ꎬ ２ ＋ ＝
２ ３ ６ ６
æ ω ö ｋ
çωｘ π π÷ ｋ ｋ Ｚ 所以 ｘ π π ｋ Ｚ 即 ｆ ｘ 图
ｓｉｎè ＋ ＋ øꎬ πꎬ ∈ ꎬ ＝－ ＋ ꎬ ∈ ꎬ ( )
２ ３ １２ ２
又曲线 Ｃ 关于 ｙ 轴对称 æ ｋ ö
ꎬ 象的对称中心为ç π π ÷ ｋ Ｚ 故
è－ ＋ ꎬ０øꎬ ∈ ꎬ Ｂ
ω １２ ２
π π π ｋ ｋ Ｚ ω ｋ １ ｋ
∴ ＋ ＝ ＋ π( ∈ )ꎬ∴ ＝２ ＋ ( ∈ 错误
２ ３ ２ ３ ꎻ
Ｚ . é ù
) 对 于 当 ｘ ê π π ú 时 ｘ π
Ｃꎬ ∈ ë ê － ꎬ û ú ꎬ ２ ＋ ∈
３ ６ ６
又 ω ω １.故选 .
>０ꎬ∴ ｍｉｎ ＝ ３ Ｃ é ê π π ù ú 因为 ｙ ｘ 在 é ê π π ù ú上单调
７.( 届广东六校联 ë ê － ꎬ û ú ꎬ ＝ｓｉｎ ë ê － ꎬ û ú
２ ２ ２ ２
２０２３
递增
考ꎬ )已知函数 ｆ ｘ ꎬ
５ ( )＝
é ù
æ 所以 ｆ ｘ 在区间ê π π ú上单调递增 故
Ａ ｓｉｎ( ωｘ ＋ φ ) ç è ｘ ∈ Ｒ ꎬ ( ) ë ê － ꎬ û ú ꎬ Ｃ
３ ６
正确
ö
Ａ ω φ π ÷的 ꎻ
>０ꎬ >０ꎬ｜ ｜< ø æ ö
２ 对于 将 ｆ ｘ ç ｘ π÷的图象向左平
部分图象如图所示 则下列说法正确的是 Ｄꎬ ( )＝ ２ｓｉｎè２ ＋ ø
ꎬ ６
( ) 移 π 个 单 位 长 度 得 到 ｇ ｘ
( ) ＝ ２ｓｉｎ
直线 ｘ 是 ｆ ｘ 图象的一条对称轴 １２
Ａ. ＝π ( )
5 é æ ö ù æ ö
年 高 Ｂ. ｆ ( ｘ ) 图象的对称中心为ç æ è－ π ＋ ｋ πꎬ０ ö ø ÷ ꎬ ｋ ∈ Ｚ ë ê ê ２è çｘ ＋ １ π ２ ø ÷ ＋ π ６ û ú ú ＝２ｓｉｎ è ç ２ ｘ ＋ π ３ ø ÷的图象 ꎬ 因为 ｇ
考 １２
3 æ ö
é ù
年 ｆ ｘ 在区间ê π π ú上单调递增 ç π÷ 所以函数
模 Ｃ. ( ) ë ê － ꎬ û ú (０) ＝ ２ｓｉｎ è２０＋ ３ ø ＝ ３ ≠０ꎬ
拟 ３ ６
æ ö
A 将 ｆ ｘ 的图象向左平移π个单位长度后 ｇ ｘ ç ｘ π÷不是奇函数 故 错误.
版 Ｄ. ( ) ꎬ ( )＝ ２ｓｉｎè２ ＋ ø ꎬ Ｄ
３
１２
高 可得到一个奇函数的图象 故选
考 Ｃ.
数
学 答案 Ｃ 由题图可知 Ａ 函数的最小正 ８.(多选)( 届福建漳州质检ꎬ )已知函数
ꎬ ＝２ꎬ ２０２３ ９
１６２
æ ö
ｆ ｘ ç ｘ π÷ 则 ３ ５
( )＝ ｔａｎè２ － øꎬ ( ) Ａ.１ Ｂ. Ｃ. Ｄ.３
３ ２ ２
ｆ ｘ 的最小正周期是π 答案 Ａ ２π Ｔ ω ２π ２π
Ａ. ( ) ∵ < <πꎬ >０ꎬ∴ < ω <πꎬ
２ ３ ３
æ ö ω .
ｆ ｘ 的图象关于点ç５π ÷中心对称 ∴ ２< <３①
Ｂ. ( ) è ꎬ０ø æ ö
１２ 又 ｙ ｆ ｘ 的图象关于点ç３π ÷中心对称
ｆ ｘ 在 上有三个零点 ＝ ( ) è ꎬ２ø ꎬ
Ｃ. ( ) (０ꎬπ) ２
ｆ ｘ 的图象可以由 ｇ ｘ ｘ 的图象上 ì ï ｂ
Ｄ. ( ) ( )＝ ｔａｎ ２ ï ＝２ꎬ
í
的所有点向右平移π个单位长度得到 ∴ ï
ï
ω ３π π ｋ ｋ Ｚ
î ＋ ＝ π( ∈ )ꎬ
３ ２ ４
答案 ＡＢ 对于 由正切型函数的周期公
Ａꎬ 从而 ω ２ｋ １ ｋ Ｚ 由 知 ω ５
＝ － ( ∈ )②ꎬ ①② ＝
３ ６ ２
式可得 Ｔ π 故 正确
＝ ꎬ Ａ ꎻ 取 ｋ
２ ( ＝４)ꎬ
æ ö æ ö
ｋ ｋ
对于 令 ｘ π π ｋ Ｚ 可得 ｘ π π ｆ ｘ ç５ｘ π÷ ｆ çπ÷ ３
Ｂꎬ ２ － ＝ ꎬ ∈ ꎬ ＝ ＋ ꎬ ∴ ( )＝ ｓｉｎè ＋ ø＋２ꎬ∴ è ø ＝ｓｉｎ π＋２
２ ４ ２ ２
３ ２ ４ ６
.
＝１
ｋ Ｚ 当 ｋ 时 ｘ π π ５π
∈ ꎬ ＝１ ꎬ ＝ ＋ ＝ ꎬ １０.(多选)( 海南中部六市县模拟ꎬ )已
４ ６ １２ ２０２２ １０
æ ö æ ö æ ö
所以 ｆ ｘ 的图象关于点ç５π ÷中心对称 故 知 是函数 ｙ çωｘ π÷ çωｘ π÷ ω
( ) è ꎬ０ø ꎬ π ＝２ｓｉｎè ＋ øｃｏｓè ＋ ø(
１２ ６ ６
正确 的一个周期 则 ω 的取值可能为
Ｂ ꎻ ≠０) ꎬ
ｋ
对于 令 ｘ π ｋ ｋ Ｚ 可得 ｘ π π ( )
Ｃꎬ ２ － ＝ πꎬ ∈ ꎬ ＝ ＋ ꎬ
３ ２ ６
１
Ａ.－２ Ｂ.１ Ｃ. Ｄ.３
ｋ Ｚ 当 ｋ 时 ｘ π 当 ｋ 时 ｘ ２π ２
∈ ꎬ ＝０ ꎬ ＝ ꎻ ＝１ ꎬ ＝ ꎬ
æ ö æ ö
６ ３ 答案 ＡＢＤ ｙ çωｘ π÷ çωｘ π÷
所以 ｆ ｘ 在 上只有两个零点 故 ＝２ｓｉｎè ＋ øｃｏｓè ＋ ø ＝
( ) (０ꎬπ) ꎬ Ｃ ６ ６
错误 æ ö æ ö
ꎻ ç ωｘ π÷ 令 ｆ ｘ ｙ ç ωｘ π÷
ｓｉｎè２ ＋ øꎬ ( )＝ ＝ｓｉｎè２ ＋ øꎬ
æ ö
３ ３
对于 因 为 ｆ ｘ ç ｘ π÷
Ｄꎬ ( ) ＝ ｔａｎ è２ － ø ＝ ｔａｎ 由周期函数定义得 ｆ ｘ ｆ ｘ
３ ( ＋π)＝ ( )ꎬ
é æ öù é ù æ ö
ë ê ê ２è çｘ － π ø ÷ û ú ú ꎬ 所以ｆ ( ｘ ) 的图象可以由 ｇ ( ｘ )＝ 即 ｓｉｎë ê ê ２ ω ( ｘ ＋π)＋ π û ú ú ＝ｓｉｎè ç ２ ωｘ ＋ π ø ÷ ꎬ
６ ３ ３
æ ö æ ö
ｘ 的图象上的所有点向右平移π个单位 即 ç ωｘ ω π÷ ç ωｘ π÷ ωｘ
ｔａｎ ２ ｓｉｎè２ ＋２ π＋ ø ＝ｓｉｎè２ ＋ øꎬ∴ ２ ＋
６ ３ ３
长度得到 故 错误.故选
ꎬ Ｄ ＡＢ. ω π ωｘ π ｋ ｋ Ｚ 解得 ω ｋ ｋ
２ π＋ ＝２ ＋ ＋２ πꎬ ∈ ꎬ ＝ ꎬ ∈
９.( 新高考 ꎬ ꎬ 分) 记函数ｆ ｘ ３ ３
２０２２ Ⅰ ６ ５ ( ) ＝ 专
Ｚ 又 ω 结合选项知 ω 的取值可能
题
æ ö ꎬ ∵ ≠０ꎬ∴
çωｘ π÷ ｂ ω 的最小正周期为 Ｔ.若 为 .故选 五
ｓｉｎè ＋ ４ ø＋ ( >０) －２ꎬ１ꎬ３ ＡＢＤ. 三
１１.( 天津ꎬ ꎬ 分) 已知函数 ｆ ｘ 角
æ ö ２０２０ ８ ５ ( ) ＝ 函
２π Ｔ 且 ｙ ｆ ｘ 的图象关于点ç３π ÷中 数
< <πꎬ ＝ ( ) è ꎬ２ø æ ö 与
３ ２ çｘ π÷.给出下列结论
解
æ ö ｓｉｎè ＋ ø : 三
３
心对称 则 ｆçπ÷ 角
ꎬ è ø ＝ ( ) ｆ ｘ 的最小正周期为 形
２ ① ( ) ２πꎻ
１６３
æ ö æ ö
ｆçπ÷是 ｆ ｘ 的最大值 ｘ 的最小值 故ｆ ｘ 在çπ ÷上不单调 故
② è ø ( ) ꎻ ( ) ꎬ ( ) è ꎬπø ꎬ
２ ２
把函数 ｙ ｘ 的图象上所有点向左平 中结论错误.
③ ＝ｓｉｎ Ｄ
１３.(多选)( 届哈尔滨师大附中月考ꎬ )
移π个单位长度 可得到函数 ｙ ｆ ｘ 的 ２０２３ １０
ꎬ ＝ ( )
３ 已知函数 ｆ ｘ ｘ ｘ 则下列说法
图象. ( )＝ ３ｓｉｎ －ｃｏｓ ꎬ
正确的是
其中所有正确结论的序号是 ( )
( ) æ ö
ｆ ｘ 的图象关于点çπ ÷中心对称
Ａ.① Ｂ.①③ Ａ. ( ) è ꎬ０ø
６
Ｃ.②③ Ｄ.①②③ é ù
ｆ ｘ 在区间ê π π ú上单调递减
ê ú
Ｂ. ( ) ë－ ꎬ û
答案 Ｂ 函数 ｆ ｘ 的最小正周期 Ｔ ２π ２ ３
( ) ＝ ＝
１ ｆ ｘ 在 上有且仅有 个极小值点
Ｃ. ( ) (０ꎬ２π) ２
æ ö æ ö
正确 易知ｆçπ÷ ｆçπ÷ １
２πꎬ① ꎻ è ø ＝１ꎬ è ø ＝ <１ꎬ② ｆ ｘ 的图象关于 ｘ ２π对称
６ ２ ２ Ｄ. ( ) ＝
３
错误 把函数 ｙ ｘ 的图象上的所有点向
ꎻ ＝ｓｉｎ 答案 ＡＤ ｆ ｘ ｘ ｘ
( ) ＝ ３ ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ２ｓｉｎ
左平移 π 个单位长度 得到的是函数 ｙ æ ö
ꎬ ＝ çｘ π÷ 当 ｘ π时 ｆ ｘ 故 ｆ ｘ 的图象
３ è － øꎬ ＝ ꎬ ( )＝ ０ꎬ ( )
æ ö ６ ６
çｘ π÷的图象 正确.综上 正确.故 æ ö
ｓｉｎè ＋ ø ꎬ③ ꎬ①③ 关于点 çπ ÷ 中心对称 正确 当 ｘ
３ è ꎬ０ø ꎬＡ ꎻ ∈
选 . ６
Ｂ é ù é ù
１２.( ２０１７ 课标 Ⅲ 理ꎬ ６ ꎬ ５ 分)设函数 ｆ ( ｘ )＝ ë ê ê － π ꎬ π û ú ú 时 ꎬ ｘ － π ∈ë ê ê － ２π ꎬ π û ú ú ꎬ 则 ｆ ( ｘ )＝ ２ｓｉｎ
２ ３ ６ ３ ６
æ ö
ｃｏｓè çｘ ＋ π ø ÷ ꎬ 则下列结论错误的是 ( ) æ çｘ π ö ÷在 é ê ê π π ù ú ú 上不单调 错误
３ è － ø ë－ ꎬ û ꎬＢ ꎻ
６ ２ ３
ｆ ｘ 的一个周期为
Ａ. ( ) －２π æ ö
当 ｘ 时 ｘ π ç π １１π÷ 则 ｆ ｘ
∈(０ꎬ２π) ꎬ － ∈è－ ꎬ øꎬ ( )
ｙ ｆ ｘ 的图象关于直线 ｘ ８π对称 ６ ６ ６
Ｂ. ＝ ( ) ＝
３
只有在 ｘ π ３ 处取得极小值 故 ｆ ｘ 在
－ ＝ π ꎬ ( )
ｆ ｘ 的一个零点为 ｘ π ６ ２
Ｃ. ( ＋π) ＝
６ 上有且仅有 个极小值点 错误
(０ꎬ２π) １ ꎬＣ ꎻ
æ ö
ｆ ｘ 在çπ ÷单调递减 æ ö æ ö
Ｄ. ( ) è ꎬπø 当 ｘ ２π时 ｆç２π÷ ç２π π ÷ 所以 ｆ
２ ＝ ꎬ è ø ＝２ｓｉｎ è － ø＝２ꎬ
３ ３ ３ ６
答案 Ｄ ｆ ｘ 的最小正周期为 易知
( ) ２πꎬ Ａ
ｘ 的图象关于 ｘ ２π对称 正确. 故
æ ö æ ö ( ) ＝ ꎬＤ
中结论正确 ｆç８π÷ ç８ π÷ ３
ꎻ è ø ＝ｃｏｓè π＋ ø ＝ｃｏｓ ３π＝
３ ３ ３ 选
5 为 ｆ ｘ 的最小值 故 中结论正确 ＡＤ.
年 －１ꎬ ( ) ꎬ Ｂ ꎻ １４.(多选)( 届长沙长郡中学月考ꎬ )已
高 ２０２３ ９
æ ö æ ö
考
3 ∵ ｆ ( ｘ ＋π)＝ ｃｏｓè çｘ ＋π＋ π ø ÷ ＝ －ｃｏｓè çｘ ＋ π ø ÷ ꎬ∴ ｆ 知奇函数 ｆ ( ｘ )＝ ３ｓｉｎ( ωｘ ＋ φ )－ｃｏｓ( ωｘ ＋ φ )
年 ３ ３
模 ω φ 的最小正周期为 将函数
æ ö æ ö
拟 çπ ÷ çπ π÷ π 故 中结 ( >０ꎬ０< <π) πꎬ
A è ＋πø ＝－ｃｏｓè ＋ ø ＝－ｃｏｓ ＝０ꎬ Ｃ
６ ６ ３ ２ ｆ ｘ 的图象向右平移π个单位长度 可得到
版 ( ) ꎬ
论正确
６
ꎻ
高
函数 ｙ ｇ ｘ 的图象 则下列结论正确的是
考 æ ö æ ö
＝ ( ) ꎬ
数 由于ｆ ç２π÷ ç２π π÷ 为 ｆ
学 è ø ＝ ｃｏｓè ＋ ø ＝ ｃｏｓ π＝ －１ꎬ
３ ３ ３ ( )
１６４
æ ö １５.(多选)( 长沙明达中学入学考ꎬ )已
函数 ｇ ｘ ç ｘ π÷ ２０２２ ９
Ａ. ( )＝ ２ｓｉｎè２ － ø
３ æ ö
知函数ｆ ｘ ç ｘ π÷ 则
æ ö ( )＝ ２ｓｉｎè２ ＋ øꎬ ( )
函数 ｇ ｘ 的图象关于点ç π ÷对称 ６
Ｂ. ( ) è－ ꎬ０ø
３ 函数ｆ ｘ 的最小正周期为
Ａ. ( ) π
é ù
函数 ｇ ｘ 在区间ê π π ú上单调递增
Ｃ. ( ) ë ê － ꎬ û ú ｆ ｘ 的图象关于直线 ｘ π对称
６ ３ Ｂ. ( ) ＝－
１２
é ù
当 ｘ ê π ú时 函数 ｇ ｘ 的最大值 æ ö
Ｄ. ∈ ë ê ０ꎬ û ú ꎬ ( ) ｆ ｘ 的图象关于点çπ ÷对称
２ Ｃ. ( ) è ꎬ０ø
３
是
ｆ ｘ 在区间 上有两个极值点
３
Ｄ. ( ) (０ꎬπ)
答案 ＡＢ 由题意可得 ｆ ｘ ωｘ 答案 ＡＤ 对于 由题意得函数ｆ ｘ 的最
( )＝ ３ｓｉｎ( ＋ Ａꎬ ( )
æ ö
φ ωｘ φ çωｘ φ π÷ 小正周期 Ｔ ２π ２π 故 正确
)－ｃｏｓ( ＋ )＝ ２ｓｉｎè ＋ － øꎬ ＝ ω ＝ ＝πꎬ Ａ ꎻ
６ ｜ ｜ ２
因为 ｆ ｘ 的最小正周期为 ω 所以 ω æ ö
( ) πꎬ >０ꎬ ＝ 对于 因为当 ｘ π 时 ｆ ç π÷
Ｂꎬ ＝ － ꎬ è－ ø ＝ ２ｓｉｎ
１２ １２
２π 又因为ｆ ｘ 为奇函数 所以 φ π
＝２ꎬ ( ) ꎬ － ＝ æ ö
π ６ ç π π÷ 所以ｆ ｘ 的图象不关于直
è－２× ＋ ø ＝ ０ꎬ ( )
１２ ６
ｋ ｋ Ｚ 则 φ π ｋ ｋ Ｚ 因为 φ
πꎬ ∈ ꎬ ＝ ＋ πꎬ ∈ ꎬ ０< <πꎬ
６ 线 ｘ π对称 故 错误
＝－ ꎬ Ｂ ꎻ
１２
所以 φ π 所以 ｆ ｘ ｘ.将函数 ｆ ｘ
＝ ꎬ ( )＝ ２ｓｉｎ ２ ( ) æ ö æ ö
６ 对于 因为 ｆçπ÷ ç π π÷ ５π
Ｃꎬ è ø ＝２ｓｉｎè２× ＋ ø ＝２ｓｉｎ
３ ３ ６ ６
的图象向右平移π个单位长度 可得到函数
ꎬ æ ö
６ 故 ｆ ｘ 的图象不经过点 çπ ÷ 即
é æ öù ＝ １ꎬ ( ) è ꎬ０øꎬ
ｙ ｇ ｘ 的图象 故 ｇ ｘ ê çｘ π÷ ú ３
＝ ( ) ꎬ ( )＝ ２ｓｉｎë ê ２è － øû ú ＝ æ ö
６ çπ ÷不是 ｆ ｘ 图象的对称中心 故
æ ö è ꎬ０ø ( ) ꎬ Ｃ
３
ç ｘ π÷ 正确 将 ｘ π代入 ｇ ｘ
２ｓｉｎè２ － øꎬＡ ꎻ ＝－ ( )＝ 错误
３ ３ ꎻ
æ ö é æ ö ù æ ö
ç ｘ π÷ 有 ê ê ç π÷ π ú ú 即函 对于 当 ｘ 时 ｘ π çπ １３π÷.
２ｓｉｎè２ － øꎬ ２ｓｉｎ ë２×è－ ø－ û＝０ꎬ Ｄꎬ ∈(０ꎬπ) ꎬ２ ＋ ∈è ꎬ ø
３ ３ ３ ６ ６ ６
æ ö
数 ｇ ｘ 的图象关于点ç π ÷对称 正确 当 ｘ π π 即 ｘ π时 函数有极大值 为
( ) è－ ꎬ０ø ꎬＢ ꎻ ２ ＋ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ꎬ
３ ６ ２ ６
é ù é ù
当 ｘ ê π π ú时 ｘ π ê ２π π ú 由于 当 ｘ π ３π 即ｘ ２π时 函数有极小值
∈ë ê － ꎬ û ú ꎬ２ － ∈ë ê － ꎬ û ú ꎬ ２ꎻ ２ ＋ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ꎬ
６ ３ ３ ３ ３ ６ ２ ３
é ù 为 所以ｆ ｘ 在区间 上有两个极值
正弦函数 ｙ ｘ 在ê ２π π ú上不单调 故 －２ꎬ ( ) (０ꎬπ)
＝ｓｉｎ ë ê － ꎬ û ú ꎬ 点 故 正确.故选
３ ３
ꎬ Ｄ ＡＤ.
é ù
ｇ ｘ 在区间ê π π ú上不是单调递增函数 １６.(多选)( 山东烟
( ) ë ê － ꎬ û ú ꎬ ２０２２ 专
６ ３ 台三模ꎬ )已知函数 题
é ù １０ 五
故 错 误 当 ｘ ê π ú 时 ｘ π
Ｃ ꎻ ∈ ë ê ０ꎬ û ú ꎬ ２ － ∈ ｆ ( ｘ ) ＝ Ａ ｓｉｎ( ωｘ ＋ φ ) 三
２ ３ 角
æ ö
é ù 函
ê π ２π ú ｇ ｘ 函数 ｇ ｘ 的最 çＡ ω φ π÷ 数
ë ê － ꎬ û ú ꎬ ( )∈[－ ３ꎬ２]ꎬ ( ) è >０ꎬ >０ꎬ｜ ｜< ２ ø 与
３ ３ 解
的部分图象如图所示 则下列结论正确的是
大值为 错误.故选 ꎬ 三
２ꎬＤ ＡＢ. 角
形
( )
１６５
æ ö ｘ
ｆ ｘ ç ｘ π÷ ( )ꎬ
Ａ. ( )＝ ２ｃｏｓè２ － ø 所以函数ｆ ｘ 与 ｇ ｘ ｘ 的图象关
３
( ) ( )＝ －２ｃｏｓ ２
满 足 ｆ ｘ 的 ｘ 的 取 值 范 围 为
Ｂ. ( ) > １
于直线 ｘ π对称 故 正确.故选
æ ö ＝ ꎬ Ｄ ＡＢＤ.
çｋ ｋ π÷ ｋ Ｚ ３
è πꎬ π＋ ３ ø( ∈ ) １７.( 北京理ꎬ ꎬ 分)函数 ｆ ｘ ２ ｘ 的
２０１９ ９ ５ ( )＝ ｓｉｎ ２
将函数ｆ ｘ 的图象向右平移π个单位长 最小正周期是 .
Ｃ. ( )
１２
答案 π
度 得到的图象的一条对称轴为 ｘ π
ꎬ ＝ ２
３
函数 ｆ ｘ 与 ｇ ｘ ｘ 的图象关于 解析 因为 ｆ ｘ ２ ｘ 所以 ｆ ｘ １
Ｄ. ( ) ( )＝ －２ｃｏｓ ２ ( )＝ ｓｉｎ ２ ꎬ ( )＝ (１－
２
直线 ｘ π对称
＝ ｘ 所以函数 ｆ ｘ 的最小正周期 Ｔ ２π
３ ｃｏｓ ４ )ꎬ ( ) ＝
４
答案 ＡＢＤ 由题图可得 ｆ ｘ Ｔ
ꎬ ( )ｍａｘ ＝２ꎬ ＝２
π.
æ ö ＝
ç１１π ５π÷ ２
×è － ø ＝πꎬ
１２ １２ １８.( 江 苏ꎬ ꎬ 分) 将 函 数 ｙ
２０２０ １０ ５ ＝
æ ö
所以 Ａ ω 因 为 ｆ ç π÷ æ ö
＝ ２ꎬ ＝ ２ꎬ è－ ø ＝ ２ｓｉｎ ç ｘ π÷的图象向右平移 π 个单位长
１２ ３ｓｉｎè２ ＋ ø
４ ６
æ ö
ç π φ÷ 所以 π φ ｋ ｋ Ｚ 所 度 则平移后的图象中与 ｙ 轴最近的对称
è－ ×２＋ ø ＝０ꎬ － ＋ ＝２ πꎬ ∈ ꎬ ꎬ
１２ ６
轴的方程是 .
以 φ ｋ π ｋ Ｚ 因为 φ π 所以 φ
＝２ π＋ ꎬ ∈ ꎬ ｜ ｜< ꎬ ＝
答案 ｘ ５
６ ２
＝－ π
æ ö æ ö ２４
π 则ｆ ｘ ç ｘ π÷ ç ｘ π÷ 故
６ ꎬ ( )＝ ２ｓｉｎè２ ＋ ６ ø ＝２ｃｏｓè２ － ３ øꎬ Ａ 解析 将函数 ｙ æ ç ｘ π ö ÷的图象向右平
＝３ｓｉｎè２ ＋ ø
正确 ４
ꎻ
æ ö 移π个单位长度后所得图象对应的函数解
由 ｆ ｘ ç ｘ π÷ 可 得
( ) ＝ ２ｓｉｎ è２ ＋ ø > １ ｓｉｎ ６
６
é æ ö ù æ ö
æ ö 析式为 ｙ ê ê çｘ π÷ π ú ú ç ｘ π÷.
ç ｘ π÷ １ ＝３ｓｉｎ ë２è － ø＋ û＝３ｓｉｎè２ － ø
è２ ＋ ø> ꎬ ６ ４ １２
６ ２
ｋ
由 ｘ π π ｋ ｋ Ｚ 得 ｘ π ７ ｋ
所以 ｋ π ｘ π ｋ ５π ｋ Ｚ 解得 ｘ ２ － ＝ ＋ πꎬ ∈ ꎬ ＝ ＋ πꎬ ∈
２ π＋ <２ ＋ <２ π＋ ꎬ ∈ ꎬ １２ ２ ２ ２４
６ ６ ６
æ ö Ｚ 当 ｋ 时 对称轴方程为 ｘ ５ 故平
çｋ ｋ π÷ ｋ Ｚ 故 正确 ꎬ ＝－１ ꎬ ＝－ πꎬ
∈è πꎬ π＋ øꎬ ∈ ꎬ Ｂ ꎻ ２４
３
移后的图象中与 ｙ 轴最近的对称轴的方程
将函数ｆ ｘ 的图象向右平移π个单位长度
5
( ) ꎬ
年 １２ 是 ｘ ５ .
高 ＝－ π
考 得到的是函数 ｙ é ê æ çｘ π ö ÷ π ù ú ２４
3 ＝ ２ｓｉｎ ë ê ２è － ø＋ û ú ＝ ２ｓｉｎ １９.( 山东理ꎬ ꎬ 分)设函数 ｆ ｘ
年 １２ ６ ２０１７ １６ １２ ( )＝
模
æ ö æ ö
拟 ｘ 的图象 直线 ｘ π不是其对称轴 故 çωｘ π÷ çωｘ π÷ 其中 ω .已知
A
２ ꎬ ＝ ꎬ Ｃ ｓｉｎè － ø＋ｓｉｎè － øꎬ ０< <３
３ ６ ２
版
错误 æ ö
ꎻ ｆçπ÷ .
高
è ø ＝０
考 æ ö æ ö
６
数 因为 ｆç２π ｘ÷ ç ｘ ３π÷ ｘ ｇ
学 è － ø ＝２ｓｉｎè－２ ＋ ø ＝－２ｃｏｓ ２ ＝ 求 ω
３ ２ (１) ꎻ
１６６
将函数 ｙ ｆ ｘ 的图象上各点的横坐标 æ ö ω
(２) ＝ ( ) çπ÷ 所以 π π ｋ ｋ Ｚ.
伸长为原来的 倍 纵坐标不变 再将得 è ø ＝０ꎬ － ＝ πꎬ ∈
６ ６ ３
２ ( )ꎬ
故 ω ｋ ｋ Ｚ 又 ω 所以 ω .
＝６ ＋２ꎬ ∈ ꎬ ０< <３ꎬ ＝２
到的图象向左平移π个单位 得到函数 ｙ
ꎬ ＝ æ ö
４ 由 得 ｆ ｘ ç ｘ π÷
é ù
(２) (１) ( )＝ ３ｓｉｎè２ － øꎬ
ｇ ｘ 的图象 求 ｇ ｘ 在 ê π ３π ú上的最 ３
ê ú
( ) ꎬ ( ) ë－ ꎬ û æ ö æ ö
４ ４ 所以 ｇ ｘ çｘ π π÷ çｘ π÷.
小值. ( )＝ ３ｓｉｎè ＋ － ø ＝ ３ｓｉｎè － ø
４ ３ １２
é ù é ù
解析 (１) ｆ ( ｘ )＝ ｓｉｎ æ è çωｘ － π ö ø ÷ ＋ｓｉｎ æ è çωｘ － π ö ø ÷ 因为 ｘ ∈ë ê ê － π ４ ꎬ ３ ４ π û ú ú ꎬ 所以 ｘ － １ π ２ ∈ë ê ê － π ３ ꎬ ２ ３ π û ú ú ꎬ
６ ２
当 ｘ π π 即 ｘ π时 ｇ ｘ 取得最小值
３ ωｘ １ ωｘ ωｘ － ＝－ ꎬ ＝－ ꎬ ( )
＝ ｓｉｎ － ｃｏｓ －ｃｏｓ １２ ３ ４
２ ２
３.
３ ωｘ ３ ωｘ －
＝ ｓｉｎ － ｃｏｓ ＝ ３ ２
２ ２
æ ö æ ö
çç１ ωｘ ３ ωｘ÷÷ çωｘ π÷.因为 ｆ
è ｓｉｎ － ｃｏｓ ø ＝ ３ｓｉｎè － ø
２ ２ ３
专
题
五
三
角
函
数
与
解
三
角
形
１６７
综合篇
考法 一 根据图象确定函数解析式 æ ö
Ｔ ç２π π÷ 则 ω ２π 则 ｙ
＝２×è － ø ＝πꎬ ＝ ＝２ꎬ ＝２ｓｉｎ
１.( 江苏南通重点中学测试ꎬ )函数 ｙ ３ ６ π
２０２２ ５ ＝ æ ö
ｘ φ 又函数图象过点ç２π ÷ 下降零
Ａ ωｘ φ ｂ æ ç其中Ａ ω φ π ö ÷在一 (２ ＋ )＋１ꎬ è
３
ꎬ１ø(
ｓｉｎ( ＋ )＋ è >０ꎬ >０ꎬ｜ ｜< ø
２ æ ö
点 所以 ç ２π φ÷ ４π φ ｋ
个周期内的图象如图 则函数的解析式为
)ꎬ ２ｓｉｎè２× ＋ ø＋１＝１ꎬ ＋ ＝２ π＋
ꎬ
３ ３
( )
ｋ Ｚ 又 φ π 所以 φ π.故选
πꎬ ∈ ꎬ ｜ ｜< ꎬ ＝－ Ｂ.
２ ３
２.( 届福建泉州质
２０２３
量监测一ꎬ )如图 函
５ ꎬ
数 ｆ ｘ Ａ ωｘ φ
( )＝ ｓｉｎ( ＋ )
æ ö
ｙ ç１ｘ π÷ Ａ ω φ
Ａ. ＝２ｓｉｎè ＋ ø＋１ ( >０ꎬ >０ꎬ０< <π)
２ ３ 的图象与 ｘ 轴交于
æ ö
ｙ ç ｘ π÷ æ ö
Ｂ. ＝２ｓｉｎè２ － ø＋１ Ｒç５ ÷ 与 ｙ 轴交于
３ è ꎬ０øꎬ
æ ö ６
ｙ ç１ｘ π÷
æ ö
Ｃ. ＝２ｓｉｎè － ø＋１ Ｐ 其最高点为 Ｑç１ Ａ÷.若 ＰＱ ＰＲ 则 Ａ 的
２ ３ ꎬ è ꎬ ø ⊥ ꎬ
æ ö ３
ｙ ç ｘ π÷ 值等于
Ｄ. ＝２ｓｉｎè２ ＋ ø＋１
( )
３
答案 Ｂ 由题图 得 Ａ ３－(－１) ｂ ３ １０ ５
ꎬ ＝ ＝ ２ꎬ ＝ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.２
２ ３ ３ ２
答案 Ｂ 由题意可知函数的最小正周期为
３＋(－１)
＝１ꎬ
２
æ ö æ ö ４.(多选)( 新高考 ꎬ ꎬ 分)函数 ｙ
４ç５ １÷ 则 ω ２π .将 Ｒç５ ÷代入 ｆ ２０２０ Ⅰ １０ ５ ＝
è － ø ＝２ꎬ ＝ ＝π è ꎬ０ø
６ ３ ２ ６ ωｘ φ 的部分图象如图所示 则 ωｘ
ｓｉｎ( ＋ ) ꎬ ｓｉｎ( ＋
æ ö
ｘ Ａ ｘ φ 得Ａ ç５π φ ÷ ５π φ
( )＝ ｓｉｎ(π ＋ ) ｓｉｎ è ＋ ø＝０ꎬ∴ ＋ )＝ ( )
６ ６
φ ｋ ｋ Ｚ 又 φ φ π ｆ
＝２ π＋πꎬ ∈ ꎬ ∵ ０< <πꎬ∴ ＝ ꎬ∴
６
æ ö Ａ æ Ａö
ｘ Ａ ç ｘ π÷ ｆ Ｐç ÷ 则
( )＝ ｓｉｎèπ ＋ øꎬ (０)＝ ꎬ∴ è０ꎬ øꎬ
６ ２ ２
æ Ａö æ Ａö æ ö æ ö
Ｐ→Ｑ ç １ ÷ Ｐ→Ｒ ç ５ ÷ ＰＱ ＰＲ çｘ π÷ çπ ｘ÷
＝è ꎬ øꎬ ＝ è ꎬ－ øꎬ∵ ⊥ ꎬ∴ Ａ.ｓｉｎè ＋ ø Ｂ.ｓｉｎè －２ ø
３ ２ ６ ２ ３ ３
æ ö æ ö
Ａ２
ç ｘ π÷ ç５π ｘ÷
Ｐ→Ｑ
Ｐ→Ｒ
＝
１
×
５
－ ＝ ０ꎬ
解得 Ａ
＝
１０ 或
－ Ｃ.ｃｏｓè２ ＋ ø Ｄ.ｃｏｓè －２ ø
６ ６
３ ６ ４ ３
Ｔ
答案 ＢＣ 由题图可知 ２π π π
１０ 舍 .故选 ꎬ ＝ － ＝ ꎬ∴
( ) Ｂ. ２ ３ ６ ２
３
３.( 重庆七中期中ꎬ ) Ｔ 由 Ｔ ２π 可知 ２π ω 不
２０２２ ７ ＝πꎬ ＝ ω ꎬ ω ＝πꎬ∴ ｜ ｜ ＝２ꎬ
｜ ｜ ｜ ｜
如图 函数ｆ ｘ ωｘ
ꎬ ( )＝ ｓｉｎ( ＋ 妨取 ω 则 ｆ ｘ ｘ φ 又 图象过
＝２ꎬ ( )＝ ｓｉｎ(２ ＋ )ꎬ ∵
æ ö
φ çω φ π ÷在一 æ ö æ ö
) è >０ꎬ０< < ø çπ ÷ çπ φ÷
２ è ꎬ０øꎬ∴ ｓｉｎè ＋ ø ＝０ꎬ
６ ３
个周期内的图象 不包括端点 与 ｘ 轴 ｙ 轴
( ) ꎬ
又 π是ｆ ｘ 的下降零点 π φ ｋ
的交点分别为 Ａ Ｂ 与过点 Ａ 的直线另相交 ∵ ( ) ꎬ∴ ＋ ＝π＋２ πꎬ
ꎬ ꎬ ６ ３
于 Ｃ Ｄ 两点 Ｅ 为图象的最高点 Ｏ 为坐标
ꎬ ꎬ ꎬ ｋ Ｚ φ ２π ｋ ｋ Ｚ 不妨取 φ ２π
∈ ꎬ∴ ＝ ＋２ πꎬ ∈ ꎬ ＝ ꎬ
原点 则 Ｂ→Ｃ Ｂ→Ｄ Ｏ→Ｅ ３ ３
ꎬ ( ＋ ) ＝ ( )
æ ö
则 ｆ ｘ ç ｘ ２π÷
４ １４ ２ ４ ( ) ＝ ｓｉｎ è２ ＋ ø ＝
Ａ－ Ｂ. Ｃ.－ Ｄ. ３
９ ９ ９ ９
éæ ö ù æ ö
答案 Ａ 设ｆ ｘ 的最小正周期为 Ｔ 由题 ê ç ｘ π÷ π ú ç ｘ π÷ ｆ ｘ
( ) ꎬ ｓｉｎë ê è２ ＋ ø＋ û ú ＝ｃｏｓè２ ＋ øꎬ ( ) ＝
６ ２ ６
图知 ３Ｔ １１ １ ３ 则 Ｔ 所以 ω ２π æ ö é æ öù æ ö
ꎬ ＝ － ＝ ꎬ ＝２ꎬ ＝ Ｔ ＝ ç ｘ ２π÷ ê çπ ｘ÷ ú çπ ｘ÷
４ ６ ３ ２ ｓｉｎè２ ＋ ø ＝ｓｉｎë ê π－è －２ øû ú ＝ｓｉｎè －２ øꎬ
３ ３ ３
æ ö
因为 ｆç１ ÷ 所以π φ ｋ π ｋ Ｚ 故选 .
πꎬ è ø ＝１ꎬ ＋ ＝２ π＋ ꎬ ∈ ꎬ ＢＣ
３ ３ ２
５.( 全国甲理ꎬ ꎬ 分)已知函数 ｆ ｘ
２０２１ １６ ５ ( )＝
又 φ π 所 以 φ π 所 以 ｆ ｘ
｜ ｜ < ꎬ ＝ ꎬ ( ) ＝ ωｘ φ 的部分图象如图所示 则满足条
２ ６ ２ｃｏｓ( ＋ ) ꎬ
æ æ ööæ æ öö
æ ö æ ö æ ö
5 ç ｘ π÷ 由题设 知点 Ａç５ ÷ Ｂç １÷ 件çｆ ｘ ｆç ７π÷÷çｆ ｘ ｆç４π÷÷ 的最小
年 ｓｉｎèπ ＋ øꎬ ꎬ è ꎬ０øꎬ è０ꎬ øꎬ è ( )－ è－ øøè ( )－ è øø > ０
高 ６ ６ ２ ４ ３
考 正整数 ｘ 为 .
æ ö æ ö æ ö
3
Ｅç１ ÷ 则Ｂ→Ａ ç ５ １÷ Ｏ→Ｅ ç １ ÷ 因为
年 è ꎬ１øꎬ ＝è ꎬ－ øꎬ ＝è ꎬ１øꎬ
模 ３ ６ ２ ３
拟
ｆ ｘ 的图象关于点 Ａ 对称 则 Ａ 为线段 ＣＤ
A ( ) ꎬ
版
的中点 所以 Ｂ→Ｃ Ｂ→Ｄ Ｏ→Ｅ Ｂ→Ａ Ｏ→Ｅ
ꎬ ( ＋ ) ＝２ ＝２
高
答案
考 æ ö
２
数 ç ５ １÷ ４.故选
学 è － ø ＝－ Ａ. 解析 设函数 ｆ ｘ 的最小正周期为 Ｔ 则
１８ ２ ９ ( ) ꎬ
１６８
３Ｔ １３π π ３π 解得 Ｔ 则 ２π 解
＝ － ＝ ꎬ ＝πꎬ ω ＝πꎬ
４ １２ ３ ４ ｜ ｜
得 ω 不妨取 ω 此时ｆ ｘ ｘ
｜ ｜ ＝２ꎬ ＝２ꎬ ( )＝ ２ｃｏｓ(２
φ .
＋ )
æ ö
由题图知 ç π φ÷ 得２π φ π
２ｃｏｓè２× ＋ ø ＝ ０ꎬ ＋ ＝ ＋
３ ３ ２
Ｔ
ｋ ｋ Ｚ 解析 由题图可知 Ａ π Ｔ
２ πꎬ ∈ ꎬ (１) ＝２ꎬ ＝ ꎬ ＝πꎬ
２ ２
φ π ｋ ｋ Ｚ 取 φ π
∴ ＝－ ＋２ πꎬ ∈ ꎬ ＝－ ꎬ 则２π 又ω 所以ω ｆ ｘ ｘ
６ ６ ω ＝πꎬ >０ꎬ ＝２ꎬ ( )＝ ２ｓｉｎ(２
｜ ｜
æ ö
ｆ ｘ ç ｘ π÷ æ ö
∴ ( )＝ ２ｃｏｓè２ － øꎬ φ 又函数图象过点 çπ ÷ 所以 ｆ
６ ＋ )ꎬ è ꎬ－ ３øꎬ
２
æ ö æ ö
ｆç ７π÷ ç ７π π÷ π æ ö
∴ è－ ø ＝２ｃｏｓè－ － ø ＝２ｃｏｓ ＝１ꎬ çπ÷ φ φ φ
４ ２ ６ ３ è ø ＝２ｓｉｎ(π＋ )＝ －２ｓｉｎ ＝ － ３ꎬｓｉｎ ＝
２
æ ö æ ö
ｆç４π÷ ç８π π÷ π
è ø ＝２ｃｏｓè － ø ＝２ｃｏｓ ＝０ꎬ ３ 由于 φ 所以 φ π或 φ ２π
３ ３ ６ ２ ꎬ ｜ ｜<πꎬ ＝ ＝ ꎬ
不等式可化为 ｆ ｘ ｆ ｘ 解得 ｆ ２ ３ ３
∴ ( ( )－１) ( )>０ꎬ æ ö æ ö
ｘ 或 ｆ ｘ . 由 ｆ ｘ 得 当 φ π时 ｆ ｘ ç ｘ π÷ ｆçπ÷
( ) > １ ( ) < ０ ( ) > １ꎬ ２ｃｏｓ ＝ ꎬ ( )＝ ２ｓｉｎè２ ＋ øꎬ è ø ＝２ｓｉｎ
３ ３ １２
æ ö æ ö
ç ｘ π÷ 即 ç ｘ π÷ １ 由 ｆ ｘ π 结合图象可知不正确.
è２ － ø>１ꎬ ｃｏｓè２ － ø> ①ꎬ' ( )<
＝２ꎬ
６ ６ ２
２
æ ö
æ ö
得 ç ｘ π÷ 所以 φ ２π 则 ｆ ｘ ç ｘ ２π÷.
０ꎬ ｃｏｓè２ － ø<０②ꎬ ＝ ꎬ ( )＝ ２ｓｉｎè２ ＋ ø
６
３ ３
æ ö
由 得 π ｋ ｘ π π ｋ ｋ Ｚ ｆ ′ ｘ ç ｘ ２π÷ 因为 ｘ ｍ 所以
① － ＋２ π<２ － < ＋２ πꎬ ∈ ꎬ (２) ( )＝ ４ｃｏｓè２ ＋ øꎬ ０< < ꎬ
３ ６ ３ ３
解得 π ｋ ｘ π ｋ ｋ Ｚ 欲使 ｘ 为最小 ｘ ｍ 则２π ｘ ２π ｍ ２π 因为方程 ｆ
－ ＋ π< < ＋ πꎬ ∈ ꎬ ０<２ <２ ꎬ <２ ＋ <２ ＋ ꎬ
１２ ４ ３ ３ ３
′ ｘ 在区间 ｍ 内有且只有 个实
正整数 则 ｋ 此时 １１π ｘ ５π 由 得π ( )＝ ０ (０ꎬ ) ３
ꎬ ＝１ꎬ ꎬ < < ꎻ ②
数解
１２ ４ ２
ꎬ
ｋ ｘ π ３π ｋ ｋ Ｚ 解得π ｋ ｘ
＋２ π<２ － < ＋２ πꎬ ∈ ꎬ ＋ π< 所以７π ｍ ２π ９π １７π ｍ ２３π １７π
<２ ＋ ≤ ꎬ <２ ≤ ꎬ <
６ ２ ３
２ ３ ２ ６ ６ １２
５π ｋ ｋ Ｚ 欲使 ｘ 为最小正整数 则 ｋ
ｍ ２３π
< ＋ πꎬ ∈ ꎬ ꎬ ＝
≤ ꎬ
６
１２
æ ù
此时 π ｘ ５π.综上 最小正整数 ｘ 为 . 即 ｍ 的取值范围是ç１７π ２３π ú.
０ꎬ ꎬ < < ꎬ ２ ú
è ꎬ û
３ ６
１２ １２
６.( 届沈阳四中月考ꎬ )已知函数 ｆ ｘ
考法 二 三角函数的性质的应用
２０２３ １７ ( )＝
Ａ ωｘ φ Ａ ω φ 的图象如图 专
ｓｉｎ( ＋ )( >０ꎬ >０ꎬ｜ ｜<π) １.( 江苏省天一中学月考ꎬ )若函数ｆ ｘ 题
２０２２ ６ ( ) 五
所示.
æ ö é ù
(１) 求函数 ｆ ( ｘ ) 的解析式 ꎻ ＝ ｓｉｎ(４ ｘ － φ )è ç ０≤ φ ≤ π ø ÷在区间 ë ê ê ０ꎬ π û ú ú 上单 三 角 函
２ ６
记 ｆ ′ ｘ 为函数 ｆ ｘ 的导函数 若方程 数
(２) ( ) ( ) ꎬ 调递增 则实数 φ 的取值范围是 与
ꎬ ( )
解
ｆ ′ ｘ 在区间 ｍ 内有且只有 个实数
é ù é ù 三
( )＝ ０ (０ꎬ ) ３ ê ú ê ú
π π π π 角
ê ú ê ú
解 试求实数 ｍ 的取值范围. Ａ.ë ꎬ û Ｂ.ë ꎬ û 形
ꎬ ６ ４ ４ ３
１６９
é ù é ù æ ö æ ö
ê π π ú ê π π ú 又 ｇ ｘ 的图象过点ç ７π ÷ ｇç ７π÷
Ｃ.ë ê ꎬ û ú Ｄ.ë ê ꎬ û ú ( ) è－ ꎬ１øꎬ∴ è－ ø ＝
３ ２ ６ ２ １２ １２
é ù é æ ö ù æ ö
答案 Ｄ 当 ｘ ê π ú时 φ ｘ φ ２π ê ç ７π π÷ φ ú ç ５π φ÷
∈ë ê ０ꎬ û ú ꎬ－ ≤４ － ≤ ｓｉｎë ê ２è－ ＋ ø＋ û ú ＝１ꎬｓｉｎè－ ＋ ø ＝１ꎬ
６ ３ １２ ６ ６
φ.
－ ５π φ π ｋ ｋ Ｚ 即 φ ４π ｋ ｋ
∴ － ＋ ＝ ＋２ πꎬ ∈ ꎬ ＝ ＋２ πꎬ
é ù
因为函数 ｙ ｘ 在ê π π ú上单调递增 ６ ２ ３
＝ｓｉｎ ë ê － ꎬ û ú ꎬ
２ ２ Ｚ φ φ ２π ｆ ｘ
∈ ꎬ∵ ｜ ｜ < πꎬ∴ ＝ － ꎬ∴ ( ) ＝
æ ö
且函数ｆ ｘ ｘ φ ç φ π÷在区间 ３
( )＝ ｓｉｎ(４ － )è０≤ ≤ ø æ ö
２ ç ｘ ２π÷.
é ù ｓｉｎè２ － ø
ê
π
ú上单调递增 ３
ê ú
ë０ꎬ û ꎬ
６ 令 π ｋ ｘ ２π π ｋ ｋ Ｚ 可得π
－ ＋２ π≤２ － ≤ ＋２ πꎬ ∈ ꎬ
ì
ï ２ ３ ２ １２
φ π
ï ï－ ≥－ ꎬ
所以得í ２ 解得π φ π 所以实 ｋ ｘ ７π ｋ ｋ Ｚ 则函数 ｆ ｘ 的单调
ï ≤ ≤ ꎬ ＋ π≤ ≤ ＋ πꎬ ∈ ꎬ ( )
ï２π φ π ６ ２ １２
ï
î － ≤ ꎬ é ù
３ ２ 递增区间为ê π ｋ ７π ｋ ú ｋ Ｚ.故选
ê ú
é ù ë ＋ πꎬ ＋ πûꎬ ∈ Ａ.
数 φ 的取值范围是ê π π ú. １２ １２
ê ú
ë ꎬ û ３.( 湖北重点中学联考ꎬ )下列函数中 其
６ ２ ２０２２ ５ ꎬ
２.( 届山西长治质量 图象关于原点对称的是
２０２３ ( )
检 测ꎬ ) 已 知 函 数 ｙ ２ｘ ｙ ｘ ｘ
６ Ａ. ＝ｓｉｎ Ｂ. ＝ ｓｉｎ
ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ｘ æ ö
( )＝ ｓｉｎ( ＋ ) ( > ｙ ｓｉｎ ｙ ｘ çｘ π÷
ω φ 将函数 Ｃ. ＝ ｘ Ｄ. ＝ ｓｉｎè ＋ ø
０ꎬ >０ꎬ｜ ｜<π)ꎬ ２
答案 Ｄ 对于 ｙ ２ｘ 的定义域为 Ｒ
Ａꎬ ＝ｓｉｎ ꎬ
ｆ ｘ 的图象向左平移π个单位长度 得到函
( ) ꎬ 令 ｆ ｘ ｙ ２ｘ ｆ ｘ ２ ｘ ２ｘ
６ ( )＝ ＝ｓｉｎ ꎬ (－ )＝ ｓｉｎ (－ )＝ ｓｉｎ ＝
数 ｇ ｘ 的部分图象如图所示 则函数ｆ ｘ 的 ｆ ｘ 所以 ｙ ２ｘ 是偶函数 图象不关于原
( ) ꎬ ( ) ( )ꎬ ＝ｓｉｎ ꎬ
单调递增区间为 点对称 故 不符合题意
( ) ꎬ Ａ ꎻ
é ù 对于 ｙ ｘ ｘ 的定义域为Ｒ 令ｆ ｘ ｙ
ê π ｋ ７π ｋ ú ｋ Ｚ Ｂꎬ ＝ ｓｉｎ ꎬ ( )＝ ＝
ê ú
Ａ.ë ＋ πꎬ ＋ πû( ∈ ) ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｆ ｘ
１２ １２ ｓｉｎ ꎬ (－ )＝ (－ )ｓｉｎ(－ )＝ ｓｉｎ ＝ ( )ꎬ
é ù 所以 ｙ ｘ ｘ 是偶函数 图象不关于原点对
ê ７π ｋ １３π ｋ ú ｋ Ｚ ＝ ｓｉｎ ꎬ
ê ú
Ｂ.ë ＋ πꎬ ＋ πû( ∈ )
称 故 不符合题意
１２ １２
ꎬ Ｂ ꎻ
é ù
ê ｋ π ｋ ú ｋ Ｚ ｘ
ê ú 对于 ｙ ｓｉｎ 的定义域为 ｘ ｘ 关于
Ｃ.ë πꎬ ＋ πû( ∈ )
Ｃꎬ ＝ ｘ { ｜ ≠０}ꎬ
２
é ù
ê ê π ｋ ５π ｋ ú ú ｋ Ｚ 原点对称 令 ｆ ｘ ｙ ｓｉｎ ｘ ｆ ｘ
5 Ｄ.ë－ ＋ πꎬ ＋ πû( ∈ ) ꎬ ( ) ＝ ＝ ｘ ꎬ (－ ) ＝
年 １２ １２
高 答案 Ａ 将函数 ｆ ｘ Ａ ωｘ φ 的图 ｘ ｘ ｘ
考 ( )＝ ｓｉｎ( ＋ ) ｓｉｎ(－ ) ｓｉｎ ｆ ｘ 所以 ｙ ｓｉｎ 是偶函
3 ｘ ＝ ｘ ＝ ( )ꎬ ＝ ｘ
年 象向左平移π个单位长度 得到函数 ｇ ｘ －
模 ꎬ ( )＝ 数 图象不关于原点对称 故 不符合题意
拟 ６ ꎬ ꎬ Ｃ ꎻ
A é æ ö ù æ ö
版 Ａ ｓｉｎë ê ê ω è çｘ ＋ π ø ÷ ＋ φ û ú ú 的图象.由题图可知 Ａ ＝１ꎬ 对于 Ｄꎬ ｙ ＝ ｘ ｓｉｎè çｘ ＋ π ø ÷的定义域为 Ｒ ꎬ ｙ ＝ ｘ ｓｉｎ
６ ２
高
考 Ｔ æ ö æ ö
数 ３ π ç ７π÷ ３π Ｔ ２π 则 ω . çｘ π÷ ｘ ｘ 令 ｆ ｘ ｙ ｘ ｘ ｆ ｘ
学 ＝ －è－ ø ＝ ꎬ ＝π＝ ω ꎬ ＝２ è ＋ ø ＝ ｃｏｓ ꎬ ( )＝ ＝ ｃｏｓ ꎬ (－ )＝
４ ６ １２ ４ ２
１７０
ｘ ｘ ｘ ｘ ｆ ｘ 所以 ｙ ｘ æ ö
(－ )ｃｏｓ(－ )＝ － ｃｏｓ ＝－ ( )ꎬ ＝ ｓｉｎ ｆ ｘ 在ç π π÷上单调递增
æ ö Ｂ. ( ) è－ ꎬ ø
４ １２
çｘ π÷是奇函数 图象关于原点对称 故
è ＋ ø ꎬ ꎬ Ｄ æ ö
２ ｆ ｘ 在ç π÷上单调递减
符合题意.故选 Ｃ. ( ) è０ꎬ ø
３
Ｄ.
４.( 湖北八市联考ꎬ )将函数 ｙ ｘ æ ö
２０２２ ５ ＝ｓｉｎ(２ －
ｆ ｘ 在çπ ７π÷上单调递增
Ｄ. ( ) è ꎬ ø
４ １２
φ
)
的图象沿 ｘ 轴向右平移π个单位长度后
ꎬ
答案 Ｃ ｆ ｘ ２ｘ ２ｘ ｘ 令 ｋ
( )＝ ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ２ ꎬ ２ π
８
得到一个偶函数的图象 则 φ 的一个可能取
ｘ ｋ ｋ Ｚ 解得 ｋ ｘ ｋ π ｋ
ꎬ
<２ <２ π＋πꎬ ∈ ꎬ π< < π＋ ꎬ ∈
值为 ２
( )
æ ö
Ｚ 则 ｆ ｘ 的单调递减区间为çｋ ｋ π÷ ｋ
π π π ３π ꎬ ( ) è πꎬ π＋ øꎬ
Ａ.－ Ｂ. Ｃ. Ｄ. ２
４ ４ ２ ４
答案 Ｂ 将函数 ｙ ｘ φ 的图象沿 ｘ Ｚ 令 ｋ ｘ ｋ ｋ Ｚ 解得 ｋ π
＝ｓｉｎ(２ － ) ∈ ꎻ ２ π－π<２ <２ πꎬ ∈ ꎬ π－ <
２
轴向右平移π个单位长度后 得到函数 ｙ ｘ ｋ ｋ Ｚ 则 ｆ ｘ 的单调递增区间为
ꎬ ＝ < πꎬ ∈ ꎬ ( )
８
æ ö
ｓｉｎ é ë ê ê ２ æ è çｘ － π ö ø ÷ － φ ù û ú ú ＝ ｓｉｎ æ è ç ２ ｘ － π － φ ö ø ÷的图象 ꎬ 依题 ç è ｋ π－ π ２ ꎬ ｋ πø ÷ ꎬ ｋ ∈ Ｚ.
８ ４
æ ö
对于 ｆ ｘ 在ç π π÷上单调递增 故
意可得 π φ π ｋ ｋ Ｚ 解得φ ３π ｋ Ａꎬ ( ) è－ ꎬ－ ø ꎬ Ａ
－ － ＝ ＋ π( ∈ )ꎬ ＝－ － π ２ ６
４ ２ ４
错误
ꎻ
ｋ Ｚ 取ｋ 可得φ π 故选 .
( ∈ )ꎬ ＝－１ꎬ ＝ ꎬ Ｂ æ ö
４ 对于 ｆ ｘ 在 ç π ÷ 上单调递增 在
Ｂꎬ ( ) è－ ꎬ０ø ꎬ
５.( 北京ꎬ ꎬ 分)函数 ｆ ｘ ｘ ｘ ４
２０２１ ７ ４ ( )＝ ｃｏｓ －ｃｏｓ ２
æ ö
是 ç π÷上单调递减 故 错误
( ) è０ꎬ ø ꎬ Ｂ ꎻ
奇函数 且最大值为 １２
Ａ. ꎬ ２ æ ö
偶函数 且最大值为 对于 ｆ ｘ 在ç π÷上单调递减 故
Ｂ. ꎬ ２ Ｃꎬ ( ) è０ꎬ ø ꎬ Ｃ
３
奇函数 且最大值为９ 正确
Ｃ. ꎬ ꎻ
８ æ ö
对于 ｆ ｘ 在 çπ π÷ 上单调递减 在
偶函数 且最大值为９ Ｄꎬ ( ) è ꎬ ø ꎬ
Ｄ. ꎬ ４ ２
８ æ ö
答案 Ｄ ｆ ｘ 的定义域为 Ｒ 关于原点对 çπ ７π÷上单调递增 故 错误.故选 .
( ) ꎬ è ꎬ ø ꎬ Ｄ Ｃ
２ １２
称 且ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ
ꎬ (－ )＝ ｃｏｓ(－ )－ｃｏｓ(－２ )＝ ｃｏｓ －ｃｏｓ ７.( 届安徽江淮名校质量检测ꎬ )已知
２０２３ １１
ｘ ｆ ｘ 所以ｆ ｘ 为偶函数.ｆ ｘ ｘ
２ ＝ ( )ꎬ ( ) ( )＝ ｃｏｓ － æ ö
ｃｏｓ ２
ｘ
＝ｃｏｓ
ｘ
－(２ｃｏｓ
２ｘ
－１)＝ －２ｃｏｓ
２ｘ
＋ｃｏｓ
ｘ
＋１
ｆ
(
ｘ
)＝ ｃｏｓ(
ωｘ
＋
φ
) è
ç其中 ω
>０ꎬ－
π
<
φ
<
π
ø
÷的
２ ２
æ ö２
ç ｘ １÷ ９ 当 ｘ １时 ｆ ｘ 部分图象如图所示 给出下列四个结论
＝－２èｃｏｓ － ø ＋ ꎬ ｃｏｓ ＝ ꎬ ( )ｍａｘ ꎬ :
４ ８ ４ é 专
函数 ｆ ｘ 的单调递增区间为 ê ê ｋ π 题
９.故选 . (１) ( ) ë２ π－ ꎬ 五
＝ Ｄ ３
８ ù 三
６.(
２０２２
北京ꎬ
５
ꎬ
４
分)已知函数 ｆ
(
ｘ
)＝ ｃｏｓ
２ｘ
－ ２
ｋ
π＋
π
û
ú ú
ꎬ
ｋ
∈
Ｚ
ꎻ
角
函
６ 数
２ｘ 则 与
ｓｉｎ ꎬ ( )
解
æ ö 三
ｆ ｘ 在ç π π÷上单调递减 角
Ａ. ( ) è－ ꎬ－ ø 形
２ ６
１７１
函数 ｆ ｘ 的单调递减 上 正确结论的个数为 .故选
(２) ( ) ꎬ ２ Ｂ.
é ù ８.( 课标 ꎬ文 ꎬ理 ꎬ 分)设函数ｆ ｘ
区间为 ê êｋ π ｋ ２π ú ú ２０２０ Ⅰ ７ ７ ５ ( )＝
ë π＋ ꎬ π＋ ûꎬ
６ ３ æ ö
çωｘ π÷在 的图象大致如图 则
ｋ Ｚ ｃｏｓè ＋ ø [－πꎬπ] ꎬ
∈ ꎻ
６
函数 ｆ ｘ 的最小正周
ｆ ｘ 的最小正周期为
(３) ( )
( ) ( )
期为
πꎻ
函数 ｆ ｘ 在区间 上有 个零点.
(４) ( ) [－πꎬπ] ５
其中正确结论的个数为
( )
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
æ ö
答案 Ｂ 由函数图象过点ç １ ÷ 得 φ １０π ７π ４π ３π
è０ꎬ øꎬ ｃｏｓ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
２ ９ ６ ３ ２
é ù 答案 Ｃ 设函数 ｆ ｘ 的最小正周期为 Ｔ
１ 又因为 π φ π 函数在ê π ú上单调 ( ) ꎬ
＝ ꎬ － < < ꎬ ë ê ０ꎬ û ú
æ ö Ｔ æ ö
２ ２ ２ ６
由题图可得 Ｔ ç ４π÷且 ç ４π÷
<π－è－ ø >è－ ø－(－
递增 所以 φ π. ９ ２ ９
ꎬ ＝－
３
所以１０π Ｔ １３π.又因为 ω ２π 所以
π)ꎬ < < ｜ ｜ ＝ Ｔ ꎬ
因为 ｆ ｘ 在 ｘ π处取得最大值 所以πω ９ ９
( ) ＝ ꎬ －
６ ６ æ ö
１８ ω ９.由题图可知ｆç ４π÷ 且
< ｜ ｜ < è－ ø ＝ ０ꎬ
π ｋ ｋ Ｚ ω ｋ ｋ Ｚ 由周期 Ｔ １３ ５ ９
＝２ πꎬ ∈ ꎬ ＝１２ ＋２ꎬ ∈ ꎬ >４
３ ω
４π是函数ｆ ｘ 的上升零点 所以 ４π π
－ ( ) ꎬ － ＋ ＝
π 得２π ２π ω 又 ω 所以 ω ９ ９ ６
× ꎬ ω > ꎬ <３ꎬ >０ꎬ ＝２ꎬ
６ ３
ｋ π ｋ Ｚ 所以 ４ω ｋ ２ ｋ Ｚ 所
æ ö ２ π－ ( ∈ )ꎬ － ＝２ － ( ∈ )ꎬ
所以函数 ｆ ｘ ç ｘ π÷ 则函数的最小 ２ ９ ３
( )＝ ｃｏｓè２ － øꎬ
３
以 ω ３ ｋ ｋ Ｚ 又因为１８ ω ９
正周期为 所以 正确 ｜ ｜ ＝ ｜３ －１｜( ∈ )ꎬ <｜ ｜< ꎬ
πꎬ (３) ꎻ ２ １３ ５
令 ｋ ｘ π ｋ ｋ Ｚ 得 ｋ π ｘ 所以ｋ 所以 ω ３ 所以 Ｔ ２π ２π
２ π－π≤２ － ≤２ πꎬ ∈ ꎬ π－ ≤ ＝０ꎬ ｜ ｜ ＝ ꎬ ＝ ω ＝ ＝
３ ３
２ ｜ ｜ ３
ｋ π ｋ Ｚ 所以 ｆ ｘ 的单调递增区间 ２
≤ π＋ ꎬ ∈ ꎬ ( )
６ ４π.故选 .
é ù Ｃ
为ê ｋ π ｋ π ú ｋ Ｚ 错误 ３
ê ú
ë π－ ꎬ π＋ û( ∈ )ꎬ(１) ꎻ ９.( 天津ꎬ文 ꎬ理 ꎬ 分)已知函数ｆ ｘ
３ ６
２０１９ ７ ７ ５ ( )＝
令 ｋ ｘ π ｋ ｋ Ｚ 得 ｋ π ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ω φ 是奇函数
２ π≤２ － ≤２ π＋πꎬ ∈ ꎬ π＋ ≤ ｓｉｎ( ＋ )( >０ꎬ >０ꎬ｜ ｜<π) ꎬ
３ ６ 将 ｙ ｆ ｘ 的图象上所有点的横坐标伸长到
5 ＝ ( )
年 ｋ ２π ｋ Ｚ 所以 ｆ ｘ 的单调递减区间 原来的 倍 纵坐标不变 所得图象对应的
高 ≤ π＋ ꎬ ∈ ꎬ ( ) ２ ( )ꎬ
考 ３
函数为ｇ ｘ .若ｇ ｘ 的最小正周期为 且
3 é ù ( ) ( ) ２πꎬ
年 为ê ｋ π ｋ ２π ú ｋ Ｚ 正确
模 拟 ë ê π＋ ６ ꎬ π＋ ３ û ú ( ∈ )ꎬ(２) ꎻ ｇ æ è çπ ö ø ÷ ＝ ２ꎬ 则 ｆ æ è ç３π ö ø ÷ ＝ ( )
ｋ ４ ８
A
令 ｘ π π ｋ ｋ Ｚ 得 ｘ ５π π ｋ
版 ２ － ＝ ＋ π( ∈ )ꎬ ＝ ＋ ( ∈
３ ２ １２ ２ Ａ.－２ Ｂ.－ ２ Ｃ. ２ Ｄ.２
高
Ｚ ｋ 的取值为 时 ｆ ｘ 所以 答案 Ｃ ｆ ｘ Ａ ωｘ φ 为奇函数
考 )ꎬ －２ꎬ－１ꎬ０ꎬ１ ꎬ ( )＝ ０ꎬ ∵ ( )＝ ｓｉｎ( ＋ ) ꎬ
数
学 在 上 ｆ ｘ 有 个零点 错误.综 φ ｋ ｋ Ｚ
[－πꎬπ] ( ) ４ ꎬ(４) ∴ ＝ πꎬ ∈ ꎬ
１７２
又 φ φ ｆ ｘ Ａ ωｘ 则 ｇ ｘ æ ö
｜ ｜<πꎬ∴ ＝０ꎬ∴ ( )＝ ｓｉｎ ꎬ ( ) π ｋ Ｚ.又因为 ｘ ç π １１π÷ 所以 ｘ
æω ö
－ ꎬ ∈ ∈è－ ꎬ øꎬ ＝
１２ １２ １２
Ａ ç ｘ÷.由ｇ ｘ 的最小正周期 Ｔ 得
＝ ｓｉｎè ø ( ) ＝２πꎬ æ ö
２ ５π 故 ｆ ｘ 在区间ç π １１π÷只有一个极值
ꎬ ( ) è－ ꎬ ø
ω æ ö １２ １２ １２
２π ω .又 ｇçπ÷ Ａ π ２Ａ
＝ Ｔ ＝１ꎬ∴ ＝２ è ø ＝ ｓｉｎ ＝ ＝
２ ４ ４ ２ 点 ｋ Ｚ 故 错误.对于 令 ｘ ２π π
ꎬ ∈ ꎬ Ｂ Ｃꎬ ２ ＋ ＝ ＋
æ ö ３ ２
Ａ ｆ ｘ ｘ ｆç３π÷
２ꎬ∴ ＝２ꎬ∴ ( )＝ ２ｓｉｎ ２ ꎬ∴ è ø ＝２ｓｉｎ ｋ
８ ｋ ｋ Ｚ 解得 ｘ π π ｋ Ｚ 故 错误.
πꎬ ∈ ꎬ ＝－ ＋ ꎬ ∈ ꎬ Ｃ
１２ ２
３π 故选 .
＝ ２ꎬ Ｃ æ ö
４ 对于 结合 令 ç ｘ ２π÷ 得 ｘ
Ｄꎬ Ｂꎬ ２ｃｏｓè２ ＋ ø ＝－１ꎬ ２ ＋
１０.(多选)( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知函数 ３
２０２２ Ⅱ ９ ５
ｆ ｘ ｘ φ φ 的图象关于点 ２π ２π ｋ ｋ Ｚ 或 ｘ ２π ４π ｋ ｋ
( )＝ ｓｉｎ(２ ＋ )(０< <π) ＝ ＋２ πꎬ ∈ ２ ＋ ＝ ＋２ πꎬ ∈
３ ３ ３ ３
æ ö
ç２π ÷中心对称 则
è ꎬ０ø ꎬ ( ) Ｚ 解得ｘ ｋ ｋ Ｚ 或ｘ π ｋ ｋ Ｚ 故其
３ ꎬ ＝ πꎬ ∈ ＝ ＋ πꎬ ∈ ꎬ
３
æ ö
ｆ ｘ 在区间ç ５π÷单调递减 æ ö
Ａ. ( ) è０ꎬ ø 中一个切点为çç ３÷÷ 则曲线 ｙ ｆ ｘ 在该
１２ è０ꎬ øꎬ ＝ ( )
æ ö ２
ｆ ｘ 在区间ç π １１π÷有两个极值点
Ｂ. ( ) è－ ꎬ ø
１２ １２ 点处的切线方程为 ｙ ３ ｘ 即 ｙ ３ ｘ
－ ＝－ ꎬ ＝ － ꎬ
２ ２
直线 ｘ ７π是曲线 ｙ ｆ ｘ 的对称轴
Ｃ. ＝ ＝ ( ) 故 正确.故选 .
６ Ｄ ＡＤ
１１.(多选)( 湖南常德临澧一中月考ꎬ )
２０２２ １０
直线 ｙ ３ ｘ 是曲线 ｙ ｆ ｘ 的切线
Ｄ. ＝ － ＝ ( ) æ
２ 如图 已知函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ ç其中 Ａ
ꎬ ( )＝ ｓｉｎ( ＋ ) è
答案 ＡＤ 因为 ｆ ｘ 的图象关于点
( )
ö
æ ö æ ö ω φ π ÷的图象与ｘ 轴交于点Ａ
ç２π ÷对称 所以 ç４π φ÷ 即４π φ >０ꎬ >０ꎬ｜ ｜≤ ø ꎬ
è ꎬ０ø ꎬ ｓｉｎè ＋ ø ＝０ꎬ ＋ ＝ ２
３ ３ ３
Ｂ 与 ｙ 轴交于点 Ｃ Ｂ→Ｃ Ｂ→Ｄ ＯＣＢ π
ｋ ｋ Ｚ 故 φ ｋ ４π ｋ Ｚ.结合 φ ꎬ ꎬ ＝２ ꎬ∠ ＝ ꎬ
πꎬ ∈ ꎬ ＝ π－ ꎬ ∈ ０< <πꎬ ３
３
æ ö
得 φ ２π 所以 ｆ ｘ ç ｘ ２π÷. ＯＡ ＡＤ ２ ２１ 则下列说法正确的有
＝ ꎬ ( )＝ ｓｉｎè２ ＋ ø ｜ ｜＝２ꎬ｜ ｜＝ ꎬ
３ ３ ３
对于 令π ｋ ｘ ２π ３π ｋ ｋ ( )
Ａꎬ ＋２ π≤２ ＋ ≤ ＋２ πꎬ ∈
２ ３ ２
Ｚ 解得 π ｋ ｘ ５π ｋ ｋ Ｚ 故 ｆ ｘ
ꎬ － ＋ π≤ ≤ ＋ πꎬ ∈ ꎬ ( )
１２ １２
é ù
的单调递减区间为 ê ê π ｋ ５π ｋ ú ú ｋ
ë－ ＋ πꎬ ＋ π ûꎬ ∈
１２ １２ 专
ｆ ｘ 的最小正周期为 题
æ ö é ù
Ｚ.显然ç ５π÷ ê π ｋ ５π ｋ ú ｋ Ｚ Ａ. ( ) １２ 五
ê ú
è０ꎬ ø⫋ ë－ ＋ πꎬ ＋ πûꎬ ∈ ꎬ
１２ １２ １２ φ π 三
Ｂ. ＝－ 角
æ ö ６ 函
故 正确.对于 ｆ ′ ｘ ç ｘ ２π÷ 令 数
Ａ Ｂꎬ ( )＝ ２ｃｏｓè２ ＋ øꎬ
与
３ ｆ ｘ 的最大值为１６
解
Ｃ. ( )
ｋ 三
３
ｆ ′ ｘ 得 ｘ ２π ｋ π ｋ Ｚ 即 ｘ π 角
( )＝ ０ꎬ ２ ＋ ＝ π＋ ꎬ ∈ ꎬ ＝ ｆ ｘ 在区间 上单调递增 形
３ ２ ２ Ｄ. ( ) (１４ꎬ１７)
１７３
答案 ＡＣＤ 由题意可得 ｜ ＯＢ ｜ ＝ ３ ｜ ＯＣ ｜ꎬ 单调递减区间为 é ê ê ｋ ５π ｋ １１π ù ú ú ｋ Ｚ .
ë π＋ ꎬ π＋ û( ∈ )
１２ １２
Ａ φ π ω φ Ａ
∴ ３ ｜ ｓｉｎ ｜ ＝２＋ωꎬｓｉｎ(２ ＋ )＝ ０ꎬ (２ꎬ １３.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)关于函数 ｆ ｘ
２０２０ Ⅲ １６ ５ ( )＝
æ ö
Ｂ ç π ÷ Ｃ Ａ φ ｘ １ 有如下四个命题
０)ꎬ è２＋ωꎬ０øꎬ ( ０ꎬ ｓｉｎ )ꎬ ∴ ｓｉｎ ＋ ｘ :
ｓｉｎ
æ Ａ φö ｆ ｘ 的图象关于 ｙ 轴对称.
Ｄç π ｓｉｎ ÷ ① ( )
è１＋ ωꎬ øꎬ ｆ ｘ 的图象关于原点对称.
２ ２
② ( )
æ ö２ Ａ２ ２φ
ＡＤ ２ ２１ ç π ÷ ｓｉｎ ２８ 把 ｆ ｘ 的图象关于直线 ｘ π对称.
∵ ｜ ｜ ＝ ꎬ∴ è１－ ωø ＋ ＝ ꎬ ③ ( ) ＝
３ ２ ４ ３ ２
æ ö æ ö２ ｆ ｘ 的最小值为 .
Ａ φ １ ç π÷代入上式可得çπ÷ ④ ( ) ２
｜ ｓｉｎ ｜ ＝ è２＋ωø èωø －２×
其中所有真命题的序号是 .
３
答案
π 由 ω 解得π ω π 可得 ②③
ω－２４＝０ꎬ >０ ω ＝６ꎬ∴ ＝ ꎬ
６
解析 要使函数 ｆ ｘ ｘ １ 有意义
æ ö ( )＝ ｓｉｎ ＋ ｘ ꎬ
周期 Ｔ ２π çπ φ÷ φ ｓｉｎ
＝ ω ＝１２ꎬ∴ ｓｉｎè ＋ ø ＝０ꎬ∵ ｜ ｜≤
则有 ｘ ｘ ｋ ｋ Ｚ 定义域关于原
３
ｓｉｎ ≠０ꎬ∴ ≠ πꎬ ∈ ꎬ
æ ö
π φ π. Ａ ç π÷ Ａ 解
ꎬ∴ ＝－ ３ ｓｉｎè－ ø ＝２＋６ꎬ >０ꎬ 点对称.又 ∵ ｆ (－ ｘ )＝ ｓｉｎ(－ ｘ )＋ １ ｘ ＝ －ｓｉｎ
２ ３ ３
ｓｉｎ(－ )
æ ö
得 Ａ １６ ｆ ｘ １６ çπｘ π÷ ｆ ｘ 的最
＝ ꎬ ( )＝ ｓｉｎè － øꎬ∴ ( ) ｘ
－
１
ｘ＝－
ｆ
(
ｘ
)ꎬ∴
ｆ
(
ｘ
)
为奇函数.
∴
ｆ
(
ｘ
)
的
３ ３ ６ ３
ｓｉｎ
图象关于原点对称 是假命题 是真
大值为 １６. ｘ 时 π ｘ π
∈ (１４ꎬ １７) ꎬ － ∈ ꎬ∴ ① ꎬ②
３ ６ ３ 命题.
æ ö
ç ５π÷ 可得函数ｆ ｘ 在 ｘ 上单
è２πꎬ øꎬ ( ) ∈(１４ꎬ１７) 对于 要证 ｆ ｘ 的图象关于直线 ｘ π对
２ ③ꎬ ( ) ＝
调递增.故选 ２
ＡＣＤ. æ ö æ ö
１２.( 届山东潍坊临朐实验中学月考ꎬ )已 称 只需证ｆçπ ｘ÷ ｆçπ ｘ÷即可.
２０２３ １４ ꎬ è － ø ＝ è ＋ ø
２ ２
知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 的导函数为ｆ ′ ｘ æ ö æ ö
( )＝ ｓｉｎ ｃｏｓ ( )ꎬ ｆçπ ｘ÷ çπ ｘ÷ １ ｘ
函数ｇ ｘ ｆ ｘ ｆ ′ ｘ 则ｇ ｘ 的单调 ∵ è － ø ＝ ｓｉｎè － ø ＋ æ ö ＝ ｃｏｓ ＋
( )＝ ２ ( )－ ３ ( )ꎬ ( )
２ ２ çπ ｘ÷
ｓｉｎè － ø
递减区间是 . ２
æ ö æ ö
é ù １ ｆçπ ｘ÷ çπ ｘ÷ １ ｘ
答案 ê ê ｋ ５π ｋ １１π ú ú ｋ Ｚ ｘꎬ è ＋ ø ＝ｓｉｎè ＋ ø＋ æ ö ＝ｃｏｓ
ë π＋ ꎬ π＋ ûꎬ ∈ ｃｏｓ ２ ２ çπ ｘ÷
１２ １２ ｓｉｎè ＋ ø
２
解析 ｆ ｘ ｘ ｘ １ ｘ ｆ ′ ｘ
( )＝ ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ ２ ꎬ∴ ( )＝ １
２ ＋ ｘꎬ
5 ｃｏｓ
ｘ
年
ｃｏｓ ２ ꎬ æ ö æ ö
高 考 ｇ ｘ ｘ ｘ æ ç ｘ π ö ÷. ∴ ｆç è π － ｘ ø ÷ ＝ ｆ è çπ ＋ ｘ ø ÷ ꎬ∴ ③
3 ∴ ( )＝ ｓｉｎ ２ － ３ｃｏｓ ２ ＝２ｓｉｎè２ － ø ２ ２
年 ３ 是真命题.
模
拟
由 ｋ π ｘ π ｋ ３π ｋ Ｚ 令 ｘ ｔ ｔ 且 ｔ
A ２ π＋ ≤２ － ≤２ π＋ ꎬ ∈ ꎬ ｓｉｎ ＝ ꎬ－１≤ ≤１
２ ３ ２
版
≠０ꎬ
高 得 ｋ ５π ｘ ｋ １１π ｋ Ｚ 所以 ｇ ｘ 的
考 π＋ ≤ ≤ π＋ ꎬ ∈ ꎬ ( ) ｇ ｔ ｔ １ ｔ 且 ｔ 此函数图象
１２ １２
数 ∴ ( )＝ ＋ ｔ ꎬ－１≤ ≤１ ≠０ꎬ
学
１７４
如图所示 对勾函数图象的一部分 é ù æ ö é ù
( )ꎬ 由 ｘ ê π ú得ç ｘ π÷ ê π ７π ú 则
ê ú ê ú
函数的值域为 ∈ ë０ꎬ û è４ ＋ ø∈ ë ꎬ ûꎬ ｓｉｎ
４ ６ ６ ６
∴ (－∞ꎬ－２]∪[２ꎬ＋∞)ꎬ
æ ö é ù
ｆ ｘ 的最小值不为 . 是假命题. ç ｘ π ÷ ê １ ú 所以 ｇ ｘ 的值域
∴ ( ) ２ ∴ ④ è４ ＋ ø ∈ ë ê － ꎬ１û ú ꎬ ( )
综上所述 所有真命题的序号是 . ６ ２
ꎬ ②③
é ù
１４.( 届重庆南开中学质检ꎬ )已知函数 是ê
ê
１ ３ ú
ú
.
２０２３ １８ ë ꎬ û
２ ２
æ ö
ｆ
(
ｘ
)＝ｓｉｎ
２ç
è
π
＋
ｘ
ø
÷
＋ ３ｓｉｎ(π－
ｘ
)ｃｏｓ
ｘ
－ｃｏｓ ２
ｘ.
１５.(
２０２２
福建漳州一中阶段考试ꎬ
１７
)已知函
２
求函数 ｆ ｘ 的单调递增区间 数ｆ ｘ ２ｘ ｘ ｘ １ ｘ Ｒ .
(１) ( ) ꎻ ( )＝ ｃｏｓ ＋ ３ｓｉｎ ｃｏｓ － ( ∈ )
２
先将 ｆ ｘ 的图象向左平移π个单位 再 求ｆ ｘ 的最小正周期
(２) ( ) ꎬ (１) ( ) ꎻ
６ é ù
保持纵坐标不变 将每个点的横坐标缩短 讨论ｆ ｘ 在区间ê ê π π ú ú 上的单调性.
ꎬ (２) ( ) ë－ ꎬ û
４ ４
为原来的一半 再将函数图象向上平移 １
ꎬ
解析 ｆ ｘ ２ｘ ｘ ｘ １
(１) ( )＝ ｃｏｓ ＋ ３ｓｉｎ ｃｏｓ － ＝
２
２
个单位 得到函数ｇ ｘ 的图象.求函数ｇ ｘ
ꎬ ( ) ( ) ｘ æ ö
１＋ｃｏｓ ２ ３ ｘ １ ç ｘ π÷ 所以Ｔ
在 é ê ê π ù ú ú 上的值域. ２ ＋ ２ ｓｉｎ ２ － ２ ＝ｓｉｎè２ ＋ ６ øꎬ ＝
ë０ꎬ û
４
２π .
ｘ ω ＝π
解析 ｆ ｘ １＋ｃｏｓ ２ ３ ｘ ｘ ｜ ｜
(１) ( )＝ ＋ ｓｉｎ ２ －ｃｏｓ ２ ＝
２ ２ 令 π ｋ ｘ π π ｋ ｋ Ｚ
(２) － ＋２ π≤２ ＋ ≤ ＋２ πꎬ ∈ ꎬ
æ ö
２ ６ ２
３ ｘ １ ｘ １ ç ｘ π÷ １
ｓｉｎ ２ － ｃｏｓ ２ ＋ ＝ｓｉｎè２ － ø＋ ꎬ
２ ２ ２ ６ ２ 解得 π ｋ ｘ π ｋ ｋ Ｚ
－ ＋ π≤ ≤ ＋ πꎬ ∈ ꎬ
３ ６
令 π ｋ ｘ π π ｋ ｋ Ｚ
－ ＋２ π<２ － < ＋２ πꎬ ∈ ꎬ 所 以 ｆ ｘ 的 单 调 递 增 区 间 为
２ ６ ２ ( )
é ù
解得 π ｋ ｘ π ｋ ｋ Ｚ 所以函数 ｆ ｘ ê ê π ｋ π ｋ ú ú ｋ Ｚ.
－ ＋ π< < ＋ πꎬ ∈ ꎬ ( ) ë－ ＋ πꎬ ＋ πûꎬ ∈
３ ６
６ ３
é ù é ù
æ ö 设 Ａ ê π π ú Ｂ ê π ｋ π ｋ ú 易知
的单调递增区间为 ç è－ π ＋ ｋ πꎬ π ＋ ｋ πø ÷ ( ｋ ∈ ＝ ë ê －
４
ꎬ
４
û ú ꎬ ＝ ë ê －
３
＋ πꎬ
６
＋ πû ú ꎬ
６ ３
é ù é ù
Ｚ . Ａ Ｂ ê π π ú 所以当 ｘ ê π π ú时
) ∩ ＝ ë ê － ꎬ û ú ꎬ ∈ ë ê － ꎬ û ú ꎬ
４ ６ ４ ４
将 ｆ ｘ 的图象向左平移π个单位 再保
é ù
(２) ( ) ꎬ ｆ ｘ 在区间 ê π π ú上单调递增 在区间
６ ( ) ë ê － ꎬ û ú ꎻ
é æ ö ù ４ ６
持纵坐标不变 ꎬ 得 ｙ ＝ｓｉｎë ê ê ２è çｘ ＋ π ø ÷ － π û ú ú＋ １ ＝ æ çπ π ù ú上单调递减.
６ ６ ２ è ꎬ û ú
６ ４
æ ö
ç ｘ π÷ １的图象 再将每个点的横坐标
ｓｉｎè２ ＋ ø＋ ꎬ
６ ２ 考法 三 三角函数的最值 专
æ ö 题
缩短为原来的一半 得 ｙ ç ｘ π÷ １ 的 １.( 全国乙理ꎬ ꎬ 分) 记函数ｆ ｘ 五
ꎬ ＝ ｓｉｎè４ ＋ ø ＋ ２０２２ １５ ５ ( ) ＝
６ ２ 三
ωｘ φ ω φ 的最小正周期为 角
ｃｏｓ( ＋ )( >０ꎬ０< <π) 函
图象 再将函数图象向上平移 １ 个单位 得
数
ꎬ ꎬ
与
２ Ｔ.若 ｆ Ｔ ３ ｘ π为 ｆ ｘ 的零点 则 ω 的
解
( )＝ ꎬ ＝ ( ) ꎬ
æ ö 三
２ ９
到函数 ｇ ｘ ç ｘ π÷ 的图象 角
( )＝ ｓｉｎè４ ＋ ø＋１ ꎬ 最小值为 . 形
６
１７５
答案 ｘ
３ ｘ ｘ １＋ｃｏｓ ２
＝－ｓｉｎ (－ｃｏｓ )－ ３× ＋ ３
２
解析 Ｔ ２π ω ｆ Ｔ ３
∵ ＝ ω ꎬ >０ꎬ ( )＝ ꎬ æ ö
２ １ ｘ ３ ｘ ３ ç ｘ π÷ ３
＝ ｓｉｎ ２ － ｃｏｓ ２ ＋ ＝ｓｉｎè２ － ø＋ ꎬ
æ ö ２ ２ ２ ３ ２
çω ２π φ÷ ３ φ ３
∴ ｃｏｓè × ω ＋ ø ＝ ꎬ∴ ｃｏｓ ＝ ꎬ 则 ｆ ｘ 的最小正周期 Ｔ ２π 由 ｘ π
２ ２ ( ) ＝ ＝πꎬ ２ － ＝
æ ö ２ ３
φ φ π ｆ ｘ çωｘ π÷ ｋ
∵ ０< <πꎬ∴ ＝ ꎬ∴ ( )＝ ｃｏｓè ＋ øꎬ ｋ π ｋ Ｚ 可得 ｘ ５π ｋ Ｚ
６ ６ π＋ ꎬ ∈ ꎬ ＝ π＋ ꎬ ∈ ꎬ
２ ２ １２
æ ö æ ω ö
又 ｆçπ÷ çπ π÷ ｋ
è ø ＝０ꎬ∴ ｃｏｓè ＋ ø ＝０ꎬ 则 ｆ ｘ 的图象的对称轴方程为 ｘ ５π
９ ９ ６ ( ) ＝ π＋ ꎬ
２ １２
ω ω
π π ｋ π ｋ Ｚ ｋ １ ｋ ｋ Ｚ.
∴ ＋ ＝ π＋ ( ∈ )ꎬ∴ ＝ ＋ ( ∈ ∈
９ ６ ２ ９ ３
æ ö
Ｚ 由 可得 ｆ ｘ ç ｘ π÷ ３.
)ꎬ (２) (１) ( )＝ ｓｉｎè２ － ø＋
３ ２
ω ｋ ｋ Ｚ . ω ｋ 时 ω 取
∴ ＝９ ＋３( ∈ ) ∵ >０ꎬ∴ ＝０ ꎬ é ù é ù
由 ｘ ê ７π ú 可得 ｘ ê ７π ú ｘ π
得最小值 . ∈ ë ê ０ꎬ û ú ꎬ ２ ∈ ë ê ０ꎬ û ú ꎬ２ －
３ １２ ６ ３
２.( 课标 文ꎬ ꎬ 分) 函数 ｆ ｘ é ù
２０１９ Ⅰ １５ ５ ( ) ＝ ê π ５π ú
ê ú
∈ë－ ꎬ ûꎬ
æ ö ３ ６
ç ｘ ３π÷ ｘ 的最小值为 .
ｓｉｎè２ ＋ ø－３ｃｏｓ æ ö é ù æ ö
ê ú
２ 则 ç ｘ π÷ ３ ç ｘ π÷ ３
答案 ｓｉｎè２ － ø∈ë êê － ꎬ１û úúꎬｓｉｎè２ － ø＋ ∈
－４ ３ ２ ３ ２
解析 ｆ ( ｘ )＝ ｓｉｎ æ è ç ２ ｘ ＋ ３π ö ø ÷ －３ｃｏｓ ｘ ＝－ｃｏｓ ２ ｘ － é ë ê êê ０ꎬ ３＋２ ù û ú úúꎬ 故 ｘ ∈ é ë ê ê ０ꎬ ７π ù û ú ú 时 ꎬ ｆ ( ｘ ) 的最小值
２ ２ １２
ｘ ２ｘ ｘ 令 ｘ ｔ 则ｔ 为 .
３ｃｏｓ ＝－２ｃｏｓ －３ｃｏｓ ＋１ꎬ ｃｏｓ ＝ ꎬ ∈ ０
. ４.( 辽宁六校协作体期中ꎬ )已知向量 ａ
[－１ꎬ１] ２０２２ １８ ＝
æ ö２ ｂ ｘ ｘ ｆ ｘ ａ ｂ.
则 ｙ ｔ２ ｔ çｔ ３÷ １７ (１ꎬ－ ３)ꎬ ＝(ｓｉｎ ꎬｃｏｓ )ꎬ ( )＝
＝－２ －３ ＋１＝－２è ＋ ø ＋ ꎬ θ
４ ８
２ θ
易知当 ｔ 时 ｙ 取得最小值 ｙ ２ ２ｃｏｓ －ｓｉｎ －１
＝１ ꎬ ꎬ ｍｉｎ ＝－２×１ －３ 若 ｆ θ 求 ２ 的值
(１) ( )＝ ０ꎬ æ ö ꎻ
.
çθ π÷
×１＋１＝－４
２ｓｉｎè ＋ ø
故 ｆ ｘ 的最小值为 . ４
( ) －４ 当 ｘ 时 求函数ｆ ｘ 的值域.
３.( 届山东潍坊临朐实验中学月考ꎬ )已 (２) ∈[０ꎬπ] ꎬ ( )
２０２３ ２０ 解析 因为 ａ ｂ ｘ
æ ö (１) ＝(１ꎬ－ ３)ꎬ ＝(ｓｉｎ ꎬｃｏｓ
知函数 ｆ ｘ ｘ ç３π ｘ÷ ２ｘ
ｘ 所以ｆ ｘ ａ ｂ ｘ ｘ 因为 ｆ
( )＝ ｓｉｎ(２π－ )ｓｉｎè － ø－ ３ｃｏｓ
)ꎬ ( )＝ ＝ｓｉｎ － ３ｃｏｓ ꎬ
２
θ 所以 θ θ 所以 θ
. ( )＝ ０ꎬ ｓｉｎ － ３ｃｏｓ ＝０ꎬ ｔａｎ ＝
5 ＋ ３
θ
年
高 求 ｆ ｘ 的最小正周期和图象的对称轴 ２ θ
(１) ( ) ２ｃｏｓ －ｓｉｎ －１ θ θ
考
方程 所 以 ２ ｃｏｓ －ｓｉｎ
3 ３ꎬ æ ö ＝ θ θ ＝
ꎻ
年 çθ π÷ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
模 é ù ２ｓｉｎè ＋ ø
拟 当 ｘ ê ７π ú时 求 ｆ ｘ 的最小值. ４
ê ú
(２) ∈ë０ꎬ û ꎬ ( )
A １２ θ
１－ｔａｎ １－ ３ .
版 æ ö θ ＝ ＝－２＋ ３
高
解析
(１)
ｆ
(
ｘ
)＝ ｓｉｎ(２π－
ｘ
)ｓｉｎ
ç
è
３π
－
ｘ
ø
÷
－ ３
ｔａｎ ＋１ ３＋１
考 ２ æ ö
数 ｆ ｘ ｘ ｘ çｘ π÷ 因为ｘ
学 ２ｘ (２) ( )＝ ｓｉｎ － ３ｃｏｓ ＝２ｓｉｎè － øꎬ
ｃｏｓ ＋ ３ ３
１７６
时 ｆ ｘ 取最大值 .所以当 ｘ 时 函
∈[０ꎬπ]ꎬ ꎬ ( ) ２ ∈[０ꎬπ] ꎬ
所以 ｘ － π ∈ é ë ê ê － π ꎬ ２π ù û ú ú .当 ｘ － π ＝－ π ꎬ 即 ｘ ＝０ 数ｆ ( ｘ ) 的值域为 [－ ３ꎬ２] .
３ ３ ３ ３ ３
时 ｆ ｘ 取最小值 当 ｘ π π 即 ｘ ５π
ꎬ ( ) － ３ꎻ － ＝ ꎬ ＝
３ ２ ６
专
题
五
三
角
函
数
与
解
三
角
形
１７７
