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5.2 三角恒等变换
基础篇
考点 三角恒等变换 α β 即 α β α β
２ｓｉｎ ｓｉｎ ꎬ ｓｉｎ ｃｏｓ － ｃｏｓ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
α β α β 进而得 α β
考向一 两角和与差的三角函数公式 ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ＝０ꎬ ｓｉｎ( － )＋ｃｏｓ
α β 又 知 α β 所 以
１.( 海南北京师范大学附中月考ꎬ ) ( － ) ＝ ０ꎬ ｃｏｓ( － )≠０ꎬ
２０２２ ３
α β 故选 .
° ° ° ° ｔａｎ( － )＝ －１ꎬ Ｃ
ｓｉｎ ２０ ｃｏｓ １０ －ｃｏｓ １６０ ｓｉｎ １０ ＝ ( ) ４.( 广东江门陈经纶中学月考ꎬ )已知α
２０２２ ６ ꎬ
３ ３ １ １
Ａ.－ Ｂ. Ｃ.－ Ｄ. β为锐角 α ４ α β ２ 则 β
２ ２ ２ ２ ꎬｓｉｎ ＝ ꎬｃｏｓ( ＋ )＝－ ꎬ ｃｏｓ ＝
答案 Ｄ 原式 ° ° ° ５ ２
＝ｓｉｎ ２０ ｃｏｓ １０ ＋ｃｏｓ ２０ ｓｉｎ
( )
° ° ° ° １ 故选
１０ ＝ｓｉｎ(２０ ＋１０ )＝ ｓｉｎ ３０ ＝ ꎬ Ｄ.
２ ３ ２ ２ ７ ２ ９ ２
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
æ ö １０ １０ １０ １０
２.( 届福建漳州质检ꎬ )已知 çπ α÷
２０２３ ５ ｃｏｓè － ø ＝
答案 Ｂ 由 α 是锐角 α ４ 得 α
４
ꎬｓｉｎ ＝ ꎬ ｃｏｓ ＝
５
５ 则 α
ꎬ ｓｉｎ ２ ＝ ( ) ２α ３.
５ １－ｓｉｎ ＝
５
１ １ ２ ３ 由 α β 是锐角 得 α β .又 α
Ａ. Ｂ.－ Ｃ.－ Ｄ.－ ꎬ ꎬ ＋ ∈(０ꎬπ) ｃｏｓ( ＋
５ ５ ５ ５
æ ö β ２ 所以 α β ２ 则 β
答案 Ｄ 因为 çπ α÷ ５ 所以 ２ )＝ － ꎬ ｓｉｎ( ＋ )＝ ꎬ ｃｏｓ ＝ｃｏｓ
ｃｏｓè － ø ＝ ꎬ ｃｏｓ ２ ２
４ ５ ２
α β α α β α α β
[( ＋ )－ ] ＝ｃｏｓ( ＋ )ｃｏｓ ＋ｓｉｎ( ＋ )ｓｉｎ
α ２ α ５ 两边平方得 １ ２α
＋ ｓｉｎ ＝ ꎬ (ｃｏｓ ＋ α ２ ３ ２ ４ －３ ２＋４ ２ ２.故选
２ ５ ２ ＝－ × ＋ × ＝ ＝ Ｂ.
２ ５ ２ ５ １０ １０
２α α α １ 则１ １ α １ 所 ５.( 届河北衡水部分学校月考ꎬ )已知
ｓｉｎ )＋ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ꎬ ＋ ｓｉｎ ２ ＝ ꎬ
２０２３ １４
５ ２ ２ ５
æ ö æ ö
çα π÷ １ 则 çπ α÷ .
以 α ３.故选 ｔａｎè － ø ＝ ꎬ ｃｏｓè －２ ø ＝
ｓｉｎ ２ ＝－ Ｄ.
４ ３ ２
５
３.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)若 α β α 答案 ４
２０２２ Ⅱ ６ ５ ｓｉｎ( ＋ )＋ｃｏｓ(
æ ö ５
β çα π÷ β 则 æ ö α
＋ )＝ ２ ２ｃｏｓè ＋ øｓｉｎ ꎬ ( ) 解析 因为 çα π÷ ｔａｎ －１ １ 所以
４ ｔａｎè － ø ＝ α ＝ ꎬ
４ １＋ｔａｎ ３
α β α β
5 Ａ.ｔａｎ( － )＝ １ Ｂ.ｔａｎ( ＋ )＝ １ æ ö
年 α 则 çπ α÷ α
高 α β α β ｔａｎ ＝ ２ꎬ ｃｏｓ è －２ ø ＝ ｓｉｎ ２ ＝
Ｃ.ｔａｎ( － )＝ －１ Ｄ.ｔａｎ( ＋ )＝ －１
考 ２
3 答案 Ｃ 因为 α β α β α α α
年 ｓｉｎ( ＋ )＋ｃｏｓ( ＋ )＝ ｓｉｎ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ２ｔａｎ ４.
模 α β α β α β α β ２α ２α＝ ２α ＝
拟 ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ꎬ２ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１ ５
æ ö ６.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)已知 α β
A
çα π÷ β α α β ２０１８ Ⅱ １５ ５ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝
版 ２ｃｏｓè ＋ øｓｉｎ ＝(２ｃｏｓ －２ｓｉｎ )ｓｉｎ ＝
α β 则 α β .
４
１ꎬｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＝０ꎬ ｓｉｎ( ＋ )＝
高
α β α β 所以 α β
考
数 ２ｃｏｓ ｓｉｎ －２ｓｉｎ ｓｉｎ ꎬ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ 答案 １
学 α β α β α β α β －
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ ｓｉｎ ＝２ｃｏｓ ｓｉｎ － ２
１５２
解析 由 α β α β ３.( 届重庆南开中学月考ꎬ ) 已知
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１ꎬｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＝０ꎬ ２０２３ １３
两式平方相加 得 α β α β æ ö æ ö
ꎬ ２＋２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋２ｃｏｓ ｓｉｎ çα π÷ ４ 则 ç α π÷ .
ｓｉｎè ＋ ø ＝ ꎬ ｓｉｎè２ ＋ ø ＝
整理得 α β １. ３ ５ ６
＝１ꎬ ｓｉｎ( ＋ )＝ －
２ 答案 ７
æ ö
７.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)已知 α ç π÷ ２５
２０１７ Ⅰ １５ ５ ∈è０ꎬ øꎬ æ ö æ ö
２ 解析 ç α ２π÷ ２ çα π÷
æ ö ｃｏｓè２ ＋ ø ＝１－２ｓｉｎ è ＋ ø ＝１－２×
α 则 çα π÷ . ３ ３
ｔａｎ ＝２ꎬ ｃｏｓè － ø ＝ æ ö æ ö
４ １６ ７ 则 ç α π÷ ç α π π÷
＝－ ꎬ ｓｉｎè２ ＋ ø ＝－ｃｏｓè２ ＋ ＋ ø ＝－
答案 ３ １０ ２５ ２５ ６ ６ ２
æ ö
１０ ç α ２π÷ ７.
æ ö α ｃｏｓè２ ＋ ø ＝
解析 因为 α ç π÷ 且 α ｓｉｎ ３ ２５
∈è０ꎬ øꎬ ｔａｎ ＝ α＝２ꎬ æ ö
２ ｃｏｓ ４.( 江苏ꎬ ꎬ 分)已知 ２ çπ α÷ ２ 则
２０２０ ８ ５ ｓｉｎ è ＋ ø ＝ ꎬ
所以 α α 又 ２α ２α 所以
４ ３
ｓｉｎ ＝２ｃｏｓ ꎬ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１ꎬ
α 的值是 .
ｓｉｎ ２
α ２ ５ α ５
ｓｉｎ ＝ ꎬｃｏｓ ＝ ꎬ
５ ５ 答案 １
æ ö ３
则 çα π÷ α π α π ５ æ ö
ｃｏｓè － ø ＝ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ × çπ α÷
４ ４ ４ ５ æ ö １－ｃｏｓè ＋２ ø
解 析 ２ çπ α÷ ２
∵ ｓｉｎ è ＋ ø ＝ ＝
２ ２ ５ ２ ３ １０.
＋ × ＝ ４ ２
２ ５ ２ １０ α
１＋ｓｉｎ ２ ２ α １.
考向二 二倍角公式的应用 ＝ ꎬ∴ ｓｉｎ ２ ＝
２ ３ ３
α ５.( 广东江门陈经纶中学月考ꎬ )已知
１.( 福建ꎬ ꎬ 分)若 α 则ｓｉｎ ２ 的 ２０２２ １７
２０１１ ３ ５ ｔａｎ ＝３ꎬ ２α
ｃｏｓ
α １ 且 α 是第四象限角.
值等于 ｃｏｓ ＝ ꎬ
( ) ３
求 α 和 α 的值
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.６ (１) ｓｉｎ ２ ｃｏｓ ２ ꎻ
α α α α æ ö
答案 Ｄ ｓｉｎ ２ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ２ｓｉｎ 求 çα π÷的值.
２α ＝ ２α ＝ α ＝ (２) ｔａｎè － ø
ｃｏｓ ｃｏｓ ｃｏｓ ４
α.
２ｔａｎ 解析 由 α １ ２α ２α 得
α (１) ｃｏｓ ＝ ꎬｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝１ ꎬ
又 α 故ｓｉｎ ２ α 故 ３
ｔａｎ ＝３ꎬ ２α ＝２ｔａｎ ＝２×３＝ ６ꎬ
ｃｏｓ ２α ２α ８ 又 α 是第四象限角
选 . ｓｉｎ ＝１－ｃｏｓ ＝ ꎬ ∵ ꎬ∴
Ｄ ９
２.( 湖北黄冈中学三模ꎬ )已知 θ １ α ８ ２ ２ α α α
２０２２ ２ ｃｏｓ ＝ ꎬ ｓｉｎ ＝－ ＝－ ꎬ∴ ｓｉｎ ２ ＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝
３ ９ ３
æ ö
则 ç θ π÷
ｓｉｎè２ ＋ ø ＝ ( ) －
４ ２
ꎬｃｏｓ ２
α
＝ｃｏｓ
２α
－ｓｉｎ
２α
＝－
７.
专
２
９ ９ 题
α 五
７ ７ ２ ２ 由 可知 α ｓｉｎ
Ａ.－ Ｂ. Ｃ. Ｄ.－ (２) (１) ｔａｎ ＝ α＝－２ ２ꎬ 三
９ ９ ３ ３
ｃｏｓ 角
æ ö 函
答案 Ａ 由题意可得 ç θ π÷ θ α π 数
ꎬｓｉｎè２ ＋ ø ＝ｃｏｓ ２ æ ö ｔａｎ －ｔａｎ 与
２ çα π÷ ４ 解
æ ö ２ ∴ ｔａｎ è － ø ＝ ＝ 三
２θ ç １÷ ７.故选 ４ α π 角
＝２ｃｏｓ －１＝２×è ø －１＝－ Ａ. １＋ｔａｎ ｔａｎ 形
３ ９ ４
１５３
－２ ２－１ ９＋４ ２. π θ π θ １ θ ３ θ ３
＝ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ
１＋(－２ ２)×１ ７ ３ ３ ２ ２ ２
考向三 辅助角公式的应用 æ ö
θ ３ θ ç ３ θ １ θ ÷
＋ ｃｏｓ ＝ ３ è ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ø ＝ ３ｓｉｎ
１.( 湖南益阳三模ꎬ )已知 α α ２ ２ ２
２０２２ ４ ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝
æ ö æ ö
æ ö
çθ π÷ çθ π÷ ３ 故选 .
１ 则 çα π÷ è ＋ ø ＝１ꎬ∴ ｓｉｎè ＋ ø ＝ ꎬ Ｂ
ꎬ ｃｏｓè ＋ ø ＝ ( ) ６ ６ ３
３ ４
３.( 届哈尔滨师大附中月考ꎬ ) °
２０２３ １５ ４ｃｏｓ ５０ －
１ ２ １ ２
Ａ.－ Ｂ.－ Ｃ. Ｄ. ° .
３ ６ ３ ６ ｔａｎ ４０ ＝
æ ö 答案
答案 Ｂ α α çα π÷ １ ３
ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝ ２ｓｉｎè － ø ＝ ꎬ 解 析 ° °
４ ３
４ｃｏｓ ５０ － ｔａｎ ４０
æ ö æ ö ° ° °
即 çα π÷ ２ 则 çα π÷ ４ｓｉｎ ４０ ｃｏｓ ４０ －ｓｉｎ ４０
ｓｉｎ è － ø ＝ ꎬ ｃｏｓ è ＋ ø ＝ ｃｏｓ ＝ °
４ ６ ４ ｃｏｓ ４０
éæ ö ù æ ö ° ° °
ê çα π÷ π ú çα π÷ ２ 故选 ２ｓｉｎ ８０ －ｓｉｎ(１０ ＋３０ )
ë ê è － ø＋ û ú ＝－ｓｉｎè － ø ＝－ ꎬ Ｂ. ＝ °
４ ２ ４ ６ ｃｏｓ ４０
２.( 课标 文ꎬ ꎬ 分) 已知 θ ° ° ° ° °
２０２０ Ⅲ ５ ５ ｓｉｎ ＋ ２ｃｏｓ １０ －ｓｉｎ ３０ ｃｏｓ １０ －ｓｉｎ １０ ｃｏｓ ３０
＝ °
æ ö æ ö ｃｏｓ ４０
çθ π÷ 则 çθ π÷
æ ö
ｓｉｎè ＋ ø ＝１ꎬ ｓｉｎè ＋ ø ＝ ( )
３ ６
çç
３ ° １ °
÷÷
３è ｃｏｓ １０ － ｓｉｎ １０ ø °
２ ２ ３ｃｏｓ ４０ .
１ ３ ２ ２ ＝ ° ＝ ° ＝ ３
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ｃｏｓ ４０ ｃｏｓ ４０
２ ３ ３ ２
æ ö
答案 Ｂ θ çθ π÷ θ θ
∵ ｓｉｎ ＋ｓｉｎè ＋ ø ＝ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ
３
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
１５４
综合篇
考法 三角函数式的求值和化简
１ ３ ２ ３
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
考向一 给角求值 ２ ３ ２ ２
１. ( ２０２１ 江 苏 盐 城 二 模ꎬ ５ ) 计 算 答案 Ｄ ｃｏｓ ２ π － ｃｏｓ ２ ５π ＝ ｃｏｓ ２ π －
° ° １２ １２ １２
２ｃｏｓ １０ －ｓｉｎ ２０ 所得的结果为
° ( ) æ ö
ｃｏｓ ２０ ２ çπ π÷ ２ π ２ π π ３.
ｃｏｓ è － ø ＝ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＝
２ １２ １２ １２ ６ ２
Ａ.１ Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ.２
° ° ３.( 届 辽 宁 鞍 山 质 量 监 测ꎬ )
答 案 Ｃ ２ｃｏｓ １０ －ｓｉｎ ２０ ２０２３ １４
° ＝
ｃｏｓ ２０ ° °
° ° ° ２ｃｏｓ ５０ － ３ｓｉｎ １０ 的值为 .
２ｃｏｓ(３０ －２０ )－ｓｉｎ ２０ °
° ＝ ｃｏｓ １０
ｃｏｓ ２０ 答案
° ° ° １
３ｃｏｓ ２０ ＋ｓｉｎ ２０ －ｓｉｎ ２０ 故选 . 解析 因为 ° ° °
° ＝ ３ꎬ Ｃ ２ｃｏｓ ５０ ＝ ２ｃｏｓ(６０ －１０ ) ＝
ｃｏｓ ２０
æ ö
２.( ２０２１ 全国乙ꎬ ６ ꎬ ５ 分) ｃｏｓ ２ π －ｃｏｓ ２ ５π ＝ ２è çç１ ｃｏｓ １０ ° ＋ ３ ｓｉｎ １０ ° ø ÷÷ ＝ ｃｏｓ １０ ° ＋ ３
１２ １２ ２ ２
°
( ) ｓｉｎ １０ ꎬ
° ° °
所以２ｃｏｓ ５０ － ３ｓｉｎ １０ ｃｏｓ １０ . π ２π π ３π
° ＝ °＝１ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
ｃｏｓ １０ ｃｏｓ １０ ３ ３ ４ ４
４.( 湖南新高考教学教研联盟联考ꎬ ) 答案 Ｄ 因为 α π β 所以 β α
２０２２ １３ ０< < < <πꎬ ０< － <
. ° ２ . ° . ２
ｔａｎ ６７ ５ ×(１－ｔａｎ ２２ ５ )＝
答案 因为 β α ２ 所以 β α π
２ πꎬ ｃｏｓ( － )＝ ꎬ ０< － < ꎬｓｉｎ
１０ ２
. °
解析 . ° ２ . ° ｓｉｎ ６７ ５
ｔａｎ ６７ ５ ×(１－ｔａｎ ２２ ５ )＝ . °× β α ２ β α ７ ２.因为 α
ｃｏｓ ６７ ５ ( － )＝ １－ｃｏｓ ( － ) ＝ ｓｉｎ ＝
２ . ° １０
２ . ° １－ｔａｎ ２２ ５ ２ .
(１－ｔａｎ ２２ ５ )＝ . ° ＝ °＝２ ４ 所以 α ２α ３
ｔａｎ ２２ ５ ｔａｎ ４５ ꎬ ｃｏｓ ＝ １－ｓｉｎ ＝ ꎬ
５.( 江苏南通如皋教学质量调研ꎬ ) ５ ５
２０２２ １４ 所以 β β α α β α α
ｃｏｓ ＝ｃｏｓ[( － )＋ ]＝ｃｏｓ( － )ｃｏｓ －
° ° °
ｔａｎ ３９ ＋ｔａｎ ８１ ＋ｔａｎ ２４０ .
° ° ＝ β α α ２ ３ ７ ２ ４ ２.因
ｔａｎ ３９ ｔａｎ ８１ ｓｉｎ( － )ｓｉｎ ＝ × － × ＝－
１０ ５ １０ ５ ２
答案
３
为π β 所以 β ３π.故选
解析 由 ° ° ° < <πꎬ ＝ Ｄ.
ｔａｎ １２０ ＝ ｔａｎ (３９ ＋ ８１ ) ＝ ２ ４
° ° ２.( 辽宁滨城期中ꎬ )已知 α β 为锐角
ｔａｎ ３９ ＋ｔａｎ ８１ 可得 ° ° ２０２２ ４ ꎬ ꎬ
° °＝－ ３ꎬ ｔａｎ ３９ ＋ｔａｎ ８１
１－ｔａｎ ３９ ｔａｎ ８１
α ３ α β ４ 则 α β 的值为
° ° ｔａｎ ＝ ꎬｃｏｓ( ＋ )＝ － ꎬ ２ ＋
＝－ ３＋ ３ｔａｎ ３９ ｔａｎ ８１ ꎬ ４ ５
又 ° ° ° ° ( )
ｔａｎ ２４０ ＝ｔａｎ(１８０ ＋６０ )＝ ｔａｎ ６０ ＝ ３ꎬ
° ° ° ５π ２π π
所以ｔａｎ ３９ ＋ｔａｎ ８１ ＋ｔａｎ ２４０ Ａ. Ｂ.π Ｃ. Ｄ.
° ° ＝ ６ ３ ２
ｔａｎ ３９ ｔａｎ ８１
° ° 答案 Ｂ α β 为锐角 α ３ α
－ ３＋ ３ｔａｎ ３９ ｔａｎ ８１ ＋ ３ . ∵ ꎬ ꎬｔａｎ ＝ ꎬｃｏｓ( ＋
° ° ＝ ３ ４
ｔａｎ ３９ ｔａｎ ８１
６.( 辽宁滨城期中ꎬ ) ° ° β ４
)＝ － ꎬ
２０２２ １３ ｔａｎ ７０ ｃｏｓ １０
５
° 等于 .
( ３ｔａｎ ２０ －１) α ３ α ４ α β ３
∴ ｓｉｎ ＝ ꎬｃｏｓ ＝ ꎬｓｉｎ( ＋ )＝ ꎬ∴ ｃｏｓ
答案
５ ５ ５
－１
解析 ° ° ° α β α α β α α β ４
ｔａｎ ７０ ｃｏｓ １０ ( ３ｔａｎ ２０ －１) (２ ＋ )＝ ｃｏｓ ｃｏｓ( ＋ )－ｓｉｎ ｓｉｎ( ＋ )＝
５
° æ ° ö
ｓｉｎ ７０ ° ç ｓｉｎ ２０ ÷ æ ö æ ö
＝ °ｃｏｓ １０ è ３ °－１ø ç ４÷ ３ ３ 又 α β ç ３π÷ α
ｃｏｓ ７０ ｃｏｓ ２０ ×è－ ø－ × ＝－１ꎬ ２ ＋ ∈è０ꎬ øꎬ∴ ２
５ ５ ５ ２
° ° ° ° β .故选
ｃｏｓ ２０ ｃｏｓ １０ ３ｓｉｎ ２０ －ｃｏｓ ２０ ＋ ＝π Ｂ.
＝ ° °
ｓｉｎ ２０ ｃｏｓ ２０ ３.( 沈阳期中ꎬ )已知 α 为锐角 β 为钝角
２０２２ ６ ꎬ
° ° ° °
ｃｏｓ １０ ２ｓｉｎ(２０ －３０ ) －ｓｉｎ ２０ .
＝ ° ＝ ° ＝－１ 且 α ２ ５ β 则 α β 的值为 专
ｓｉｎ ２０ ｓｉｎ ２０ ｃｏｓ ＝ ꎬｔａｎ ＝－３ꎬ ＋ 题
考向二 给值求角 ５ 五
( ) 三
１.( 武汉部分重点中学联考ꎬ )已知 α 角
２０２２ ６ ０< < 函
３ ２ π π
数
Ａ. π Ｂ. π Ｃ. Ｄ.
π β 且 α ４ β α ２ 则 β ４ ３ ３ ４ 与
解
< <π ｓｉｎ ＝ ꎬｃｏｓ( － )＝ ꎬ ＝
三
２ ５ １０ 答案 Ａ 由 α 为锐角且 α ２ ５ 得 角
ｃｏｓ ＝ ꎬ ｓｉｎ 形
( ) ５
１５５
α 解析 由已知得 α α 所以
α ２α ５ 则 α ｓｉｎ １ 则 (１) ２ｓｉｎ ＝－ｃｏｓ ꎬ ｔａｎ
＝ １－ｃｏｓ ＝ ꎬ ｔａｎ ＝ α ＝ ꎬ
５ ｃｏｓ ２ α １
＝－ ꎬ
２
１
α β ＋(－３) 则 α α α
α β ｔａｎ ＋ｔａｎ ２ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ２ ＝
ｔａｎ( ＋ )＝ α β＝ ＝ －１ꎬ
１－ｔａｎ ｔａｎ １ α α ２α ２α α ２α
ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ －ｓｉｎ ｔａｎ ＋１－ｔａｎ １.
１－ ×(－３)
２ ２α ２α ＝ ２α ＝
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１ ５
æ ö æ ö
又 α ç π÷ β çπ ÷ 则 α β β
∈ è０ꎬ øꎬ ∈ è ꎬπøꎬ ＋ ∈ 由 ２β β 可得 β ２ｔａｎ
２ ２ (２) ｔａｎ －６ｔａｎ ＝１ꎬ ｔａｎ ２ ＝ ２β
１－ｔａｎ
æ ö
çπ ３π÷ 得 α β ３π.故选
è ꎬ øꎬ ＋ ＝ Ａ. １
２ ２ ４ ＝－ ꎬ
３
４.( 湖北部分重点中学联考ꎬ )已知 α
α β
２０２２ ７ ｔａｎ
则 α β ｔａｎ ＋ｔａｎ ２
ｔａｎ ( ＋ ２ ) ＝ α β ＝
１ β １ 且 α β 则 α β １－ｔａｎ ｔａｎ ２
＝ ꎬｔａｎ ＝－ ꎬ ꎬ ∈(０ꎬπ)ꎬ ２ － ＝
３ ７
１ １
－ －
( ) ２ ３ .
æ ö æ ö ＝－１
ç １÷ ç １÷
π π
１－è－ ø×è－ ø
Ａ. Ｂ.－
２ ３
４ ４
æ ö
因为 β ç π÷ 所以 β 又 β
３π ３π或π
∈è０ꎬ øꎬ ２ ∈(０ꎬπ)ꎬ ｔａｎ ２
Ｃ.－ Ｄ.－
２
４ ４ ４
æ ö
答案 Ｃ 因为 α １ 所以 α １ ３ 则 β ç５π ÷ 因为 α
ｔａｎ ＝ ꎬ ｔａｎ ２ ＝ ＝－ >－ ꎬ ２ ∈è ꎬπøꎬ ∈(０ꎬ
３ ３ ３ ６
æ ö
１ α １ ３ 所以 α ç５π ÷ 则 α
α ２× π)ꎬｔａｎ ＝－ >－ ꎬ ∈è ꎬπøꎬ
２ｔａｎ ３ ３ 又 β １ 所以 ２ ３ ６
２α＝ æ ö
２
＝ ꎬ ｔａｎ ＝ － ꎬ
æ ö
１－ｔａｎ ç １÷ ４ ７
β ç５π ÷ 所以 α β ７π.
１－è ø
＋２ ∈è ꎬ２πøꎬ ＋２ ＝
３
３ ４
æ ö
３ ç １÷ 考向三 给值求值
α β －è－ ø
α β ｔａｎ ２ －ｔａｎ ４ ７
ｔａｎ(２ － )＝ α β ＝ æ ö ＝ １.( 届甘肃张掖诊断ꎬ )已知 α １
１＋ｔａｎ ２ ｔａｎ ３ ç １÷ ２０２３ ４ ｓｉｎ ２ ＝ ꎬ
１＋ ×è－ ø ３
４ ７
æ ö
因为 α β α β 所以 则
２
çα π÷
１ꎬ ꎬ ∈(０ꎬπ)ꎬｔａｎ >０ꎬｔａｎ <０ꎬ ｃｏｓ è － ø ＝ ( )
４
α π π β 又 α 所以 α
０< < ꎬ < <πꎬ ｔａｎ ２ >０ꎬ ０<２ < １ １ １ ２
２ ２ Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
６ ３ ２ ３
π 于是得 α β 因此 α β ３π.故 æ ö
ꎬ －π<２ － <０ꎬ ２ － ＝－ 答 案 Ｄ ２ çα π÷ １
２ ４ ｃｏｓ è － ø ＝
5 选 ４ ２
Ｃ. é æ ö ù æ ö
年 ê ú
高 ５.( 届哈尔滨师大附中月考ꎬ )已知 α ë ê ｃｏｓ ２è çα － π ø ÷ ＋１û ú ＝ １ ｃｏｓ è çπ －２ α ø ÷ ＋ １ ＝ １ ｓｉｎ
考 ２０２３ １８ ２ｓｉｎ
４ ２ ２ ２ ２
3 α
年 ２ . α １ １ １ １ ２.故选
模 ＝２ｓｉｎ －１
２ ＋ ＝ × ＋ ＝ Ｄ.
拟 ２
２ ２ ３ ２ ３
A 求 α α α 的值 æ ö
(１) ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ２ ꎻ ２.( 届辽宁六校期初ꎬ )若 çπ α÷
版
æ ö ２０２３ ６ ｔａｎè － ø ＝
高
已知 α β ç π÷ 且 ２β ４
考 (２) ∈(０ꎬπ)ꎬ ∈è０ꎬ øꎬ ｔａｎ － α
数 ２ 则 ｓｉｎ
学 β 求 α β 的值. －２ꎬ ２α α ３α＝ ( )
６ｔａｎ ＝１ꎬ ＋２ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋３ｃｏｓ
１５６
５ ５ １ α β ５ 得 α β １ α β
Ａ. Ｂ.２ Ｃ.－ Ｄ.－ ｓｉｎ ＝－ ꎬ ｃｏｓ ｃｏｓ ＝ [ｃｏｓ( ＋ )＋
２ ２ ２ ５ ２
æ ö α æ ö
答案 Ｃ 由 çπ α÷ 可得１－ｔａｎ
ｔａｎè － ø ＝－２ α＝ α β １ çç ５ ２ ５ ÷÷ ５ 故 正
４ １＋ｔａｎ ｃｏｓ( － )] ＝ ×è－ ＋ ø ＝ ꎬ Ｃ
２ ５ ５ １０
α
－２ꎬ∴ ｔａｎ ＝－３ꎬ
确 α β １ α β α β
α α ꎻｓｉｎ ｓｉｎ ＝ ×[ｃｏｓ( － )－ｃｏｓ( ＋ )]＝
故 ｓｉｎ ｓｉｎ ２
２α α ３α＝ α ２α ２α
ｓｉｎ ｃｏｓ ＋３ｃｏｓ ｃｏｓ (ｓｉｎ ＋３ｃｏｓ ) é ê æ öù ú
ｔａｎ
α １
×ë
êê ２ ５
－è
çç
－
５
ø
÷÷
û
úú
＝
３ ５
ꎬ
所以
ｔａｎ
α
ｔａｎ
β
＝
＝ ２α ２αꎬ ２ ５ ５ １０
ｓｉｎ ＋３ｃｏｓ α β
ｓｉｎ ｓｉｎ 故 错误 故选 .
２α ２α ２α
α β＝３ꎬ Ｄ ꎬ ＡＢＣ
因为 ２α ２α ｓｉｎ ＋３ｃｏｓ ｔａｎ ＋３
ｃｏｓ ｃｏｓ
ｓｉｎ ＋３ｃｏｓ ＝ ２α ２α ＝ ２α
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ｔａｎ ＋１ ４.( 浙江ꎬ ꎬ 分)已知 θ 则 θ
２０２０ １３ ６ ｔａｎ ＝２ꎬ ｃｏｓ ２
６ æ ö
＝ ꎬ çθ π÷ .
５ ＝ ꎬｔａｎè － ø ＝
４
α
所 以 ｔａｎ －３ ５ 即
２α ２α ＝ ＝ － ꎬ 答案 ３ １
ｓｉｎ ＋３ｃｏｓ ６ ２ －
５ ３
５
解析 因为 θ 所以 θ ２θ
α ｔａｎ ＝ ２ꎬ ｃｏｓ ２ ＝ｃｏｓ －
ｓｉｎ ５.故选
ｓｉｎ
２α
ｃｏｓ
α
＋３ｃｏｓ
３α＝－
２
Ｃ.
ｓｉｎ
２θ
＝
ｃｏｓ ２
２
θ
θ
－ｓｉｎ ２
２
θ
θ＝
１－ｔａｎ
２
２
θ
θ
＝
１－４
＝－
３
ꎬｔａｎ
３.(多选)( 重庆巴蜀中学月考八ꎬ )已 ｃｏｓ ＋ｓｉｎ １＋ｔａｎ １＋４ ５
２０２２ １０
θ π
æ ö ｔａｎ －ｔａｎ
知 α β ５ α ４ 其中α β 为 çθ π÷ ４ ２－１ １.
ｃｏｓ( ＋ )＝ － ꎬｃｏｓ ２ ＝－ ꎬ ꎬ è － ø ＝ ＝ ＝
５ ５ ４ θ π １＋２ ３
锐角 则 １＋ｔａｎ ｔａｎ
ꎬ ( ) ４
５.( 届重庆八中入学考ꎬ )已知 α β
２０２３ １７ ꎬ ∈
α ３ α β ２ ５
Ａ.ｓｉｎ ２ ＝ Ｂ.ｃｏｓ( － )＝ æ ö
５ ５ ç π÷ α ３ α β ５.
è０ꎬ øꎬｃｏｓ ＝ ꎬｃｏｓ( ＋ )＝
２ ５ １３
α β ５ α β １
Ｃ.ｃｏｓ ｃｏｓ ＝ Ｄ.ｔａｎ ｔａｎ ＝ 求 β 的值
１０ ３ (１) ｓｉｎ ꎻ
求 α β 的值.
(２) ｃｏｓ( ＋２ )
答案 ＡＢＣ 因为 α β ５ α
ｃｏｓ( ＋ )＝ － ꎬｃｏｓ ２
５ 解析 因为 α β 均为锐角 α ３ 所
(１) ꎬ ꎬｃｏｓ ＝ ꎬ
５
４ α β 为锐角 故 α β ２ ５
＝－
５
( ꎬ )ꎬ ｓｉｎ( ＋ )＝
５
ꎬｓｉｎ 以
０<
α
＋
β
<πꎬｓｉｎ
α
＝ １－ｃｏｓ
２α
＝
４
ꎬ
又
ｃｏｓ(
α
５
α ２ α ３ 故 正确 α β
２ ＝ １－ｃｏｓ ２ ＝ ꎬ Ａ ꎻｃｏｓ( － )＝ β ５ 所以 α β π α β
５ ＋ )＝ >０ꎬ ０< ＋ < ꎬｓｉｎ( ＋ )＝
α α β α α β １３ ２
ｃｏｓ[２ － ( ＋ )] ＝ ｃｏｓ ２ ｃｏｓ ( ＋ ) ＋
æ ö æ ö ２ α β １２. 专
α α β ç ４÷ çç ５ ÷÷ ３ ２ ５ １－ｃｏｓ ( ＋ )＝ １３ 题 五
ｓｉｎ ２ ｓｉｎ( ＋ )＝ è－ ø ×è－ ø ＋ × ＝
５ ５ ５ ５ 所以 β α β α α β α 三
ｓｉｎ ＝ｓｉｎ[( ＋ )－ ] ＝ｓｉｎ( ＋ )ｃｏｓ
角
２ ５ 故 正确 由 α β α β 函
ꎬ Ｂ ꎻ ｃｏｓ( － )＝ ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ －ｃｏｓ( α ＋ β )ｓｉｎ α ＝ １２ × ３ － ５ × ４ ＝ １６. 数
５ 与
１３ ５ １３ ５ ６５
解
三
α β ２ ５ α β α β 因为 β １６ 且 β 为锐角 角
ｓｉｎ ｓｉｎ ＝ ꎬｃｏｓ( ＋ )＝ ｃｏｓ ｃｏｓ －ｓｉｎ (２) ｓｉｎ ＝ ꎬ ꎬ 形
５ ６５
１５７
所以 β ２β ６３ ２α ９
ｃｏｓ ＝ １－ｓｉｎ ＝ ꎬ ｃｏｓ ＝ ꎬ
６５ ２５
所以 α β α β β
ｃｏｓ( ＋２ )＝ ｃｏｓ[( ＋ )＋ ] 所以 α ２α ７.
ｃｏｓ ２ ＝２ｃｏｓ －１＝－
２５
α β β α β β ５ ６３ １２
＝ｃｏｓ( ＋ )ｃｏｓ －ｓｉｎ( ＋ )ｓｉｎ ＝ × － 因为 α β 为锐角 所以 α β .
１３ ６５ １３ (２) ꎬ ꎬ ＋ ∈(０ꎬπ)
１６ １２３. 又因为 α β ５
× ＝ ｃｏｓ( ＋ )＝ － ꎬ
６５ ８４５ ５
６.( 江苏ꎬ ꎬ 分)已知 α β 为锐角
２０１８ １６ １４ ꎬ ꎬ
所以 α β ２ α β ２ ５ 因此
ｓｉｎ( ＋ )＝ １－ｃｏｓ ( ＋ ) ＝ ꎬ
α ４ α β ５. ５
ｔａｎ ＝ ꎬｃｏｓ( ＋ )＝ －
３ ５ α β .因为 α ４ 所以 α
求 α 的值 ｔａｎ( ＋ )＝ －２ ｔａｎ ＝ ꎬ ｔａｎ ２ ＝
３
(１) ｃｏｓ ２ ꎻ
求 α β 的值. α
(２) ｔａｎ( － ) ２ｔａｎ ２４.
２α＝－
α １－ｔａｎ ７
解析 因为 α ４ α ｓｉｎ 所以
(１) ｔａｎ ＝ ꎬｔａｎ ＝ αꎬ 因此 α β α α β
３ ｃｏｓ ｔａｎ ( － ) ＝ ｔａｎ [２ － ( ＋ )] ＝
α α β
ｓｉｎ
α
＝
４
ｃｏｓ
α.因为
ｓｉｎ
２α
＋ｃｏｓ
２α
＝ １ꎬ
所以 ｔａｎ ２ －
α
ｔａｎ(
α
＋
β
)
＝ －
２.
３ １＋ｔａｎ ２ ｔａｎ( ＋ ) １１
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
１５８
