北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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9.2 椭圆及其性质
考点一 椭圆的定义及标准方程
x2
1.(2021全国乙文,11,5分)设B是椭圆C: +y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为 ( )
5
5
A. B.√6C.√5 D.2
2
答案 A 解法一:由题意可知B(0,1),
设P(x,y),则x2
=1, ,
0 0 0+ y2 x2=5−5 y2
5 0 0 0
|PB|= √x2+(y −1) 2=√5−5 y2+ y2−2y +1=√−4 y2−2y +6= √ −4 ( y + 1) 2 + 25.
0 0 0 0 0 0 0 0 4 4
1 5
因为-1≤y≤1,所以y=- 时,|PB|取得最大值 ,故选A.
0 0
4 2
x2
解法二:由题意可知B(0,1),由点P在椭圆 +y2=1上,
5
可设P(√5cos θ,sin θ),
则|PB|2=( cos θ)2+(sin θ-1)2=-4sin2θ-2sin θ+6=-4( 1) 2 25,
√5 sinθ+ +
4 4
1 25 5
当sin θ=- 时,|PB|2取得最大值 ,此时|PB|最大,为 ,故选A.
4 4 2
x2 y2
2.(2021新高考Ⅰ,5,5分)已知F,F 是椭圆C: + =1的两个焦点,点M在C上,则|MF|·|MF|的最大
1 2 1 2
9 4
值为( )
A.13 B.12 C.9 D.6
x2 y2
答案 +
C ∵M在椭圆C: =1上,且a=3,
9 4
∴|MF|+|MF|=6,
1 2
|M F |+|M F |
∵ 1 2 ≥√|M F |·|M F |,
2 1 2
∴|MF|·|MF|≤(|M F |+|M F | ) 2 =9,
1 2 1 2
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当且仅当|MF|=|MF|=3时等号成立.
1 2
故选C.
易错警示 在用基本不等式求最值时,要满足“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不可.
3.(2022全国甲文,11,5分)已知椭圆C:x2 y2 =1(a>b>0)的离心率为1,A,A 分别为C的左、右顶点,B
+ 1 2
a2 b2 3
为C的上顶点.若 =-1,则C的方程为 ( )
⃗BA ·⃗BA
1 2
x2 y2 x2 y2
A. + =1B. + =1
18 16 9 8
x2 y2 x2
C. + =1D. +y2=1
3 2 2
答案
B 由题意知A 1 (-a,0),A 2 (a,0),B(0,b),则⃗BA =(-a,-b),⃗BA =(a,-b),所以⃗BA ·⃗BA =-
1 2 1 2
a2+b2=-1①,又e=c
=
√
1−
b2
=
1,即b2
=
8②,联立①②,解得{a2=9,所以椭圆C的方程为x2
+
y2
a a2 3 a2 9 b2=8, 9 8
=1.故选B.
4.(2015广东文,8,5分)已知椭圆x2
+
y2
=1(m>0)的左焦点为F(-4,0),则m=( )
1
25 m2
A.2 B.3 C.4 D.9
答案 B 依题意有25-m2=16,∵m>0,∴m=3.选B.
1
5.(2013广东文,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于 ,则C的方程是( )
2
x2 y2 x2 y2
A. + =1 B. + =1
3 4 4 √3
x2 y2 x2 y2
C. + =1 D. + =1
4 2 4 3
1 c 1
答案 D 由右焦点为F(1,0)可知c=1,因为离心率等于 ,即 = ,故a=2,由a2=b2+c2知b2=3,故椭圆C的方
2 a 2
x2 y2
程为 + =1.故选D.
4 3北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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x2 y2
6.(2021全国甲理,15,5分)已知F,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的
1 2
16 4
两点,且|PQ|=|FF|,则四边形PFQF 的面积为 .
1 2 1 2
答案 8
x2 y2
解析 如图,设|PF|=m,|PF|=n,由椭圆方程 + =1可得,2a=|PF|+|PF|=m+n=8,2c=|FF|=4√3.
1 2 1 2 1 2
16 4
由P,Q关于原点对称得|OP|=|OQ|,又|OF|=|OF|,故四边形PFQF 为平行四边形.
1 2 1 2
依据|FF|=|PQ|,得到四边形PFQF 为矩形,故PF⊥PF.
1 2 1 2 1 2
在Rt FPF 中,∠FPF=90°,则m2+n2=(4√3)2=48,
1 2 2 1
由(m△+n)2=64得m2+n2+2mn=48+2mn=64,解得mn=8,
所以四边形PFQF 的面积为8.
1 2
解题关键 由|PQ|=|FF|判断平行四边形PFQF 是矩形为解题关键.
1 2 1 2
7.(2021浙江,16,6分)已知椭圆x2 y2
=1(a>b>0),焦点F(-c,0),F(c,0)(c>0).若过F 的直线和圆
+ 1 2 1
a2 b2
( x− 1 c ) 2 +y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF 2 ⊥x轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离
2
心率是 .
2√5 √5
答案 ;
5 5
3c √5c b2
解析
设切点为B,圆心为A,连接AB,如图,易知|FA|= ,|FF|=2c,|BF|= ,|AB|=c,|PF|= .
1 2 1 2 1 2 2 a
|AB| c 2√5
= =
∴直线PF 的斜率k=tan∠PFF=|BF | √5 5 ,
1 1 2 1 c
2
b2
在△PFF 中, tan∠PFF= a 2√5,
1 2 1 2 =
2c 5
即√5b2=4ac⇒√5(a2-c2)=4ac,北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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方程两边同时除以a2,整理可得√5e2+4e−√5=0,
√5 √5
解得e= 或e=-√5(舍),∴e= .
5 5
2√5
一题多解 在求解离心率e时,∵tan∠PFF= ,∴在Rt PFF 中,可令|PF|=2,|FF|=√5,则|PF|=3,
1 2 1 2 2 1 2 1
5
△
故e=2c
=
|F
1
F
2
|
=
√5.
2a |PF |+|PF | 5
1 2
8.(2022新高考Ⅰ,16,5分)已知椭圆C:x2 y2
=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F,F,离心率为
+ 1 2
a2 b2
1
.过F 且垂直于AF 的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 .
1 2
2
答案
13
解析
设F、F 分别为左、右焦点.如图,连接AF,DF,EF,
1 2 1 2 2
1 c
∵e= = ,
2 a
∴a=2c,∴b=√3c,∴A(0,√3c),F(c,0),F(-c,0),
2 1
∴ ,∴∠AFO=60°,又∵|AF|=|AF|,∴△AFF 为正三角形,又∵DE⊥AF 且F∈DE,∴DE为
k =−√3 2 1 2 1 2 2 1
AF
2
AF 的中垂线,∴|AD|=|DF|,|AE|=|EF|,
2 2 2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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∴△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF|+|FE|+|DF|+|FE|=4a.
2 2 1 1
√3 √3
∵DE⊥AF,∴k = ,∴DE的方程为y= (x+c),
2 DE
3 3
{3x2+4 y2−12c2=0,
联立得 消去y得,13x2+8cx-32c2=0,设D(x,y),E(x,y),则x+x=- 8c,xx=- 32
√3 1 1 2 2 1 2 1 2
y= (x+c), 13 13
3
c2,
∴|DE|= √
1+
(√3) 2
·
√ (
−
8c) 2
−4×
(
−
32 c2)=6,∴c= 13 ,又∵a=2c,∴4a=8c=13,∴△ADE的周长
3 13 13 8
为13.
x2 y2
9.(2014辽宁,理15,文15,5分)已知椭圆C: + =1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点
9 4
分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .
答案 12
解析 根据已知条件画出图形,如图.设MN的中点为P,F、F 为椭圆C的焦点,连接PF、PF.显然PF 是
1 2 1 2 1
△MAN的中位线,PF 是△MBN的中位线,∴|AN|+|BN|=2|PF|+2|PF|=2(|PF|+|PF|)=2×6=12.
2 1 2 1 2
评析 本题考查了椭圆的定义和方程,考查了数形结合的思想.连接PF、PF 利用椭圆的定义是求解的关键.
1 2
10.(2020北京,20,15分)已知椭圆C:x2 y2
=1过点A(-2,-1),且a=2b.
+
a2 b2
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
|PB|
(Ⅱ)过点B(-4,0)的直线l交椭圆C于点M,N,直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q.求 的值.
|BQ|
{
a=2b,
解析(Ⅰ)由已知条件可列方程组 (−2) 2 (−1) 2
+ =1,
a2 b2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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解得{a=2√2,故椭圆C的标准方程为x2 y2
=1. (5分)
+
b=√2, 8 2
(Ⅱ)解法一:由题意知,直线l的斜率存在,设l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+4).
当k≠0时,直线l与椭圆C交于M、N两点,
设M(x,y),N(x,y),
1 1 2 2
{y=k(x+4),
联立
x2 y2
化简得(4k2+1)x2+32k2x+(64k2-8)=0,
+ =1,
8 2
则x+x=-
32k2 ,xx=64k2−8,
1 2 1 2
4k2+1 4k2+1
Δ=(32k2)2-4×(4k2+1)×(64k2-8)=32(1-4k2)>0,
1 1
解得- <k< . (9分)
2 2
直线MA的方程为y= y 1 +1 (x+2)-1,令x=-4,得到y P = −2(y 1 +1) -1,即P( −4,− (2k+1)(x 1 +4))
x +2 x +2 x +2
1 1 1
,
同理直线NA的方程为y=
y
2
+1
(x+2)-1,令x=-4,得到y Q =
−2(y
2
+1)-1,即Q
x +2 x +2
2 2
(
−4,−
(2k+1)(x
2
+4)),
x +2
2
y P +y Q =-(2k+1)(
x
1
+4
+
x
2
+4
) =
−2(2k+1)
[x 1 x 2 +3(x 1 +x 2 )+8],
x +2 x +2 (x +2)(x +2)
1 2 1 2
因为xx+3(x+x)+8=64k2−8 3×32k2 8(4k2+1)=0,故y
+y =0,即y =-y ,所以
1 2 1 2 − + P Q P Q
4k2+1 4k2+1 4k2+1
|PB| = |y P | =1. (13分)
|BQ| |y |
Q
当 k = 0 时 , 易得直线 l 与椭圆 C 的两个交点分别为 ( - 2√2 , 0 ) 和 ( 2√2 , 0 ),北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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(易错:此处容易忽略k=0的情况)
不妨设M(-2√2,0),N(2√2,0),
√2+1
则直线MA的方程为y=- (x+2√2),
2
√2−1
直线NA的方程为y= (x-2√2),
2
令x=-4,则y =√2,y =-√2,
P Q
|PB|
此时也满足 =1.
|BQ|
|PB|
综上所述, =1. (15分)
|BQ|
解法二:由题意得直线l的斜率存在,设l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x+4),设M(x,y),N(x,y),
1 1 2 2
{y=k(x+4),
联立
x2 y2
化简得(4k2+1)x2+32k2x+(64k2-8)=0,
+ =1,
8 2
则x+x=-
32k2
,
1 2
4k2+1
xx=64k2−8,
1 2
4k2+1
Δ=(32k2)2-4×(4k2+1)×(64k2-8)=32(1-4k2)>0,
1 1
解得- <k< . (9分)
2 2
y +1
直线MA的方程为y=
1
(x+2)-1,
x +2
1
y +1
直线NA的方程为y=
2
(x+2)-1,
x +2
2
−x −2y −4 −x −2y −4
令x=-4,则y P = 1 1 ,y Q = 2 2 ,
x +2 x +2
1 2
−x −2y −4 −x −2y −4
所以P( −4, 1 1 ),Q( −4, 2 2 ), (11分)
x +2 x +2
1 2
