北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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6.2 平面向量的数量积及其应用
考点 平面向量的数量积
1.(2022全国乙理,3,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=√3,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 √3
C 由|a-2b|=3,可得|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=9,又|a|=1,|b|= ,所以a·b=1,故选C.
2.(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t= ( )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
答案
C 由题意可得c=(3+t,4),
由<a,c>=<b,c>得cos<a,c>=cos<b,c>,
3(3+t)+4×4 3+t
即 = ,解得t=5,故选C.
5√(3+t) 2+42 √(3+t) 2+42
3.(2022北京,10,4分)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点,且PC=1,则
⃗PA·⃗PB的取值范围是 ( )
A.[-5,3] B.[-3,5]
C.[-6,4] D.[-4,6]
答案
D 解法一:取AB的中点D,
⃗PA·⃗PB
=(
⃗PC+⃗CA)·( ⃗PC+⃗CB)= ⃗PC2
+(
⃗CA+⃗CB)·
⃗PC+⃗CA·⃗CB=⃗PC2+2⃗CD·⃗PC=1+5×1×cos θ=1+5cos θ(θ为⃗CD与⃗PC的夹角),因为θ∈[0,π],
所以⃗PA·⃗PB∈[-4,6].
解法二:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,3),B(-4,0),设P(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π),
则⃗PA·⃗PB=(-cos θ,3-sin θ)·(-4-cos θ,-sin θ)
3
=cos2θ+4cos θ+sin2θ-3sin θ=1+4cos θ-3sin θ=1+5cos(θ+φ),其中tan φ= ,
4
因为θ∈[0,2π),所以⃗PA·⃗PB∈[-4,6].故选D.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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4.(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则⃗AP·⃗AB的取值范围是(
)
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
答案
A 解法一:如图,过点P作PP⊥直线AB于P,过点C作CC⊥直线AB于C,过点F作FF⊥直
1 1 1 1 1
线AB于F, |·cos∠PAB,当∠PAB为锐角时,| |,
1 ⃗AP·⃗AB=|⃗AP|·|⃗AB ⃗AP|·cos∠PAB=|⃗AP
1
当∠PAB为钝角时,| |,所以当点P与C重合时, 最大,此时
⃗AP|·cos∠PAB=−|⃗AP ⃗AP·⃗AB
1
|=6,当点P与F重合时, 最小,此时 |
⃗AP·⃗AB=|⃗AC ||⃗AB ⃗AP·⃗AB ⃗AP·⃗AB=−|⃗AF ||⃗AB
1 1
=-2,又因为点P是正六边形ABCDEF内的一点,所以-2<⃗AP·⃗AB<6.故选A.
解法二:连接AE,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴,建立平面直角坐标系(图略),则
A(0,0),B(2,0),设P(x,y),则-1<x<3.⃗AB=(2,0),⃗AP=(x,y),则⃗AB·⃗AP=2x∈(-2,6),故选A.
0 0 0 0 0 0
解后反思 解决以平面多边形为载体,有关平面向量数量积的复杂计算问题时,可以建立恰当的坐标系,将
复杂的运算转化为简单的坐标运算,会大大降低难度.
5.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O为坐标原点,点P(cos α,sin α),P(cos β,-sin
1 2
β),P(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则 ( )
3
A.| |
⃗OP |=|⃗OP |B.|⃗AP |=|⃗AP
1 2 1 2
C.
⃗OA·⃗OP =⃗OP ·⃗OP D.⃗OA·⃗OP =⃗OP ·⃗OP
3 1 2 1 2 3
答案
AC A项,∵|⃗OP |=√cos2α+sin2α =1,|⃗OP |=√cos2β+(−sinβ) 2=1,∴|
1 2
|,A选项正确.
⃗OP |=|⃗OP
1 2北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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B项,易知| ,
⃗AP |=√(cosα−1) 2+sin2α=√2−2cosα
1
| ,由于α,β的大小关系不确定,从而不能确定|
⃗AP |=√(cosβ−1) 2+(−sinβ) 2=√2−2cosβ
2
|是否成立,B选项不正确.
⃗AP |=|⃗AP
1 2
C选项,∵ =(1,0)·(cos(α+β),sin(α+β))=cos(α+β),
⃗OA·⃗OP
3
=(cos α,sin α)·(cos β,-sin β)=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),
⃗OP ·⃗OP
1 2
∴ ,C选项正确.
⃗OA·⃗OP =⃗OP ·⃗OP
3 1 2
D选项,∵ =(1,0)·(cos α,sin α)=cos α,
⃗OA·⃗OP
1
=(cos β,-sin β)·(cos(α+β),sin(α+β))
⃗OP ·⃗OP
2 3
=cos β·cos(α+β)-sin β·sin(α+β)
=cos(β+α+β)
=cos(α+2β),
∴ 不一定成立.
⃗OA·⃗OP =⃗OP ·⃗OP
1 2 3
D选项不正确.故选AC.
6.(2019课标Ⅱ文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=( )
A.√2 B.2 C.5√2 D.50
答案 A 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养.
∵a=(2,3),b=(3,2),∴a-b=(-1,1),∴|a-b|= = ,故选A.
√(−1) 2+12 √2
一题多解 ∵a=(2,3),b=(3,2),∴|a|2=13,|b|2=13,a·b=12,则|a-b|= = = .
√a2−2a·b+b2 √13−2×12+13 √2
故选A.
7.(2017课标Ⅱ理,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则⃗PA·(⃗PB+⃗PC)的
最小值是( )
3 4
A.-2 B.- C.- D.-1
2 3北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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答案 B 设BC的中点为D,AD的中点为E,则有⃗PB+⃗PC=2⃗PD,
则⃗PA·(⃗PB+⃗PC)=2⃗PA·⃗PD
=2(⃗PE+⃗EA)·(⃗PE-⃗EA)=2(⃗PE2-⃗EA2).
而 =(√3) 2 =3,
⃗AE2
2 4
当P与E重合时,⃗PE2 有最小值0,故此时⃗PA·(⃗PB+⃗PC)取最小值,
3 3
最小值为-2⃗EA2=-2× =- .
4 2
方法总结
在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用⃗PA·⃗PD=⃗PE2-⃗EA2
可快速求出最
值.
一题多解 以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,
则A(-1,0),B(1,0),C(0, ),设P(x,y),取BC的中点D,则D(1 √3). ·( + )=2 · =2(-1-x,-y)·
√3 , ⃗PA ⃗PB ⃗PC ⃗PA ⃗PD
2 2
(1 −x, √3 −y )=2 [ (x+1)· ( x− 1) + y· ( y− √3)] =2 [ ( x+ 1) 2 + ( y− √3) 2 − 3] .
2 2 2 2 4 4 4
因此,当x=-1,y=√3时, ·( + )取得最小值,为2×( 3)=-3,故选B.
⃗PA ⃗PB ⃗PC −
4 4 4 2
8.(2016课标Ⅱ理,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=( )
A.-8 B.-6 C.6 D.8
答案 D 由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)⊥b,∴4×3-2×(m-2)=0,∴m=8.故选D.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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9.(2016四川文,9,5分)已知正三角形ABC的边长为2√3,平面ABC内的动点P,M满足|⃗AP|=1,⃗PM=⃗MC,
则|⃗BM|2的最大值是( )
43 49
A. B.
4 4
37+6√3 37+2√33
C. D.
4 4
答案 B 以A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),C(2√3,0),B(√3,3).
设P(x,y),∵|⃗AP|=1,∴x2+y2=1,
∵⃗PM=⃗MC,∴M为PC的中点,
∴M(x+2√3 y),
,
2 2
∴| |2=(x+2√3 ) 2 +( y ) 2 =x2 +y2 -3y+9=1-3y+9=37-3y,
⃗BM −√3 −3
2 2 4 4 4 4
49
又∵-1≤y≤1,∴当y=-1时,|⃗BM|2取得最大值,且最大值为 .
4
思路分析 由△ABC为正三角形,|⃗AP|=1,考虑到用建立平面直角坐标系的方法来解决向量问题.
评析 本题考查了向量的坐标运算,运用了转化与化归思想.
10.(2015福建文,7,5分)设a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,则实数k的值等于( )
3 5 5 3
A.- B.- C. D.
2 3 3 2
3
答案 A c=a+kb=(1+k,2+k).由b⊥c,得b·c=0,即1+k+2+k=0,解得k=- .故选A.
2
2√2
11.(2015重庆理,6,5分)若非零向量a,b满足|a|= |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为( )
3
π π 3π
A. B. C. D.π
4 2 4
答案 A ∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0⇒3|a|2-a·b-2|b|2=0⇒3|a|2-|a|·|b|·
cos <a,b>-2|b|2=0.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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2√2 8 2√2 √2
又∵|a|= |b|,∴ |b|2- |b|2·cos <a,b>-2|b|2=0.∴cos <a,b>= .∵<a,b>∈[0,π],
3 3 3 2
π
∴<a,b>= .选A.
4
12.(2015重庆文,7,5分)已知非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),则a与b的夹角为( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
3 2 3 6
答案 C 因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,
得到a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,则cos θ= a·b =−2|a|2 =-1,又0≤θ≤π,所以θ=2π,故选C.
|a||b| 4|a|2 2 3
13.(2014大纲全国理,4,5分)若向量a、b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|=( )
√2
A.2 B.√2 C.1 D.
2
答案 B 由题意得
{ (a+b)·a=a2+a·b=0,
⇒-2a2+b2=0,即-2|a|2+|b|2=0,又|a|=1,∴|b|= .故选B.
√2
(2a+b)·b=2a·b+b2=0
14.(2016课标Ⅲ,3,5分)已知向量 =(1 √3), =(√3 1),则∠ABC=( )
⃗BA , ⃗BC ,
2 2 2 2
A.30° B.45° C.60° D.120°
答案 A cos∠ABC= ⃗BA·⃗BC =√3,所以∠ABC=30°,故选A.
|⃗BA|·|⃗BC| 2
思路分析 由向量的夹角公式可求得cos∠ABC的值,进而得∠ABC的大小.
15.(2016北京,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 D 当|a|=|b|=0时,|a|=|b|⇔|a+b|=|a-b|.
当|a|=|b|≠0时,|a+b|=|a-b|⇔(a+b)2=(a-b)2⇔a·b=0⇔a⊥b,推不出|a|=|b|.同样,由|a|=|b|也不能推出a⊥b.故
选D.
解后反思 由向量加法、减法的几何意义知:当a、b不共线,且|a|=|b|时,a+b与a-b垂直;当a⊥b时,|a+b|=|a-b|.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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1
16.(2016山东,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos<m,n>= .若n⊥(tm+n),则实数t的值为( )
3
9 9
A.4 B.-4 C. D.-
4 4
n2
答案 B 因为n⊥(tm+n),所以tm·n+n2=0,所以m·n=- ,又4|m|=3|n|,
t
m·n 4m·n 4 1
所以cos<m,n>= = =- = ,所以t=-4.故选B.
|m|·|n| 3|n|2 3t 3
17.(2015山东理,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则⃗BD·⃗CD=( )
3 3 3 3
A.- a2 B.- a2 C. a2 D. a2
2 4 4 2
1 3
答案 D ⃗BD·⃗CD=(⃗BC+⃗CD)·⃗CD=⃗BC·⃗CD+⃗CD2= a2+a2= a2.
2 2
18.(2015课标Ⅱ文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 C 因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)· a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)=1.故选C.
19.(2015四川理,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,|⃗AB|=6,|⃗AD|=4.若点M,N满足⃗BM=3⃗MC,⃗DN=2
⃗NC,则⃗AM·⃗NM=( )
A.20 B.15 C.9 D.6
3 1 1 1 1
答案 C 依题意有⃗AM=⃗AB+⃗BM=⃗AB+ ⃗BC,⃗NM=⃗NC+⃗CM= ⃗DC- ⃗BC= ⃗AB- ⃗BC,所
4 3 4 3 4
以
⃗AM
·
⃗NM
=(⃗AB+ 3
⃗BC
)·(1
⃗AB−
1
⃗BC
)=1 ⃗AB2- 3 ⃗BC2=9.故选C.
4 3 4 3 16
20.(2015广东文,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知四边形ABCD是平行四边形,⃗AB=(1,-2),⃗AD=(2,1),
则⃗AD·⃗AC=( )
A.5 B.4 C.3 D.2
答案 A ∵四边形ABCD是平行四边形,∴⃗AC=⃗AB+⃗AD=(3,-1),∴⃗AD·⃗AC=2×3+1×(-1)=5.选A.
21.(2014课标Ⅱ,理3,文4,5分)设向量a,b满足|a+b|=√10,|a-b|=√6,则a·b=( )
A.1 B.2 C.3 D.5
答案 A ∵|a+b|=√10,∴a2+2a·b+b2=10.①
