北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
9.2 椭圆及其性质
基础篇
考点一 椭圆的定义及标准方程
1.(2023届广州阶段测试,3)记p:“方程(m-1)x2+(3-m)y2=1表示椭圆”,q:“函数f(x)=
1
x3+(m-2)x2+x无极值”,则p是q的 ( )
3
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
x2 y2
2.(2021新高考Ⅰ,5,5分)已知F ,F 是椭圆C: + =1的两个焦点,点M在C上,则|
1 2 9 4
MF |·|MF |的最大值为 ( )
1 2
A.13 B.12 C.9 D.6
答案 C
y2 x2
3.(2021浙江嘉兴一中开学考)已知P为椭圆 + =1上一点,若P到一个焦点的距离
9 4
为1,则P到另一个焦点的距离为 ( )
A.3 B.5 C.8 D.12
答案 B
y2
4.(2022广东深圳中学月考,6)已知直线l:y=x+1与曲线C:x2+ =1相交于A,B两点,
2
F(0,-1),则△ABF的周长是 ( )
A.2 B.2√2C.4D.4√2
答案 D
x2 y2
5.(2023届江苏省包场高级中学检测,13)已知椭圆 + =1,长轴在y轴上.若焦
10−m m−2
距为2√2,则m等于 .
答案 7
x2 y2
6.(2021全国甲,理15,文16,5分)已知F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,P,Q为C
1 2 16 4
上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F F |,则四边形PF QF 的面积为 .
1 2 1 2
答案 8北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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考点二 椭圆的几何性质
x2 x2
1.(2022武汉二中月考,5)已知椭圆 +y2=1(a>1)和双曲线 -y2=1(m>0)有相同焦点,则
a m
( )
A.a=m+2 B.m=a+2
C.a2=m2+2 D.m2=a2+2
答案 A
x2 y2 1
2.(2019北京理,4,5分)已知椭圆 + =1(a>b>0)的离心率为 ,则( )
a2 b2 2
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
答案 B
x2 y2
3.(2023届广东佛山顺德教学质量检测一,6)已知四边形ABCD是椭圆C: + =1的
4 3
内接四边形(即四边形的四个顶点均在椭圆上),且四边形ABCD为矩形,则四边形
ABCD的面积的最大值为 ( )
48
A.4√3B.
7
C.√3 D.4√2+2√6
答案 A
x2 y2
4.(2022河北秦皇岛三模,5)已知椭圆C: + =1(a>b>0),F(-√3,0)为其左焦点,过点
a2 b2
3
F且垂直于x轴的直线与椭圆C的一个交点为A,若tan∠AOF= (O为原点),则椭圆C
2
的长轴长等于 ( )
A.6 B.12 C.4√3D.8√3
答案 C
x2 y2
5.(多选)(2022河北衡水冀州一中期末,10)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为
a2 b2
F,点P在椭圆C上,点Q在圆E:(x+3)2+(y-4)2=4上,且圆E上的所有点均在椭圆C外,
若|PQ|-|PF|的最小值为2√5-6,且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则下列说法正
确的是( )
A.椭圆C的焦距为2
B.椭圆C的短轴长为√3
C.|PQ|+|PF|的最小值为2√5北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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−4±√7
D.过点F的圆E的切线斜率为
3
答案 AD
x2 y2
6.(2021浙江,16,6分)已知椭圆 + =1(a>b>0),焦点F (-c,0),F (c,0)(c>0).若过F
a2 b2 1 2 1
( 1 ) 2
的直线和圆 x− c +y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF ⊥x轴,则该直线的
2 2
斜率是 ,椭圆的离心率是 .
2√5 √5
答案
5 5
x2 y2
7.(2019课标Ⅲ理,15,5分)设F ,F 为椭圆C: + =1的两个焦点,M为C上一点且
1 2 36 20
在第一象限.若△MF F 为等腰三角形,则M的坐标为 .
1 2
答案 (3,√15)
考点三 直线与椭圆的位置关系
x2 y2
1.(多选)(2022福建莆田二中模拟,10)已知椭圆C: + =1(a>b>0),焦点F (-
a2 b2 1
c,0),F (c,0)(c>0),下顶点为B.过点F 的直线l与曲线C在第四象限交于点M,且与圆
2 1
1
A:(x+2c)2+y2= c2相切,若⃗M F ·⃗F F =0,则下列结论正确的是 ( )
4 2 1 2
A.椭圆C上不存在点Q,使得QF ⊥QF
1 2
B.圆A与椭圆C没有公共点
C.当a=3时,椭圆的短轴长为2√6
D.F B⊥F M
2 1
答案 AC
x2
2.(多选)(2022山东菏泽二模,11)已知椭圆E: +y2=1的左,右焦点分别为F ,F ,直线
2 1 2
x=m(-√2<m<√2)与椭圆E交于A,B两点,C,D分别为椭圆的左,右顶点,则下列命题正
确的有( )
1
A.若直线CA的斜率为k ,BD的斜率为k ,则k k =-
1 2 1 2 2
B.存在唯一的实数m,使得△AF F 为等腰直角三角形
1 2
C.⃗AF ·⃗AF 的取值范围为(-1,1)
1 2
D. ABF 周长的最大值为4√2
1
答案 BD
△北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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x2 y2
3.(2022新高考Ⅱ,16,5分)已知直线l与椭圆 + =1在第一象限交于A,B两点,l与x
6 3
轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2√3,则l的方程为 .
答案 x+√2y−2√2=0
( 3)
4.(2023届辽宁六校期初考试,21)已知椭圆C的两个焦点为(-1,0),(1,0),点A 1, 在
2
C上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求直线l的斜率.
x2 y2
解析 (1)由题意知c=1,且焦点在x轴上,故可设椭圆方程为 + =1(b>0),由A
1+b2 b2
( 1, 3) 在C上可得 1 + 9 =1,解得b2=3或b2=- 3 (舍去),
2 1+b2 4b2 4
x2 y2
故椭圆C的方程为 + =1.
4 3
3 3
(2)设直线AP:y- =k(x-1),AQ:y- =-k(x-1),
2 2
3
{y− =k(x−1),
2
联立 消去y整理得(3+4k2)x2-(8k2-12k)x+4k2-12k-3=0,
x2 y2
+ =1,
4 3
8k2−12k 4k2−12k−3
设P(x ,y ),则x +1= ⇒x1= ,
1 1 1 3+4k2 3+4k2
3 −12k2−12k+9
∵y - =k(x -1),∴y = ,
1 2 1 1 6+8k2
(4k2−12k−3 −12k2−12k+9)
则P , ,
3+4k2 6+8k2
(4k2+12k−3 −12k2+12k+9)
以-k代替k,得Q , ,
3+4k2 6+8k2
24k
y −y 6+8k2 1 1
∴k = Q 1= = ,即直线l的斜率为 .
PQ x −x 24k 2 2
Q 1
3+4k2
x2 y2
5.(2020天津,18,15分)已知椭圆 + =1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,
a2 b2
且|OA|=|OF|,其中O为原点.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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(1)求椭圆的方程;
(2)已知点C满足3⃗OC=⃗OF,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心
的圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.
解析 (1)由已知可得b=3.记半焦距为c,由|OF|=|OA|可得c=b=3.又由a2=b2+c2,可得
x2 y2
a2=18.所以椭圆的方程为 + =1.
18 9
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以AB⊥CP.依题意知,直线AB和直线
{
y=kx−3,
CP的斜率均存在.设直线AB的方程为y=kx-3.由方程组 x2 y2 消去y,可得
+ =1,
18 9
12k ( 12k 6k2−3)
(2k2+1)x2-12kx=0,解得x=0或x= .依题意,可得点B的坐标为 , .
2k2+1 2k2+1 2k2+1
( 6k −3 )
因为P为线段AB的中点,点A的坐标为(0,-3),所以点P的坐标为 , .由
2k2+1 2k2+1
−3
−0
2k2+1 3
3⃗OC=⃗OF,得点C的坐标为(1,0),故直线CP的斜率为 ,即 .又因
6k 2k2−6k+1
−1
2k2+1
3 1
为AB⊥CP,所以k· =-1,整理得2k2-3k+1=0,解得k= 或k=1.所以直线AB的
2k2−6k+1 2
1
方程为y= x-3或y=x-3.
2
x2 y2
6.(2022山东济宁三模,21)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B,点
a2 b2
1
F是椭圆E的右焦点,点Q在椭圆E上,且|QF|的最大值为3,椭圆E的离心率为 .
2
(1)求椭圆E的方程;
(2)若过点A的直线与椭圆E交于另一点P(异于点B),与直线x=2交于点M,∠PFB的
平分线与直线x=2交于点N,求证:点N是线段BM的中点.
|QF| =a+c=3,
{ max
c 1
解析 (1)由已知可得 = ,
a 2
a2=b2+c2,
{a=2,
x2 y2
解得 b=√3,因此椭圆E的方程为 + =1.
4 3
c=1.
(2)证明:由对称性,不妨设点P在x轴上方.北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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①当直线PF的斜率存在时,因为FN平分∠PFB,所以∠PFB=2∠NFB,
2tan∠NFB 2k
NF
所以tan∠PFB= ,即k = .
1−tan2 ∠NFB PF 1−k2
NF
设直线AP的方程为y=k(x+2),其中k>0,
{ y=k(x+2),
联立 消y可得(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0,
3x2+4 y2=12,
16k2−12 6−8k2
设点P(x ,y ),则-2x = ,所以x = ,
1 1 1 4k2+3 1 4k2+3
12k (6−8k2 12k )
则y =k(x +2)= ,即点P , ,
1 1 4k2+3 4k2+3 4k2+3
12k
y 3+4k2 4k
所以k = 1 = = ,
PF x −1 6−8k2 1−4k2
1 −1
3+4k2
设直线FN的方程为y=m(x-1),则点N(2,m),把x=2代入y=k(x+2)得y=4k,即M(2,4k),
2k 4k 2m
因为k = NF ,所以 = ,
PF 1−k2 1−4k2 1−m2
NF
整理可得(2k-m)(2km+1)=0,
y m 1
因为km>0,所以m=2k,所以 N = = ,
y 4k 2
M
所以点N为线段BM的中点.
( 3)
②当直线PF的斜率不存在时,不妨设点P 1, ,
2
1
则直线AP的方程为y= (x+2),所以点M(2,2),
2
又因为直线FN的方程为y=x-1,所以点N(2,1),
所以点N为线段BM的中点.
综上可知,点N为线段BM的中点.
