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专题一 集合与常用逻辑用语
1.1 集合
基础篇
考点 一 集合及其关系 知识拓展
若Ａ为有限集ꎬ集合 Ａ 中的元素个数记为 (Ａ) ｎꎬ
1. 集合的含义与表示 ｃａｒｄ ＝
则集合Ａ的所有子集个数为 ｎꎬ所有非空子集个数为
２
元素与集合的含义 一般地 把研究对象统
１) : ꎬ ｎ ꎬ所有真子集个数为 ｎ ꎬ所有非空真子集个数为
２ －１ ２ －１
称为元素 把一些元素组成的总体叫做集合.
ꎻ ｎ .
２ －２
集合中元素的特性 确定性 互异性 无序性.
２) : 、 、
表示方法 列举法 描述法 图示法
３) : 、 、 (Ｖｅｎｎ 考点 二 集合的基本运算
图 .
)
已知全集 Ｕ 集合 Ａ Ｂ.
常用数集及其符号表示 非负整数集 自然 ꎬ ꎬ
４) : (
并集 交集 补集
数集 Ｎ 正整数集Ｎ∗ 或Ｎ 整数集Ｚ 有
) 、 ( ＋)、 、
符号 Ａ 的 补 集
理数集 Ｑ 实数集 Ｒ.
Ａ Ｂ Ａ Ｂ
、
表示 ∪ ∩ 为 Ａ
集合中元素与集合的关系 属于 用符号 ∁Ｕ
５) : (
表示 和不属于 用符号 表示 . 图形
“∈” ) ( “∉” )
2. 表示
集合间的基本关系
{ｘ ｘ Ａ 或 ｘ {ｘ ｘ Ａꎬ且 ｘ {ｘ ｘ Ｕꎬ且 ｘ
定义 记法
意义 ｜ ∈ ｜ ∈ ｜ ∈
Ｂ} Ｂ} Ａ}
相 集合 Ａ 与集合 Ｂ 中的所有 ∈ ∈ ∉
Ａ Ｂ
等 元素都相同 ＝ Ａ ∪⌀＝ Ａꎻ Ａ ∩⌀＝⌀ ꎻ Ａ ∪ ( ∁Ｕ Ａ )
Ａ Ａ Ａꎻ Ａ Ａ Ａꎻ Ｕꎻ
子 集合 Ａ 中任意一个元素均 Ａ Ｂ(或Ｂ ∪ ＝ ∩ ＝ ＝
集合 ⊆ ⊇ 性质 Ａ Ｂ Ｂ Ａꎻ Ａ Ｂ Ｂ Ａꎻ Ａ ( Ａ )
集 为集合Ｂ中的元素 Ａ) ∪ ＝ ∪ ∩ ＝ ∩ ∩ ∁Ｕ
间的
Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ｂ Ａ Ａ ꎻ
∪ ＝ ⇔ ∩ ＝ ⇔ ＝⌀
基本
集合 Ａ 中任意一个元素均 Ａ Ｂ ( Ａ) Ａ
关系 真 ⊆ ⊆ ∁Ｕ ∁Ｕ ＝
为集合Ｂ 中的元素ꎬ且集合 Ａ Ｂ(或Ｂ
子 ⫋ ⫌ 知识拓展
Ｂ中至少有一个元素不在集 Ａ)
集 .德摩根定律: (Ａ Ｂ) ( Ａ) ( Ｂ)ꎻ (Ａ Ｂ)
合Ａ中 １ ∁Ｕ ∪ ＝ ∁Ｕ ∩ ∁Ｕ ∁Ｕ ∩
( Ａ) ( Ｂ).
＝ ∁Ｕ ∪ ∁Ｕ
.一般地ꎬ对任意两个有限集合 ＡꎬＢꎬ有 (Ａ Ｂ)
空集是任何集合的子集 Ｂ ２ ｃａｒｄ ∪ ＝
⌀⊆
(Ａ) (Ｂ) (Ａ Ｂ).
空集 ｃａｒｄ ＋ｃａｒｄ －ｃａｒｄ ∩
空集是任何非空集合的真 Ｂ(Ｂ
⌀⫋ ≠
子集 ) 专
⌀
题
一
集
合
与
常
用
逻
辑
用
语
２１９
综合篇
考法 一 集合间基本关系的求解方法
1.
判断两集合关系一般有两种方法：一是结构
分析法 即化简集合 从表达式结构出发 寻
ꎬ ꎬ ꎬ
找集合间的关系 二是用列举法 或图形 表
ꎻ ( )
示各个集合 从元素 或图形 中寻找关系.
ꎬ ( )
2.
已知集合间的关系求参数的值或取值范围 关
ꎬ
键是将集合间关系转化为元素间关系 再转化
ꎬ
为参数满足的条件.常借助数轴 图分析.
、Ｖｅｎｎ
例1 ( 浙江温州 月检测ꎬ )设集合 Ａ
２０２２ ４ １０
{ｘ ｘ }ꎬＢ {ｘ ｋ ｘ ｋ }ꎬ且 Ａ
＝ ｜－３≤ ≤２ ＝ ｜ －１≤ ≤２ ＋１
Ｂꎬ则实数 ｋ 的取值范围是 (写成集
⊇
合的形式).
解析 由Ｂ Ａ知ꎬＢ 或Ｂ为Ａ的非空子集.
⊆ ＝⌀
ìｋ ꎬ
ï
－１≥－３
ï
当集合Ｂ 时ꎬí ｋ ꎬ 解得 ｋ １ꎻ
① ≠⌀ ï２ ＋１≤２ －２≤ ≤
ï ２
îｋ ｋ ꎬ
－１≤２ ＋１
当集合 Ｂ 时ꎬ有 ｋ ｋ ꎬ解得 ｋ .
② ＝⌀ －１>２ ＋１ <－２
综上ꎬ可知 ｋ １ꎬ故实数 ｋ 的取值范围为
≤
２
{ }
ｋ ｋ １ .
≤
２
{ }
答案 ｋ ｋ １
≤
２
名师点睛根据集合间的关系求参数的值(或取值范
围)应注意:
( )两个转化:Ａ Ｂ Ａ Ａ ＢꎻＡ Ｂ Ａ Ｂ Ａ.
１ ∩ ＝ ⇔ ⊆ ∪ ＝ ⇔ ⊆
( )空集的特殊性.
２
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２２０
若Ｂ Ａꎬ则分Ｂ和Ｂ两类进行讨论.
① ⊆ ＝⌀ ≠⌀
若Ａ Ｂ ꎬ则集合ＡꎬＢ均为空集或Ａ与Ｂ中只有
② ∩ ＝⌀
一个空集或ＡꎬＢ虽然均为非空集合但无公共元素.
( )结合数轴分析端点值的大小.
３
( )对结果进行检验ꎬ以避免集合中元素重复.
４
考法 二 集合运算问题的求解方法
1. 集合的基本运算
以 形 定 法 看集合的表示方法 用列举
１) “ ” “ ”: ꎬ
法表示的集合 宜用 图求解 用描述法
ꎬ Ｖｅｎｎ ꎻ
表示的数集 常借助数轴分析得结果.
ꎬ
先 简 后 算 运算前先对集合进行化简
２) “ ” “ ”: ꎬ
分清是数集还是点集 是函数定义域还是值
ꎬ
域 是方程的解还是不等式的解集等.
ꎬ
2.
已知集合的运算结果求参数值（或范围）
根据集合运算的结果 利用集合运算的定义
ꎬ
和数轴建立关于参数的方程 不等式 求解
( ) ꎬ
注意对空集的讨论.
例2 ( 课标 理ꎬ ꎬ 分)设集合 Ａ {ｘ
２０２０ Ⅰ ２ ５ ＝ ｜
ｘ２ }ꎬＢ {ｘ ｘ ａ }ꎬ且 Ａ Ｂ {ｘ
－４≤０ ＝ ｜２ ＋ ≤０ ∩ ＝ ｜－２
ｘ }ꎬ则 ａ ( )
≤ ≤１ ＝
Ａ.－４ Ｂ.－２ Ｃ.２ Ｄ.４
解析 由已知可得 Ａ {ｘ ｘ }ꎬＢ
＝ ｜ －２≤ ≤２ ＝
{ ａ} ａ
ｘ ｘ ꎬ又 Ａ Ｂ {ｘ ｘ }ꎬ
≤－ ∵ ∩ ＝ ｜－２≤ ≤１ ∴ －
２ ２
ꎬ ａ .故选 .
＝１ ∴ ＝－２ Ｂ
答案
Ｂ
