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专题十二 数系的扩充与复数的引入
基础篇
考点 一 复数的概念与几何意义 故选
Ｂ.
５.( 届福建漳州质检ꎬ )若复数 ｚ 满足 ｚ
考向一 复数的概念 ２０２３ ２ ＋ｉ
ｚ 为虚数单位 则 ｚ
１.( 辽宁大连一中期中ꎬ )若复数 ｚ 满足 ＝ ｉ(ｉ )ꎬ ｜ ｜ ＝ ( )
２０２２ ２
ｚ 则 ｚ 的虚部为 ２
(１＋ｉ)＝ ２ｉꎬ ( ) Ａ. Ｂ.１ Ｃ. ２ Ｄ.２
２
Ａ.ｉ Ｂ.－ｉ Ｃ.１ Ｄ.－１ 答案 Ａ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ
答案 Ｃ 复数 ｚ 满足 ｚ ｚ ∵ ＋ｉ＝ ｉꎬ∴ ｉ－ ＝(ｉ－１) ＝ｉꎬ
∵ (１＋ｉ)＝ ２ｉꎬ∴ ＝
ｚ ｉ ｚ ｉ ｜ｉ｜ １ ２.故
２ｉ ２ｉ(１－ｉ) ｚ 的虚部为 .故 ∴ ＝ ꎬ∴ ｜ ｜ ＝ ＝ ＝ ＝
＝ ＝ １＋ｉꎬ∴ １ ｉ－１ ｉ－１ ｜ｉ－１｜ ２ ２
１＋ｉ (１＋ｉ)(１－ｉ)
选
选
Ａ.
Ｃ.
名师点睛
２.( 浙江ꎬ ꎬ 分)已知 ａ Ｒ 若 ａ ａ
２０２０ ２ ４ ∈ ꎬ －１＋( －
复数的模的性质:若 ｚ ꎬｚ 为复数ꎬ则 ｚ ｚ
为虚数单位 是实数 则 ａ １ ２ ｜ １ ２｜ ＝
２)ｉ(ｉ ) ꎬ ＝ ( )
ｚ ｚ
ｚ ｚ ꎬ １ ｜ １｜( ｚ ).
Ａ.１ Ｂ.－１ Ｃ.２ Ｄ.－２ ｜ １｜ ｜ ２｜ ｚ ＝ ｚ ｜ ２｜≠０
答案 Ｃ 因为 ａ ａ 为实数 ａ Ｒ ２ ｜ ２｜
－１＋( －２)ｉ ꎬ ∈ ꎬ
所以 ａ 解得 ａ 故选 .
－２＝０ꎬ ＝２ꎬ Ｃ ６.( 届沈阳四中月考ꎬ )已知 是虚数单位
３.( 届贵州遵义新高考协作体入学质量监 ２０２３ ２ ｉ ꎬ
２０２３ 若复数ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 满足ｚ ｚ 则
＝ ＋ ｉ( 、 ∈ ) ｉ＝ ꎬ ( )
ｚ
测ꎬ )若复数ｚ 则 的虚部为 ａ２ ｂ２ ａ ｂ
２ ＝３－４ｉꎬ ｚｚ ( ) Ａ. ＋ ＝１ Ｂ. ＋ ＝１
－１
ａ ｂ ａ２ ｂ２
Ｃ. ＋ ＝０ Ｄ. － ＝１
１ １ １ １ 答案 Ｃ 因为 ｚ ｚ 即 ａ ｂ ａ ｂ 即
Ａ. ｉ Ｂ.－ ｉ Ｃ. Ｄ.－ ｉ＝ ꎬ ( ＋ ｉ)ｉ＝ － ｉꎬ
６ ６ ６ ６ { ｂ ａ
ｚ ｂ ａ ａ ｂ 所以 － ＝ ꎬ所以 ａ ｂ .故
答案 Ｄ 由题意知 ꎬ ｚ ＝ ３ ＋ ４ｉꎬｚｚ ＝ － ＋ ｉ＝ － ｉꎬ ａ ｂ ＋ ＝ ０
＝－ ꎬ
－１
选
Ｃ.
３－４ｉ ３－４ｉ １ １ 其虚部
＝ ＝ － ｉꎬ∴ ７.( 全国乙文ꎬ ꎬ 分)设 ａ ｂ
(３－４ｉ)(３＋４ｉ)－１ ２４ ８ ６ ２０２２ ２ ５ (１＋２ｉ) ＋ ＝２ｉꎬ
其中 ａ ｂ 为实数 则
为 １.故选 ꎬ ꎬ ( )
－ Ｄ.
ａ ｂ ａ ｂ
６
Ａ. ＝１ꎬ ＝－１ Ｂ. ＝１ꎬ ＝１
４.( 届湖北摸底联考ꎬ )若复数 ｚ 满足 ａ ｂ ａ ｂ
5 ２０２３ １ (１＋ Ｃ. ＝－１ꎬ ＝１ Ｄ. ＝－１ꎬ ＝－１
年
高 ｚ 则 ｚ 的虚部为 答案 Ａ 由题意知 ａ ｂ ａ
ｉ) ＝ ｜１＋ｉ｜ꎬ ( ) ( ＋ )＋２ ｉ＝２ｉꎬ
考
3 {ａ ｂ {ａ
年 ２ ２ 所以 ＋ ＝０ꎬ解得 ＝１ꎬ 故选 .
模 Ａ.－ ｉ Ｂ.－ Ｃ. ２ Ｄ.－ ２ ａ ｂ Ａ
拟 ２ ２ ２ ＝２ꎬ ＝－１ꎬ
８.( 届长沙雅礼实验中学入学考ꎬ )若复
A
答案 Ｂ 由 ｚ 得ｚ ２ ２０２３ ２
版 (１＋ｉ) ＝ ｜１＋ｉ｜ ＝ ２ꎬ ＝ ＝
１＋ｉ
数ｚ ２＋ｉ的实部与虚部相等 则实数ａ的值为
高
＝ａ ꎬ
考
＋ｉ
数 ２(１－ｉ) ２ ２ 所以 ｚ 的虚部为 ２.
学 ＝ － ｉꎬ －
(１＋ｉ)(１－ｉ) ２ ２ ２ ( )
５０２
错误
Ａ.－３ Ｂ.－１ Ｃ.１ Ｄ.３ ＝ｉ(１－ｉ)＝ １＋ｉꎬ ꎻ
ａ 对于 由 ａ Ｒ 得 ａ２ 故 ａ２ 是
答案 Ａ 因为 ｚ ２＋ｉ (２＋ｉ)( －ｉ) Ｂꎬ ∈ ꎬ ＋１≥１ꎬ ( ＋１)ｉ
＝ ａ ＝ ａ ａ ＝
纯虚数 正确
＋ｉ ( ＋ｉ)( －ｉ)
ꎬ ꎻ
ａ ａ
２ ＋１＋( －２)ｉ的实部与虚部相等 所以 ａ 对于 若 ｚ ｚ 则 ｚ２ ｚ２ 错误
ａ２ ꎬ ２ ＋１ Ｃꎬ １ ＝１ꎬ ２ ＝ｉꎬ １ ＋ ２ ＝０ꎬ ꎻ
＋１ 对于 由 ｍ 得 ｍ２ ｍ ｍ２ ｍ
ａ 解得 ａ .故选 Ｄꎬ ＝４ꎬ －２ －７＝１ꎬ ＋５ ＋６
＝ －２ꎬ ＝－３ Ａ. 故 ｍ２ ｍ ｍ２ ｍ
９.( 课标文ꎬ ꎬ 分)若ｚ ３ 则 ｚ ＝４２ꎬ ｌｇ( －２ －７)＋( ＋５ ＋６)ｉ＝ ４２ｉ
２０２０ Ⅰ ２ ５ ＝１＋２ｉ＋ｉ ꎬ ｜ ｜＝ 为纯虚数 正确.故选
ꎬ ＢＤ.
( ) １３.(多选)( 届辽宁六校期初考试ꎬ )已
２０２３ ９
Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ. ２ Ｄ.２
答案 Ｃ ｚ ３
知复数 ｚ
＝
－１０ｉ
ꎬ
则下列说法正确的是
∵ ＝１＋２ｉ＋ｉ ＝１＋２ｉ－ｉ＝１＋ｉꎬ
２＋ｉ
ｚ ２ ２ 故选 .
∴ ｜ ｜ ＝ ｜１＋ｉ｜ ＝ １ ＋１ ＝ ２ꎬ Ｃ ( )
１０.( 北京ꎬ ꎬ 分)若复数 ｚ 满足 ｚ 复数 ｚ 在复平面内对应的点在第四象限
２０２２ ２ ４ ｉ ＝３－ Ａ.
则 ｚ 复数 ｚ 的虚部为
４ｉꎬ ｜ ｜＝ ( ) Ｂ. －４
复数 ｚ 的共轭复数 ｚ
Ａ.１ Ｂ.５ Ｃ.７ Ｄ.２５ Ｃ. ＝２－４ｉ
复数 ｚ 的模 ｚ
答案 Ｂ 由 ｚ 可知 ｚ ３－４ｉ Ｄ. ｜ ｜ ＝２ ５
ｉ ＝ ３－４ｉ ꎬ ＝ ＝
ｉ
答案 ＢＤ ｚ －１０ｉ －１０ｉ(２－ｉ)
＝ ＝ ＝ －２－４ｉꎬ
(３－４ｉ)(－ｉ) 故 ｚ ２＋ｉ (２＋ｉ)(２－ｉ)
＝ －４ － ３ｉꎬ ｜ ｜ ＝
ｉ(－ｉ) 所以复数 ｚ 在复平面内对应的点 在
(－２ꎬ－４)
２ ２ .故选 . 第三象限 复数 ｚ 的虚部为 复数 ｚ 的共轭
(－４) ＋(－３) ＝５ Ｂ ꎬ －４ꎬ
复数 ｚ 复 数 ｚ 的 模 ｚ
１１.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)复数 １ 的虚部是 ＝ － ２ ＋ ４ｉꎬ ｜ ｜ ＝
２０２０ Ⅲ ２ ５
１－３ｉ
２ ２
.综上 正确 错
(－２) ＋(－４) ＝２ ５ ꎬＢＤ ꎬＡＣ
( )
误.故选 .
ＢＤ
３ １ １ ３
Ａ.－ Ｂ.－ Ｃ. Ｄ.
１４.(多选)( 届广东佛山南海、三水摸底ꎬ
１０ １０ １０ １０ ２０２３
答案 Ｄ １ １＋３ｉ １＋３ｉ 所 )下面是关于复数 ｚ ２ 为虚数单位
＝ ＝ ꎬ ９ ＝ (ｉ )
１－３ｉ (１－３ｉ)(１＋３ｉ) １０ １－ｉ
的命题 其中真命题为
以虚部为３ 选 . ꎬ ( )
ꎬ Ｄ
１０ ｚ
Ａ.｜ ｜ ＝ ２
１２.(多选)( 届海南琼海嘉积中学月考ꎬ
２０２３ ｚ ｚ２
Ｂ. － ＝１＋ｉ
)已知 为虚数单位 下列命题中正确的是
ｚ 的共轭复数为
９ ｉ ꎬ
Ｃ. －１＋ｉ
( ) ｚ 的虚部为
Ｄ. １ 专
若 ｘ ｙ Ｃ 则 ｘ ｙ 的充要条件是 ｘ 题
Ａ. ꎬ ∈ ꎬ ＋ ｉ＝１＋ｉ 答案 ＡＤ ｚ ２ ２(１＋ｉ) 十
ｙ ∵ ＝ ＝ ＝ 二
＝ ＝１ １－ｉ (１－ｉ)(１＋ｉ)
数
ａ２ ａ Ｒ 是纯虚数
系
Ｂ.( ＋１)ｉ( ∈ ) ２(１＋ｉ) ｚ ｚ ｚ２ ２ 的
若 ｚ２ ｚ２ ｚ ｚ Ｃ 则 ｚ ｚ ＝１＋ｉꎬ∴ ｜ ｜ ＝ ２ꎬ － ＝１＋ｉ－(１＋ｉ) 扩
Ｃ. １ ＋ ２ ＝０ꎬ １ꎬ ２∈ ꎬ １ ＝ ２ ＝０ ２ 充
Ｄ.
当ｍ
＝４
时
ꎬ
复数
ｌｇ(
ｍ２
－２
ｍ
－７)＋(
ｍ２
＋５
ｍ
＝１＋ｉ－２ｉ＝１－ｉꎬ
ｚ 的共轭复数为
１－ｉꎬ
ｚ 的虚部 与
复
是纯虚数 为 .故选 数
＋６)ｉ １ ＡＤ. 的
引
答案 ＢＤ 对于 若 ｘ ｙ 则 ｘ ｙ １５.( 江苏ꎬ ꎬ 分)已知复数 ａ 入
Ａꎬ ＝０ꎬ ＝１－ｉꎬ ＋ ｉ ２０１９ ２ ５ ( ＋２ｉ)(１＋ｉ)
５０３
的实部为 其中 为虚数单位 则实数 ａ 第三象限 第四象限
０ꎬ ｉ ꎬ Ｃ. Ｄ.
的值是 . 答案 Ｃ ｚ ｚ 在复
∵ ＝－３＋２ｉꎬ∴ ＝－３－２ｉꎬ∴
答案 平面内 ｚ 对应的点的坐标为 此点
２ ꎬ (－３ꎬ－２)ꎬ
解析 ａ ａ ａ 的 在第三象限.
∵ ( ＋２ｉ)(１＋ｉ)＝ ( －２)＋( ＋２)ｉ
实部为 ５.( 武汉部分重点中学联考ꎬ )若复数 ｚ
０ꎬ ２０２２ ２
ａ 解得 ａ . 满足 ｚ 则 ｚ 的共轭复数在复平
∴ －２＝０ꎬ ＝２ ＝(１＋ｉ)(２－ｉ)ꎬ
考向二 复数的几何意义 面内对应的点在
( )
１.( 届江苏扬州高邮学情调研ꎬ )已知 第一象限 第二象限
２０２３ ２ ｉ Ａ. Ｂ.
第三象限 第四象限
为虚数单位 则复数 ｚ １－３ｉ在复平面内对应 Ｃ. Ｄ.
ꎬ ＝ 答案 Ｄ ｚ 的共轭复数
１＋２ｉ ＝(１＋ｉ)(２－ｉ)＝ ３＋ｉ
的点位于 ｚ 则 ｚ 的共轭复数在复平面内对应的
( ) ＝３－ｉꎬ
第一象限 第二象限 点为 在第四象限 故选
Ａ. Ｂ. (３ꎬ－１)ꎬ ꎬ Ｄ.
第三象限 第四象限 ６.( 江苏如皋中学月考ꎬ )已知复数 ｚ 满
Ｃ. Ｄ. ２０２２ ５
足 ｚ ｚ 则在复平面上 ｚ 对应的点的
答案 Ｃ ｚ １－３ｉ (１－３ｉ)(１－２ｉ) ｜ －１｜ ＝ ｜ －ｉ｜ꎬ
∵ ＝ ＝ ＝ －１－
１＋２ｉ (１＋２ｉ)(１－２ｉ) 轨迹为
( )
复数 ｚ 在复平面内对应的点为
ｉꎬ∴ (－１ꎬ－ 直线 线段
Ａ. Ｂ.
位于第三象限.故选
１)ꎬ Ｃ. 圆 等腰三角形
Ｃ. Ｄ.
２.( 北京ꎬ ꎬ 分)在复平面内 复数ｚ 对应
２０２０ ２ ４ ꎬ 答案 Ａ 设复数 ｚ ｘ ｙ ｘ ｙ Ｒ 根据复
＝ ＋ ｉ( ꎬ ∈ )ꎬ
的点的坐标是 则 ｚ
(１ꎬ２)ꎬ ｉ ＝ ( ) 数的几何意义知 ｚ 表示复平面内的点Ｚ
:｜ －１｜
Ａ.１＋２ｉ Ｂ.－２＋ｉ ｘ ｙ 与点 Ａ 的距离 ｚ 表示复平面
( ꎬ ) (１ꎬ０) ꎬ｜ －ｉ｜
Ｃ.１－２ｉ Ｄ.－２－ｉ 内的点Ｚ ｘ ｙ 与点Ｂ 的距离 因为 ｚ
( ꎬ ) (０ꎬ１) ꎬ ｜ －
答案 Ｂ 由复数的几何意义可知 ｚ
ꎬ ＝１＋２ｉꎬ ｚ 即点 Ｚ ｘ ｙ 到 Ａ Ｂ 两点间的距
１｜ ＝ ｜ －ｉ｜ꎬ ( ꎬ ) ꎬ
所以 ｚ 故选 .
ｉ ＝ｉ(１＋２ｉ)＝ －２＋ｉꎬ Ｂ 离相等 所以点 Ｚ ｘ ｙ 在线段 ＡＢ 的垂直平
ꎬ ( ꎬ )
３.( 福建漳州一模ꎬ )已知 ｚ 分线上 所以在复平面上 ｚ 对应的点的轨迹
２０２２ ２ ＝ ｜ ３ｉ－１｜＋ ꎬ
为直线.故选 .
１ 则在复平面内 ｚ 对应的点位于 Ａ
ꎬ ( )
１＋ｉ ７.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)设复数 ｚ 满足 ｚ
２０１９ Ⅰ ２ ５ ｜ －ｉ｜
第一象限 第二象限
Ａ. Ｂ. ｚ 在复平面内对应的点为 ｘ ｙ 则
＝１ꎬ ( ꎬ )ꎬ
第三象限 第四象限
Ｃ. Ｄ.
( )
答案 Ｄ ｚ １ ｘ ２ ｙ２ ｘ ２ ｙ２
∵ ＝ ｜ ３ ｉ － １ ｜ ＋ ＝ Ａ.( ＋１) ＋ ＝１ Ｂ.( －１) ＋ ＝１
１＋ｉ
ｘ２ ｙ ２ ｘ２ ｙ ２
Ｃ. ＋( －１) ＝１ Ｄ. ＋( ＋１) ＝１
5
年 高 ( ３) ２ ＋(－１) ２ ＋ １ １ － － ｉ ｉ ２ ＝２＋ １ ２ －ｉ ＝ ２ ５ － ２ １ ｉꎬ∴ 复 答案 Ｃ 设复数 ｚ 与 ｉ 分别表示复平面内
考 的点 Ｚ 与点 Ｐ 则 Ｐ 且 ｚ 表示复平
3 æ ö ꎬ (０ꎬ１)ꎬ ｜ －ｉ｜
平面内 ｚ 对应的点ç５ １÷位于第四象限
年 ꎬ è ꎬ－ ø ꎬ 面内点 Ｚ 与点 Ｐ 之间的距离 所以点 Ｚ ｘ
模 ２ ２ ꎬ ( ꎬ
拟 故选 . ｙ 到点Ｐ 的距离为定值 所以 Ｚ 的轨
A Ｄ ) (０ꎬ１) １ꎬ
版 ４.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)设 ｚ 则在 迹是以 为圆心 为半径的圆 故选 .
(０ꎬ１) ꎬ１ ꎬ Ｃ
２０１９ Ⅱ ２ ５ ＝－３＋２ｉꎬ
高
复平面内 ｚ 对应的点位于
考
( )
数
学 第一象限 第二象限
Ａ. Ｂ.
５０４
考点 二 复数的运算
１ ３ １ ３
Ｃ.－ ＋ ｉ Ｄ.－ － ｉ
１.( 全国甲文ꎬ ꎬ 分)若ｚ 则 ｚ ｚ ３ ３ ３ ３
２０２２ ３ ５ ＝１＋ｉꎬ ｜ｉ ＋３ ｜＝ ｚ
答案 Ｃ 因为 ｚ 所以
( ) ＝ －１＋ ３ ｉꎬ ｚｚ ＝
－１
Ａ.４ ５ Ｂ.４ ２ Ｃ.２ ５ Ｄ.２ ２
－１＋ ３ｉ －１＋ ３ｉ １ ３
答案 Ｄ ｚ ｚ ｚ ＝ ＝ － ＋
∵ ＝１＋ｉꎬ∴ ｉ ＝ｉ－１ꎬ３ ＝３(１－ｉ)＝ (－１＋ ３ｉ)(－１－ ３ｉ)－１ １＋３－１ ３ ３
故选 .
３－３ｉꎬ
ｉꎬ Ｃ
ｚ ｚ ｚ ｚ .故选 .
∴ ｉ ＋３ ＝２－２ｉꎬ∴ ｜ｉ ＋３ ｜ ＝２ ２ Ｄ ７.( 新高考 ꎬ ꎬ 分) ２－ｉ
２０２０ Ⅰ ２ ５ ＝ ( )
２.( 山东烟台、德州一模ꎬ )若复数 ｚ 满足 １＋２ｉ
２０２２ ２
ｚ 则ｚ Ａ.１ Ｂ.－１ Ｃ.ｉ Ｄ.－ｉ
(１＋２ｉ) ＝４＋３ｉꎬ ＝ ( )
答案 Ｄ ２－ｉ (２－ｉ)(１－２ｉ) －５ｉ .
Ａ.－２＋ｉ Ｂ.－２－ｉ Ｃ.２＋ｉ Ｄ.２－ｉ ＝ ＝ ＝－ｉ
１＋２ｉ (１＋２ｉ)(１－２ｉ) ５
答案 Ｃ 由 ｚ ｚ ４＋３ｉ 故选 .
(１＋２ｉ) ＝ ４＋３ｉ⇒ ＝ ＝ Ｄ
１＋２ｉ ８.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)
２０２０ Ⅱ ２ ５ (１＋２ｉ)(２＋ｉ)＝
(４＋３ｉ)(１－２ｉ) 所以ｚ 故选 .
＝ ２－ｉꎬ ＝２＋ｉꎬ Ｃ
( )
(１＋２ｉ)(１－２ｉ)
３.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知 ｚ 则 ｚ ｚ Ａ.－５ｉ Ｂ.５ｉ Ｃ.－５ Ｄ.５
２０２１ Ⅰ ２ ５ ＝２－ｉꎬ (
答案 Ｂ 故
(１＋２ｉ)(２＋ｉ)＝ ２＋４ｉ＋ｉ－２＝５ｉꎬ
＋ｉ)＝ ( )
选 .
Ｂ
Ａ.６－２ｉ Ｂ.４－２ｉ Ｃ.６＋２ｉ Ｄ.４＋２ｉ
９.( 课标 文ꎬ ꎬ 分) ４
答案 Ｃ ｚ ｚ ｚ ｚ ２０２０ Ⅱ ２ ５ (１－ｉ) ＝ ( )
∵ ＝２－ｉꎬ∴ ＝２＋ｉꎬ∴ ( ＋ｉ)＝ (２
２ Ａ.－４ Ｂ.４ Ｃ.－４ｉ Ｄ.４ｉ
－ｉ)(２＋ｉ＋ｉ)＝ (２－ｉ)(２＋２ｉ)＝ ４＋４ｉ－２ｉ－２ｉ ＝６
答案 Ａ
４ ２ ２ ２ ２
.故选 . (１－ｉ) ＝[(１－ｉ) ] ＝(－２ｉ) ＝４ｉ
＋２ｉ Ｃ 故选 .
４.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)若 ｚ 则 ｚ ＝－４ꎬ Ａ
２０２２ Ⅰ ２ ５ ｉ(１－ )＝ １ꎬ ＋ １０.(多选)( 湖南师大附中二模ꎬ )设复
ｚ ２０２２ ９
＝ ( )
数 ｚ １ ３ 则下列命题中正确的是
Ａ.－２ Ｂ.－１ Ｃ.１ Ｄ.２ ＝－ ＋ ｉꎬ
２ ２
答案 Ｄ 由题意知 ｚ １ 所以 ｚ
１－ ＝ ＝－ｉꎬ ＝１＋ ( )
ｉ
ｚ ２ ｚ ｚ
则 ｚ 所以 ｚ ｚ 故 Ａ.｜ ｜ ＝
ｉꎬ ＝１－ｉꎬ ＋ ＝(１＋ｉ)＋(１－ｉ)＝ ２ꎬ ｚ２ ｚ
选 . Ｂ. ＝
Ｄ
５.( 新高考 ꎬ ꎬ 分) ｚ 的虚部是 ３
２０２２ Ⅱ ２ ５ (２＋２ｉ)(１－２ｉ)＝ Ｃ. ｉ
２
( ) 若 ｚｎ Ｒ 则正整数 ｎ 的最小值是
Ｄ. ∈ ꎬ ３
专
Ａ.－２＋４ｉ Ｂ.－２－４ｉ Ｃ.６＋２ｉ Ｄ.６－２ｉ 答 案 ＡＢＤ 对 于 由 于 ｚ 题
Ａꎬ ｜ ｜ ＝ 十
答案 Ｄ
２ 二
(２＋２ｉ)(１－２ｉ)＝ ２－４ｉ＋２ｉ－４ｉ ＝６ æ ö２ æ ö２
故选 . ç １÷ çç ３÷÷ ｚ ｚ 数
－２ｉꎬ Ｄ è－ ø ＋ è ø ＝ １ꎬ ＝ 系
２ ２ 的
６.( ２０２２ 全国甲理ꎬ １ ꎬ ５ 分)若 ｚ ＝－１＋ ３ｉꎬ 则 æ öæ ö 扩
çç １ ３ ÷÷çç １ ３ ÷÷ 所以 ｚ ２ ｚ ｚ 充
ｚ è－ ＋ ｉøè－ － ｉø ＝１ꎬ ｜ ｜ ＝ ꎬＡ 与
２ ２ ２ ２ 复
ｚｚ ＝ ( ) 数
－１ 的
正确 对于 由 ｚ２ １ ３ ｚ 知 正确 引
ꎻ Ｂꎬ ＝－ － ｉ＝ ꎬ Ｂ ꎻ 入
Ａ.－１＋ ３ｉ Ｂ.－１－ ３ｉ ２ ２
５０５
单位 则 ｚ .
对于 由ｚ １ ３ 可得ｚ 的虚部是 ３ )ꎬ ｜ ｜ ＝
Ｃꎬ ＝－ ＋ ｉꎬ ꎬＣ
２ ２ ２ 答案 ２
错误 对于 由 ｚ １ ３ 可得 ｚ２ １ ２
ꎻ Ｄꎬ ＝－ ＋ ｉꎬ ＝－ －
２ ２ ２ 解析 ｚ １ １－ｉ １－ｉ １ １
∵ ＝ ＝ ＝ ＝ － ｉꎬ
１＋ｉ (１＋ｉ)(１－ｉ) ２ ２ ２
３ ｚ３ 所以若 ｚｎ Ｒ 则正整数 ｎ 的最小
ｉꎬ ＝１ꎬ ∈ ꎬ æ ö２ æ ö２
２ ｚ ç １÷ ç １÷ ２.
值是 正确.故选 . ∴ ｜ ｜ ＝ è ø ＋è－ ø ＝
３ꎬＤ ＡＢＤ ２ ２ ２
１１.( 浙江ꎬ ꎬ 分)复数 ｚ １ 为虚数
２０１９ １１ ４ ＝ (ｉ
１＋ｉ
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
５０６
综合篇
考法 复数代数形式的四则运算的解题方法 所以 ａ ｂ 故 ｚ .故选 .
６ｉꎬ ＝１ꎬ ＝１ꎬ ＝１＋ｉ Ｃ
４.( 全国乙文ꎬ ꎬ 分)设 ｚ 则 ｚ
１.( 届山西长治质量检测ꎬ )设复数 ｚ 满 ２０２１ ２ ５ ｉ ＝４＋３ｉꎬ ＝
２０２３ １
足 ｚ 则 ｚ ( )
(１＋ｉ) ＝ｉꎬ ｜ ｜ ＝ ( )
Ａ.－３－４ｉ Ｂ.－３＋４ｉ Ｃ.３－４ｉ Ｄ.３＋４ｉ
２ ２ １
Ａ.１ Ｂ. Ｃ. Ｄ. 答案 Ｃ 解法一 由题意得 ｚ ４＋３ｉ
２ ４ ４ : ＝ ＝
ｉ
答案 Ｂ ｚ ｚ ｉ
∵ (１ ＋ ｉ) ＝ ｉꎬ ∴ ＝ ＝
(４＋３ｉ)ｉ ４ｉ－３ 故选 .
１＋ｉ
＝ ＝３－４ｉꎬ Ｃ
２
ｉ －１
ｉ(１－ｉ) １ １
＝ ＋ ｉꎬ 解法二 由题意 设 ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 则 ｚ
(１＋ｉ)(１－ｉ) ２ ２ : ꎬ ＝ ＋ ｉ( ꎬ ∈ )ꎬ ｉ ＝
ａ ｂ ｂ ａ 又 ｚ 所以 ａ ｂ
æ ö２ æ ö２ ｉ( ＋ ｉ)＝ － ＋ ｉꎬ ｉ ＝４＋３ｉꎬ ＝３ꎬ ＝
则 ｚ ç １÷ ç １÷ ２.故选
｜ ｜ ＝ è ø ＋è ø ＝ Ｂ. 则 ｚ 故选 .
２ ２ ２ －４ꎬ ＝３－４ｉꎬ Ｃ
２.( 河北省级联测第八次联考ꎬ )已知复 ５.( 山东青岛二中期末ꎬ )已知 ｚ 则
２０２２ ２ ２０２２ ２ ＝２－ｉꎬ
ｚ ｚ ｚ
数 ｚ 则 ( －ｉ)
＝２＋ｉꎬ ｚ ＝ ( ) ＝ ( )
－ｉ １＋ｉ
１ １ ３ Ａ.３－ｉ Ｂ.１－３ｉ Ｃ.４＋２ｉ Ｄ.４－２ｉ
Ａ.１＋ ｉ Ｂ. － ｉ 答案 Ａ 因为 ｚ 所以 ｚ 所以
２ ４ ４ ＝ ２－ｉꎬ ＝ ２＋ｉꎬ
ｚ ｚ
１ ３ １ ( －ｉ) (２＋ｉ)(２＋ｉ－ｉ) ２(２＋ｉ)(１－ｉ)
Ｃ. ＋ ｉ Ｄ.１－ ｉ ＝ ＝ ＝ (２＋
４ ４ ２ １＋ｉ １＋ｉ (１＋ｉ)(１－ｉ)
ｚ 故选
答 案 Ｃ 由 题 意 得 ２＋ｉ
ｉ)(１－ｉ)＝ ２－２ｉ＋ｉ－ｉ
２
＝３－ｉꎬ Ａ.
ｚ ＝ ＝
－ｉ ２－２ｉ ６.( 届河北沧州摸底ꎬ )设复数 ｚ
２０２３ ２ ＝１＋ｉ(ｉ
(２＋ｉ)(２＋２ｉ) １ ３ 故选 . 为虚数单位 则 ｚ２ ｚ ｚ
＝ ＋ ｉꎬ Ｃ )ꎬ ｜ － ｜ ＝ ( )
(２－２ｉ)(２＋２ｉ) ４ ４
３.( 全国乙理ꎬ ꎬ 分)设 ｚ ｚ ｚ ｚ
Ａ.０ Ｂ. ２ Ｃ.２ Ｄ.２ ２
２０２１ １ ５ ２( ＋ )＋３( － )
答案 Ｄ 复数 ｚ 为虚数单位
则 ｚ ∵ ＝１＋ｉ(ｉ )ꎬ∴
＝ ４＋６ｉꎬ ＝ ( )
ｚ ｚ２ ｚ ｚ ２
＝１－ｉꎬ∴ － ＝(１＋ｉ) －(１＋ｉ)(１－ｉ)＝ ２ｉ－
Ａ.１－２ｉ Ｂ.１＋２ｉ Ｃ.１＋ｉ Ｄ.１－ｉ
答案 Ｃ 设 ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 则 ｚ ａ ｂ ｚ２ ｚ ｚ ２ ２ . ＝ ＋ ｉ( ꎬ ∈ )ꎬ ＝ － ｉꎬ ２ꎬ∴ ｜ － ｜ ＝ ｜－２＋２ｉ｜ ＝ (－２) ＋２ ＝２ ２
代入 ｚ ｚ ｚ ｚ 得 ａ ｂ 故选
２( ＋ )＋３( － )＝ ４＋６ｉꎬ ４ ＋６ ｉ＝４＋ Ｄ.
７.(多选)( 届河北衡水重点高中联考ꎬ ) ｚ ｚ ２ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ ｚ .若 ｚ
２０２３ ９ －｜ １ － ２｜ )ꎬ １ ２ ＝ １ ２ ＋ｉ( １ｉ ２) １ ＝
若复数 ｚ 满足 ｚ ｚ 则 ｚ 则 ｚ ｚ .
( ＋２ｉ)＝ ８＋６ｉꎬ ( ) ３＋４ｉꎬ ２ ＝１＋４ ３ｉꎬ ｜ １ ２｜ ＝
ｚ 的实部为 答案
Ａ. ３ ３５
ｚ 的虚部为 解析 因为 ｚ ｚ 所以 ｚ ｚ
Ｂ. １
１ ＝３＋４ｉꎬ ２ ＝１＋４ ３ｉꎬ １ ＋ ２
ｚｚ
ｚ ｚ 则 ｚ
Ｃ. ＝ １０
＝４＋(４＋４ ３)ｉꎬ １ － ２ ＝２＋(４－４ ３)ｉꎬ １
ｚ 在复平面上对应的点位于第一象限
Ｄ.
ｚ １ ｚ ｚ ２ ｚ ｚ ２ １ ２
答案 ＡＢＤ 设 ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 因为 ｚ ｚ ２ ＝ ( ｜ １ ＋ ２ ｜ － ｜ １ － ２ ｜ ) ＝ ×[４ ＋
＝ ＋ ｉ( ꎬ ∈ )ꎬ ( ４ ４
＋２ｉ)＝ ８＋６ｉꎬ 所以ｚｚ ＋２ｉ ｚ ＝８＋６ｉꎬ 所以 ( ａ２ ＋ ｂ２ － (４＋４ ３) ２ －２ ２ －(４－４ ３) ２ ]＝３＋１６ ３ꎬ
ｂ ａ 所以 ａ２ ｂ２ ｂ ａ 所
２ )＋２ ｉ＝８＋６ｉꎬ ＋ －２ ＝８ꎬ２ ＝６ꎬ ｚ ｚ ｚ
ｉ ２ ＝(１＋４ ３ｉ)ｉ＝－４ ３＋ｉꎬ １ ＋ｉ ２ ＝(３－４ ３)＋
以 ａ ｂ 所以 ｚ 所以 ｚ 的实部为
＝３ꎬ ＝１ꎬ ＝３＋ｉꎬ
ｚ ｚ 所以 ｚ ｚ １ ｚ
虚部为 故 正确 ｚｚ ｚ ２ 故 ５ｉꎬ １ －ｉ ２ ＝(３＋４ ３)＋３ｉꎬ １ｉ ２ ＝ (｜ １
３ꎬ １ꎬ ＡꎬＢ ꎻ ＝ ｜ ｜ ＝１０ꎬ Ｃ ４
不正确 ｚ 在复平面上对应的点 位于第
ꎻ (３ꎬ１) ｚ ２ ｚ ｚ ２ １ ２ ２
一象限 故 正确. ＋ｉ ２ ｜ － ｜ １ －ｉ ２ ｜ )＝ ×[(３－４ ３) ＋５ －
ꎬ Ｄ ４
故选 ２ ２ 所以 ｚ ｚ ｚ
ＡＢＤ. (３＋４ ３) －３ ] ＝４－１２ ３ꎬ １ ２ ＝ １
８.( 湖北黄冈中学等二十一所重点中学联
ｚ ｚ ｚ 所以
２０２２ ２ ＋ｉ( １ｉ ２)＝ (３＋１６ ３)＋(４－１２ ３)ｉꎬ
考三ꎬ )定义 ｚ ｚ Ｃ ｚ ｚ １ ｚ ｚ ２ ｚ ｚ ２ ２ .
１３ １ꎬ ２∈ ꎬ １ ２ ＝ (｜ １ ＋ ２｜ ｜ １ ２｜ ＝ (３＋１６ ３) ＋(４－１２ ３) ＝３５
４
专
题
十
二
数
系
的
扩
充
与
复
数
的
引
入
５０７
专题综合检测
一、单项选择题
æ ö２ æ ö２
ç １÷ ç ７÷ 故选 .
è ø ＋è－ ø ＝ ２ꎬ Ｃ
１.( 联考ꎬ )已知 ｚ ２ｉ 则复数 ５ ５
２０２２ Ｔ８ ２ ＝ －１＋２ｉꎬ
１－ｉ ３.( 湖北部分重点中学联考ꎬ )若 ｚ
２０２２ １ ＝－１＋
ｚ 在复平面内对应的点位于
( ) .设 ω ｚｚ 则 ω
ｉ ＝ ꎬ ＝ ( )
第一象限 第二象限
Ａ. Ｂ.
第三象限 第四象限 Ａ.２ｉ Ｂ.２ Ｃ.２＋２ｉ Ｄ.２－２ｉ
Ｃ. Ｄ. 答案 Ｂ 由ｚ 得ｚ 所以ω ｚｚ
＝－１＋ｉꎬ ＝－１－ｉꎬ ＝
答案 Ｂ 因为 ｚ ２ｉ(１＋ｉ)
２ ２
.故选
＝ －１＋２ｉ＝ｉ－１－ ＝(－１＋ｉ)(－１－ｉ)＝ (－１) －ｉ ＝２ Ｂ.
(１－ｉ)(１＋ｉ)
４.( 山东威海期中ꎬ )设复数 ｚ 满足 ｚ
所以复数 ｚ 在复平面内对应的 ２０２２ ３ ｜ －(１
１＋２ｉ＝－２＋３ｉꎬ
点 位于第二象限 故选 . 则 ｚ 的最大值为
(－２ꎬ３) ꎬ Ｂ ＋ｉ)｜ ＝１ꎬ ｜ ｜ ( )
２.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)设 ｚ ３－ｉ 则 ｚ Ａ. ２－１ Ｂ. ２＋１ Ｃ.２ Ｄ.３
２０１９ Ⅰ １ ５ ＝ ꎬ ｜ ｜ ＝
１＋２ｉ 答案 Ｂ 设 ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ ｚ ＝ ＋ ｉꎬ ꎬ ∈ ꎬ｜ －(１＋ｉ) ｜ ＝
( ) ａ ｂ ａ ２ ｂ ２ ｚ
｜ －１＋( －１)ｉ｜ ＝１ꎬ( －１) ＋( －１) ＝１ꎬ｜ ｜
Ａ.２ Ｂ. ３ Ｃ. ２ Ｄ.１ ａ２ ｂ２ 表示圆 ａ ２ ｂ ２ 上的点
＝ ＋ ( －１) ＋( －１) ＝１
答案 Ｃ ｚ ３－ｉ (３－ｉ)(１－２ｉ) 到原点距离
∵ ＝ ＝ ＝ ꎬ
１＋２ｉ (１＋２ｉ)(１－２ｉ)
则 ｚ 的最大值为圆心与原点的距离加半
２ ｜ ｜
３－７ｉ＋２ｉ １－７ｉ １ ７ ｚ
２ ＝ ＝ － ｉꎬ ∴ ｜ ｜ ＝ 径 为 .
１－(２ｉ) ５ ５ ５ ꎬ ２＋１
５.( 辽东南协作体期中ꎬ )设复数 ｚ 满足
２０２２ １ ｐ 若复数 ｚ 满足１ Ｒ 则 ｚ Ｒ
１: ｚ ∈ ꎬ ∈ ꎻ
ｚ 则 ｚ
(１＋ｉ) ＝３＋ｉꎬ ｜ ｜ ＝ ( )
ｐ 若复数 ｚ 满足 ｚ２ Ｒ 则 ｚ Ｒ
２: ∈ ꎬ ∈ ꎻ
Ａ. ２ Ｂ.２ Ｃ.２ ２ Ｄ. ５ ｐ 若复数 ｚ ｚ 满足 ｚ ｚ Ｒ 则 ｚ ｚ
３: １ꎬ ２ １ ２∈ ꎬ １ ＝ ２ꎻ
答案 Ｄ 因为 ｚ 所以 ｚ ３＋ｉ
ｐ 若复数 ｚ Ｒ 则ｚ Ｒ.
(１＋ｉ) ＝３＋ｉꎬ ＝ ＝
１＋ｉ
４: ∈ ꎬ ∈
其中的真命题为
( )
(３＋ｉ)(１－ｉ) 因此 ｚ 选
＝ ２－ｉꎬ ｜ ｜ ＝ ５ꎬ Ｄ. ｐ ｐ ｐ ｐ
(１＋ｉ)(１－ｉ) Ａ. １ꎬ ３ Ｂ. １ꎬ ４
６.( 辽宁部分高中期中ꎬ )若 ｚ 其 ｐ ｐ ｐ ｐ
２０２２ １ ＝５＋１２ｉꎬ Ｃ. ２ꎬ ３ Ｄ. ２ꎬ ４
答案 Ｂ 对于命题 ｐ 设 ｚ ａ ｂ ａ ｂ
ｚ
中 为虚数单位 则 １ꎬ ＝ ＋ ｉ( ꎬ ∈
ｉ ꎬ ｚ ＝ ( ) ａ ｂ
｜ ｜ Ｒ 由１ １ － ｉ Ｒ 得 ｂ 则 ｚ Ｒ
)ꎬ ｚ ＝ａ ｂ ＝ａ２ ｂ２ ∈ ꎬ ＝０ꎬ ∈
Ａ.－１ Ｂ.１ ＋ ｉ ＋
成立 故命题 ｐ 正确 对于命题 ｐ 设 ｚ ａ
５ １２ ５ １２ ꎬ １ ꎻ ２ꎬ ＝ ＋
Ｃ. ＋ ｉ Ｄ. － ｉ ｂ ａ ｂ Ｒ 由 ｚ２ ａ２ ｂ２ ａｂ Ｒ 得 ａ
１３ １３ １３ １３ ｉ( ꎬ ∈ )ꎬ ＝( － )＋２ ｉ∈ ꎬ
答案 Ｄ ｚ ｚ ｚ ｂ 则 ａ 或 ｂ 复数 ｚ 可能为实数
∵ ＝ ５＋１２ｉꎬ∴ ＝ ５－１２ｉꎬ｜ ｜ ＝ ＝０ꎬ ＝０ ＝０ꎬ
或纯虚数 故命题 ｐ 错误 对于命题 ｐ 设 ｚ
２ ２
５ ＋１２ ＝１３ꎬ ꎬ ２ ꎻ ３ꎬ １
ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ ｚ ｃ ｄ ｃ ｄ Ｒ 由 ｚ
５ １２ .故选 ＝ ＋ ｉ( ꎬ ∈ )ꎬ ２ ＝ ＋ ｉ( ꎬ ∈ )ꎬ １
∴ ｚ ＝ － ｉ Ｄ. ｚ ａｃ ｂｄ ａｄ ｂｃ Ｒ 得 ａｄ ｂｃ 不
｜ ｜ １３ １３ ２ ＝( － )＋( ＋ )ｉ∈ ꎬ ＋ ＝０ꎬ
７.( 广东江门陈经纶中学月考ꎬ )欧拉公 一定有 ｚ ｚ 故命题 ｐ 错误 对于命题 ｐ
２０２２ ２ １ ＝ ２ꎬ ３ ꎻ ４ꎬ
式 ｉ θ θ θ 是自然对数的底数 设 ｚ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 则由 ｚ Ｒ 得 ｂ 所
ｅ ＝ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ (ｅ ꎬｉ ＝ ＋ ｉ( ꎬ ∈ )ꎬ ∈ ꎬ ＝０ꎬ
是虚数单位 是由瑞士著名数学家欧拉发现 以ｚ ａ Ｒ 成立 故命题 ｐ 正确.故选 .
) ＝ ∈ ꎬ ４ Ｂ
的.它将三角函数的定义域扩大到复数 建立 二、多项选择题
ꎬ
了三角函数和指数函数的关系 它在复变函 ９.( 山东潍坊二模ꎬ )若复数 ｚ ｚ
ꎬ ２０２２ ９ １ ＝２＋３ｉꎬ ２
数论里占有非常重要的地位 当 θ 时 就 其中 是虚数单位 则下列说法正确
ꎬ ＝π ꎬ ＝－１＋ｉꎬ ｉ ꎬ
有 ｉπ 根据上述背景知识 试判断 的是
ｅ ＋１ ＝ ０ꎬ ꎬ ( )
－ｉ
２０
３
２０π表示的复数在复平面内对应的点位于
ｚ
ｅ １ Ｒ
Ａ.ｚ ∈
( ) ２
第一象限 第二象限 ｚ ｚ ｚ ｚ
Ａ. Ｂ. Ｂ. １ ２ ＝ １ ２
第三象限 第四象限 若 ｚ ｍ ｍ Ｒ 是纯虚数 则 ｍ
Ｃ. Ｄ. Ｃ. １ ＋ ( ∈ ) ꎬ ＝－２
答案 Ｂ 由 题 意 可 得 －ｉ ２０ ３ ２０π 若 ｚ ｚ 在复平面内对应的向量分别为
ꎬ ｅ ＝ ｃｏｓ Ｄ. １ꎬ ２
æ ö æ ö Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ 为坐标原点 则 Ａ→Ｂ
ç ２ ０２０π÷ ç ２ ０２０π÷ π π ꎬ ( )ꎬ ｜ ｜ ＝５
è－ ø＋ｉｓｉｎè－ ø ＝－ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ
5 ３ ３ ３ ３ ｚ
年 答 案 ＢＣＤ 对 于 １ ２＋３ｉ
高 Ａꎬ ｚ ＝ ＝
考 ＝－
１
＋
３
ｉꎬ ２
－１＋ｉ
3 ２ ２
年 模 所以 －ｉ ２０ ３ ２０π表示的复数在复平面内对应的点 (２＋３ｉ)(－１－ｉ) ＝ １ － ５ ｉꎬ 故 Ａ 错 ꎻ 对于 Ｂꎬ ｚ １
ｅ (－１＋ｉ)(－１－ｉ) ２ ２
拟
æ ö ｚ ｚ ｚ
A 为çç １ ３÷÷ 位于第二象限.故选 ２ ＝(２＋３ｉ)(－１＋ｉ)＝ －５－ｉꎬ∴ １ ２ ＝－５＋
版 è－ ꎬ øꎬ Ｂ. 又ｚ ｚ ｚ ｚ
２ ２ ｉꎬ １ ２ ＝(２－３ｉ)(－１－ｉ)＝ －５＋ｉꎬ∴ １ ２
高 ８.( 课标 理ꎬ ꎬ 分) 设有下面四个 ｚ ｚ 故 正确 对于 ｚ ｍ ｍ
考 数 ２０１７ Ⅰ ３ ５ ＝ １ ２ꎬ Ｂ ꎻ Ｃꎬ∵ １ ＋ ＝(２＋ )
学 命题 为纯虚数
: ＋３ｉ ꎬ
５０８
ｍ ｍ 故 正确 对于 在复平
∴ ２＋ ＝０ꎬ ＝－２ꎬ Ｃ ꎻ Ｄꎬ ２ ２ 得满足 ｚ ｚ 的复
(－１) ＋(－１) ＝ ２ꎬ ｜ ｜ ＝ ｜ １ ｜
面内 ｚ 对应的点为 Ａ ｚ 对应
ꎬ １ (２ꎬ３)ꎬ ２ ＝－１－ｉ 数 ｚ 对应的点在以原点为圆心 为半径的
ꎬ ２
的点为 Ｂ 所以Ａ→Ｂ Ａ→Ｂ 圆上 所以 中说法不正确.故选 .
(－１ꎬ－１)ꎬ ＝(－３ꎬ－４)ꎬ｜
ꎬ Ｄ ＡＢ
故 正 确 故 三、填空题
２ ２
｜ ＝ (－３) ＋(－４) ＝ ５ꎬ Ｄ ꎬ
选 . １１.( 课标 理ꎬ ꎬ 分)设复数 ｚ ｚ 满
ＢＣＤ ２０２０ Ⅱ １５ ５ １ꎬ ２
足 ｚ ｚ ｚ ｚ 则 ｚ ｚ
１０.( ２０２１ 山东德州二模ꎬ ９ )已知复数 ｚ １ ＝ ２ ｜ １｜ ＝ ｜ ２ ｜ ＝２ꎬ １ ＋ ２ ＝ ３＋ｉꎬ ｜ １ － ２ ｜ ＝
－１＋ｉ .
为虚数单位 下列说法正确的是
(ｉ )ꎬ 答案
２ ３
( ) 解析 设复数 ｚ ａ ｂ ｚ ｃ ｄ ａ ｂ ｃ ｄ
ｚ 对应的点在第三象限 １ ＝ ＋ ｉꎬ ２ ＝ ＋ ｉ( ꎬ ꎬ ꎬ ∈
Ａ. １ Ｒ
ｚ 的虚部为 )ꎬ
Ｂ. １ －１ 则 ａ２ ｂ２ ｃ２ ｄ２
ｚ４
＋ ＝４ꎬ ＋ ＝４ꎬ
Ｃ. １ ＝４ 又 ｚ ｚ ａ ｃ ｂ ｄ
满足 ｚ ｚ 的复数 ｚ 对应的点在以原 １ ＋ ２ ＝( ＋ )＋( ＋ )ｉ＝ ３＋ｉꎬ
Ｄ. ｜ ｜ ＝ ｜ １ ｜
ａ ｃ ｂ ｄ
点为圆心 为半径的圆上 ∴ ＋ ＝ ３ꎬ ＋ ＝１ꎬ
ꎬ２
则 ａ ｃ ２ ｂ ｄ ２ ａ２ ｃ２ ｂ２ ｄ２ ａｃ ｂｄ
( ＋ ) ＋( ＋ ) ＝ ＋ ＋ ＋ ＋２ ＋２
答案 ＡＢ ｚ ２ ２(－１－ｉ)
１
＝ ＝ ＝ －１－
－１＋ｉ (－１＋ｉ)(－１－ｉ) ＝４ꎬ
所以复数 ｚ 在复平面内对应的点是 ａｃ ｂｄ 即 ａｃ ｂｄ
ｉꎬ １ (－１ꎬ－ ∴ ８＋２ ＋２ ＝４ꎬ ２ ＋２ ＝－４ꎬ
位于第三象限 所以 中说法正确 由 ｚ ｚ ｚ ａ ｃ ２ ｂ ｄ ２
１)ꎬ ꎬ Ａ ꎻ １ ∴ ｜ １ － ２｜ ＝ ( － ) ＋( － )
可得复数 ｚ 的虚部为 所以 中
＝－１－ｉ １ －１ꎬ Ｂ ａ２ ｂ２ ｃ２ ｄ２ ａｃ ｂｄ
＝ ＋ ＋ ＋ －(２ ＋２ ) ＝ ８－(－４) ＝
说法正确 ｚ４ ４ ２ ２ ２
ꎻ １ ＝(－１－ｉ) ＝[(－１－ｉ) ] ＝(２ｉ) .
２ ３
所以 中说法不正确 由 ｚ
＝ －４ꎬ Ｃ ꎻ ｜ １ ｜ ＝
专
题
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二
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