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专题二 不等式
2.1 不等式及其解法
基础篇
考点 一 不等式的概念与性质 考点 二 不等式的解法
1. 不等式的性质 1. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二
次方程的关系
性质 内容 注意
对称性 ａ ｂ ｂ ａꎻａ ｂ ｂ ａ 可逆
Δ
＝
ｂ２
－４
ａｃ Δ
>０
Δ
＝０
Δ
<０
> ⇔ < < ⇔ >
ａ ｂꎬｂ ｃ ａ ｃꎻ ｙ ａｘ２ ｂｘ
＝ ＋ ＋
传递性 > > ⇒ > 同向
ａ ｂꎬｂ ｃ ａ ｃ ｃ(ａ )的
< < ⇒ < >０
图象
可加性 ａ ｂ ａ ｃ ｂ ｃ 可逆
> ⇔ ＋ > ＋
有 两 个 相
ａ ｂꎬｃ ａｃ ｂｃꎻ ｃ的 ａｘ２ ｂｘ ｃ 有 两 个 相
可乘性 > >０⇒ > ＋ ＋ ＝ 等实根 ｘ 没有
ａ ｂꎬｃ ａｃ ｂｃ 符号 ( ａ ) 异实根 ｘ ꎬ １＝
> <０⇒ < ０ > ０ １ 实根
ｂ
的根 ｘ (ｘ ｘ ) ｘ
移项法则 ａ ＋ ｂ > ｃ ⇔ ａ > ｃ － ｂ 可逆 ２ １< ２ ２＝－ ２ ａ
同向可加性 ａ > ｂꎬｃ > ｄ ⇒ ａ ＋ ｃ > ｂ ＋ ｄ 同向 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ >０ {ｘ ｘ ｘ 或 { ｘ ｘ ≠
同向同正 同向 (ａ ) 的 ｜ < １ Ｒ
> ０ ｘ ｘ } ｂ }
可乘性 ａ > ｂ >０ ꎬｃ > ｄ >０⇒ ａｃ > ｂｄ 同正 解集 > ２ － ａ
２
可乘方性 ａ ｂ ꎬｎ Ｎ∗ ａｎ ｂｎ 同正 ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ <０ {ｘ ｘ ｘ
> >０ ∈ ⇒ >
(ａ ) 的 ｜ １< <
ａ ｂ ｎ ａ ｎ ｂ(ｎ Ｎꎬ > ０ ｘ } ⌀ ⌀
可开方性 > >０⇒ > ∈ 同正 解集 ２
ｎ )
≥２ 在不等式ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ 中 如果二次项系
2. ＋ ＋ >０( ≠０) ꎬ
不等式的倒数和分数性质
数ａ 则可先根据不等式的性质 将其转化为
<０ꎬ ꎬ
倒数性质 ａ ｂ ａｂ １ １ 正数 再对照上表求解.
１) : > ꎬ >０⇒ａ<ｂꎻ ꎬ
2.
分式不等式的解法
ａ ｂ １ １. ｆ ｘ
<０< ⇒ａ<ｂ ( ) ｆ ｘ ｇ ｘ
１)ｇ ｘ >０(<０)⇔ ( ) ( )>０(<０)ꎻ
分数性质 若 ａ ｂ ｍ 则 ( )
２) : > >０ꎬ >０ꎬ ｆ ｘ {ｆ ｘ ｇ ｘ
ｂ ｂ ｍ ｂ ｂ ｍ ( ) ( ) ( )≥０(≤０)ꎬ
＋ － ｂ ｍ ２)ｇ ｘ ≥０(≤０)⇔ ｇ ｘ .
5 ａ<ａ ｍꎻａ>ａ ｍ( － >０)ꎻ ( ) ( )≠０
年 ＋ － 3.
绝对值不等式的解法
高
ａ ａ ｍ ａ ａ ｍ
考 ＋ － ｂ ｍ .
3 ｂ >ｂ ｍꎻｂ <ｂ ｍ( － >０) １)｜ ｆ ( ｘ )｜>｜ ｇ ( ｘ )｜⇔[ ｆ ( ｘ )] ２ >[ ｇ ( ｘ )] ２ ꎻ
年 ＋ －
模 ｆ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ 或 ｆ ｘ ｇ ｘ
２)｜ ( )｜> ( )⇔ ( )> ( ) ( )<－ ( )ꎻ
拟
ｆ ｘ ｇ ｘ ｇ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ
A ３)｜ ( )｜< ( )⇔－ ( )< ( )< ( )ꎻ
版 含两个或两个以上绝对值符号的不等式可
４)
高
用零点分区间的方法脱去绝对值符号求解
考
ꎬ
数
学 也可以用图象法求解.
２２４
综合篇
考法 一元二次不等式恒成立问题 答案
Ａ
1.
例2 ( 江苏连云港测试ꎬ )设函数ｆ(ｘ)
不等式解集法：不等式 ｆ ｘ 在 ｘ Ａ 时恒 ２０２１ １４
( )≥０ ∈
ｍｘ２ ｍｘ .若对于 ｘ [ ꎬ ]ꎬｆ(ｘ) ｍ 恒
成立 集合 Ａ 是不等式 ｆ ｘ 的解集 Ｂ 的 ＝ － －１ ∈ １ ３ <－ ＋５
⇔ ( )≥０
成立ꎬ求 ｍ 的取值范围.
子集.通过求出不等式的解集 利用集合间的
ꎬ
解析 要使 ｆ(ｘ) ｍ 在 ｘ [ ꎬ ]上恒成
关系得出参数的取值范围. <－ ＋５ ∈ １ ３
2. 立ꎬ则ｍ(ｘ２ ｘ ) 在ｘ [ ꎬ ]上恒成立.
分离参数法：不等式 ｆ ｘ λ ｘ Ｄ λ 为 － ＋１ －６<０ ∈ １ ３
( ꎬ )≥０( ∈ ꎬ
æ ö２
实参数 恒成立 λ ｇ ｘ 或 λ ｇ ｘ ｘ 因为 ｘ２ ｘ çｘ １÷ ３ ꎬ又因为 ｍ(ｘ２ ｘ
) ⇔ ≥ ( ) ≤ ( )( ∈ － ＋１＝è － ø ＋ >０ － ＋
Ｄ 恒成立 λ ｇ ｘ 或 λ ｇ ｘ 进而 ２ ４
) ⇔ ≥ ( )ｍａｘ ≤ ( )ｍｉｎꎬ
求得 ｇ ｘ ｘ Ｄ 的最值即可.该方法适用于 ) ꎬ所以 ｍ ６ .
( )( ∈ ) １ －６<０ <ｘ２ ｘ
－ ＋１
参数与变量易分离 且函数最值易求得的
ꎬ
又因为函数 ｙ ６ ６ 在[ ꎬ ]上
题目. ＝ｘ２ ｘ ＝æ ö２ １ ３
－ ＋１ çｘ １÷ ３
3. 变换主元法：更换变元与参数的位置 构造 è － ø ＋
ꎬ ２ ４
以参数为变量的函数 根据原变量的取值范
ꎬ 单调递减ꎬ所以 ｙ ６ꎬ所以 ｍ ６.
围列式求解.一般地 知道谁的范围 就选谁 ｍｉｎ ＝ <
７ ７
ꎬ ꎬ
{ }
当主元 求谁的范围 谁就是参数.
所以ꎬｍ 的取值范围是 ｍ ｍ ６ .
ꎬ ꎬ
<
4.
数形结合法：结合函数图象将问题转化为函 ７
名师点睛.一元二次不等式在Ｒ上恒成立的条件
数图象的对称轴 区间端点处的函数值或函
１
、
数图象的位置 相对于 ｘ 轴 关系求解.
(
１
)不等式 ａｘ２
＋
ｂｘ
＋
ｃ
≥０
对任意实数 ｘ 恒成立的条件
( ) {ａ ꎬ
例1 ( 福建厦门一中期中ꎬ )不等式 ａｘ２ 是 当ａ 时ꎬｂ ꎬｃ ꎻ 当ａ 时ꎬ >０
２０２２ ４ ① ＝０ ＝０ ≥０ ② ≠０ Δ .
ｘ ａ ｘ２ 对一切 ａ ( ꎬ )恒成立ꎬ则 ≤０
＋５ －７ >３－２ ∈ －１ ０ ( )不等式 ａｘ２ ｂｘ ｃ 对任意实数 ｘ 恒成立的条件
２ ＋ ＋ ≤０
实数 ｘ 的取值范围是 ( )
{ａ ꎬ
是 当ａ 时ꎬｂ ꎬｃ ꎻ 当ａ 时ꎬ <０
( ꎬ ] é ê １ꎬ ö ÷ ① ＝０ ＝０ ≤０ ② ≠０ Δ .
Ａ. －∞ －４ ∪ë ê ＋∞ø ≤０
２ .一元二次不等式在给定区间上恒成立的求解方法
２
( ꎬ ] [ ꎬ )
Ｂ. －∞ －４ ∪ －１ ＋∞ 设ｆ(ｘ) ａｘ２ ｂｘ ｃ(ａ ).
＝ ＋ ＋ ≠０
( ꎬ )
( )当ａ 时ꎬ
Ｃ. －４ －１ １ <０
æ ö ì ｂ
ç ꎬ１ ÷ ï ï αꎬ
Ｄ.è－４ ø ｆ(ｘ) 在 ｘ [αꎬβ] 上恒成立 í－ ａ< 或
２ < ０ ∈ ⇔ ïï ２
解析 令 ｆ(ａ) ａ(ｘ２ ) ｘ ｘ２ꎬ则ｆ(ａ) îｆ(α)
<０
＝ －７ ＋５ －３＋２
ì ｂ
对一切 ａ ( ꎬ ) 均大于 恒成立ꎬ则有 ï ï βꎬ
∈ －１ ０ ０ í－ ａ> 或Δ .
{ｆ( ) ｘ ｘ２ ꎬ ïï ２ <０
０ ＝ ５ －３＋２ ≥０ 化 简 得 îｆ(β)
<０
ｆ( ) (ｘ２ ) ｘ ｘ２ ꎬ {ｆ(β) ꎬ
－１ ＝ － －７ ＋５ －３＋２ ≥０ ｆ(ｘ) 在ｘ [αꎬβ]上恒成立 >０
{ ｘ２ ｘ ꎬ ì ï ïｘ １或 ｘ ꎬ >０ ∈ ⇔ ｆ(α) >０ .
２ ＋５ －３≥０ 解得 í ≥ ≤－３ 故 ｘ ( )当ａ 时ꎬ
ｘ２ ＋５ ｘ ＋４≥０ ꎬ î ï ï ｘ ２ 或 ｘ ꎬ ≤ ２ >０ {ｆ(β) ꎬ 专 题 二
≥－１ ≤－４ ｆ(ｘ) 在ｘ [αꎬβ]上恒成立 <０
<０ ∈ ⇔ ｆ(α) . 不
或 ｘ １.故选 <０ 等
－４ ≥ Ａ. 式
２
２２５
ì
ｂ
ï
ï αꎬ
ｆ(ｘ) 在 ｘ [αꎬβ] 上恒成立 í－ ａ< 或
> ０ ∈ ⇔ ïï ２
îｆ(α)
>０
ì ｂ
ï
ï βꎬ
í－ ａ> 或Δ .
ïï ２ <０
îｆ(β)
>０
5
年
高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
２２６
易错提醒解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元ꎬ谁
是参数.
