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第
目录
考点要求 考题统计 考情分析
（1）理解直线的倾斜角和斜 高考对直线方程的考查比较稳定,考查
率的概念，掌握过两点的直 内容、频率、题型难度均变化不大,备
线斜率的计算公式. 考时应熟练掌握直线的倾斜角与斜
2008年江苏卷第9题，5分
（2）根据确定直线位置的几 率、直线方程的求法等,特别要重视直
2006年上海卷第11题，4分
何要素，掌握直线方程的几 线方程的求法.
种形式(点斜式、两点式及一
般式)．知识点一：直线的倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角
若直线 与 轴相交，则以 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与 重合所成的角称为直线 的
倾斜角，通常用 表示
（1）若直线与 轴平行（或重合），则倾斜角为
（2）倾斜角的取值范围
2、直线的斜率
设直线的倾斜角为 ，则 的正切值称为直线的斜率，记为
（1）当 时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的
（2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率
（3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程
相联系）
（4） 越大，直线越陡峭
（5）倾斜角 与斜率 的关系
当 时，直线平行于轴或与轴重合；
当 时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随 的增大而增大；
当 时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角 随的增大而减小；
3、过两点的直线斜率公式
已知直线上任意两点， ， 则
（1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．
（2）若 ，则直线 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°
4、三点共线．
两直线 的斜率相等→ 三点共线；反过来， 三点共线，则直线 的斜
率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．
知识点二：直线的方程
1、直线的截距
若直线 与坐标轴分别交于 ，则称 分别为直线 的横截距，纵截距（1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为
与“距离”相关）
（2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线
2、直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含垂直于 轴的直线
斜截式 不含垂直于 轴的直线
两点式 不含直线 和直线
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
3、求曲线（或直线）方程的方法：
在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到
两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再
利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
4、线段中点坐标公式
若点 的坐标分别为 且线段 的中点 的坐标为 ，则 ，此
公式为线段 的中点坐标公式．
5、两直线的夹角公式
若直线 与直线 的夹角为 ，则 .
题型一：倾斜角与斜率的计算
例1．（2023·四川眉山·仁寿一中校考模拟预测）已知 是直线 的倾斜角，则
的值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】法一：由题意可知 ，（ 为锐角），∴ ，
法二：由题意可知 ，（ 为锐角）∴ ，
．
故选：B．
例2．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线 的一个方向向量为 ，则直线
的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得：直线 的斜率 ，即直线 的倾斜角为 .
故选：A
例3．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）经过 两点的直线的倾
斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】经过 两点的直线的斜率为 ，
因为直线的倾斜角大于等于 小于 ，
故经过 两点的直线的倾斜角是 ，
故选：D
变式1．（2023·全国·高二专题练习）如图，若直线 的斜率分别为 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解析 设直线 的倾斜角分别为 ，
则由图知 ，
所以 ，
即 ．
故选：A
变式2．（2023·全国·高二专题练习）直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线 的倾斜角为 ，因为直线的斜率为 ，
，所以 .
故选：C.
变式3．（2023·全国·高二课堂例题）过两点 ， 的直线的倾斜角是135°，则y等于（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】D
【解析】由斜率公式得 ，且直线的倾斜角是135°，
所以 ，即 ，解得 ．
故选：D.
变式4．（2023·高二课时练习）直线l经过 ， 两点，那么直线l的斜率的取值范围
为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B【解析】 ，故那么直线l的斜率的取值范围为 .
故选：B
变式5．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图像上有一动点，则在此动点处切线的倾斜角
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设切线的倾斜角为 ，则 ，∵ ，
∴切线的斜率 ，则 .
故选：B
【解题方法总结】
正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式 ，根据该公式求出经过两
点的直线斜率，当 时，直线的斜率不存在，倾斜角为 ，求斜率可用 ，其
中 为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．牢记“斜率变化分两段， 是其分界，遇
到斜率要谨记，存在与否要讨论”．这可通过画正切函数在 上的图像来认识．
题型二：三点共线问题
例4．（2023·全国·高二专题练习）已知三点 在同一条直线上，则实数 的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．12
【答案】D
【解析】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得 ，解得 ．
故答案为：D.
例5．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）若三点 ， ， 共线，则实数 的值是
（ ）
A．6 B． C． D．2
【答案】C【解析】因为三点 ， ， 共线，
所以 ，
可得： ，
即 ，解得 ；
故选：C
例6．（2023·重庆渝中·高二重庆复旦中学校考阶段练习）若三点 （2，2）， （ ，0）， （0，
），（ ）共线，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为三点 （2，2）， （ ，0）， （0， ），（ ）共线，所以 ，即
，所以 = ，故选C．
变式6．（2023·全国·高三专题练习）若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝（ ）
A．1± 或0 B． 或0
C． D． 或0
【答案】A
【解析】由题意知kAB＝kAC，即 ，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1± .
故选：A．
【解题方法总结】
斜率是反映直线相对于 轴正方向的倾斜程度的，直线上任意两点所确定的方向不变，即在同一直线
上任意不同的两点所确定的斜率相等．这正是利用斜率可证三点共线的原因．
题型三：过定点的直线与线段相交问题
例7．（2023·吉林·高三校考期末）已知点 .若直线 与线段 相交,则 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．【答案】D
【解析】由已知直线 恒过定点 ,
如图所示,若 与线段 相交,则 ,
因为 ,
所以 .
故选:D.
例8．（2023·高三课时练习）已知点 和 ，直线 与线段 相交，则实数
的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． D．
【答案】A
【解析】直线 方程可整理为： ，则直线 恒过定点 ，
， ，
直线 与线段 相交， 直线 的斜率 或 .
故选：A.例9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，若直线 与线段 有公共点，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由于直线 的斜率为 ， 且经过定点 ， 设此定点为 .
而直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ，
要使直线 与线段 有公共点，只需 .
故选 ：C.
变式7．（2023·全国·高三专题练习）已知点 ，若直线 与线段 没有交点，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 直线 过定点 ，且 ，
由图可知直线与线段 没有交点时，斜率 满足 ，
解得 ，
故选：B．
变式8．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 和以 为端点的线段相交，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或 或【答案】C
【解析】直线 ，即 ，其恒过定点 ，
根据题意，作图如下：
数形结合可知，当直线过点 时，其斜率取得最小值 ，
当直线过点 时，其斜率取得最大值 ，
故 ，解得 .
故选：C.
变式9．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，直线 过点 且与线段 相交，则
直线 的斜率 的取值范围是（ ）
A． 或 B．
C． 或 D．
【答案】A
【解析】如图， ，由题可知应满足 ；同理 ，由题可知应满足 .故选：A
变式10．（2023·全国·高三对口高考）已知点 ，若直线 与 的延长线（有
方向）相交，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】如下图所示，
由题知 ，
直线 过点 .
当 时，直线化为 ，一定与 相交，所以 ，
当 时， ，考虑直线 的两个极限位置.
① 经过 ，即直线 ，则 ；
② 与直线 平行，即直线 ，则 ，
因为直线 与 的延长线相交，
所以 ，解得 ，所以 .
故答案为： .
变式11．（2023·全国·高三专题练习）已知 , ，点 是线段AB上的动点，则 的取值范
围是 .
【答案】
【解析】如图所示：因为 , ，
所以 ， ，
，
因为点 是线段AB上的动点，
所以 .
故答案为：
变式12．（2023·全国·高三专题练习） 在线段 上运动，已知 ，则 的取值
范围是 .
【答案】
【解析】 表示线段 上的点与 连线的斜率，
因为
所以由图可知 的取值范围是 ．
故答案为：
【解题方法总结】一般地，若已知 ，过 点作垂直于 轴的直线 ，过 点的任一直线 的
斜率为 ，则当 与线段 不相交时， 夹在 与 之间；当 与线段 相交时， 在 与 的两
边．
题型四：直线的方程
例10．（2023·全国·高三专题练习）过点 且方向向量为 的直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知直线的斜率 ，由点斜式方程得，
所求直线的方程为 ，即 ．
故选：A
例11．（2023·全国·高三专题练习）过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为
（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】解法一 当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为 ，即 ；
当直线不过原点时，设直线方程为 ，
因为直线过点 ，所以 ，
解得 ，此时直线方程为 .
故选：
解法二 易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.
设直线方程为 ，
则 时， ， 时， ，
由题意知 ，
解得 或 ，即直线方程为 或 .
故选：
例12．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）对方程 表示的图形，下列叙述中正确的是（ ）
A．斜率为2的一条直线
B．斜率为 的一条直线
C．斜率为2的一条直线，且除去点（ ,6）
D．斜率为 的一条直线，且除去点（ ,6）
【答案】C
【解析】方程 成立的条件知 ，
当 时，方程变形为 ，由直线方程的点斜式知它表示一条斜率为2的直线,但要除去点（
,6），
故选:C
变式13．（2023·全国·高三专题练习）经过点 且倾斜角为 的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由倾斜角为 知，直线的斜率 ，
因此，其直线方程为 ，即
故选：B
变式14．（2023·全国·高三专题练习）方程 表示的直线可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当 时，直线 的斜率 ，该直线在 轴上的截距 ，
故选：A.变式15．（2023·全国·高三专题练习）已知过定点直线 在两坐标轴上的截距都是正值，且截
距之和最小，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线 可变为 ，所以过定点 ，又因为直线 在
两坐标轴上的截距都是正值，可知 ，
令 ，所以直线与 轴的交点为 ，
令 ，所以直线与 轴的交点为 ，
所以 ，
当且仅当 即 时取等，所以此时直线为： .
故选：C.
变式16．（2023·全国·高三专题练习）若直线l的方程 中， ， ，则此直线必不经
过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由 ， ， ，
知直线斜率 ，在 轴上截距为 ，
所以此直线必不经过第三象限.
故选：C
变式17．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 的倾斜角为 ，且 在 轴上的截距为 ，则直线 的方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 的斜率 ，
又直线 在 轴上的截距为 ，所以直线 的方程为 ；
故选：C【解题方法总结】
要重点掌握直线方程的特征值（主要指斜率、截距）等问题；熟练地掌握和应用直线方程的几种形式，
尤其是点斜式、斜截式和一般式．
题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题
例13．（2023·全国·高三专题练习）若一条直线经过点 ，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，
则此直线的方程为 ．
【答案】 或
【解析】由题意可知该直线不经过原点，且存在斜率且不为零，
所以设直线方程为 ，因为该直线过点 ，
所以有 ，
因为该直线与两坐标轴围成的三角形面积为1，
所以有 ，或 ，
当 时， ，或 ，
当 时， ，此时方程为： ，
当 时， ，此时方程为： ，
当 时， ，
故答案为： 或
例14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于
A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为 .
【答案】x＋2y－4＝0
【解析】法一，利用截距式设出直线方程，再利用基本不等式求面积最小时的直线方程；法二显然 存在，
设 (其中 )求出 坐标，然后求解三角形的面积，再利用基本不等式求解面积的最小
值时的直线方程.法一 设直线l： ，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2,1)，所以 ，则
≥ ，故ab≥8，
故S AOB的最小值为 ×ab＝ ×8＝4，
△
当且仅当 ＝ 时取等号，此时a＝4，b＝2，
故直线l： ，即x＋2y－4＝0.法二 设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)， ，B(0,1－2k)，
S AOB＝ (1－2k) ＝ ≥ (4＋4)＝4，
△
当且仅当－4k＝－ ，即k＝－ 时，等号成立，
故直线l的方程为y－1＝－ (x－2)，即x＋2y－4＝0.
故答案为： .
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 的方程为： ．
(1)求证：不论 为何值，直线必过定点 ；
(2)过点 引直线 ，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求 的方程．
【解析】（1）证明： 直线 的方程为：
提参整理可得： ．
令 ，可得 ，
不论 为何值，直线必过定点 .
（2）设直线 的方程为 ．
令 则 ，
令 ．则 ，
直线 与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积
．
当且仅当 ，即 时，三角形面积最小．
此时 的方程为 ．
变式18．（2023·全国·高三专题练习）直线l过点 ，且分别与 轴正半轴交于 、B两点，O为原
点.
(1)当 面积最小时，求直线l的方程；
(2)求 的最小值及此时直线l的方程.
【解析】（1）设直线 ，且∵直线过点
则
当且仅当 即 时取等号
所以 的最小值为 ，
直线 1即 .
（2）由
∴ ，
当且仅当 即 时取等号，
∴此时直线 ,
故 的最小值为9，此时直线l的方程 .
变式19．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，直线 过定点 ，且与 轴的正半轴
交于点 ，与 轴的正半轴交于点 .
（1）当 取得最小值时，求直线 的方程；
（2）求 面积的最小值.
【解析】（1）设直线 的倾斜角为 （ 为锐角），
由P点做x轴，y轴垂线，垂足分别为E，F，则PE=2，PF=3,
，则 ，
所以当 时， 取得最小值，
此时直线 的方程为 ；
（2）矩形OFPE面积为3×2=6， ，
，
当且仅当 时取等号，
所以 面积的最小值为12.
变式20．（2023·北京怀柔·高二北京市怀柔区第一中学校考期中）已知直线 经过点 ， 为坐标原
点．
(1)若直线 过点 ，求直线 的方程，并求直线 与两坐标轴围成的三角形面积；
(2)如果直线 在两坐标轴上的截距之和为 ，求直线 的方程．
【解析】（1）由题意得：直线 斜率 ， 直线 方程为： ，即 ；
当 时， ；当 时， ；
与两坐标轴围成的三角形面积 .
（2）由题意知：直线 在两坐标轴的截距不为 ，可设 ，
则 ，解得： ， ，即 .
变式21．（2023·高二单元测试）已知直线l过点 ，与x轴正半轴交于点A､与y轴正半轴交于点B.
（1）求 面积最小时直线l的方程（其中O为坐标原点）；
（2）求 的最小值及取得最小值时l的直线方程.
【解析】（1）设l的方程为 ，由直线过点 知 ，即 ，由基本
不等式得 ，即 ，当且仅当 时等号成立，
又知 ，所以 时等号成立，
此时l直线的方程为 ，即 面积最小时直线l的方程为 .
（2）易知直线l的斜率存在，所以可设直线l的方程为 ，所以得 ，
，所以 ，得
，等号成立时有k ，得 ，
此时直线的方程为 ，即 .
故 的最小值是24，取最小值时直线l的方程是 .
变式22．（2023·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）过点 的动直线 交 轴的正半轴于 点，
交 轴正半轴于 点.
（Ⅰ）求 ( 为坐标原点)的面积 最小值，并求取得最小值时直线 的方程.
（Ⅱ）设 是 的面积 取得最小值时 的内切圆上的动点，求 的取值范围.
【解析】（Ⅰ）设 斜率为 ，则 得 .
,
由 ， ， .
（Ⅱ） 面积 最小时， ，
直角 内切圆半径 ，圆心为 ，
内切圆方程为
设 ，则 ，其中 .
,当 时， ，当 时，
的范围是
变式23．（2023·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知直线 ： ．
（1）求 经过的定点坐标 ；
（2）若直线 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ．
① 的面积为 ，求 的最小值和此时直线 的方程；②当 取最小值时，求直线 的方程．
【解析】（1）由 可得： ，
由 可得 ，所以 经过的定点坐标 ；
（2）直线 ： ，
令 可得 ；令 ，可得 ，
所以 ，
由 可得： ，
① 的面积
，
当且仅当 即 时等号成立， 的最小值为 ，
此时直线 的方程为： 即 ；
②设直线 的倾斜角为 ，则 ，可得 ， ，
所以 ，
令 ，
因为 ，可得 ， ，
，
将 两边平方可得： ，
所以 ，
所以 ，因为 在 上单调递增，所以
，所以 ，此时 ，
可得 ，所以 ，
所以直线的方程为 .
变式24．（2023·河南郑州·高二宜阳县第一高级中学校联考阶段练习）已知直线 经过定
点P．
(1)证明：无论k取何值，直线l始终过第二象限；
(2)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，当 取最小值时，求直线l的方程．
【解析】（1）证明：由 可得： ，
由 可得 ，所以l经过定点 ；
即直线l过定点 ,且定点在第二象限，
所以无论k取何值，直线l始终经过第二象限．
（2）设直线l的倾斜角为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，
令 ，
因为 ，可得 ，
即 ，
将 两边平方可得： ，
所以 ，
所以 ，因为 在 上单调递增，所以 ，
故 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
此时 ，
可得 ，所以 ，
所以直线的方程为 ．
变式25．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知直线 过定点 ，且交 轴
负半轴于点 ､交 轴正半轴于点 ．点 为坐标原点．
（1）若 的面积为4，求直线 的方程；
（2）求 的最小值，并求此时直线 的方程；
（3）求 的最小值，并求此时直线 的方程．
【解析】设 ， ， .
（1）设 ，因为过点 ，所以 ，
所以 ，由 解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ；
（2） ，
所以 ，
当且仅当 ， 时取等号，所以直线 的方程为 ；
（3）依题意可知 三点共线， 在线段 上（且与 不重合），
所以
，
当且仅当 ， 时取等号，所以直线 的方程为 ．
【解题方法总结】
（1）由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），
因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件
恰当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用
点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方
程的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
题型六：两直线的夹角问题
例16．（2023·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末）直线 与直线 所成夹角
的余弦值等于
【答案】
【解析】直线 ，即 ，则其斜率为 ，倾斜角为 ；
直线 ，即 ，则其斜率 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，
又 ，所以 ，
所以 ， ，而 ，
所以两直线的夹角为 ，
又因为 ，
则
所以 ，
故所求夹角的余弦值为 .
故答案为： .
例17．（2023·高三课时练习）直线 与直线 相交，则这两条直线的夹角大小为
.
【答案】
【解析】直线 的斜率为 ，其倾斜角 为钝角；
直线 的斜率为 ，其倾斜角 为锐角.设这两条直线的夹角大小为 ，
则
，
由于 ，所以 .
故答案为：
例18．（2023·上海宝山·高三统考阶段练习）已知直线 ，则 与 的夹角大小
是 .
【答案】
【解析】设直线 与 的夹角为 （ ），
因为 ，
所以两直线的斜率分别为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
故答案为：
变式26．（2023·重庆·高考真题）曲线 与 在交点处切线的夹角是 ．
（用弧度数作答）
【答案】
【解析】由 消元可得， ，解得 ，
所以两曲线只有一个交点 ,
由 可得 ，所以 ，由 可得 ，所以 ，
由直线的夹角公式可得 ，
由 知， .
故答案为：
变式27．（2023·全国·模拟预测）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 与 ，原
点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为 ．
【答案】3
【解析】 ， ，设底边为
由题意， 到 所成的角等于 到 所成的角于是有 ，解得 ，
故答案为：3.
变式28．（2023·全国·高三专题练习）两条直线 ， 的夹角平分线所在
直线的方程是 ．
【答案】
【解析】因为直线 的倾斜角为 ， 的倾斜角为 ，且
由 解得两直线的交点坐标为 ，所以可设两直线夹角平分线所在直线的方程为：
．
∴ ，解得 ，即两直线夹角平分线所在直线的方程为： ．
故答案为： ．
【解题方法总结】
若直线 与直线 的夹角为 ，则 .
题型七：直线过定点问题
例19．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知直线 过定点A，直线
过定点 ， 与 相交于点 ，则 ．【答案】13
【解析】对于直线 ，即 ，
令 ，则 ，则 ，可得直线 过定点 ，
对于直线 ，即 ，
令 ，则 ，则 ，可得直线 过定点 ，
因为 ，则 ，即 ，
所以 .
故答案为：13.
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知实数 满足 ，则直线 过定点 .
【答案】
【解析】由实数 满足 ，可得 ,
代入直线方程 ，可得 ，
联立方程组 ，解得 ，
所以直线 过定点 .
故答案为： .
例21．（2023·陕西咸阳·统考二模）直线 恒过定点A，则A点的坐标为 ．
【答案】
【解析】直线 ，
令 ，则 ，则直线 恒过定点 .
故答案为： .变式29．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）直 的方程为 ，则该直线过定点
．
【答案】
【解析】 即 ，令 得 ，
直线过定点 ，
故答案为：
变式30．（2023·上海宝山·高二统考期末）若实数 、 、 成等差数列，则直线 必经过一个
定点，则该定点坐标为 .
【答案】
【解析】因为实数 、 、 成等差数列，所以 ，即 ，
所以直线 必过点 .
故答案为：
【解题方法总结】
合并参数
题型八：轨迹方程
例22．（2023·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系中，已知 的顶点坐标分别为 、 、
，点 在直线 上运动，动点 满足 ，求点 的轨迹方程．
【解析】设点 、 ，直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，即 ，
， ， ， ，
由 可得 ，
所以， ，可得 ，
因为点 在直线 上，则 ，即 ，整理可得 ，
因此，点 的轨迹方程为 .
例23．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，在平行四边形 中，点 是原点，点 和点 的坐标分别
是 、 ，点 是线段 上的动点.(1)求 所在直线的一般式方程；
(2)当 在线段 上运动时，求线段 的中点 的轨迹方程.
【解析】（1） ， 所在直线的斜率为： .
所在直线方程是 ，即 ；
（2）设点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，
由平行四边形的性质得点 的坐标是 ，
是线段 的中点， ， ，
于是有 ， ，
点 在线段 上运动，
，
，即 ，
由 得 ，
线段 的中点 的轨迹方程为 .
例24．（2023·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）如图，已知点 是直线 上任意一点，
点 是直线 上任意一点，连接 ，在线段 上取点 使得 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)已知点 ，是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）设 ， ， ，
由 ，
，
又 ，
得： ，
把①②代入上式得 ，即为点 的轨迹方程.
（2）设 ，由 ，得 ，
又点 满足 ，
联立得方程组 ，解得 或 .
故存在点 满足条件，点 的坐标为 或 .
变式31．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，动点M与A，B两点连线的斜率分别为 、
，若 ，求动点M的轨迹方程
【解析】设 ，则 ， ，又 ，
∴ ，
当 ， 且 时，恒成立；当 时， ；
综上，M的轨迹方程为 ( 且 )或 ( ).
变式32．（2023·高二课时练习）在 中， ，求 的平分线 所在直线的方
程.
【解析】设 为 的平分线 上的任意一点.
因为 ，
所以 边所在直线的方程为 ， 边所在直线的方程为 .
由角平分线的性质得 ，
所以 或 ，
即 或 .由图形可知 ，即 ，
所以 不合题意，故舍去.
故 的平分线 所在直线的方程为 .
变式33．（2023·江苏·高二假期作业）已知动点C到两个定点 的距离相等，求点C的轨
迹方程．
【解析】设C点坐标为 由C到两个定点 的距离相等，
则
两边平方，化简得，
所以点C的轨迹方程为 ．
变式34．（2023·全国·高三专题练习）已知 是坐标原点， .若点 满足 ，
其中 ，且 ，求点 的轨迹方程.
【解析】设 ，则 ， ，
即 ，解得
即
【解题方法总结】
（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到
两个点，或者一点一斜率
（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再
利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致）
题型九：中点公式例25．（2023·河南郑州·高二郑州市第九中学校考阶段练习）已知点A，B分别是直线 和直线
上的点，点P为 的中点，设点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点 的直线 与曲线C，x轴分别交于点M，N，若点D为 的中点，求直线 的方程.
【解析】（1）设点 ， ， ，
因为点P为 的中点，可得 ， ，
又由 ， ，
两式相加，可得 ，所以 ，即 ，
所以曲线C的方程为 .
（2）根据题意，设 ， ，
因为点 为 的中点，所以 ，解得 ， ，
即 ，所以直线 的方程为 ，整理得 ，
即直线 的方程 .
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知直线 ： 过定点 ，若直线 被直线
和 轴截得的线段恰好被定点 平分，求 的值.
【解析】
则直线过定点
设直线 与直线 交于 点，与 轴交于 点，依题意 为 中点
在 中令 ，则 ，即
所以 ，即 ，将其代入直线 中可得
解之得
例27．（2023·江苏泰州·高三泰州中学校考阶段练习）已知直线 .
(1)求证：直线经过定点，并求出定点P；
(2)经过点P有一条直线l，它夹在两条直线 与 之间的线段恰被P平分，求直
线l的方程.
【解析】（1）证明：将直线l的方程改写为 ，
令 ，且 ，
两式联立，解得 ， ，
所以直线过定点 .
（2）如图，
设直线l夹在直线 ， 之间的部分是AB，且AB被 平分，
设点A，B的坐标分别是 ， ，
则有 ， ，
又A，B两点分别在直线 ， 上，
所以 ， ，
由以上四个式子解得 ， ，即 ，
所以直线AB的方程为 .
变式35．（2023·全国·高三专题练习）过点P(0，1)作直线l，使它被直线l： 和l：
1 2
截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.【解析】设l 与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l 上，
1 2
代入l 的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，
2
即点A(4，0)在直线l上，
∴直线l的方程为 即x＋4y-4＝0.
变式36．（2023·全国·高三专题练习）已知直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0．
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）过定点M作一条直线l，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l 的方程．
1 1
【解析】（1）将直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4–3m=0化为m（x+2y–3）+2x+y+4=0，
∴由题意，令 ，解得 ，
∴直线l恒过定点M（ ）．
（2）设所求直线l 的方程为y– =k（x+ ），直线l 与x轴、y轴交于A、B两点，
1 1
则A（– ，0）B（0， ）．
∵AB的中点为M，∴ ，解得k= ．
∴所求直线l 的方程为y– （x+ ），
1
即30x–33y+220=0．
所求直线l 的方程为30x–33y+220=0．
1
变式37．（2023·全国·高三专题练习）过点 作直线，使它被两直线 和
所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程.
【解析】(解法1)由于过点M(0，1)且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1，
与已知两条直线l、l 分别交于A、B两点，联立方程组 x ＝ ， x ＝
1 2 A B
，∵点M平分线段AB，∴x ＋x ＝2x ，
A B M
即有 ＋ ＝0，解得k＝－ .故所求的直线方程为x＋4y－4＝0.
(解法2)设所求的直线与已知两条直线l、l 分别交于A、B两点，∵点B在直线l：2x＋y－8＝0上，∴设
1 2 2
B(t，8－2t)，由于M(0，1)是线段AB的中点，∴根据中点坐标公式得A(－t，2t－6)，而A点在直线l：x－3y＋10＝0上，∴(－t)－3(2t－6)＋10＝0，解之得t＝4，∴B(4，0)．
1
故所求直线方程为x＋4y－4＝0.
【解题方法总结】
若点 的坐标分别为 且线段 的中点 的坐标为 ，则
1．（2004•黑龙江）已知点 ， ，则线段 的垂直平分线的方程是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】线段 的中点为 ， ，
垂直平分线的斜率 ，
线段 的垂直平分线的方程是 ，
故选： ．
2．（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系 中，设三角形 的顶点分别为 ， ，
，点 在线段 上的一点（异于端点），这里 ， ， ， 均为非零实数，设直线 ，
分别与边 ， 交于点 ， ，某同学已正确求得直线 的方程为 ，请你
完成直线 的方程： ．
【答案】
【解析】
由截距式可得直线 ，
直线 ，两式相减得 ，
显然直线 与 的交点 满足此方程，
又原点 也满足此方程，
故为所求直线 的方程．
故答案为： ．
3．（2006•上海）已知直线 过点 且与 轴、 轴的正半轴分别交于 、 两点， 为坐标原点，则
三角形 面积的最小值为 ．
【答案】4
【解析】
设 、 ， ， ， ， 方程为 ，点 代入得
， （当且仅当 ， 时，等号成立），故三角形 面积 ，
故答案为 4．
