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第1讲 直线方程
复习要点 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.
理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直
线斜率的计算公式.3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式．
一 直线的倾斜角与斜率
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线 l向上的方向之间所
成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)倾斜角的范围为 [0° ， 180°) ．
2．直线的斜率
(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母 k表
示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．
(2)过两点的直线的斜率公式
经过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)的直线的斜率公式为k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
3．直线的方向向量
若P(x ，y)，P(x ，y)是直线l上两点，则l一个方向向量的坐标为 ( x － x ， y － y )；
1 1 1 2 2 2 2 1 2 1
若l的斜率为k，则一个方向向量的坐标为 (1 ， k ) ．
二 直线方程的几种形式
名称 条件 方程 适用范围
点斜式 斜率k与点(x，y) y－y＝k(x－x) 不含直线x＝x
1 1 1 1 1
斜率k与直线在y轴上的 不含垂直于x轴的直
斜截式 y＝kx＋b
截距b 线
不含直线x＝x(x＝
1 1
两点式 两点(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 ) ＝ x 2 )和直线y＝y 1 (y 1 ＝
y)
2
直线在x轴、y轴上的截距 不含垂直于坐标轴和
截距式 ＋＝1
分别为a，b 过原点的直线
Ax＋By＋C＝0 平面直角坐标系内的
一般式 —
(A，B不同时为0) 直线都适用
常/用/结/论
1．直线过点P(x，y)，垂直于x轴的方程为x＝x，垂直于y轴的方程为y＝y；
1 1 1 1
2．x轴的方程为y＝0，y轴的方程为x＝0.
1．判断下列结论是否正确．
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()
(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()
(4)截距可以为负值．(√)
2．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：由题意，得＝1，解得m＝1.故选A.
答案：A
3．若过点A(2,4)，B(1，m)两点的直线的一个方向向量为(－1,1)，则m＝( )
A．－1 B．1 C．5 D．3
解析：方法一：由题意可知＝－1，∴m＝5.故选C.
方法二：∵AB＝(－1，m－4)，∴m－4＝1，即m＝5.故选C.
答案：C
题型 直线的倾斜角与斜率
典例1(1)直线 x sin α ＋ y ＋ 2 ＝ 0 的倾斜角的取值范围是( )
可知斜率存在．
A．[0，π) B.∪
C. D.∪
(2)已知曲线f(x)＝ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为( )
切线问题可利用导数的几何意义：设切点P(x ，ln x )，则k＝f′(x )．
0 0 0
A．e B．－e C. D．－
(3)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率
的取值范围为____________．
解析：(1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1,1]，所以 － 1≤tan
θ ≤1 ，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤或≤θ＜π.故选B.
(2)方法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝.设切点为P(x ，ln x)，则切线的斜
0 0
率k＝f′(x)＝＝，
0
∴ln x＝1，x＝e，∴k＝＝.
0 0
方法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x及其经过原点的切线，如图
所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1.故选C.(3)如图，∵k ＝＝1，k ＝＝－，
AP BP
∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)．
故答案为(－∞，－]∪[1，＋∞)．
1．求直线倾斜角的取值范围的注意点
直线的倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率
求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．
借助正切函数的图象．
注意：当斜率不存在时，则倾斜角为.
2．求直线斜率的方法
(1)定义法(k＝tan α)．
(2)公式法.
(3)导数法(曲线y＝f(x)在x 处的切线的斜率为k＝f′(x)).
0 0
对点练1(1)(2024·湖北四地七校联考)已知函数f(x)＝asin x－bcos x(a≠0，b≠0)，若f＝
f，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为( )
A. B. C. D.(2)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，且实数m∈，求直线AB的倾斜角α的
范围．
(1)解析：由f＝f，知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以f(0)＝f，所以a＝－b，由
直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝＝－1，所以直线的倾斜角为.故选D.
答案：D
(2)解：当m＝－1时，α＝；
当m≠－1时，
∵k＝∈∪[，＋∞)，
∴α∈∪.
综上，直线AB的倾斜角α的范围是.
题型 直线的方程
典例2(1)已知 直线 l 的一个方向向量为 n ＝ (2,3) ，若l过点A(－4,3)，则直线l的方程为
( )
可得l斜率为k＝.
A．y－3＝－(x＋4)
B．y＋3＝(x－4)
C．y－3＝(x＋4)
D．y＋3＝－(x－4)(2)求经过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．
【易错提醒】注意不要漏掉截距为0，即直线过(0,0)的情况．
(1)解析：方法一：因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以直线l的斜率k＝，
故直线l的方程为y－3＝(x＋4)．
方法二：设P(x，y)是直线l上的任意一点(不同于A)，
则AP＝(x＋4，y－3)，
因为直线l的一个方向向量为n＝(2,3)，
所以3(x＋4)－2(y－3)＝0，
故直线l的方程为y－3＝(x＋4)．
故选C.
(2)解：方法一：①当截距为0时，直线l过点(0,0)，(2,3)，
则直线l的斜率为k＝＝，
因此直线l的方程为y＝x，即3x－2y＝0.
②当截距不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.
∵直线l过点P(2,3)，∴＋＝1，∴a＝5.
∴直线l的方程为x＋y－5＝0.
综上可知，直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
方法二：由题意可知所求直线的斜率存在，
则可设直线方程为y－3＝k(x－2)，且k≠0.
令x＝0，得y＝－2k＋3.
令y＝0，得x＝－＋2.
于是－2k＋3＝－＋2，解得k＝或k＝－1.
则直线l的方程为y－3＝(x－2)或y－3＝－(x－2)，即3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
直线方程的求法
(1)直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，
直接写出直线方程．
(2)待定系数法：其具体步骤为①设出直线方程的恰当形式(点斜
注意每种直线方程的适用范围．
式、斜截式、两点式、截距式和一般式)；②根据题设条件列出关于待定系数的方程或方程
组；③解方程或方程组得到待定系数；④写出直线方程；⑤验证所得直线方程是不是所求
直线方程，如果有遗漏需要补加．
提醒：选用点斜式或斜截式时，需讨论直线的斜率是否存在；选用截距式时，需讨论
直线是否过原点.
对点练2(1)在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中
点N在x轴上，则直线MN的方程为____________．
(2)过点P(6，－2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为________．
解析：(1)设C(x，y)，
0 0则M，N.
因为点M在y轴上，所以＝0，
所以x＝－5.
0
因为点N在x轴上，所以＝0，
所以y＝－3，
0
所以M，N(1,0)，
所以直线MN的方程为＋＝1，
即5x－2y－5＝0.
(2)设直线方程的截距式为＋＝1，则＋＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是＋＝1
或＋＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.
答案：(1)5x－2y－5＝0 (2)2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0
题型 直线方程的应用
典例3 过点P(4,1)作直线l，分别交x轴、y轴的正半轴于点A，B.
(1)当 △ AOB 的面积最小 时，求直线l的方程；
利用直线l的截距式方程处理问题较方便，即设l：＋＝1(a＞0，b＞0)．
(2)当 | OA | ＋ | OB | 取最小值 时，求直线l的方程．
解：设直线l：＋＝1(a>0，b>0)，因为直线l经过点P(4,1)，所以＋＝1.
(1)因为＋＝1≥2＝，
所以ab≥16，S ＝ab≥8，
△AOB
当且仅当 a ＝ 8 ， b ＝ 2 时，等号成立．
一定要注意何时取到等号．
所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，
此时直线l的方程为＋＝1，
即x＋4y－8＝0.
(2)因为＋＝1，a>0，b>0，所以|OA|＋|OB|＝ a ＋ b ＝ ( a ＋ b )
基本不等式“1”的代换．
＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时，等号成立．
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0.
利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想，即建立目标函数，根据其结
构求最值，有时也涉及基本不等式，何时取等号，一定要弄清.\s\up7( )
对点练3如图，在两条互相垂直的道路l ，l 的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路
1 2
l 的垂直距离为4米，到道路l 的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧
1 2修建一条人行直道，使得人行直道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人
行直道的长度为多少米？
解： 如图，建立平面直角坐标系，则P(3，4)．
设人行直道所在直线方程为y－4＝k(x－3)(k<0)，
所以A，B(0,4－3k)，
所以△ABO的面积S＝(4－3k)＝，
因为k<0，所以－9k－≥2＝24，
当且仅当－9k＝－，即k＝－时取等号．此时，A(6,0)，B(0,8)，所以人行直道的长度
为＝10(米)．
