文档内容
第2讲 两直线的位置关系
复习要点 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线
的交点坐标.3.探索并掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条平行直线
间的距离．
一 两条直线的位置关系
直线l：y＝kx＋b，l：y＝kx＋b，l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0，其中
1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 4 2 2 2
l 与l 是同一直线，l 与l 是同一直线，l 的法向量v ＝ ( A ， B )，l 的法向量v ＝ ( A ， B )，
1 3 2 4 3 1 1 1 4 2 2 2
它们的位置关系如下表：
位置 法向量满 l，l 满 l，l 满
1 2 3 4
关系 足的条件 足的条件 足的条件
AB － A B ＝ 0 且 A C －
平行 v∥v k ＝ k 且 b ≠ b 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 1 2
AC ≠0
2 1
垂直 v⊥v k · k ＝－ 1 AA ＋ B B ＝ 0
1 2 1 2 1 2 1 2
相交 v 与v 不共线 k ≠ k AB － A B≠0
1 2 1 2 1 2 2 1
二 三种距离公式
点P(x，y)，P(x，y) |PP|＝
1 1 1 2 2 2 1 2
之间的距离
点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝
0 0 0
两条平行线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0间
1 2
d＝
的距离
常/用/结/论
1．与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；
(2)平行：Ax＋By＋n＝0.
2．与对称问题相关的四个结论
(1) 点 ( x ， y ) 关于点 ( a ， b ) 的对称点 为(2a－x，2b－y)；
利用中点坐标公式．
(2) 点 ( x ， y ) 关于直线 x ＝ a 的对称点为 (2 a － x ， y ) ，关于直线 y ＝ b 的对称点为 ( x , 2 b －
y ) ；
(3) 点 ( x ， y ) 关于直线 y ＝ x 的对称点为 ( y ， x ) ，关于直线 y ＝－ x 的对称点为 ( － y ，－ x ) ；
(4) 点 ( x ， y ) 关于直线 x ＋ y ＝ k 的对称点为 ( k － y ， k － x ) ，关于直线 x － y ＝ k 的对称点为 ( k
＋ y ， x － k ) ．
思考：P(x，y)关于 l：y＝kx＋b的对称点Q如何求呢？分析： 设Q(x ，y)，
0 0
则
1．判断下列结论是否正确．
(1)若两直线的斜率相等，则两直线平行，反之，亦然．()
(2)如果两条直线l 与l 垂直，那么它们的斜率之积一定等于－1.()
1 2
(3)已知直线l ：Ax＋By＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)，l ：Ax＋By＋C ＝0(其中
1 1 1 1 1 1 2 2 2 2
A，B 不同时为0)，若AB－AB＝0，则直线l∥l.()
2 2 1 2 2 1 1 2
(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)
2．(2024·吉林长春模拟)已知直线l经过点(1，－1)，且与直线2x－y－5＝0垂直，则
直线l的方程为( )
A．2x＋y－1＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．2x－y－3＝0
解析：∵直线l与直线2x－y－5＝0垂直，∴设直线l的方程为x＋2y＋c＝0，∵直线l
经过点(1，－1)，∴1－2＋c＝0，即c＝1.直线l的方程为x＋2y＋1＝0.故选C.
答案：C
3．已知点A与点B(1,2)关于直线x＋y＋3＝0对称，则点A的坐标为( )
A．(3,4) B．(4,5)
C．(－4，－3) D．(－5，－4)
解析：设点A(a，b)，∵点A与点B(1,2)关于直线x＋y＋3＝0对称，
∴
解得则点A的坐标为(－5，－4)．故选D.
答案：D
4．已知直线l ：x＋ay＝1，l ：ax＋y＝1，若l∥l ，则a＝________，此时l 与l 之间
1 2 1 2 1 2
的距离为________．
解析：由l∥l 可知a2－1＝0，即a＝±1.又当a＝1时，l 与l 重合，不符合题意．所以
1 2 1 2
a＝－1，此时l：x－y－1＝0，
1
l：x－y＋1＝0.所以l 与l 的距离d＝＝.
2 1 2
答案：－1
题型 两条直线的平行与垂直
典例1(1)已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l 与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)
1
的直线l 互相垂直，则实数a的
2
值为________．
(2)已知两直线l：x＋my＋6＝0，l：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l∥l，求m的值．
1 2 1 2先由AB －AB ＝0求出m，再回代验证(排除重合)．
1 2 2 1
(1)解析：方法一：l 的斜率k＝＝a.
1 1
当a≠0时，l 的斜率k＝＝.
2 2
因为l⊥l，所以kk＝－1，
1 2 1 2
即a·＝－1，解得a＝1.
当a＝0时，得P(0，－1)，Q(0,0)，这时直线l 为y轴，A(－2,0)，B(1,0)，直线l 为x
2 1
轴，显然l⊥l.综上可知，实数a的值为1或0.
1 2
方法二：AB＝(3,3a)，PQ＝(a,1－2a)，由AB⊥PQ可知AB·PQ＝3a＋3a－6a2＝0，解得
a＝0或1.故答案为1或0.
(2)解：若l∥l，易知m≠0，则－＝－且－≠－，∴m＝－1.
1 2
两直线位置关系的判定方法
(1)已知两直线的斜率存在
①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等；
②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为－1.
(2)已知两直线的斜率不存在
若两直线的斜率不存在，当两直线在x轴上的截距不相等时，两直线平行；否则两直
线重合．
(3)已知两直线的一般方程
设直线l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0.则l∥l AB －AB ＝0且BC －
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
BC ≠0或AC －AC ≠0；l⊥l AA＋BB＝0.
2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 ⇔
(4)巧用直线的方向向量或法向量判断两直线的位置关系可以避免讨论多种情况．
⇔
对点练1(1)(多选)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知直线l ：xsin α＋y＝0与直线l ：x＋3y
1 2
＋c＝0，则直线l 与直线l 的位置关系可能是( )
1 2
A．相交 B．重合
C．平行 D．垂直
(2)(2024·贵州遵义联考)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心
依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称
为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2,0)，B(0,4)，AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程
为( )
A．2x＋y－3＝0 B．2x－y＋3 ＝0
C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0
解析：(1)直线l 的斜率为k ＝－sin α，过定点(0,0)，直线l 的斜率为k ＝－，过点(－
1 1 2 2
c,0)．若直线l 与l 相交，则sin α≠，又－1≤sin α≤1，故sin α≠可以成立，A正确；若直线
1 2
l 与l 重合，则c＝0，且sin α＝，又－1≤sin α≤1，故可以有sin α＝，B正确；若直线l 与
1 2 1
l 平行，则sin α＝且c≠0，又－1≤sin α≤1，故可以有sin α＝，C正确；若直线l 与l 垂直，
2 1 2
则kk ＝sin α＝－1，则sin α＝－3，与－1≤sin α≤1矛盾，所以直线l 与l 不可能垂直，D
1 2 1 2
错误．故选ABC.(2)由题意，知线段AB的中点为M(1,2)，k ＝－2，
AB
∴线段AB的垂直平分线为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.
∵AC＝BC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，
因此△ABC的欧拉线的方程为x－2y＋3＝0.故选D.
答案：(1)ABC (2)D
题型 距离公式
典例2(1)若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则 | PQ | 的最
小值为( )
即为两平行线间的距离．
A. B. C. D.
(2)已知点P(2，－1)．求 过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程以及最大距离．
可知l⊥OP.
(1)解析：因为＝≠－，所以两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直
线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为.故选C.
(2)解： 依题意可得过点P且与原点O的距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，
如图．
由l⊥OP，得kk ＝－1，
l OP
所以k＝－＝2.
l
由直线方程的点斜式，得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.
所以直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O的距离最大的直线，最大距离为＝.
1．点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式求解，注意直线方程应为一般式．
2．利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的
距离.
3．使用两平行线间的距离公式前需把两平行线方程化为一般式，且 x，y的系数对应
相等，即一定要化成l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0的形式.
1 1 2 2
对点练2(1)(多选)(2024·黑龙江哈尔滨模拟)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直
线l：x＋y＋1＝0和l：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为( )
1 2
A．y＝1 B．x＝3
C．y＝0 D．x＝2
(2)(2024·江西抚州模拟)已知m，n满足m＋n＝1，则点(1,1)到直线mx－y＋2n＝0的距离的最大值为( )
A．0 B．1
C. D．2
解析：(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，
此时l与直线l，l 的交点分别为A(3，－4)，B(3，－9)，
1 2
截得的线段|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，
且设直线l与直线l 和l 的交点分别为A，B.
1 2
联立
得A；
联立
得B.
由|AB|＝5，
得2＋2＝52，
解得k＝0，即所求直线l的方程为y＝1.
综上所述，所求直线l的方程为x＝3或y＝1.
(2)将n＝1－m代入直线方程，得(x－2)m－y＋2＝0，由得所以直线mx－y＋2n＝0必过
定点(2,2)，故点(1,1)到直线mx－y＋2n＝0的距离的最大值为＝.故选C.
答案：(1)AB (2)C
题型 对称问题
典例3已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1) 点 A 关于直线 l 的对称点 A ′ 的坐标 ；
设A′(x ，y)，则
0 0
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线 m′的方程；
相关点法：设P(x，y)为m′上任一点，P关于l的对称点Q(x ，y)，
0 0
则即
代入m得m′：9x－46y＋102＝0.
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
解：(1)设A′(x，y)，由已知条件得
解得
∴A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．
设对称点M′(a，b)，则
得M′.
设直线m与直线l的交点为N，
由得N(4,3)．
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3) 方法一：在直线 l 上任取两点 ，如P(1,1)，
借助特殊点．
Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上，
易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)．
再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
方法二：依题意可知 l ∥ l ′ ，
设 l ′ 的方程为 2 x － 3 y ＋ C ＝ 0( C ≠1) ．
平行线系．
∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，
∴由点到直线的距离公式，得
＝，解得C＝－9.
∴l′的方程为2x－3y－9＝0.
方法三：设 P ( x ， y ) 为 l ′ 上任意一点，
相关点法(代入法)．
则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，∵点P′在直线l上，
∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
解决对称问题的方法
(1)点关于点的对称问题．利用中点坐标公式易得，如(a，b)关于(m，n)的对称点为(2m
－a，2n－b)．
(2)点关于线的对称点，点与对称点的中点在已知直线上，点与对称点连线的斜率是已
知直线斜率的负倒数(仅指已知直线斜率存在且不为0的情况，斜率不存在或斜率为0时较
简单)．
(3)线关于线的对称线．一般要在线上取点，可在所求直线上任取一点，也可在已知直
线上取特殊点对称．
(4)特别地，当对称轴的斜率为±1时，可类比关于y＝x的对称问题采用代入法，如
(1,3)关于y＝x＋1的对称点为(3－1,1＋1)，即(2,2)．
对点练3(1)已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)，若直线l上存在点P
使得|PA|＋|PB|最小，则点P的坐标为( )
A．(－2，－3) B．(－2,3)
C．(2,3) D．(－2,2)
(2)已知入射光线经过点 M(－3,4)，被直线 l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点
N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为____________．
(3)如图，已知A(－2,0)，B(2,0)，C(0,2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射
到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的
斜率的取值范围为________．解析：(1)根据题意画出大致图象，如图．设点A关于直线x－2y＋8＝0的对称点为
A(m，n)．
1
则有
解得
故A(－2,8)．此时直线AB的方程为x＝－2.所以当点P是直线AB与直线l：x－2y＋
1 1 1
8＝0的交点时，|PA|＋|PB|最小，将x＝－2代入x－2y＋8＝0，得y＝3，故点P的坐标为
(－2,3)．
(3)设点M(－3，4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线
过点M′，
则
解得即M′(1,0)．
又反射光线经过点N(2,6)，
所以所求直线的方程为y－0＝·(x－1)，即6x－y－6＝0.
(3)从特殊位置考虑．如图，
因为点A(－2,0)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为A(2,4)，所以kAF＝4.
1 1
又点E(－1,0)关于直线AC: y＝x＋2的对称点为 E(－2，1)，点E(－2,1)关于直线
1 1
BC：x＋y＝2 的对称点为 E(1,4)，此时直线 EF 的斜率不存在，所以 kFD>kAF，即
2 2 1
k ∈(4，＋∞)．
FD
答案：(1)B (2)6x－y－6＝0 (3)(4，＋∞)
题型 交点及直线系方程典例4(1)求证： 动直线 (2 ＋ λ ) x － (1 ＋ λ )· y － 2(3 ＋ 2 λ ) ＝ 0( 其中 λ ∈ R ) 恒过定点 ，并
三种常见解法
求出定点坐标．
(2)求经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－
若从切入点1入手，设所求直线：2x＋3y＋1＋λ(x－3y＋4)＝0，再利用垂直AA ＋
1 2
B B ＝0得λ，即得所求直线．
1 2
3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋
切入点1 切入点2
4y－7＝0的直线方程．
若从切入点2入手，设所求直线：4x－3y＋m＝0，再将交点代入得m.
(1)证明：方法一：令λ＝0，则直线方程为2x－y－6＝0①.
再令λ＝1，则直线方程为3x－2y－10＝0②.
①和②联立得方程组
得
将点(2，－2)代入动直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0中，
即(2＋λ)×2－(1＋λ)×(－2)－2(3＋2λ)＝0，
故点(2，－2)恒满足动直线方程，所以动直线(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0恒过定点
(2，－2)．
方法二：将动直线方程按λ降幂排列整理，得(x－y－4)λ＋(2x－y－6)＝0 ①，
不论λ为何实数，①式恒为零，
所以有解得
故动直线恒过定点(2，－2)．
(2)解：方法一：由方程组
解得∴交点为.
∵所求直线与3x＋4y－7＝0垂直，
∴所求直线的斜率k＝.
由点斜式，得y－＝.
故所求直线的方程为4x－3y＋9＝0.
方法二：设所求直线的方程为4x－3y＋m＝0.
同方法一中求得交点坐标，代入上式得4×－3×＋m＝0.
∴m＝9，代入所设方程．
故所求直线的方程为4x－3y＋9＝0.
方法三：设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0.
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0①.
又∵直线①与3x＋4y－7＝0垂直．
则有3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，∴λ＝2.代入①式得所求直线的方程为4x－3y＋9＝0.
几种常用的直线系方程
巧用直线系，可减少计算量，事半功倍．
(1)共点直线系方程：经过两直线l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0交点的直
1 1 1 1 2 2 2 2
线系方程为Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By＋C )＝0，其中AB－AB≠0，待定系数λ∈R.在这个
1 1 1 2 2 2 1 2 2 1
方程中，无论λ取什么实数，都得不到Ax＋By＋C ＝0，因此它不能表示直线l.
2 2 2 2
(2)过定点(x，y)的直线系方程为y－y＝k(x－x)(k为参数)及x＝x.
0 0 0 0 0
(3)平行直线系方程：与直线 y＝kx＋b平行的直线系方程为 y＝kx＋m(m为参数且
m≠b)；与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C，λ是参数)．
(4)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0(λ为参
数)．
如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，那么可选用直线
系方程来求解．
对点练4(1)(2024·北京东城区模拟)已知三条直线l ：x－2y＋2＝0，l ：x－2＝0，l ：x
1 2 3
＋ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
(2)已知直线kx－y＋2k－1＝0恒过定点A，点A也在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，
n均为正数，则＋的最小值为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：(1)当三条直线交于一点时，可将平面分为六个部分，
联立l：x－2y＋2＝0与l：x－2＝0，解得
1 2
将代入l：x＋ky＝0得2k＋2＝0，解得k＝－1；
3
当l：x＋ky＝0与l：x－2y＋2＝0平行时，可将平面分为六个部分，此时k＝－2；
3 1
当l：x＋ky＝0与l：x－2＝0平行时，可将平面分为六个部分，此时k＝0.
3 2
综上，满足条件的k的值共有3个．
(2)kx－y＋2k－1＝0变形为k(x＋2)＝y＋1，所以定点A(－2，－1)，代入直线mx＋ny
＋1＝0，得2m＋n＝1.
所以＋＝(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即m＝，n＝时等号成立，取得最小
值8.
答案：(1)C (2)D
