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9.1 直线方程与圆的方程（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 直线的倾斜角与斜率
【例1-1】直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知得 ， 故直线斜率 由于倾斜的范围是 ，则倾斜角为 .
故答案为：B.
【例1-2】已知 ，且 三点共线，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
因为 三点共线，所以 ，即 ，解得 ，
所以 。故答案为：A.
【例1-3】直线 与 的夹角为 ．【答案】
【解析】直线 的斜率 ，即倾斜角 满足 ，
直线 的斜率 ，即倾斜角 满足 ，
所以 ，所以 ，
又两直线夹角的范围为 ，所以两直线夹角为 ，故答案为： .
【一隅三反】
1.（2022·全国·高二）若倾斜角为 的直线过 ， 两点，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为直线的倾斜角为 ，所以直线的斜率为 ，所以 ，解得 ；
故选：C
2．（2022·吉林）已知直线l： 的倾斜角为 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．－1
【答案】A
【解析】因为直线l的倾斜角为 ，所以斜率 .所以 ，解得： .
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）设直线 的斜率为 ，且 ，则直线 的倾斜角 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为直线 的斜率为 ，且 ， ，因为 ， .
故选：A.
4.（2022·江苏）已知直线的倾斜角的范围是 ，则此直线的斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当直线的倾斜角 时，直线的斜率 ，因 ，
则当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
所以直线的斜率k的取值范围是 .故选：D
考点二 直线的位置关系
【例2-1】若 ，则“ ”是“直线 和直线 平行”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】由直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行，可得ab=1.反之不成立，例如a=b=1时，两条直线都为x+y-1=0，所以两条直线重合.
ab=1是“直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行”的必要不充分条件.故选C.
【例2-2】已知直线 ， ，且 ，点 到直线 的距离 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可得 ，解得 ，故 故答案为：D
【一隅三反】
1．“ ”是“直线 ： 与直线 ： 互相垂直”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】依题意， ，解得 或 ，
所以“ ”是“直线 ： 与直线 ： 互相垂直”的充分
不必要条件.故答案为：A
2．（2022广东）已知直线 ： .直线 ： ，则下列命题正确
的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．直线 过定点 D．直线 过定点
【答案】BCD【解析】A. 若 ，则 或 ，经检验此时两直
线平行，所以该选项错误；
B. 若 ，则 ，所以该选项正确；
C. 直线 当 时，无论 取何值， 恒成立，所以此时直线 过定点 ，
所以该选项正确；
D. 直线 当 时，无论 取何值， 恒成立，所以直线 过定点 ，所以
该选项正确.故答案为：BCD
3．若方程组 无解，则实数 ．
【答案】±2
【解析】因为方程组 无解， 所以两直线平行，可得 .
考点三 直线与圆的位置关系
【例3-1】（2022浙江）当圆 截直线 所得的弦长最短时，m的
值为（ ）
A． B． C．-1 D．1
【答案】C
【解析】直线 过定点 ， 圆 的圆心为 ，半径 ，
当 时，圆 截直线 所得的弦长最短，由于 ，所以 ，即 .故答案为：C
【例3-2】已知圆 经过原点，则圆上的点到直线 距离的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图： 圆心为 ，经过原点，
可得
则圆心 在单位圆 上，原点 到直线 的距离为
延长BO交 于点C，以C为圆心，OC为半径作圆C，BC延长线交圆C于点D，
当圆心 在C处时，点 到直线 的距离最大为
此时，圆 上点D到直线 的距离最大为
故答案为：B
【一隅三反】1（2022江苏）．过点 的直线l与圆 有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设直线的倾斜角为 ，圆心到直线l的距离为 ，当直线l的斜率不存在时，易得 ，
此时 ，符合题意， ；
当直线l的斜率存在时，设直线 ，即 ，此时 ，
解得 或 ，即 或 ；综上可得 .故答案为：C.
2．（2022江西）若直线l∶ 截圆 所得的弦长为2，则k的值为 .
【答案】
【解析】由题意得，圆心 到直线 的距离为 ，则 ，即
，解得 . 故答案为：
3．（2022江苏）若直线 与圆 相切，则实数 ．
【答案】25
【解析】 直线 与圆 相切，圆心到直线的距离
平方可得 ，解得
故答案为：25
4．（2022湖南）若圆 上总存在两个点到点 的距离为2，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】到点 的距离为2的点在圆 上，
所以问题等价于圆 上总存在两个点也在圆 上，
即两圆相交，故 ，所以 或 .故选：A.
考点四 圆与圆的位置关系
【例4-1】（2022徐汇期末）已知圆 和圆 内切，
则m的值为 ．
【答案】
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ， 圆 的圆心为 ，半径为 ，
所以两圆的圆心距 ，
又因为两圆内切，有 ，解得 .故答案为： .【例4-2】（2022·河东模拟）圆 与圆 的公共弦长为 ．
【答案】
【解析】两圆方程相减得 ，即 ，
原点到此直线距离为 ，圆 半径为 ，
所以所求公共弦长为 ．故答案为： ．
【例4-3】（2022南京期末）已知圆 ，圆 ，则
同时与圆 和圆 相切的直线有（ ）
A．4条 B．2条 C．1条 D．0条
【答案】B
【解析】由 ，得圆 ，半径为 ，
由 ，得 ，半径为
所以 ，
， ，
所以 ，所以圆 与圆 相交，
所以圆 与圆 有两条公共的切线。故答案为：B.
【一隅三反】
1．（2022汉中期中）已知 ， ，那么它们的位置关系是（ ）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
【答案】C
【解析】 方程可化为 ，得 ， ，
方程可化为 ，得 ， ， ，
，故两圆相交。故答案为：C.
2．（2022·邯郸模拟）已知圆 ： 和圆 ： ，则“ ”是“圆 与
圆 内切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若圆 与圆 内切，则圆心距 ，即 ，得 或 ，
所以 是圆 与圆 内切的充分不必要条件.故答案为：A
3．（2022·河西模拟）设 与 相交于 两点，则
．
【答案】
【解析】将 和 两式相减：
得过 两点的直线方程： ，则圆心 到 的距离为 ，
所以 ，故答案为：4．（2022·石家庄模拟）（多选）已知圆 与圆
，则下列说法正确的是（ ）
A．若圆 与x轴相切，则
B．若 ，则圆 与圆 相离
C．若圆 与圆 有公共弦，则公共弦所在的直线方程为
D．直线 与圆 始终有两个交点
【答案】BD
【解析】因为圆 ，
所以若圆 与x轴相切，则有 ，A不符合题意；
当 时， ，两圆相离，B符合题意；
由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程 ，
C不符合题意；
直线 过定点 ，而 ，故点 在圆
内部，所以直线 与圆 始终有两个交点，D符合题意.
故答案为：BD
考点五 切线与切线长
【例5-1】（2022·朝阳模拟）过点 作圆 的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C【解析】由圆心为 ，半径为 ，
斜率存在时，设切线为 ，则 ，可得 ，
所以 ，即 ，
斜率不存在时 ，显然不与圆相切；综上，切线方程为 .故答案为：C
【例5-2】（2022·湖北模拟）若圆 关于直线 对称，则从点
向圆 作切线，切线长最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由圆 ，可得 ，
∴圆心 ，又圆 关于直线 对称，
∴ ，即 ，
由点 向圆 所作的切线长为：
，
即切线长最小值为4.故答案为：C.
【例5-3】（2022·广东模拟）（多选）已知圆 和圆 ，过圆 上任
意一点 作圆 的两条切线，设两切点分别为 ，则（ ）
A．线段 的长度大于
B．线段 的长度小于C．当直线 与圆 相切时，原点 到直线 的距离为
D．当直线 平分圆 的周长时，原点 到直线 的距离为
【答案】A,D
【解析】如图示： ，
根据直角三角形的等面积方法可得， ，
由于 ，故 ，
由于 ，A符合题意，B不符合题意；
当直线 与圆 相切时，由题意可知AP斜率存在，
故设AP方程为 ，
则有 ，即 ，
即 或 ，
设原点 到直线 的距离为d，则 ，当 时， ；当 时， ，C不符合题意；
当直线 平分圆 的周长时，即直线 过点 ，
AP斜率存在，设直线 方程为 ，即 ，
则 ，即 ，
故原点 到直线 的距离为 ，则 ，D符合题意；
故答案为：：AD
【一隅三反】
1．（2022·兴化模拟）从圆 外一点 向圆引切线，则此切线的长为
．
【答案】2
【解析】将圆化为标准方程： ，则圆心 ，半径1，
如图，
设 ， ，切线长 ．
故答案为：22．（2022·广西模拟）过圆 上一点A作圆 的切线，切点为B，则 的最
小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解析】设圆 与圆 的圆心分别为O，C，则 ，当
最小时， 最小，由于点A在圆O上，则 的最小值为 ，所以 的最小
值为 . 故答案为：B.
3.（2022·陕西模拟）已知圆 ，P为直线 上的动点，过点P作圆C
的切线 ，切点为A，当 的面积最小时， 的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知， ，半径 ，圆心 ，所以 ，要使 的面积最小，即 最小，
的最小值为点 到直线 的距离 ，即当 点运动到 时，
最小，直线 的斜率为 ，此时直线 的方程为 ，由 ，解得
，所以 ，因为 是直角三角形，所以斜边 的中点坐标为 ，而
，所以 的外接圆圆心为 ，半径为 ，所以 的外
接圆的方程为 .故答案为：C.
考点六 对称问题
【例6-1】（2022广东）如果 关于直线l的对称点为 ，则直线l的方程是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为已知点 关于直线l的对称点为 ，
故直线l为线段 的中垂线，
求得 的中点坐标为 ，
的斜率为 ，故直线l的斜率为-3，故直线l的方程为 ，即 。
故答案为：A.
【例6-2】（2022云南）与直线2x+y－1=0关于点（1，0）对称的直线方程是（ ）
A．2x+y－3=0 B．2x+y+3=0 C．x+2y+3=0 D．x+2y－3=0
【答案】A
【解析】在所求直线上取点（x，y），关于点（1，0）对称的点的坐标为（a，b），则
， ∴a=2-x，b=-y，∵（a，b）在直线2x+y-1=0上，
∴2a+b-1=0，∴2（2-x）-y-1=0，∴2x+y-3=0，故答案为：A。
【例6-3】（2022海南）求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（ ）
A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0
【答案】B
【解析】设对称直线方程为 ， ，解得 或 （舍
去），
所以所求直线方程为 。故答案为：B
【一隅三反】
1．（2022河北）已知直线 ，直线 与 关于直线 对称，则直线
的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】联立 ，解得 ，
所以直线 与直线 的交点为 ，所以点 在直线 上，
所以可设直线 即 ，
在直线 上取一点 ，则该点到直线 与 的距离相等，
所以 ，解得 或 （舍去）.
所以直线 的斜率为 .
故答案为：D.
2．直线l：x－y＋1＝0关于x轴对称的直线方程为 ( )
A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0 C．x＋y＋1＝0 D．x－y－1＝0
【答案】C
【解析】直线l：x﹣y+1=0即y=x+1关于x轴对称的直线方程为的斜率为﹣1，在y轴上的截距为﹣
1，
∴要求的直线方程为：y=﹣x﹣1，即x+y+1=0．故答案为：C．
3.已知直线 ，直线 ，则 关于 对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知直线 与直线 交于点 ，且点 在 上，
设点 关于 对称的点的坐标为 ，则 解得
则直线 的方程为 ，即 关于 对称的直线方程为 ．
故答案为：D
