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专题 15 直线与圆
一、知识速览
二、考点速览知识点1 直线的方程
1、直线的倾斜角
（1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l
的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.
（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．
2、直线的斜率
（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，
倾斜角是的直线没有斜率．
（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)的直线的斜率公式为k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
3、直线方程的五种形式
形式 几何条件 方程 适用范围
点斜式 过一点(x，y)，斜率k y－y＝k(x－x) 与x轴不垂直的直线
0 0 0 0
斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线
与x轴、y轴均不垂直的
两点式 过两点(x，y)，(x，y) ＝
1 1 2 2
直线
不含垂直于坐标轴和过原
截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1
点的直线
平面直角坐标系内所有直
一般式 Ax＋By＋C＝0
线（A2＋B2≠0）
【注意】“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．
知识点2 两条直线的位置关系
1、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
①对于两条不重合的直线l，l，若其斜率分别为k，k，则有l∥l k ＝ k.
1 2 1 2 1 2 1 2
②当直线l，l 不重合且斜率都不存在时，l∥l.
1 2 1 2 ⇔
（2）两条直线垂直
①如果两条直线l，l 的斜率存在，设为k，k，则有l⊥l k · k ＝－ 1.
1 2 1 2 1 2 1 2
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l⊥l.
⇔ 1 2
2、两条直线的交点的求法
直线l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0(A，B，C ，A，B，C 为常数)，
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2
则l 与l 的交点坐标就是方程组的解．
1 2
3、三种距离公式
（1）平面上的两点P(x，y)，P(x，y)间的距离公式|PP|＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
（2）点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0
（3）两条平行线Ax＋By＋C ＝0与Ax＋By＋C ＝0间的距离d＝.
1 2
4、直线系方程的常见类型
（1）过定点P(x，y)的直线系方程是：y－y＝k(x－x)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x)，也就是平
0 0 0 0 0
常所提到的直线的点斜式方程；
（2）平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Ax＋By＋λ＝0(λ是参数且λ≠C)；
（3）垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
（4）过两条已知直线l：Ax＋By＋C ＝0和l：Ax＋By＋C ＝0的交点的直线系方程是：
1 1 1 1 2 2 2 2
Ax＋By＋C ＋λ(Ax＋By＋C )＝0(λ∈R，但不包括l)．
1 1 1 2 2 2 2
知识点3 圆的方程
1、圆的定义及方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b)半径：r
圆心：
一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
半径：r＝
2、点与圆的位置关系
点M(x，y)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
0 0
理论依据 点到圆心的距离与半径的大小关系
(x－a)2＋(y－b)2r2 点在圆上
三种情况 0 0
(x－a)2＋(y－b)2r2 点在圆外
0 0 ⇔
⇔(x－a)2＋(y－b)2r2 点在圆内
0 0
3、二元二次方程与圆的关系
⇔
不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时
才表示圆．
若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：
（1）当F＝0时，圆过原点．
（2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．
（3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．
（4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．
知识点4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1、直线与圆的位置关系及判断
（1）三种位置关系：相交、相切、相离．
（2）两种判断方法：
①――――――――――――――――→
②――――――――――――→
2、圆的切线与切线长
（1）过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x，y)的切线方程是xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x，y)的切线方程是(x－a)(x－a)＋(y－b)(y－b)＝r2.
0 0 0 0
（2）过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x ，y)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜
0 0
率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x.
0
（3）切线长
①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x，y)引圆的两条切线，
0 0
切线长为 .
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b
的积，即b＝.
【注意】过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
3、圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
（1）几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2.
（2）代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则有|AB|＝|x－x|＝|y－y|.
1 2 1 2
4、圆与圆的位置关系(两圆半径为r，r，d＝|OO|)
1 2 1 2
相离 外切 相交 内切 内含图形
| r － r | ＜ d ＜
1 2
量的关系 d＞r＋r d＝r＋r d＝|r－r| d ＜ | r － r|
1 2 1 2 1 2 1 2
r ＋ r
1 2
【注意】涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
一、直线的倾斜角与斜率范围的求法
1、求倾斜角的取值范围的一般步骤
（1）求出斜率k＝tan α的取值范围．
（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2、斜率取值范围的2种求法
（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；
（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可
【典例1】（22·23高三上·遂宁·期末）直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（22·23高三·全国·课时练习）已知过点 和 的直线 的倾斜角为钝角，
则实数 的取值范围是 .
【典例3】（22·23高三·全国·课时练习）设点 ， ，直线 过点 且与线段 相交，
则直线 的斜率k的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
二、求解直线方程的两种方法
（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；
（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)
求出参数；④把参数的值代入所设直线方程【典例1】（2023高三·上海浦东新·模拟预测）过点 且在 轴， 轴上截距相等的直线方程为
【典例2】（2023高三·全国·专题练习）已知一条直线经过点A（2,－ ），且它的倾斜角等于直线x－
y＝0倾斜角的2倍，则这条直线的方程为 ；
【典例3】（23·24高三上·全国·课时练习）写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式：
（1）经过点 ，倾斜角是直线 的倾斜角的2倍；
（2）经过两点 ， ；
（3）经过点 ，平行于x轴；
（4）在x轴，y轴上的截距分别为 ， ．
三、由一般式方程确定两直线位置关系的方法
l：Ax＋By＋C ＝0(A＋B≠0)，
1 1 1 1
直线方程
l：Ax＋By＋C ＝0(A＋B≠0)
2 2 2 2
l 与l 垂直的充要条件 AA＋BB＝0
1 2 1 2 1 2
l 与l 平行的充分条件 ＝≠(ABC ≠0)
1 2 2 2 2
l 与l 相交的充分条件 ≠(AB≠0)
1 2 2 2
l 与l 重合的充分条件 ＝＝(ABC ≠0)
1 2 2 2 2
【典例1】（23·24高三上·江苏连云港·阶段练习）“ ”是“直线 ： 与 ：
平行”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【典例2】（2023高三·湖北·一模）（多选）已知 ， ，直线 ： ， ：
，且 ，则（ ）
A． B． C． D．【典例3】（2022高三·全国·专题练习）已知直线 和 ，则（ ）
A． 和 可能重合 B． 和 不可能垂直
C．存在直线 上一点 ， 以 为中心旋转后与 重合 D．以上都不对
四、两条直线的交点与距离问题
1、求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也
可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程．
2、点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．
【典例1】（2024高三·全国·专题练习）点 到直线 的距离是 ．
【典例2】（22·23高三上·重庆·阶段练习）已知两条平行直线 ： ， ： 间的距
离为 ，则 ．
【典例3】（2023高三·全国·专题练习）若三条直线 相交于同一点，
则点 到原点的距离的最小值为 ． .
五、对称问题的求解方法
1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．
3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，
则有
4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．
【典例1】（22·23高三·全国·对口高考）点 关于直线 的对称点的坐标为 ．
【典例2】（22·23高三上·河北廊坊·阶段练习）与直线 关于点 对称的直线的方程为
.【典例3】（2023高三·福建厦门·模拟预测）已知直线 ： 关于直线 的对称直线为 轴，则
的方程为 .
六、求圆的方程的两种方法
1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关
于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F的
方程组，进而求出D，E，F的值．
【典例1】（2023高三·河南·模拟预测）圆心在射线 上，半径为5，且经过坐标原点的圆的方
程为（ ）.
A． B．
C． D．
【典例2】（2023高三·天津·二模）经过点 的圆的方程为 .
七、解决有关弦长问题的常用方法及结论
1、几何法：如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系
式：|AB|＝2
2、代数法：若斜率为k的直线与圆相交于A(x ，y )，B(x ，y )两点，
A A B B
则|AB|＝·＝ ·|y －y | (其中k≠0)．
A B
特别地，当k＝0时，|AB|＝|x －x |；当斜率不存在时，|AB|＝|y －y |，
A B A B
【典例1】（22·23高三上·广东深圳·期中）“ ”是“直线 被圆 所截得的弦
长等于 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例2】（2023高三·全国·专题练习）若直线过点 且被圆 截得的弦长是6，则该直线的
方程为 .
【典例3】（2023高三·湖南·模拟预测）若直线l： 与圆C： 相交于A，B
两点， ，则直线l的斜率的取值范围为 .
八、求过一点(x，y)的圆的切线方程的方法
0 0
1、几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y ＝k(x－x)，即kx－y＋y －kx ＝0.由圆心到直线的
0 0 0 0
距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；
2、代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y ＝k(x－x)，即y＝kx－kx ＋y ，代入圆的方程，得
0 0 0 0
到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证
【典例1】（23·24高三上·浙江·阶段练习）过圆 上点 的切线方程为 ．
【典例2】（2023高三·江苏·二模）过点 且与圆 ： 相切的直线方程为
九、求与圆有关的轨迹问题的方法
1、直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
2、定义法：根据圆、直线等定义列方程；
3、几何法：利用圆的几何性质列方程；
4、代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
【典例1】（2023高三·陕西咸阳·模拟预测）已知椭圆 方程为 ，过平面内的点 作椭圆 的
两条互相垂直的切线，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（22·23高三上·甘肃平凉·期中）动点 与定点 的连线的斜率之积为 ，则点的轨迹方程是 .
【典例3】（23·24高三上·河南·阶段练习）已知圆 ，过点 的直线 与圆 交于
两点， 是 的中点，则 点的轨迹方程为 ．
易错点1 误解“截距”和“距离”的关系
点拨：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是
非负数，对此考生应高度重视。
【典例1】（2023高三·全国·专题练习）过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程
为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【典例2】（22·23高三·全国·对口高考）经过点 ，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是
．
易错点2 平行线间的距离公式使用不当
点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其
他条件求解．
【典例1】（22·23高三下·上海·阶段练习）平行直线 与 之间的距离为
．
【典例2】（2023高三·上海静安·一模）若直线 与直线 平行，则这两条直线间
的距离是 ．易错点3 忽视斜率不存在的情况
点拨： (1)在解决两直线平行的相关问题时，若利用l∥l k ＝k 求解，忽略k ，k 不存在的情况，就会
1 2 1 2 1 2
导致漏解．
⇔
(2)对于解决两直线垂直的相关问题时，若利用l⊥l k·k ＝－1求解，要注意其前提条件是k 与k 必须同
1 2 1 2 1 2
时存在．
⇔
【典例1】（22·23高三·全国·课时练习）直线 与直线 的位置关系是（ ）
A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合
【典例2】（22·23高三·全国·课时练习）已知两直线 ， ，当m为
何值时， 与 有以下位置关系：
(1)相交；
(2)平行.
易错点4 遗漏方程表示圆的充要条件
点拨：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0，在此条件下，再根据其
他条件求解．
【典例1】（2023·甘肃定西·模拟预测）若点 在圆 的外部，则a的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【典例2】（22·23高三·全国·课时练习）若圆 ： 过坐标
原点，则实数 的值为（ ）
A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1
