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202届高考数学三轮冲刺保温练卷：直线的点斜式与斜截式方程
一、选择题（共20小题；）
1. 直线 y=3x 绕原点逆时针旋转 90∘，所得到的直线为 ()
1 1
A. y=− x B. y= x C. y=3x−3 D. y=−3x
3 3
2. 直线 y=kx−3k+2(k∈R) 必过定点 ()
A. (3,2) B. (−3,2) C. (−3,−2) D. (3,−2)
3. 倾斜角等于 45∘，在 y 轴上的截距等于 2 的直线方程是 ()
A. y=−x−2 B. y=−x+2 C. y=x−2 D. y=x+2
4. 直线 l 的方程为 y=xtanα+2，则 ()
A. α 一定是直线的倾斜角 B. α 一定不是直线的倾斜角
C. 180∘−α 一定是直线的倾斜角 D. α 不一定是直线的倾斜角
5. 直线 ax+by=1 （ a,b 不为 0 ）与两坐标轴围成的三角形的面积为 ()
1 1 1 1
A. ab B. ∣ab∣ C. D.
2 2 2ab 2∣ab∣
6. 直线 ax+by+c=0 的倾斜角为 135∘，则 a，b 满足 ()
A. a+b=1 B. a−b=1 C. a+b=0 D. a−b=0
7. 在同一平面直角坐标系中表示 y=ax 与 y=x+a，可能正确的是 ()
A. B.
C. D.
3
8. 直线 y−3=− (x+4) 的斜率为 k，在 y 轴上的截距为 b，则有 ()
2
3 3
A. k=− ，b=3 B. k=− ，b=−2
2 2
3 2
C. k=− ，b=−3 D. k=− ，b=−3
2 39. 在等腰三角形 AOB 中，AO=AB，点 O(0,0)，A(1,3)，点 B 在 x 轴的正半轴上，则直线
AB 的方程为 ()
A. y−1=3(x−3) B. y−1=−3(x−3)
C. y−3=3(x−1) D. y−3=−3(x−1)
10. 直线 y=ax+b 和 y=bx+a 在同一直角坐标系中的图形可能是 ()
A. B.
C. D.
11. 与直线 y=−2x+3 平行，且与直线 y=3x+4 交于 x 轴上的同一点的直线方程是 ()
8 1 8
A. y=−2x+4 B. y=−x+4 C. y=−2x− D. y=− x−
3 2 3
12. 方程 y−y =k(x−x ) ()
0 0
A. 可以表示任何直线 B. 不能表示过原点的直线
C. 不能表示与 y 轴垂直的直线 D. 不能表示与 x 轴垂直的直线
13. 已知两点 A(3,0)，B(0,4) ，动点 P(x,y) 在线段 AB 上运动，则 xy ()
A. 无最小值且无最大值 B. 无最小值但有最大值
C. 有最小值但无最大值 D. 有最小值且有最大值
14. 在平面直角坐标系中，如果 x 与 y 都是整数，就称点 (x,y) 为整点，则下列结论不正确的
是 ()
A. 存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点．
B. 如果 k 与 b 都是无理数，那么直线 y=kx+b 不经过任何整点．
C. 直线 l 经过无穷多个整点，当且仅当 l 经过两个不同的整点．
D. 存在恰经过一个整点的直线．
15. 过点 (−2,3)，倾斜角等于直线 2x−y+3=0 的倾斜角的直线方程为 ()
A. −2x+ y−7=0 B. −x+2y−8=0
C. 2x+ y+1=0 D. x+2y−4=0
16. 在平面直角坐标系中，下列四个结论：① 每一条直线都有点斜式和斜截式方程；
② 倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；
y+1
③ 方程 k= 与方程 y+1=k(x−2) 可表示同一直线；
x−2
④ 直线 l 过点 P(x ,y )，倾斜角为 90∘，则其方程为 x=x ．
0 0 0
其中正确的为 ()
A. ②④ B. ②③ C. ①② D. ③④
3
17. 经过直线 2x+ y+5=0 与 x−3 y+4=0 的交点且斜率为 − 的直线的方程为 ()
19
A. 19x−3 y=0 B. 19x−9 y=0 C. 9x+19 y=0 D. 3x+19 y=0
18. 在平面直角坐标系中，下列四个结论：
①每一条直线都有点斜式和斜截式方程；
②倾斜角是钝角的直线，斜率为负数；
y+1
③方程 k= 与方程 y+1=k(x−2) 可表示同一直线；
x−2
④直线 l 过点 P(x ,y )，倾斜角为 90∘，则其方程为 x=x ．
0 0 0
其中正确的个数为 ()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
19. 在同一平面直角坐标系中，直线 l :ax+ y+b=0 和直线 l :bx+ y+a=0 有可能是 ()
1 2
A. B.
C. D.
20. 直线 l 过点 A(2,11)，且与点 B(−1,2) 的距离最远，则直线 l 的方程为 ()
A. 3x−y−5=0 B. 3x−y+5=0 C. x＋3 y+13=0 D. x＋3 y−35=0
二、填空题（共5小题；）
21. 经过点 A(1,0) 且与直线 x−y+3=0 成 30∘ 角的直线方程为 ．
22. 直线 l 过点 A(1,1)，且 l 在 y 轴上的截距的取值范围为 (0,2)，则直线 l 的斜率的取值范
围为 ．23. 已知 △ABC 的三个顶点 A(1,1)，B(−2,−1)，C(3,−3) ，则边 AB 的中线所在直线的方
程为 ．
24. 若 ab>0，ac<0，则直线 ax+by+c=0 不经过第 象限．
25. 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中 A 的横、纵坐标分别为
i
第 i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点 B 的横、纵坐标分别为第 i 名工人下午的工
i
作时间和加工的零件数，i=1,2,3．
（1）记 Q 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，则 Q ，Q ，Q 中最大的是
i 1 2 3
．
（2）记 p 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p ，p ，p 中最大的是
i 1 2 3
．
三、解答题（共5小题；）
26. 已知 △ABC 的三个顶点的坐标分别 A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，求此三角形的三条高所在直
线的方程．
27. △ABC 的三个顶点分别为 A(2,0)，B(4,4)，C(0,3)，求：
（1）AC 边所在直线的方程；
（2）AC 边的垂直平分线 DE 所在直线的方程．
28. 已知直线 l 过点 P(2,1)，且与两轴围成等腰直角三角形，求直线 l 的方程．
29. 在 △ABC 中，已知点 A(3,−1) 和点 B(10,5)，∠B 的平分线所在直线 BD 的方程为
x−4 y+10=0，求 BC 边所在直线的方程．
30. 已知直线 l 过点 (1,3)，且与 x 轴、 y 轴都交于正半轴，当直线 l 与坐标轴围成的三角形面
积取得最小值时，求：
（1）直线 l 的方程；
（2）直线 l 关于直线 m:y=2x−1 对称的直线方程．答案
第一部分
1. A
2. A 【解析】将直线方程写成 y=(x−3)k+2，逆用点斜式方程求解．
3. D 【解析】由倾斜角等于 45∘ 得直线的斜率是 1，又在 y 轴上的截距等于 2，则直线的方程
是 y=x+2．
4. D 【解析】y=xtanα+2 中斜率为 tanα，但 α 并不一定为倾斜角．
5. D
6. D 【解析】当直线的倾斜角为 135∘ 时，直线的斜率为 −1，
a c a
将直线方程化为 y=− x− ，则其斜率 k=− =−1，
b b b
所以 a−b=0．
7. C
8. C
9. D 【解析】因为 AO=AB，所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数，所以
k =−k =−3，所以直线 AB 的点斜式方程为：y−3=−3(x−1)．
AB OA
10. D
【解析】在A中，一条直线的斜率与在 y 轴上的截距均大于零，即 ab>0，而另一条直线的斜率大
于零，且在 y 轴上的截距小于零，即 ab<0，这与“ab>0”矛盾．故A不可能．同理B和C均不可
能．
11. C 【解析】直线 y=−2x+3 的斜率为 −2，则所求直线斜率 k=−2，直线方程 y=3x+4 中，
4 ( 4 )
令 y=0，得 x=− ，即所求直线与 x 轴的交点坐标为 − ,0 ．故所求直线方程为
3 3
( 4) 8
y=−2 x+ ，即 y=−2x− ．
3 3
12. D
x y
13. D 【解析】线段 AB 的方程为 + =1(0≤x≤3) ，
3 4
( x)
于是，y=4 1− (0≤x≤3) ，
3
( x) 4( 3) 2
从而 xy=4x 1− =− x− +3．
3 3 2
3
显然，x= 时，xy 有最大值 3；x=0 或 x=3 时，xy 有最小值 0．
2
14. B 【解析】提示：当 k=√3，b=√3 时，直线 y=kx+b 经过整数点 (−1,0)．
15. A
【解析】过点 (−2,3)，倾斜角等于直线 2x−y+3=0 的倾斜角的直线方程设为 2x−y+c=0，
所以 −2×2−3+c=0，解得 c=7，
故方程为 2x−y+7=0，即为 −2x+ y−7=0．16. A 【解析】对于 ①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；
对于 ②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；
y+1
对于 ③，方程 k= (x≠2) 与方程 y+1=k(x−2)(x∈R) 不表示同一直线，故错；
x−2
对于 ④，直线 l 过点 P(x ,y )，倾斜角为 90∘，则其方程为 x=x ，正确．
0 0 0
{2x+ y+5=0, ( 19 3) 3
17. D 【解析】由 解得交点坐标 − , ，又 k=− ，则方程为
x−3 y+4=0 7 7 19
3 3 ( 19)
y− =− x+ ，即 3x+19 y=0．
7 19 7
18. B 【解析】对于①，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故错；
对于②，由倾斜角与斜率的关系知，倾斜角是钝角的直线，斜率为负数，正确；
y+1
对于③，方程 k= (x≠2) 与方程 y+1=k(x−2)(x∈R) 不表示同一直线，故错；
x−2
对于④，直线 l 过点 P(x ,y )，倾斜角为 90∘，则其方程为 x=x ，正确．
0 0 0
19. B 【解析】直线 l :y=−ax−b，l :y=−bx−a，可知 l 的斜率是 l 的纵截距，l 的纵截距
1 2 1 2 1
是 l 的斜率，
2
在A选项中，l 的纵截距为正，而 l 的斜率为负，不合题意，排除A，
1 2
同理可排除C，D．
20. D
【解析】当 l⊥AB 时符合要求，
11−2 1
因为 k = =3，所以 l 的斜率为 − ，
AB 2−(−1) 3
1
所以直线 l 的方程为 y−11=− (x−2)，
3
即 x＋3 y−35=0．
第二部分
21. y=(2−√3)x−2+√3 或 y=(2+√3)x−2−√3
22. (−1,1)
【解析】因为 A 与原点的连线的斜率为 1，A 与 (0,2) 的连线的斜率为 −1，故填 (−1,1)．
6 3
23. y=− x−
7 7
24. 三
a c a
【解析】直线的斜截式方程为 y=− x− ，因为 ac<0 且 ab>0，所以 bc<0，所以斜率 − <0，
b b b
c
在 y 轴上的截距 − >0．所以直线 ax+by+c=0 不通过第三象限．
b
25. Q ，p
1 2【解析】（1）若 Q 为第 i 名工人在这一天中加工的零件总数，Q =A 的纵坐标+B 的纵坐标 ；
i 1 1 1
Q =A 的纵坐标+B 的纵坐标，Q =A 的纵坐标+B 的纵坐标，由已知中图象可得：Q ，
2 2 2 3 3 3 1
Q ，Q 中最大的是 Q ；
2 3 1
（2）若 p 为第 i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则 p 为 A B 中点与原点连线的
i i i i
斜率，故 p ，p ，p 中最大的是 p ．
1 2 3 2
第三部分
26. 2x+7 y−21=0，3x+2y−12=0，4x−3 y−3=0．
27. （1） A(2,0)，C(0,3)，
3−0 3
可得 AC 的斜率为 k = =− ，
AC 0−2 2
3
由点斜式易得直线方程为 y=− (x−2)，
2
化为 3x+2y−6=0．
3−0 3
（2） 由 AC 的斜率为 k = =− ，
AC 0−2 2
2
可得直线 DE 的斜率为 ，
3
( 3)
线段 AC 的中点坐标为 1, ，
2
3 2
故由点斜式可得直线 DE 的方程为 y− = (x−1)，即为 4x−6 y+5=0．
2 3
π 3π
28. 由题意知，直线 l 的倾斜角为 或 ，则直线 l 的倾率为 1 或 −1，所以直线 l 的方程为
4 4
y−1=x−2 或 y−1=−(x−2)，即 x−y−1=0 或 x+ y−3=0．
29. 2x+9 y−65=0．
30. （1） 由已知，直线 l 的斜率存在，且小于 0，
设直线 y−3=k(x−1)，其中 k<0，
( 3 )
与 x 轴交于点 1− ,0 ，与 y 轴交于点 (0,3−k)，
k
1( 3) 1[ 9 ]
故 s= 1− (3−k)= 6+(−k)+ ≥6，等号成立的条件是 k=−3，
2 k 2 −k
相应地，l:3x+ y−6=0．
（2） 显然所求直线的斜率存在，设为 k，
−3−2 k−2 1
则 ∣ ∣=∣ ∣ 得 k= ，
1+(−3)×2 1+2k 3
{3x+ y−6=0, (7 9)
又由 得 l 与 m 的交点为 , ，该点也在所求直线上，
y=2x−1 5 5
故所求直线为 x−3 y+4=0．
