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考点 19 直线和圆的方程（核心考点讲与练）
一、直线与方程
1.直线的倾斜角
(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾
斜角为零度角.
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是 [ 0 ， π ).
2.直线的斜率
(1)定义：直线y＝kx＋b中的 系数 k 叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线斜率不存在.
(2)计算公式：若由A(x，y)，B(x，y)确定的直线不垂直于x轴，则k＝(x ≠ x ).若直线的倾斜角为
1 1 2 2 1 2
θ(θ≠)，则k＝tan__θ.
3.直线方程的五种形式
名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率 y ＝ k x ＋ b
与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率 y － y ＝ k (x － x )
0 0
与两坐标轴均不垂直的直
两点式 过两点 ＝
线
不过原点且与两坐标轴均
截距式 纵、横截距 ＋ ＝ 1
不垂直的直线
Ax＋By＋C＝0
一般式 所有直线
(A2＋B2≠0)
二、两条直线的位置关系
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行
对于两条不重合的直线l，l，其斜率分别为k，k，则有l∥l k ＝ k .特别地，当直线l，l的斜率都
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
不存在时，l与l平行. ⇔
1 2
(2)两条直线垂直
如果两条直线l，l斜率都存在，设为k，k，则l⊥l k · k ＝－ 1 ，当一条直线斜率为零，另一条直
1 2 1 2 1 2 1 2
线斜率不存在时，两条直线垂直. ⇔
2.两直线相交
直线l：Ax＋By＋C＝0和l：Ax＋By＋C＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
1 1 1 1 2 2 2 2相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解.
3.距离公式
(1)两点间的距离公式
平面上任意两点P(x，y)，P(x，y)间的距离公式为|PP|＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P(x，y)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0 0
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l：Ax＋By＋C＝0，l：Ax＋By＋C＝0间的距离d＝.
1 1 2 2
三、圆的方程
1.圆的定义和圆的方程
定义 在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆
圆心C(a，b)
标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
半径为r
方程 充要条件： D 2 ＋ E 2 － 4 F ＞ 0
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
一般 圆心坐标：
(D2＋E2－4F＞0)
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x，y)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|＞r M在圆外，即(x－a)2＋(y－b)2＞r2 M在圆外；
0 0
(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x
0
－a)2＋(y
0
－b)2＝r2 ⇔M在圆上；
(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x
0
－a)2＋(y
0
－b)2＜r2 ⇔M在圆内.
四、直线与⇔圆、圆与圆的位置关系 ⇔
1.直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法位置
几何法 代数法
关系
相交 d0
相切 d＝r Δ＝0
相离 d>r Δ<0
2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
R－r＜
几何特征 d＞R＋r d＝R＋r d＝R－r d＜R－r
d＜R＋r
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
1.求倾斜角的取值范围的一般步骤
(1)求出斜率k＝tan α的取值范围．
(2)利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．
2.已知两直线的一般方程
两直线方程l：Ax＋By＋C ＝0，l：Ax＋By＋C ＝0中系数A，B，C ，A，B，C 与垂直、平行的关
1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2
系：
AA＋BB＝0 l⊥l；
1 2 1 2 1 2
A
1
B
2
－A
2
B
1
＝0⇔且A
1
C
2
－A
2
C
1
≠0 l
1
∥l
2
.
3.判断直线与圆的位置关系常见⇔的方法：
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程随后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．
4.求圆的弦长的常用方法
(1)几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则( )2＝r2－d2.
(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：
设直线与圆的交点为A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则|AB|＝ |x－x|＝ .
1 2
5.(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．
(2)当两圆相交时求其公共弦所在直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公
共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．6.在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算
中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数
计算，这样既简单又不容易出错．
直线的倾斜角与斜率
一、单选题
1．（2022·山东淄博·模拟预测）若圆 的弦MN的中点为 ，则直线MN的
方程是（ ）
A． B． C． D．
2.（2021天津市第七中学月考）已知直线l的方程为 ，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．（2022·天津南开·一模）已知函数 ．若函数 的
图象经过四个象限，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东潍坊·二模）已知直线 ， ，若 ，则 ( )
A． B． C．3 D．－3
5．（2022·北京丰台·二模）已知双曲线C： （ ， ）的左、右顶点分别为 ， ，左、
右焦点分别为 ， ．以线段 为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点M，且点M在第一象限，与另一条渐近线平行．若 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（2022·湖南衡阳·二模）圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反
射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连
线的夹角.请解决下面问题：已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，点 为 在第一象限上
的点，点 在 延长线上，点 的坐标为 ，且 为 的平分线，则下列正确的是（ ）
A． B．
C．点 到 轴的距离为 D． 的角平分线所在直线的倾斜角为
三、填空题
7.（2021年1月新高考八省联考卷）若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所
在直线的斜率分别为______．
8．（2022·广东潮州·二模）设函数 ，点 在 图象上，点 为坐标原
点，设向量 ，若向量 ，且 是 与 的夹角，则 的最大值是
______．
四、解答题
9．（2022·北京丰台·二模）已知椭圆C： 经过点 ，P到椭圆C的两个焦点的距
离和为 ．(1)求椭圆C的方程；
(2)设 ，R为PQ的中点，作PQ的平行线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线AQ与椭圆C交于
另一点M，直线BQ与椭圆C交于另一点N，求证：M，N，R三点共线．
两直线的位置关系
1.（2021黑龙江省实验中高三检测）已知直线 和 互相平行，
则实数 （ ）
A. B. C. 或 D. 或
直线与圆的位置关系
一、单选题
1．（2022·河南河南·三模（理））已知 ， 为圆 ： 上两点，且 ，点 在
直线 ： 上，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆C： ，若直线l：ax－y＋1－a＝0与圆C相交
于A，B两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．3.（2021内蒙古赤峰二中高三第一次月考）圆 与直线 有公共点的充要条件是（
）
A． 或 B．
C． D． 或
4.（2022广西南宁市高三摸底测试）已知直线 与圆 相切，则m的值为（
）
A. 3或 B. 1或
C. 0或4 D. 或0
5.（2022年（新高考）数学高频考点）圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，
则 ＋ 的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
二、多选题
6．（2022·辽宁鞍山·二模）已知M为圆C： 上的动点，P为直线l： 上的动点，
则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与圆C相切 B．直线l与圆C相离
C．|PM|的最大值为 D．|PM|的最小值为
7．（2022·海南海口·模拟预测）已知a>0，圆C： ，则（ ）
A．存在3个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
B．存在2个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段相等
C．存在2个不同的a，使得圆C过坐标原点
D．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线 平分8．（2022·重庆·二模）已知点 ，过直线 上一点 作圆 的切线，切点分
别为 ，则（ ）
A．以线段 为直径的圆必过圆心
B．以线段 为直径的圆的面积的最小值为
C．四边形 的面积的最小值为4
D．直线 在 轴上的截距的绝对值之和的最小值为4
三、填空题
9.（2021浙江省高三高考数学预测卷（二））已知直线 ，若直线 与直线 平行，
则实数 的值为______，动直线 被圆 截得弦长的最小值为______．
四、解答题
10．（2022·江西南昌·二模（文））在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为 （
为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
.
(1)求曲线C的极坐标方程及直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且 ，求a.
圆与圆的位置关系
1.（2021云南省玉溪市普通高中高三第一次教学质量检测）已知圆 ： 截直线所得线段的长度是 ，则圆 与圆 ： 的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
2.（2021江苏省盐城市伍佑中学高三第一次阶段考试）已知 ， 分别为圆 ： 与
： 的直径，则 的取值范围为________．
直线与圆的综合问题
1.过x轴上一点P向圆 作圆的切线，切点为A、B，则 面积的最小值是（
）
A． B． C． D．
2.（2020北京市北京二中高三12月份月考）动点 与给定的边长为1的正方形在同一平面内，设此正方
形的顶点为 ， ， ， （逆时针方向），且 点到 ， ， 的距离分别为 ， ， ．若
，则点 的轨迹是________； 点到 点的最大距离为________．
1.（2020年全国统一高考（新课标Ⅲ））在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则点C
的轨迹为（ ）
A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线
2.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））已知圆 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦
的长度的最小值为（ ）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 43.（2020年全国统一高考（新课标Ⅲ））若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A. y=2x+1 B. y=2x+ C. y= x+1 D. y= x+
4.（2021年全国高考甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l： 交C于P，Q两
点，且 ．已知点 ，且 与l相切．
（1）求C， 的方程；
（2）设 是C上的三个点，直线 ， 均与 相切．判断直线 与 的位置关系，
并说明理由．
一、单选题
1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线 与 轴的
交点为A， 是抛物线 上的点.若 轴，则以 为直径的圆截直线 所得的弦长为( )
A．2 B． C．1 D．
2．（2022·江西南昌·二模（文））已知直线 与直线 垂直，则m=（ ）
A．-2 B． C．2 D．3．（2022·天津河西·一模）抛物线 的准线与圆 相交于A，B两点，则 （ ）．
A．2 B． C．4 D．
4．（2022·辽宁葫芦岛·一模）已知直线 恒过定点M，点N在曲线
上，若 （O为坐标原点），则 的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（2022·安徽·芜湖一中三模（文））直线 平分圆 的周长，过
点 作圆C的一条切线，切点为Q，则 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（2022·山西临汾·三模（理））已知直线l过圆 的圆心，且与直线2x＋y－3＝0垂直，则
l的方程为（ ）
A．x－2y＋1＝0 B．x＋2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x－2y－1＝0
二、多选题
7．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知直线l过点 ，点 ， 到l的距离相等，则l的
方程可能是( )
A． B．
C． D．
8．（2022·江苏南通·模拟预测）已知直线l过点（3，4），点A（－2，2），B（4，－2）到l的距离相等，
则l的方程可能是（ ）
A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0
C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0
9．（2022·江苏南通·模拟预测）已知Р是圆 上的动点，直线 与交于点Q，则（ ）
A．
B．直线 与圆O相切
C．直线 与圆O截得弦长为
D． 长最大值为
10．（2022·湖北·二模）设动直线 交圆 于A，B两点
（点C为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点
B．当 取得最小值时，
C．当 最小时，其余弦值为
D． 的最大值为24
11．（2022·广东深圳·二模）P是直线 上的一个动点，过点P作圆 的两条切线，A，B为切
点，则（ ）
A．弦长 的最小值为 B．存在点P，使得
C．直线 经过一个定点 D．线段 的中点在一个定圆上
三、填空题
12．（2022·河北唐山·二模）若圆 的圆心在直线 上，则C的半径为
______．
13．（2022·上海宝山·二模）已知直线 与直线 互相平行且距离为 .等差数
列 的公差为 ，且 ，令 ，则 的值为__．14．（2022·重庆八中模拟预测）已知点A为圆 和 在第一象限内的公共点，
过点A的直线分别交圆 ， 于C，D两点（C，D异于点A），且 ，则直线CD的斜率是
___________.
四、解答题
15．（2022·山东淄博·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，点 在抛物线C上，
且 ．
(1)求实数m的值及抛物线C的标准方程；
(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为-2，试判断直线l能否
与圆 相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由．
16．（2022·安徽·安庆一中模拟预测（文））已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，动直线
过 与 相交于 ， 两点．
(1)当 轴时，求 的内切圆的方程；
(2)求 内切圆半径的最大值．
