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能力强化 / 初二 / 秋季
第 1 讲 勾股定理
例题练习题答案
例1 在Rt △ ABC中，a = 8，c = 17，则b2 是（ ）
A： 625或144
B： 144或225
C： 225或353
D： 169或353
练1.1 在Rt △ ABC中，∠C = 90∘ ，a = 8，c = 17，则b的长是（ ）
A： 25
B： 12
C： 15
D： 13
例2 图中字母所代表的正方形的面积为144的选项为（ ）
A：
B：
C：
1/151
D：
练2.1 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面
积依次为2、4、3，则正方形D的面积为（ ）
A： 9
B： 8
C： 27
D： 45
例3 已知a、b、c是△ ABC的三边长，且满足关系式 ∣ ∣c2 −a2 −b2∣ ∣ +|a−b| = 0，则△ ABC的
形状为__________．
练3.1 三角形的三边长为a、b、c，下列条件不能判定它是直角三角形的是（ ）
A： a : b : c = 8 : 16 : 17
B： a2 −b2 = c2
C： a2 = (b+c)(b−c)
D： a : b : c = 13 : 5 : 12
例4 如图，△BCD中，AB = 4，AD = 3，BC = 13，CD = 12，且∠BAD = 90∘ ，求△BCD
的面积．
练4.1 如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量
∠ADC = 90∘ ，CD = 6m，AD = 8m，BC = 24m，AB = 26m，若每平方米草皮
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需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
例5 如图，将直角三角形ABC沿AD对折，使点C落在AB上的E处，若AC = 6，AB = 10，则
DB =_______．
练5.1 如图，矩形ABCD中，AB = 8cm，BC = 16cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，求图中阴
影部分的面积．
例6 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题：有一个水池，池底是一个边长为12
尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如下图所示，如果把这根芦苇垂
直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？
练6.1 如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在
杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
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A： 12cm ≤ h ≤ 19cm
B： 12cm ≤ h ≤ 13cm
C： 11cm ≤ h ≤ 12cm
D： 5cm ≤ h ≤ 12cm
例7 葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一
手绝招，就是它绕树盘升总是沿最短路线——螺旋线前进的，难道植物也懂数学？
阅读以上信息，解决下列问题：
(1)如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm，
则它爬行一圈的路程是多少？
(2)如果树干的周长为80cm，绕一圈爬行100cm，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？
练7.1 有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD =80cm，高AB = 60cm，水深
AE = 40cm，在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG = 60cm，一只
蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬到鱼缸内的G处吃面包屑．
(1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；
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(2)求蚂蚁爬行的最短路线长．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 1 讲 勾股定理
自我巩固答案
1 Rt △ ABC中，∠ACB = 90∘ ，AB = 3，则AB2 +BC2 +AC2 =（ ）
A： 9
B： 18
C： 20
D： 24
2 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正
方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是（ ）
A： 18
B： 114
C： 194
D： 324
3 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现”之一．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解
《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”．2002年在北京召开的
国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（ ）
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A：
B：
C：
D：
4 下列各组数中，作为边长可以组成直角三角形的是（ ）
A： 1，3，10
B： 2，3，4
C： 3，4，5
D： 32 ，42 ，52
5 由线段a，b，c可以组成直角三角形的是( )．
A： a = 5，b = 8，c = 7
B： a = 2，b = 3，c = 4
C： a = 24，b = 7，c = 25
D： a = 5，b = 5，c = 6
6 法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2 +y2 = z2 的方程，显然，这个方程有无数组解．
我们把满足该方程的正整数的解(x,y,z)叫做勾股数．如，(3,4,5)就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数：（ ），（ ）；
（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整
数，x = 2n，y = n2 −1，z = n2 +1，那么，以x，y，z为三边的三角形为直角三
角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．
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7 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD = 4米，CD = 3米 ，
∠ADC = 90∘ ，AB = 13米，BC = 12米，求这块空地的面积．
8 如图，在长方形ABCD中，AB = 8，AD = 10，点E为BC上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B
落在长方形内点F处，且DF = 6，求BE的长．
9 如图，一个无盖的圆柱纸盒：高10cm，底面直径3cm，一只蚂蚁从A爬到B的最短距离的平方是
多少？
10 为了提高技术工人的技能技巧，某石油分公司举办了一期岗位培训班，培训结业时出了如下一道
题：有一油罐，其直径为6米，高8米，如图，将一长为12米的金属棒置于其中，假如金属棒
在外面的长为h米，试问h的取值范围是（ ）
A： 6 ≤ h ≤ 8
B： 4 ≤ h ≤ 6
C： 2 ≤ h ≤ 6
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D： 2 ≤ h ≤ 4
能力强化 / 初二 / 秋季
第 1 讲 勾股定理
课堂落实答案
1 如图，以直角三角形的各边为边长的三个正方形中，两个较大正方形的面积分别为225，289，则
字母A所代表的正方形的面积为（ ）
A： 4
B： 8
C： 16
D： 64
2 如图是“赵爽弦图”，△ ABH、△ BCG、△ CDF和△ DAE是四个全等的直角三角形，四
边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB = 10，EF = 2，那么AH等于（ ）
A： 8
B： 6
C： 4
D： 5
3 满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是（ ）
A： 三内角之比为1 : 2 : 3
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B： 三边长的平方之比为1 : 2 : 3
C： 三边长之比为3 : 4 : 5
D： 三内角之比为3 : 4 : 5
4 下列几组数中，是勾股数的有（ ）
2 7
①5、12、13；②13、14、15；③3k、4k、5k（k为正整数）；④ 、2、 ．
3 3
A： 1组
B： 2组
C： 3组
D： 4组
5 如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程
（π取3）是（ ）
A： 20cm
B： 10cm
C： 14cm
D： 无法确定
能力强化 / 初二 / 秋季
第 1 讲 勾股定理
精选精练
1 图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若
AC = 6，BC = 5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示
9/151
的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A： 72
B： 52
C： 80
D： 76
2 如图，在四边形ABCD中，AB = BC = 2，CD = 3，DA = 1，且∠B = 90∘ ， 求
∠DAB的度数．
3 观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；a，b，c．根据你发现
的规律，解答以下问题：
（1）当a = 19时，求b，c的值；
（2）当a = 2n +1时，求b，c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．
4 如图，圆柱底面半径为2cm，高为9πcm，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一
母线上，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B，求棉线最短为___cm．
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5 如图，∠AOB = 90∘ ，OA = 9cm，OB = 3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出
发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点
C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多
少？
6 已知长方体盒子的长、宽、高分别为6cm、2cm、2cm，如图所示，在顶点A处的蚂蚁要去吃顶
点B处的食物，那么这只蚂蚁所要爬行的最短路线长为多少？
能力强化 / 初二 / 秋季
第 2 讲 实数
例题练习题答案
例1
(1)一个正数的平方根为 2x+1和x−7，则这个正数为（ ）
A： 5
B： 10
C： 25
D： ±25
−−−−−−−−−
(2)已知√x+2y −7 +|x−1| = 0．
①求x与y的值；
②求x+y的平方根．
1 1
−−−−− −−−−−
(3) 已知b = 3√3a−2−2√2 −3a+2，求 + 的平方根．
a b
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练1.1
(1)如果a有平方根，那么a一定是（ ）
A： 正数
B： 0
C： 非负数
D： 非正数
(2)若两个不相同的数2m−4与3m−1是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A： −3
B： −1
C： 1
D： −3或1
−−−− y
(3)已知实数x，y满足|x−4|+√y −8 = 0，则 的平方根是（ ）
x
A： 2
B： −2
–
C： ±√2
–
D： √2
例2
−−−−
125
(1) 27的立方根是__________， 3 =__________．
√ 8
−− −−−
(2)√49的立方根是__________，√3 512的立方根为__________．
(3)若(x+5) 3 = 27，则x =__________；若8(x−2) 3 +1 = 0，则x =__________．
练2.1
−−−−
125
(1) −27的立方根是__________， 3 的立方根为__________．
√ 8
3
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3
1
(2) 若 (x+5) 3 = −64 ， 则 x =__________； 若 −8 x− +64 = 0 ， 则
( 2)
x =__________．
−−−−− −−−−−
例3 已知√3 2a−3+√3 7 −3a = 0，求a+3的平方根．
−−−−− −−−−− −−
练3.1 若√3 3 −2x与√3 x+5的值互为相反数，求1 −√2x的值．
例4 下列说法中，正确的是( )
A： 带根号的数不一定都是无理数
B： −1是1的算术平方根
−−
C： √25 = ±5
D： a2 一定没有平方根
练4.1 下列实数中，是有理数的是（ ）
–
A： √2
–
B： √3 5
π
C：
4
D： 3.14159
– –
例5 √5___√2+1
–
√5−1____1
–
√5+1
___1.5
2
– –
练5.1 三个实数−√6,−2,−√7之间的大小关系（ ）
– –
A： −√7 > −√6 > −2
– –
B： −√7 > −2 > −√6
– –
C： −2 > −√6 > −√7
– –
D： −√6 > −2 > −√7
−− −−
例6 已知7+√17的整数部分是m，13-√17的整数部分为n，则m+n =__________．
13/151
–
练6.1 若√7的整数部分是a，小数部分是b，则2a+b的值为_________．
−−−−−
例7 （1）√ − 0 − . − 0 − 4+√3 − − −− 2 − 7+ (−2) 2 （2）|−√2 – |+|√2 – −√3 – |
√
−−
练7.1 （1） √ − 5 − 2 +√3 − − −− 2 − 7− 2 9 （2）|1 −√2 – |+|√2 – −√3 – |
3√ 4
能力强化 / 初二 / 秋季
第 2 讲 实数
自我巩固答案
−−
√36
1
的算术平方根是（ ）
4
A： 18
–
√6
B：
−
2
–
√6
C：
2
–
√6
D：
±
2
−−−−−−−−
2 若 (2a−1) 2 = 1 −2a，则（ ）
√
1
A： a <
2
1
B： a ≤
2
1
C： a >
2
1
D： a ≥
2
−−−− −−−−
3 若a、b为实数，且b = √a−1 +√1 −a +4，则a+b的值为（ ）
A： ±1
B： 3
C： 4
14/151
D： 5
4 下列命题中正确的个数有（ ）
−−
①9的平方根是3；②√16的平方根是±2；③−0.003没有立方根；④−3是27的负的立方根；⑤
一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数是0．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
5 下列结论正确的是（ ）
−−−−−
A： (−2) 2 = −2
√
−−−−−
B： 3 (−2) 3 = −2
√
−−−−−
C： ． (±2) 2 = ±2
√
−−
D： √ 3 23 = ±2
6 下列各组两数的大小关系中，错误的是（ ）
3
A： −0.375 > −
8
B： 0.1 > −|0|
5 7
C： <
6 8
5 5
D： − < −
6 7
– –
7 若√2+√5 = a+b，其中a是整数，0 < b < 1，则a的值是（ ）
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
8 若a2 = 9，√3 b= −2，则a+b =（ ）
15/151
A： −5
B： −11
C： −5或−11
D： ±5或±11
9 计算：
（1）(−3) 2 ÷ 3 −(−2) 3 × ∣ ∣1 − 1∣ ∣； （2）√ − 1 − 6 −(√3 − − −− 2 − 7+4)．
2 ∣ 4∣
– –
10 已知5 +√7的小数部分是a，整数部分是m，5 −√7的小数部分是b，整数部分是n，求
(a+b) 2015 −mn的值．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 2 讲 实数
课堂落实答案
−−−−−− −−−−−
1 y
1
若 x−3+ 2 + = 0，则x+y =( )
√ 2 √ 3
A： −10
B： 0
C： 2
D： 10
2 下列说法正确的是（ ）
A： −0.064的立方根是0.4
B： −9的平方根是±3
−−
C： 16的立方根是√3 16
D： 0.01的立方根是0.000001
1
3 若 (x+5) 3 −27 = 0，则x =（ ）
8
16/151
A： −1
B： 0
C： 1
27
D：
8
–
4 已知2 +√3的整数部分是a，小数部分是b，则a2 +b2 =（ ）
–
A： 13 −2√3
–
B： 9 +2√3
–
C： 11 +√3
–
D： 7 +4√3
5 计算：
−−
−−−−−
（1） 1 +√ − 3 − 6 −|√3 − − −− 8|； （2）|−3|+√3 − 1 − 2 − 5+ (−4) 2 −|1 −√3 – |．
√ 4 √
能力强化 / 初二 / 秋季
第 2 讲 实数
精选精练
−−
1 √81的平方根是（ ）
A： 9
B： ±9
C： 3
D： ±3
2 下列各式计算错误的是（ ）
−−2 −−
A： −√11 = √11
( )
−−−−−−
B： (−14) 2 = 14
√
17/151
−−−−− 2
C： (√2π−1) = 2π−1
−−−−−− 2
D： √2a2 +1 = 2a2 +1
( )
2017
x
3 若√ − x −− − −− 1+(y+1) 2 ≤ 0，则 =__________．
( y)
4 若(x+5) 3 = 216，则x =（ ）
A： −1
B： 0
C： 1
27
D：
8
–
5 已知2a−1的平方根是±3，3a+b−9的立方根是2，c是√8的整数部分，求a+b+c的平方
根．
−1
6 计算：|1 −√ − 1 − 2|+(−1) 2018 + 8 − π 0 −√3 − 6 − 4 + 1
( 8) (3)
能力强化 / 初二 / 秋季
第 3 讲 二次根式
例题练习题答案
例1
−−−−− −−−−−
(1)已知s = √3t−7 +√7 −3t −5，则st的值为（ ）
A： −35
B： 35
35
C： −
3
35
D：
3
18/151
−−−−−
(2)已知实数a、b、c满足2|a−1|+√2a−b+(c+b) 2 = 0，求2a+b−c的值．
−−−−−−−
(3)已知实数x满足|2015 −x|+√x−2016 = x，求x−20152 的值．
−−−−−−
练1.1
√2m+n+∣∣m2 −9∣∣
若 −−−−− = 0，求3m+6n的立方根．
√3 −m
−−−−−−−
练1.2 已知实数x满足|2017 −x|+√x−2019 = x，求x−20172 的值.
−−−−−−
例2 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+ (a−b) 2 的结果是（ ）
√
A： −2a+b
B： 2a−b
C： −b
D： b
−−−−−−−−−
练2.1 化简：√x2 −6x+9−(√ − 3 − − −−− x) 2 =（ ）
A： 2x−6
B： 0
C： 6 −2x
D： 2x+6
例3 计算：
−− −−
（1）√24+√54；
– −−
（2）4√3−√75；
−− −−
1 1 –
（3）4 +3 −√8；
√ 2 √ 3
−−−
−−− 3
（4）2a√27a+6a a；
√ 4
−−
2 −− x
（5） √9x −6 ；
3 √ 4
−− −−
2a −− a 1
（6） √9a +6a −a2 ．
3 √ 4 √a
例4 计算：
−−
19/151
−−
−− – 1 −− −−
(1)
√48 ÷√3− ×√12 +√24；
√ 2
– 2 – –
(2)(3 +√5) −(4 +√7)(4 −√7)；
– –
(3)(√3+1)(3 −√3)；
−− −−−
−−− a 1 2a
(4)√3a2
÷ −3 × ．
( √ 2 ) 2√ 3
练4.1 计算：
−−
−− – – 1
（1）√18 ×(√2−√6)−3 ；
√ 3
– 2 −−
（2）(2√2−1) +√32．
例5 计算：
– –
−− √3 – √3
（1）√12 × ÷√3+ ；
4 2
−−− −−−
b −−− 1
（2） ÷√ab2 ×a+ (a > 0，b > 0)．
√2a √2b
练5.1 计算：
−−
−− 1 −− 1 −−
(1)
3√18 + √50 −4 ÷√32；
( 5 √ 2)
−− −−−
4 −−− x 1
(2) √25x +9 −2x2 ⋅ ．
5 √ 9 √x3
例6 把下列各式分母有理化：
1 1
（1） −−；（2） –；
√12 2 +√3
–
1 7 +4√3
（3） – –；（4） – ；
2√3−3√2 2 +√3
−−
a√b−b√a a−b
（5） −− ；（6） −− ．
√ab √a −√b
练6.1
(1)把下列各式分母有理化：
1 1
① –； ② −−．
3√2 √54
20/151
– 2
(2) 已知a = √3+1，b = – ，则a与b的关系为（ ）
√3−1
A： ab = 1
B： a = −b
C： ab = −1
D： a = b
例7 阅读下面问题：
–
1 1 ×(√2−1) –
–
=
– –
= √2−1；
√2+1 (√2+1)(√2−1)
– –
1 1 ×(√3−√2) – –
– –
=
– – – –
= √3−√2；
√3+√2 (√3+√2)(√3−√2)
–
1 1 ×(√5−2) –
–
=
– –
= √5−2，根据以上解法，试求：
√5+2 (√5+2)(√5−2)
1
(1)
– –的值；
√7+√6
1
(2)
−−−−−
−−（n为正整数）的值；
√n +1 +√n
1 1 1 1 1
(3) – + – – + – – +⋯+ −− −− + −− −−− 的
1 +√2 √2+√3 √3+√4 √98 +√99 √99 +√100
值．
练7.1 化简：
4 4 4 4
–
+
–
+
– –
+…+
−− −−−−−
√2+2 2 +√6 √6+√8 √2n +√2n +2
−−−
1
例8
a − 等于（ ）
√ a
−−
A： √a
−−
B： −√a
−−−
C： √−a
−−−
D： −√−a
1 −−−−−
练8.1 若ab < 0，化简二次根式 √−a2b3 的结果是（ ）
a
21/151
A： b√b
B： −b√b
−−−
C： b√−b
−−−
D： −b√−b
−−−−−−
a+2
练8.2
化简二次根式a − 的结果是（ ）
√ a2
−−−−−−
A： √−a−2
−−−−−−
B： −√−a−2
−−−−
C： √a−2
−−−−
D： −√a−2
能力强化 / 初二 / 秋季
第 3 讲 二次根式
自我巩固答案
−−−−− −−−−− −−−−−
1 已知y = √x−24+√24 −x−8，求√ 3 x−5y的值．
−−−−−−−
2 若√ − 2 − x − + −− 1+|y +3| = 0，则 (x+y) 2 的值为（ ）
√
5
A：
2
5
B： −
2
7
C：
2
7
D： −
2
−−−−−−−
3 若a < 1，化简 (a−1) 2 −1 =（ ）
√
A： a−2
B： 2 −a
22/151
C： a
D： −a
−− −− −−−−−−
4 实数a、b在数轴上的位置如图，化简 √a2 −√b2 − (a−b) 2 ．
√
5 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
−−−
A： √0.2b
−−−−−−−−
B： √12a−12b
−−−−−−
C： x2 −y2
√
−−−−
D： √5ab2
6 计算：
−− −−
√12 +√27
(1)
– ；
√3
– – 2
(2)(2√2−√3) ；
−−
−− 1 −−
(3)
√48 +6 −√75；
√ 3
−−
−− 1 – −−
(4)
2√12 −3 ×√6−3√27．
( √ 3)
– –
7 若a = 2√2+3，b = 2√2−3，则下列等式成立的是（ ）
A： ab = 1
B： ab = −1
C： a = b
D： a = −b
– −− −−−
8 若√3 = a，√30 = b，则√0.9 =（ ）
a
A：
10b
23/151
b
B：
10a
ab
C：
10
a+b
D：
10
−−−−
y
9 已知xy > 0，化简二次根式x − 的正确结果是（ ）
√ x2
−−−
A： −√−y
B： − √ y
−−−
C： √−y
D： √ y
1 1 1
10 计算： – + – – +⋯+ −−−− −−−−．
1 +√2 √2+√3 √2015 +√2016
能力强化 / 初二 / 秋季
第 3 讲 二次根式
课堂落实答案
−−−−− −−−−−
1 1
1
若y = x− + −x −6，则xy =_____．
√ 2 √ 2
−−−−
2 化简二次根式√−a3的正确结果是（ ）
−−−
A： a√−a
−−
B： a√a
−−−
C： −a√−a
−−
D： −a√a
1
3 计算： −−−−− =（ ）
√1 +a2 −a
−−−−−
A： √1 −a2 +a
24/151
−−−−−
B： √1 +a2 +a
−−−−−
C： √1 +a2 −a
−−−−−
D： √1 −a2 −a
−−
1
4
将a 根号外的部分移到根号内，正确的是（ ）
√a
−−
A： √a
−−
B： −√a
−−−
C： √−a
−−−
D： −√−a
5 计算
– 2 – –
(1)(2√3−1) +(√3+2)(√3−2)；
−−
– −− – 1
(2)
(√6−2√15)×√3−6 ．
√ 2
能力强化 / 初二 / 秋季
第 3 讲 二次根式
精选精练
−−−−− −−−−− 1
1 若y = √x2 −4+√4 −x2 + +2，则x−y的值为__________．
2 −x
−−
2
√a +√b
已知a−b = 1，a+b = 3，ab = 2，求代数式 的值．
−−
√a −√b
– – −−
3
(√7+√3)(10 −2√21)
化简： – – =__________．
√7−√3
4 请完成以下题目：
−−−−−− −−−−−− −−−−−− −−−−−−
(1)已知√39 +x2 −√15 +x2 = 2，求√39 +x2 +√15 +x2 的值；
25/151
−−−−−− −−−−−− −−−−−− −−−−−−
(2)已知√29 −x2 −√15 +x2 = 2，求√29 −x2 +√15 +x2 的值 .
5 阅读材料回答问题．
观察探索：
−−−−− −− −−−−− −− −−−−− −−
2 8 4 ×2 2 2 2
2 − = = = 2 ，即 2 − = 2 ；
√ 5 √ 5 √ 5 √ 5 √ 5 √ 5
−−−−−− −−− −−−−− −−− −−−−−− −−−
3 27 9 ×3 3 3 3
3 − = = = 3 ，即 3 − = 3 ．
√ 10 √10 √ 10 √10 √ 10 √10
−−−−−−
5
（1）大胆猜想： 5 − 等于多少？
√ 26
（2）灵活运用：再举一个例子并通过计算验证，猜想并写出一般表达式．
6 观察下列各式及验证过程：
−−−−−−
−−−−−− −− −−−−−− −−−−− −−
1 1 1 2 1 1 1 2 1 2
− = ，验证： − = = = ；
√ 2 3 2√ 3 √ 2 3 √2 ×3 √ 22 ×3 2√ 3
−−−−−−−−−−−−
−−
1 1 1 1 3
× − = ， 验 证 ：
2 (3 4) 3√ 8
√
−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−
−−−−−−−− −−
1 1 1 1 3 1 3
× − = = = ；
√ 2 (3 4) √2 ×3 ×4 √2 ×32 ×4 3√ 8
−−−−−−−−−−−−
−−−
1 1 1 1 4
× − = ， 验 证 ：
3 (4 5) 4√15
√
−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−
−−−−−−−− −−−
1 1 1 1 4 1 4
× − = = = ．
√ 3 (4 5) √3 ×4 ×5 √3 ×42 ×5 4√15
−−−−−−−−−−−−
1 1 1
（1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想 × − 的变形结果并进
4 (5 6)
√
行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意的自然数，且n ≥ 2）表示的等式．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 4 讲 平面直角坐标系
例题练习题答案
例1 如图是天安门广场周围的景点分布示意图的一部分，若表示“王府井”的点的坐标为(4,1)，表
示“人民大会堂”的点的坐标为(0,−1)，则表示“天安门”的点的坐标为（ ）
26/151
A： (0,0)
B： (−1,0)
C： (1,0)
D： (1,1)
练1.1 小莹和小博士下棋，小莹执圆子，小博士执方子．如图，棋盘中心方子的位置用(−1,0)表示，右
下角方子的位置用(0,−1)表示．小莹将第4枚圆子放入棋盘后，所有棋子构成沿虚线折叠后重合
的一个图形，她放的位置是（ ）
A： (−2,1)
B： (−1,1)
C： (1,−2)
D： (−1,−2)
例2 点A(m−3,m−1)在x轴上，则A点的坐标为（ ）
A： (0,−2)
B： (−2,0)
C： (2,0)
D： (0,2)
练2.1 如果点(m+5,2 −4m)在x轴上，那么m的值等于__________．
27/151
例3 点(−3,5)到x轴的距离是__________，到y轴的距离是__________．
练3.1 点P (−5,−6)到x轴的距离是（ ）
A： 5
B： −5
C： 6
D： −6
例4 若点P在x轴的下方，y轴的左方，到每条坐标轴的距离都是3，则点P的坐标为（ ）
A： (3,3)
B： (3,−3)
C： (−3,−3)
D： (−3,3)
练4.1 已知点P位于y轴的右侧且位于x轴下方，到x轴、y轴的距离分别是4个单位长度、3个单位长度，则
点P的坐标为（ ）
A： (3,−4)
B： (−3,4)
C： (4,−3)
D： (−4,3)
例5
(1)已知A(−4,−5)、B(−2,0)、C (4,0)，求△ABC的面积．
28/151
(2)已知小方格的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，请在方格纸上建立平面直角坐标系，并计
算△ABC的面积.
(3)在平面直角坐标系中，点A(0,−1)、点B(0,−4)，已知点C在x轴上，若△ABC的面积为
9，求点C的坐标．
练5.1 (1)在平面直角坐标系中，△ABC的各个顶点的坐标分别为A(−4,−2)，B(4,−2)，C (2,2)，
则△ABC的面积为（ ）
A．8B．16 C．32 D．64
（2）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中A点坐标为(2,−1)，则
△ABC的面积为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
例6
(1)已知点M (3,−2)，将它先向左平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到点N，则
点N的坐标为________；将点P向下平移5个单位长度，再向左平移1个单位长度后的坐标为
(−2,−3)，则点P的坐标是________；
29/151
(2)已知点A的坐标为(3,−2)，现保持点A不动，将平面直角坐标系向左平移3个单位长度，向上
平移4个单位长度，平移后点A的坐标为________；
(3)线段CD是由线段AB平移得到的，若点A(−1,4)的对应点为C (4,7)，则点B(−4,−1)的
对应点D的坐标为________；
(4)点A、B的坐标分别为(1,0)、(0,2)，若将线段AB平移至A B ，且点A 、B 的坐标分别
1 1 1 1
为(2,a)、(b,3)，则a+b =________；
(5)如图，已知△ABC的各顶点坐标为A(4,6)、B(5,2)、C (2,1)，将△ABC平移得到
△ A 1 B 1 C 1 ，三角形某一边上一点P (x,y)的对应点为P′(x+4,y −2)， 求 出
△ A 1 B 1 C 1 各个顶点的坐标，并画出△ A 1 B 1 C 1 ．
练6.1 如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为(1,2)．
30/151
(1)写出点A、B的坐标：A（____，____）、B（____，____）；
(2)将△ABC先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到A′B′C′ ，则△A′B′C′
的
三个顶点坐标分别是A′ （____，____）、B′ （____，____）、C′
（____，____）；
(3)△ABC的面积为__________平方单位；
(4)画出平移后的三角形．
例7
(1)点A(2,3)关于x轴的对称点A 的坐标为_____，点A关于y轴的对称点A 的坐标为_____，
1 2
点A关于原点的对称点A 的坐标为_______，点A 与点A 关于____对称；
3 3 1
(2)已知点P (a+3b,3)与点Q(−5,a+2b)关于x轴对称，则a =____，b =_____；
(3)如图，在平面直角坐标系中，△ ABC顶点坐标为A(−1,−1)、B(2,1)、C (0,2)．若
△ ABC与△ A 1 B 1 C 1 关于原点对称，△ ABC与△ A 2 B 2 C 2 关于y轴对称，作出
△ A 1 B 1 C 1 和△ A 2 B 2 C 2 ，并说明△ A 1 B 1 C 1 和△ A 2 B 2 C 2 关于哪条直线对称．
练7.1 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,2)，B(3,1)，C (−2,−1)．
31/151
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A B C ．
1 1 1
(2)写出点A ，B ，C 的坐标（直接写答案）；
1 1 1
A ___，B ___，C ___；
1 1 1
(3)求△ABC的面积．
例8 在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为(1,0)、(0,1)、(0,0)．电子蛙从
P (1,1)出发，依次以A、B、O为对称中心跳跃，即第一步跳到P 关于A的对称点P ，第二步跳
1 1 2
到P 关于B的对称点P ，第三步跳到P 关于O的对称点P ，依此类推．试写出点P 、P 、
2 3 3 4 2 7
P 的坐标．
100
练8.1 在如图所示的平面直角坐标系中，一只蚂蚁从点A出发，沿着A—B—C—D—A循环爬行，其
中A点的坐标为(1,−1)，B点坐标为(−1,−1)，C点坐标为(−1,3)，D点坐标为(1,3)，当蚂蚁
爬了2017个单位长度时，它所处的位置的坐标为（ ）
A： (1,0)
B： (0,−1)
C： (−1,−1)
D： (−1,0)
32/151
能力强化 / 初二 / 秋季
第 4 讲 平面直角坐标系
自我巩固答案
1 已知点P（3m−6，m+1），试分别根据下列条件，求出点P的坐标．
(1)点P在y轴上；
(2)点P在x轴上；
(3)点P的纵坐标比横坐标大5；
(4)点P在过点A（−1，2），且与x轴平行的直线上．
2 请完成以下题目：
(1)在平面直角坐标系中，描出下列3个点:A(−1,0)、B(3,−1)、C (4,3)；
(2)顺次连接A、B、C，组成△ABC，求△ABC的面积．
3 已知点A的坐标为(1,−1)，将平面直角坐标系先向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长
度，在新坐标系中原来的点A的坐标是（ ）
A： (4,−6)
B： (4,4)
33/151
C： (−2,4)
D： (−2,−6)
4 如图所示，△ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A(1,2)、B(4,3)、C (3,1)．
（1）△ A
1
B
1
C
1
向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到△ABC，试写出
△ A 1 B 1 C 1 三个顶点的坐标；
（2）求△ABC的面积．
5 如图，A、B两点的坐标分别为(2,3)，(4,1)．
（1）求△ABO的面积；
（2）把△OAB向下平移3个单位后得到一个新△O′A′B′ ，求△O′A′B′
的3个顶点的坐标．
6 平面直角坐标系内一点P (−2,3)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A： (3,−2)
B： (2,3)
C： (−2,−3)
D： (2,−3)
7 已知：如图，已知△ABC．
（1）分别画出与△ABC关于x轴、y轴对称的图形△A B C 和△A B C ；
1 1 1 2 2 2
34/151
（2）将△ABC向上平移4个单位后，再向左平移4个单位得到△A B C ，请在图中画出△
3 3 3
A B C ；
3 3 3
（3）计算△ABC的面积．
8 如图，已知△ABC，请作出△ABC关于x轴对称的图形．并写出A、B、C关于x轴对称的点坐标．
9 如图，在平面直角坐标系上有个点P (1,0)，点P第1次向上跳动1个单位至点P (1,1)紧接着第
1
2次向左跳动2个单位至点P (−1,1)，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第
2
5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，依此规律跳动下去，点P第2016次
跳动至点P 的坐标是（ ）
2016
35/151
A： (505,1008)
B： (−505,1008)
C： (504,1007)
D： (−504,1007)
10 如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中(1,0)→(2,0)→
(2,1)→(1,1)→(1,2)→(2,2)…根据这个规律，则第2017个点的横坐标为（ ）
A： 44
B： 45
C： 46
D： 47
能力强化 / 初二 / 秋季
第 4 讲 平面直角坐标系
36/151
课堂落实答案
1 在平面直角坐标系中，点A(−2,4)到x轴的距离为________．
2 如图，网格中的小正方形边长为1，则图中的△ABC的面积等于_______．
3
已知点A(−1,0)和点B(1,2)，将线段AB平移至A′B′ ，点A′ 与点A对应，若点A′
的坐标为
(1,−5)，则点B′
的坐标为（ ）
A： (3,0)
B： (3,−3)
C： (3,−1)
D： (−1,3)
4 如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的图形△ A
1
B
1
C
1
；
（2）写出A 、B 、C 三点坐标．
1 1 1
5 一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0,1)，然后接着按图中
箭头所示方向跳动，即(0,0) → (0,1) → (1,1) → (1,0) → …，且每秒跳动一个单位，那
37/151
么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）
A： (4,0)
B： (5,0)
C： (0,5)
D： (5,5)
能力强化 / 初二 / 秋季
第 4 讲 平面直角坐标系
精选精练
1 坐标平面内有一点A，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离恰为到x轴距离的3倍．若点A在第二象
限，则点A坐标为（ ）
A： (−9,3)
B： (−3,1)
C： (−3,9)
D： (−1,3)
2 已知：A(0,1)，B(2,0)，C (4,3)
38/151
(1)在坐标系中描出各点，画出ΔABC
(2)求ΔABC的面积；
(3)设点P在坐标轴上，且ΔABP与ΔABC的面积相等，求点P的坐标．
3 如图，先将△ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△ A
1
B
1
C
1
．
(1)画出经过两次平移后的图形，并写出A 、B 、C 的坐标；
1 1 1
(2)已知△ABC内部一点P的坐标为(a,b)，若点P随△ABC一起平移，请写出平移后点P的对应点
P 的坐标；
1
(3)求△ABC的面积．
4 在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示
（1）分别写出△ABC各个顶点的坐标：
39/151
A（_____，_____）；B（_____，_____）；C（_____，_____）
（2）顶点A关于x轴对称的点A′的坐标（_____，_____），顶点C关于原点对称的点C′的坐标
（_____，_____）
（3）△ABC的面积为_______．
5 在平面直角坐标系xOy中，对于点P (x,y)，我们把点P′(−y +1,x+1)叫做点P伴随点．已知
点A 的伴随点为A ，点A 的伴随点为A ，点A 的伴随点为A ，…，这样依次得到点A ，
1 2 2 3 3 4 1
A
2
，A
3
，…，A n，…．若点A
1
的坐标为(3,1)，则点A
3
的坐标为__________，点A
2014
的坐
标为__________；若点A
1
的坐标为(a,b)，对于任意的正整数n，点A n均在x轴上方，则a，b应满
足的条件为__________．
6 如图，在直角坐标系中，边长为2的等边三角形OA A 的一条边OA 在x的正半轴上，O为坐标
1 2 2
原点；将△OA A 沿x轴正方向依次向右移动4个单位（即A A = A A = 2……)，得△
1 2 2 3 5 6
A A A ，△A A A ……则顶点A 的坐标是_____．
3 4 5 6 7 8 100
能力强化 / 初二 / 秋季
第 5 讲 一次函数回顾
例题练习题答案
例1 已知y = (m+1)x2−|m| +n +4．
40/151
（1）当m、n取何值时，y是x的一次函数？
（2）当m、n取何值时，y是x的正比例函数？
练1.1 （1）下列函数是一次函数，但不是正比例函数的是（ ）
1
A．y = 5x B．y = x2 C．y = x−4 D．y = 2x2 −3
3
（2）若y =
(m−1)xm2
+2m，y是x的一次函数，则m =_______________．
例2
(1)y = (3 −π )x图象经过_______象限，y的值随x的值增大而___________；
(2)正比例函数y = kx的y值随x的增大而增大，则此函数的图象经过（ ）
A： 一、二象限
B： 一、三象限
C： 二、三象限
D： 二、四象限
练2.1
(1)对于一次函数y = kx+b(k ≠ 0)，下列说法中正确的是（ ）
A： 若k > 0，则y随着x的增大而减小
B： 若b > 0，则函数图象与y轴的交点位于y轴的负半轴
C： 若k > 0且b > 0，则函数图象一定不过第四象限
D： 若k < 0且b < 0，则函数图象一定不过第二象限
(2)已知一次函数y = x+2，则下列说法中正确的是（ ）
A： 函数图象与x轴交于正半轴
B： 函数图象与坐标轴所围成的面积为2
C： 当y = −1时，x = −1
D： 函数图象上一点A，若A点纵坐标为b，则其横坐标为b+2
41/151
(3)已知一次函数表达式为y = (a+1)x+(b−2)，若函数图象不经过第三象限，则a、b的
取值范围是______．
(4)直线y = mx+n与直线y = mnx(mn ≠ 0)在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A：
B：
C：
D：
例3 已知正比例函数y = kx图象经过点(3,−6)，求：
(1)这个函数的解析式；
(2)判断点A(4,−2)是否在这个函数图象上；
(3)图象上两点B(x ,y )、C (x ,y )，如果x > x ，比较y 、y 的大小．
1 1 2 2 1 2 1 2
练3.1 在直角坐标系中，一条直线经过A(−1,5)，P (2,a)，B(3,−3)．
42/151
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)求a的值；
(3)求△AOP的面积．
例4 一次函数y = kx+b，当1 < x < 4时，−3 < y < 3，则这个函数的解析式为_____．
练4.1 已知一次函数y = kx+b，当−3 ≤ x ≤ 1时，对应y的值为1 ≤ y ≤ 9，则k+b的值为
_____．
例5 如图，直线l 的解析式为：y = −3x+3，且l 与x轴交于点D，直线l 经过点A、B，直线l 、
1 1 2 1
l 交于点C．
2
（1）求点D的坐标；
（2）求直线l 的解析式；
2
（3）求△ADC的面积．
练5.1 如图，正比例函数y = 2x的图象与一次函数y = kx+b的图象交于点A(m,2)，一次函数图象
经过点B(−2,−1)，与y轴的交点为C，与x轴的交点为D．
43/151
（1）求一次函数解析式；
（2）求C点的坐标；
（3）求△AOD的面积．
例6
(1)对于直线：y = 2x−1，
①求向下平移4个单位后的解析式；
②求向右平移2个单位后的解析式；
③求先向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的解析式．
(2)若直线y = kx+b的图象向上平移3个单位，再向左平移1个单位，平移后的直线的函数解
析式为y = 2x+5，求k、b．
(3)若一次函数y = kx+b的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，平移后的图象与原
图象重合，你能确定k、b的值吗？
练6.1
(1)对于直线：y = −3x+2，
①将该直线向左平移1个单位后得到直线的解析式为_________________；
②将该直线向上平移5个单位后得到直线的解析式为_________________；
③将该直线先向右平移2个单位，再向下平移3个单位后得到直线的解析式为_________．
(2)若直线y = mx+n的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的直线的函数
解析式为y = 3x−2，则m =_______，n =_______．
(3)若一次函数y = kx+1的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，平移后的图象与原
图象重合，则k =_______．
44/151
例7
(1)求一次函数y = x−1的图象关于x轴对称的函数解析式；
(2)求一次函数y = 3x−1的图象关于y轴对称的函数解析式；
(3)求一次函数y = −2x−1的图象关于原点对称的函数解析式．
练7.1
(1)一次函数y = −2x+3的图象关于x轴对称图象的函数解析式为________________；
(2)一次函数y = −x+2的图象关于y轴对称图象的函数解析式为_______________；
(3)一次函数y = x−3的图象关于原点对称图象的函数解析式为_______________．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 5 讲 一次函数回顾
自我巩固答案
1 如果函数y = (m−3)x|m|−2 是正比例函数，那么m的值为（ ）
A： 3
B： −3
C： ±3
D： 不能确定
2 下列函数中，是一次函数的有（ ）
1
（1）y =π x；（2）y = 2x−1；（3）y = ；（4）y = 2 −3x；（5）y = x2 −1．
x
A： 4个
B： 3个
C： 2个
45/151
D： 1个
3 关于正比例函数y = −2x，下列说法错误的是（ ）
A： 图象经过原点
B： 图象经过第二、四象限
C： 点(2,−4)在函数图象上
D： y随x增大而增大
4 正比例函数y = kx的图象如图所示，则k的取值范围是（ ）
A： k > 0
B： k < 0
C： k > 1
D： k < 1
5 关于函数y = −2x+1，下列结论正确的是（ ）
A： 图象必经过点(−2,1)
B： y随x的增大而增大
1
C： 当x＞ 时，y＜0
2
D： 图象不经过第一象限
6 已知一次函数y = kx+b的图象平行于直线y = −3x，且经过点(2,−3)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当y = 6时，求x的值．
7 已知一次函数图象经过点(−2,7)、(2,−1)．
46/151
（1）求这个一次函数解析式；
（2）求出图象与两个坐标轴的交点坐标．
8 对于直线：y = 3x，
（1）求向左平移2个单位后的解析式；
（2）求向上平移2个单位后的解析式；
（3）求先向右平移3个单位，再向上平移5个单位后的解析式．
9 直线l 与坐标轴分别交于点A(0,3)、B(−4,0)．
1
（1）求直线l 的解析式；
1
（2）若直线l 关于y轴对称的图形为l ，求l 的解析式．
1 2 2
10
(1)若函数y = kx+b的图象向上平移2个单位，再向右平移1个单位，平移后的直线的函数解析
式为y = x+3，求k、b的值；
(2)求一次函数y = x−1的图象关于x轴对称图象的函数解析式．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 5 讲 一次函数回顾
课堂落实答案
1 下列函数中，是正比例函数的是（ ）
A： y = −8x
−8
B： y =
x
C： y = 5x2 +6
D： y = −0.5x−1
2 一次函数y = kx+b，当k < 0，b < 0时，它的图象大致为（ ）
47/151
A：
B：
C：
D：
3 如图，请在图中获取信息，完成以下问题：
（1）当x = 0时，y =___；当y = 0时，x =___；
（2）求直线对应的函数表达式．
4 若把一次函数y = 2x−3，向下平移3个单位长度，得到图象解析式是（ ）
A： y = 2x
B： y = 2x−6
C： y = 5x−3
D： y = −x−3
5 一次函数y = −2x+3的图象关于原点对称的直线的函数解析式为（ ）
A： y = −2x−3
48/151
B： y = 2x−3
C： y = 2x+3
D： y = −x+3
能力强化 / 初二 / 秋季
第 5 讲 一次函数回顾
精选精练
1 请根据下列的一次函数解析式的特征按要求分类（填写字母序号）．
A．y = 3x B．y = x−4 C．y = −5x−4 D．y = 3x+6 E．y = −5x+1
（1）一次函数中，函数值y随x的增大而增大的有：______；
（2）几个一次函数图象与y轴的交点在y轴负半轴上的有：______；
（3）一次函数中，图象平行的有：______．
2 已知y −3与4x−2成正比例，且当x = 1时，y = 5．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求当x = −2时的函数值．
3 已知一次函数的图象经过A(−2,−3)、B(1,3)两点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)试判断点P(−1,1)是否在这个一次函数的图象上；
(3)求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积．
4 已知一次函数y = 2x−5m的图象与x轴的交点在A(−1,0)与B(4,0)之间（包括A、B两
点），求m的取值范围．
5
(1)如右图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y = ax；②y = bx；③y = cx，
将a、b、c从小到大排列并用“<”连接为_________________；
49/151
(2)把直线y = −x+3向上平移m个单位长度后，与直线y = 2x+4的交点在第一象限，则m
的取值范围是（ ）
A： 1 < m < 7
B： 3 < m < 4
C： m > 1
D： m < 4
6
(1)一次函数y = −x+7的图象关于x轴对称直线的函数解析式为________________；
(2)一次函数y = −4x-3的图象关于y轴对称直线的函数解析式为_______________；
(3)一次函数y = 2x+1的图象关于原点对称直线的函数解析式为_______________．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 6 讲 一次函数进阶
例题练习题答案
例1 为了增强人们的节约用水意识，缓解城市用水压力．某市规定，每月用水18立方米以内（含18立
方米）和用水18立方米以上采取两种不同的收费标准．下图为该市的用户每月应交水费y（元）关
于用水量x（立方米）的函数图象．思考并回答下列问题：
50/151
(1)求出用水量小于18立方米时，每月应交水费y（元）关于用水量x（立方米）的函数表达式；
(2)若小明家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？
练1.1 某汽车租赁公司对一款汽车的租赁方式为按时段计费，该公司要求租赁方必须在9天内（包括9
天）将所租汽车归还，租赁费用y（元）随时间x（天）的变化图象为折线OA −AB −BC，
如图所示．
(1)当租赁时间不超过3天时，每日租金为_____元；
(2)当6 ≤ x ≤ 9时，求y与x的函数解析式；
(3)甲、乙两人租赁该款汽车各一辆，两人租赁时间一共为9天，甲租的天数少于3天，乙比甲多
支付费用720元，请问乙租这款汽车多长时间？
例2 在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛，执行
海巡任务，最终到达C岛．设该海巡船行驶x（h）后，与B港的距离为y（km），y与x的函数关
系如图所示．
（1）填空：A、C两港口间的距离为_______km，a =________；
（2）求y与x的函数关系式，并解释图中点P坐标所表示的实际意义；
（3）在B岛有一不间断发射信号的信号发射台，发射的信号覆盖半径为15km，求该海巡船能接
收到该信号的时间有多长？
51/151
练2.1 某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了
学校．图中描述了他上学的途中离家距离s（米）与离家时间t（分）之间的函数关系．下列说
法中正确的个数是（ ）
（1）修车时间为15分；
（2）学校离家的距离为2000米；
（3）到达学校时共用时间20分；
（4）自行车发生故障时离家距离为1000米．
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
例3 小明和小红沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校到图书馆的路程是4千米，小明骑
自行车，小红步行，当小明从原路回到学校时，小红刚好到达图书馆，图中折线
O−A −B −C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之
间的函数关系，请根据图象回答下列问题：
（1）小明在图书馆查阅资料的时间为________分钟，小明返回学校的速度为_______千米/分钟；
（2）请求出小红离开学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系；
52/151
（3）当小明与小红迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？
练3.1 在某次全民健身越野赛中，甲、乙两选手的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如
图所示．下列四种说法：
①起跑后1小时内甲在乙的前面；
②第1小时两人都跑了10千米；
③甲比乙先到达终点；
④两人都跑了20千米．
其中正确的是（ ）
A： ①②③④
B： ①②③
C： ①②④
D： ②③④
例4 一辆动车从A地开往B地，一辆高铁从B地开往A地．两车同时出发，设动车离A地的距离为
y （km），高铁离A地的距离为y （km），动车行驶时间为t（h），变量y 、y 之间的关系如
1 2 1 2
图所示：
53/151
(1)根据图象，求高铁和动车的速度；
(2)动车出发多少小时与高铁相遇．
练4.1 在一条笔直的公路旁依次有A、B、C三个村庄，甲、乙两人同时分别从A、B两村出发，甲骑摩托
车，乙骑电动车沿公路匀速驶向C村，最终到达C村．设甲、乙两人到C村的距离y 、y （km）与
1 2
行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示，请回答下列问题：
(1)A、C两村间的距离为___km，a =___h；
(2)求出图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
(3)乙在行驶过程中，何时距甲10km？
例5 为迎接国家对城乡教育均衡化验收，在今年暑假东明县学校准备添置一批电脑，现有如下方案：
方案1：到商家直接购买，每台需要4000元；
方案2：学校买零部件组装，每台需要3000元，另外需要支付安装工工资等其他费用合计4000
元．设学校需要电脑x台，方案1与方案2的费用分别为y ，y 元．
1 2
(1)分别写出y ，y 的函数解析式；
1 2
54/151
(2)当学校添置多少台电脑时，两种方案的费用相同？
(3)若学校需要部署电脑50台，那么采用哪一种方案较省钱？说说你的理由．
练5.1 某游泳馆推出了两种收费方式．
方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年内使用，凭卡游泳，每次游泳再付
费30元；
方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元．
设小亮在一年内来此游泳馆的次数为x次，选择方式一的总费用为y （元），选择方式二的总费用
1
为y （元）．
2
(1)请分别写出y 、y 与x之间的函数表达式；
1 2
(2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x在什么范围时，选择方式一比方式二省钱．
例6 甲、乙两个仓库向A、B两地运送水泥，已知甲库可调出100吨水泥，乙库可调出80吨水泥，A地
需70吨，B地需110吨，两库到A、B两地的路程和费用如下表：(表中运费“元/吨千米”表示每
吨水泥运送1千米所需要的人民币)．
路程（千米） 运费（元/吨千米）
甲库 乙库 甲库 乙库
A地 20 15 12 12
B地 25 20 10 8
设甲库运往A地水泥x吨，总运费w元．
(1)写出w关于x的函数关系式，并求x为何值时总运费最小？
(2)如果要求运送的水泥数是10吨的整数倍，且运费不能超过38000元，则总共有几种运送方
案？
练6.1 甲镇和乙镇分别有某种库存机器5台和4台，现决定支援A村3台，B村6台，已知从甲镇调运一台机
器到A村和B村的运费分别是30元和70元，从乙镇调运一台机器到A村和B村的运费分别是20元和
40元．
（1）设乙镇运往A村机器x台，求总运费W关于x的函数关系式；
55/151
（2）若要求总运费不超过430元，共有几种调运方案？
（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
能力强化 / 初二 / 秋季
第 6 讲 一次函数进阶
自我巩固答案
1 3月份，某品牌衬衣正式上市销售，3月1日的销售量为10件，3月2日的销售量为35件，以后每
天的销售量比前一天多25件，直到日销售量达到最大后，销售量开始逐日下降，每天的销售量比
前一天少15件，直到3月31日销售量为0．
设该品牌衬衣的日销量为P（件），销售日期为n（日），P与n之间的关系如图所示．
（1）求3月_____日时，日销售量最大；
（2）写出P关于n的函数关系式；（注明n的取值范围）
（3）经研究表明，该品牌衬衣的日销量超过150件的时间为该品牌衬衣的流行期．请问：该品牌
衬衣本月在市面的流行期是多少天？
2 某童装厂，现有甲种布料38米，乙种布料26米，现计划用这两种布料生产L、M两种型号的童装
共50 套.已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元，做一套M型号
的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，设生产L型号的童装套数为x（套），
用这些布料生产两种型号的童装所获得利润为y（元）．
(1)写出y（元）关于x（套）的函数解析式，并求出x的取值范围；
(2)生产这批童装中，当L型号的童装为多少套时，能使该厂的利润最大，最大利润是多少？
3 小文家与学校相距1000米．某天小文上学时忘了带一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿
书，然后加快速度赶到学校．下图是小文与家之间的距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图
56/151
象．请你根据图象中给出的信息，解答下列问题：
(1)小文走了多远才返回家拿书？
(2)求线段AB所在直线的函数解析式；
(3)当x = 8分钟时，求小文到家的距离．
4 2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、
乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物
资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组
所走的路程y （千米）、y （千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图象．请根据图象
甲 乙
所提供的信息，解决下列问题：
(1)由于汽车发生故障，甲组在途中停留了__________小时；
(2)甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路
程是多少千米？
(3)为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请
通过计算说明，按图象所表示的走法是否符合约定？
5 如图，l A，l B分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．
57/151
(1)B出发时与A相距_____千米．
(2)走了一段路后，自行车发生故障进行修理，所用的时间是_____小时．
(3)B出发后_____小时与A相遇．
(4)求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．（写出计算过程）
(5)请通过计算说明：若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，何时与A相遇？
6 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出
水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之
间的关系如图所示．则8min时容器内的水量为（ ）
A： 20L
B： 25L
C： 27L
D： 30L
7 小凡与小光从学校出发到距学校5千米的图书馆看书，途中小凡从路边超市买了一些学习用品，如
图反应了他们两人离开学校的路程s（千米）与时间t（分钟）的关系，请根据图象提供的信息回答
问题：
58/151
(1)l 和l 哪一条是描述小凡的运动过程，说说你的理由；
1 2
(2)小凡和小光谁先出发，先出发了多少分钟？
(3)小凡与小光谁先到达图书馆，先到了多少分钟？
(4)小凡与小光从学校到图书馆的平均速度各是多少千米/小时？（不包括中间停留的时间）
8 某工程队要招聘甲，乙两种工种的工人150人，甲，乙两种工种的工人的月工资分别为600元和
1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，设招聘甲种工种工人是x人，所
聘工人共需付月工资y元．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）甲乙两种工种各招聘多少人时，可使每月所付的工资最少？是多少元？
9 A市和B市分别有库存的某联合收割机12台和6台，现决定开往C市10台和D市8台，已知从
A市开往C市，D市的油料费分别为每台400元和800元，从B市开往C市和D市的油料费分别为
每台300元和500元．
(1)设B市运往C市的联合收割机为x台,求运费w关于x的函数关系式.
(2)若总运费不超过9000元,问有几种调运方案?
(3)求出总运费最低的调运方案,并求出最低运费.
10 有甲、乙两家通讯公司，甲公司每月通话（不区分通话地点）的收费标准如图所示，乙公司每月
通话收费标准如表所示．
（1）观察图象，求甲公司用户月通话时间不超过400分钟时应付的话费金额；
（2）求出甲公司的用户通话时间超过400分钟后，通话费用y（元）与通话时间t（分钟）之间的
函数关系式（写出计算过程）；
（3）王先生由于工作需要，从4月份开始经常去外市出差，估计每月各种通话时间的比例是：
59/151
本市接听时间：本市通话时间：外市通话时间=2：1：1．设王先生每月的各种通话时间总和
为t（分钟），通话费用为y（元），你认为t不少于多少时间时，乙通讯公司比甲公司更合算？请
用计算方法说明理由．
月租费 本市接听费 本市拨打费 外市通话费
50元 0元/月 0.10元/分 0.90元/分
能力强化 / 初二 / 秋季
第 6 讲 一次函数进阶
课堂落实答案
1 明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程S（单位：千米）与
时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度
相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为（ ）
A： 12分
B： 10分
C： 16分
60/151
D： 14分
2 如图是本地区一种产品30天的销售图象，产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的大
致函数关系如图①，图②是一件产品的销售利润x（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系．
已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（ ）
A： 日销售量为150件的是第12天与第30天
B： 第10天销售一件产品的利润是15元
C： 从第1天到第20天这段时间内日销售利润将先增加再减少
D： 第18天的日销售利润是1225元
3 园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S(平方米)与工作时间t(小时)的函
数图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为（ ）
A： 40m2
B： 50m2
C： 80m2
D： 100m2
4 甲、乙两车沿同一平直公路由A地匀速行驶（中途不停留）前往终点B地，甲、乙两车之间的距离
y（千米）与甲车行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示．小红通过图象得出4个信息：
①甲车速度为60千米/小时；
②A、B两地相距240千米；
61/151
③乙车行驶2小时追上甲车；
8
④乙车由A地到B地共用 小时．
3
上述信息正确的有（ ）个．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
5 某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙
厂直接按印刷数量收取印刷费．甲，乙两厂的印刷费用y（千元）与证书数量x（千个）的函数
关系图象分别如图中甲，乙所示，下列四种说法：
①甲厂的制版费为1千元；
②当印制证书超过2千个时，乙厂的印刷费用为0.2元/个；
③当印制证书8千个时，选择乙厂节省费用，节省费用500元；
④甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下．每个证书最少降
低0.0625元．
其中正确的个数是（ ）
62/151
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
能力强化 / 初二 / 秋季
第 6 讲 一次函数进阶
精选精练
1 某森林公园从正门到侧门有一条公路供游客运动，甲徒步从正门出发匀速走向侧门，出发一段时
间开始休息，休息了0.6小时后仍按原速继续行走．乙与甲同时出发，骑自行车从侧门匀速前往正
门，到达正门后休息0.2小时，然后按原路原速匀速返回侧门．图中折线分别表示甲、乙到侧门的
路程y(km)与甲出发时间x（h）之间的函数关系图象．根据图象信息解答下列问题．
(1)求甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式；
(2)求甲、乙第一次相遇的时间；
(3)直接写出乙回到侧门时，甲到侧门的路程．
2 某校八年级同学到距学校6千米的郊外春游，一部分同学步行,另一部分同学骑自行车，沿相同路线
前往．如图，a、b分别表示步行和骑车的同学前往目的地所走的路程y（千米）与所用时间x（分
63/151
钟）之间的函数图象，则下列判断错误的是（ ）
A： 骑车的同学比步行的同学晚出发30分钟
B： 步行的速度是6千米/小时
C： 骑车的同学从出发到追上步行的同学用了20分钟
D： 骑车的同学和步行的同学同时到达目的地
3 小明租用共享单车从家出发，匀速骑行到相距2400米的邮局办事．小明出发的同时，他的爸爸以
每分钟96米的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮局停留了2分钟后沿原路按原速返回．
设他们出发后经过t（分）时，小明与家之间的距离为s （米），小明爸爸与家之间的距离为
1
s （米），图中折线OABD，线段EF分别表示s ，s 与t之间的函数关系的图象．
2 1 2
(1)求s 与t之间的函数表达式；
2
(2)小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？
4 甲、乙两工程队同时修筑水渠，且两队所修水渠总长度相等，下图是两队所修水渠长度y（米）与
修筑时间x（时）的函数图象的一部分，当乙队修筑的水渠长度超过甲队时的时间是（ ）
64/151
A： 开修后2小时
B： 开修后3小时
C： 开修后4小时
D： 开修后5小时
5 小明在银行存入一笔零花钱．已知这种储蓄的年利率为n%，若设到期后的本息和(本金+利息)为
y(元)，存入的时间为x(年)，那么，
(1)下列哪个图象更能反映y与x之间的函数关系？从图中你能看出存入的本金是多少元？一年后
的本息和是多少元？
(2)根据（1）的图象，求出y与x的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)，并求出两年后
的本息和．
6 随着信息技术的快速发展，“互联网+”渗透到我们日常生活的各个领域，网上在线学习交流已
不再是梦，现有某教学网站策划了A，B两种上网学习的月收费方式（如表格，图象所示）：
设每月上网学习时间为x小时，方案A，B的收费金额分别为y ，y ．
A B
超时费
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h
（元/min）
A 7 25 0.01
B m n p
65/151
(1)如图是y 与x之间的函数关系图象，请根据图象填空：m =___，n =___．
B
(2)写出y 与x之间的函数关系式．
A
(3)若某同学每月上网学习时间为70小时，那么选择哪种方式上网学习合算，为什么？
能力强化 / 初二 / 秋季
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 2的平方根是（ ）
A： 4
–
B： √2
–
C： −√2
–
D： ±√2
2 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AB = 17，BD = 15，DC = 6，则AC的长为（ ）
A： 11
B： 10
C： 9
D： 8
3 下列运算正确的是（ ）
– – –
A： √2+√3 = √5
– – –
B： 2√2×3√2 = 6√2
66/151
– –
C： √8÷√2 = 2
– –
D： 3√2−√2 = 3
−− – 22
4 在实数：3.14159，√3 64，√5，4.2 ˙ 1 ˙ ，π， 中，无理数的个数是（ ）
7
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
5 下列关于x的函数，是一次函数的是（ ）
A： y = 2x+1
1
B： y =
x
C： y = x2
1
D： y = x+
x
6 已知点P位于第二象限，且距离x轴4个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点P的坐标是（ ）
A： (−3,4)
B： (3,−4)
C： (−4,3)
D： (4,−3)
7 函数y = −3x+2的图象经过第（ ）象限
A： 一、二、三
B： 一、二、四
C： 一、三、四
D： 二、三、四
8 已知正比例函数y = kx(k ≠ 0)，当x = −1时，y = 2，则它的大致图象是（ ）
67/151
A：
B：
C：
D：
9 在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A(−1,−1)，B(1,2)，平移线段
AB，得到线段A′B′ ，已知A′ 的坐标为(3,−1)，则点B′
的坐标为（ ）
A： (4,2)
B： (5,2)
C： (6,2)
D： (5,3)
10 如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A ，A ，A ，A ，A 爬行，那么蚂蚁爬行的高度h随时
1 2 3 4 5
间t变化的图象大致是（ ）
68/151
A：
B：
C：
D：
−−−−−
11 若√x−1有意义，则x的取值范围是___________．
−−−−− −−−−−−
12 最简二次根式√3x−8和√17 −2x可以合并，则x =_____________．
13 一个正数x的平方根是2a−3与5 −a，则a =__________．
−−−−
14 若|x− y|+ √y − 2 = 0,则xy + 1的值为___.
15 已知平面内两点A(−1,−3)，B(x,5)，且AB = 10，则x的值是_____________．
16 已知点A(a,0)和点B(0,5)两点，且直线AB与坐标轴围成的三角形的面积大于10，则a的取值范
围是____________．
–
17 如图，在四边形ABCD中，AB = 3，BC = 4，CD = 1，AD = 2√6，AB⊥BC，四边
形ABCD的面积为___________________．
69/151
18 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)、B(0,3)，对△AOB连续作旋转变换依次得到三
角形(1)、(2)、(3)、(4)、…，则第(5)个三角形的直角顶点的坐标是__________，第(2018)个三角形
的直角顶点的坐标是__________．
19
–
(1)√3−1的绝对值是___________，相反数是___________．
(2)计算下列各式：
①√3 − − −− 6 − 4−|−3|−(−1) 2017 +√4 –
−− −− – –
②√3 27 −√81 +|√3−2|+(5 −√7)
–
(3)无理数√5的整数部分是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
−−
(4)对于实数a，如果将不大于a的最大整数记为[a]，则[√11 −5]=_____________
20 已知：A(4,0)，B(3,y)，点C在x轴上，AC = 5．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）若S
ΔABC
= 10，求点B的坐标．
21 如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′ 处，点A落在点A′ 处；
（1）求证：B′E = BF．
70/151
（2）若AE = 2，BC = 12，F为BC的中点，求DC的长度．
22 如图所示，甲、乙两轮船于上午8时同时从码头O分别向北偏东32°和北偏西58°的方向出发，甲轮
−− −−
船的速度为10√10海里/时，乙轮船的速度为10√15海里/时，则下午1时两轮船相距多少海里？
23 如图，直线y = kx+b经过点A(5,0)，B(1,4)．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线y = 2x−4与直线AB相交于点C，求点C的坐标；
（3）根据图象，写出关于x的不等式2x−4 ≥ kx+b的解集．
24 如图，A(0,1)，M (3,2)，N (4,4)．动点P 从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向
上移动，且过点P 的直线l：y = −x+b 也随之移动，设移动时间为t秒．
(1)当t = 2时，则AP = ______，此时点P的坐标是______．
(2)当t=3时，求过点P的直线l:y = −x+b 的解析式？
(3)当直线l：y = −x+b从经过点M到点N时，求此时点P向上移动多少秒？
(4)点Q在x轴时，若S △ONQ = 8 时，请直按写出点Q的坐标是_____________．
71/151
25 材料阅读：
−−
若a是正整数，则长度为√a的线段是有可能表示正方形网格中两个格点之间的距离（设小正方形
–
的长度为单位1）．如图1所示，A、B两点之间的距离就是√5．
–
（1）在图1中以A为一个端点，画出一条长为2√2的线段AC；
（2）65 = _____2 +_____2 = _____2 +_____2 （空格处填正整数，两组数要求不一
−−
样），并根据你填的数字，在图2中画出两种对应的线段，其长度均为√65；
−− −− −−
（3）利用材料所给的方法，直接写出三边长分别为√10、√29、√61的三角形的面积：
__________．
26 若直线y = (m−2)x+m+1不经过第三象限，则m的取值范围是______________．
27 如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A(4,0)，B(0,−4)，P为y轴上B点下方一点，
PB = m(m > 0)，以AP为边作等腰直角△APM，其中PM = PA，点M落在第四象限．若
直线MB与x轴交于点Q，则Q、M两点中，点_________（填“Q”或“M”）的坐标不随m的变化
72/151
而变化，该点的坐标为______________．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 8 讲 二元一次方程组
例题练习题答案
x+y x−y
例1 + =6,
解方程组：⎧ 2 3
⎨4(x+y)−5(x−y)=2.
⎩
练1.1 解方程组：
3x+2y = 7,
(1)
{6x−2y = 11;
y = 2x−3,
(2)
{3x+2y = 8.
例2 解下列方程：
x−2y = 3, 3x+5y = −9,
（1） （2）
{x+3y = −7; {4x−3y = 17;
2(x−1)+3(y +1) = 10,
（3）
{3x = 2(y −2);
x y
+ = 8,
⎧ 2 3
⎪
（4） x y
⎨ − = 7.
⎩⎪ 5 2
练2.1
2x+y = 3,
(1)
二元一次方程组 的解是_______．
{ x−y = 3
73/151
4x+y = 3,
(2)
二元一次方程组 的解是_______．
{3x+2y = 5
(3)（3）解方程组：
2(x−4)−3(y −1) = 3, x − y = 3,
3 2
① ②
{2x+3y = 0; { x + y = 5.
6 3
12x+23y = 1234
例3
方程组 中，则x+y =_______，10x−y =_______．
{34x+45y = 5678
2x−y = −3,
练3.1
已知x、y是二元一次方程组 的解，
{ x+4y = 3
则x+y =_______．
361x+463y = −102①
例4
（创新题）你有好办法求 ，的解吗？
{463x+361y = 102②
23x+22y = 47,
练4.1
方程组 的解为（ ）
{22x+23y = 43
x = 1,
A：
{y = 1.
x = 3,
B：
{y = −1.
x = 2,
C：
{y = 1.
x = −1,
D：
{y = 3.
例5
3x+ay = 13,
(1) 小明、小红两人解同一个方程组： ．小明看错了系数a ，解出
{bx−3y = 9
x = 6, x = 1,
；小红看错了系数b，解出 ．则方程组正确的解是______________．
{y = 7 {y = 5
ax+by = −16, x = 8,
(2) 已知方程组 的解应为 ,小明解题时过于紧张，又把c抄错
{cx+20y = −224 {y = −10
x = 12,
了，因此得到的解是 ，则a2 +b2 +c2 =___________.
{y = −13
练5.1
74/151
x+ay = 5, x = 2,
(1) 甲、乙两人解同一个方程组： 甲看错了系数a,解得 乙看错了系数b,
{ bx−y = 1 { y = 5
x = 3
解得 ,则方程组正确的解是_______．
{y = 1
ax+by = 2, x = 1,
(2) 小刚和小明解同一个关于x、y的方程组 小刚正确地解得 而小明
{cx−3y = 5 {y = −1
x = 2,
把c抄错了，解得 则a+2b+3c =_______．
{y = 6
例6
x = 4, y = 3,
(1) 如果方程组 的解与方程组 的解相同，则a+b的值为
{by +ax = 5 {bx+ay = 2
（ ）
A： −1
B： 2
C： 1
D： 0
2x+3y = 7, ax+by −5 = 0,
(2) 已知关于x、y的二元一次方程组 与 有相同的解，
{2ax+by = 9 {5x−3y = 7
则a =___________，b =_____________．
ax−by = 4, ax+by = 2,
练6.1
已知关于x、y的方程组 与 的解相同，则a+b =__________．
{ 2x+3y = 4 { 4x−3y = 2
能力强化 / 初二 / 秋季
第 8 讲 二元一次方程组
自我巩固答案
1 解方程组：
y −2x = 0①
（1） ，
{5x−4y = 12②
x − y = 1①
（2） 3 4 .
{3x−4y = 2②
75/151
2 解下列方程组：
3x = y +2①
(1)
{5(y −1) = 3(x−5)②
8x+9y = 6①
(2)
{ 4x + 5y = 7 ②
5 6 15
x−y = 3,
3
二元一次方程组 的解为（ ）
{3x−y = 1
x = −1,
A：
{y = −4.
x = 1,
B：
{y = −4.
x = −1,
C：
{ y = 4.
x = 1,
D：
{y = 4.
2(2x+1) = y +2,
4
二元一次方程组 的解为（ ）
{2(y +2)−3(2x+1) = 3
x = −1,
A：
{y = −4.
x = 1,
B：
{y = −4.
x = −1,
C：
{ y = 4.
x = 1,
D：
{y = 4.
5x+4y = 16,
5 已知方程组 ，则x−y =（ ）
{4x+5y = 12
A： 3
B： 6
C： 4
D： 8
6 解下列方程组：
76/151
3x+4y = 11, 23x+22y = 47,
（1） （2）
{ 5x−y = 3; {22x+23y = 43.
x+ay = 2, x = 1,
7
甲、乙两人解同一个方程组： ，甲看错了系数a，解得 ；乙看错了系
{ bx−y = 3 {y = −1
x = −1,
数b，解得 ，则a+b =（ ）
{ y = 1
A： 3
B： 5
C： 7
D： 9
ax−y = −1 (1)
8
甲、乙两人共同解方程组 ，由于甲看错了方程（1）中的a，得到方程组的
{3x−by = 2 (2)
x = 2 x = −4
解为 ；乙看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为 ，试计算ab的值．
{y = 1 {y = 3
x+py = 0, x = 1,
9 关于x,y的方程组 的解是 ，其中y的值被盖住了，不过仍能求出p，则
{x+y = 3 {y = ▲
p的值是（ ）
1
A： −
2
1
B：
2
1
C： −
4
1
D：
4
x−y = 9k,
10 二元一次方程组 的解也是二元一次方程组2x+3y = 6的解，那么k的值为
{x+y = 5k
（ ）
4
A： k = −
3
4
B： k =
3
3
C： k =
4
3
D： k = −
4
77/151
能力强化 / 初二 / 秋季
第 8 讲 二元一次方程组
课堂落实答案
3x+2y = 16,
1
二元一次方程组 的解为（ ）
{ x−2y = 0
x = 4,
A：
{y = 2.
x = 4,
B：
{y = −2.
x = −4,
C：
{y = −2.
x = −4,
D：
{y = 2.
2 解方程组:
x = y +1,
(1)
{3x−2y = 2;
5(x−9) = 6(y −2),
(2)
⎧ x y +1
− = 2.
⎨
⎩ 4 3
2x+y = 2014
3 已知x、y满足方程组 ，则x−y的值为_______．
{x+2y = 2013
ax+by = 3, 2x+y = 3,
4
若方程组 与方程组 有相同解，则a、b的值为（ ）
{2ax+by = 4 {x−y = 0
a = 1,
A：
{ b = 2.
a = 1,
B：
{ b = 0.
a = 1,
C：
3
{b = −2.
3
a = −1,
D：
3
{ b = 2.
3
78/151
ax+3y = 5
5
小红和小风两人在解关于x，y的方程组 时，小红只因看错了系数a，得到方程组
{bx+2y = 8
x = −1 x = 1
的解为 ，小风只因看错了系数b，得到方程组的解为 ，求a，b的值和原方程
{ y = 2 {y = 4
组的解．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 8 讲 二元一次方程组
精选精练
1 解方程组：
1 3
(1) − x+ y = 1,
⎧ 2 4
⎨ −2x+y = −8；
⎩
2(x+1) = y +2,
(2)
{2(y +2)−3(x+1) = 3.
2 解方程组：
x+1 y +2
− = 0,
⎧ ⎪ 3 4
⎪
（1）
x−3 y −3 1
⎨
− = ;
⎩⎪ ⎪ 4 3 12
y x+1
− = 3,
⎧⎪ 3 6
（2）⎪
y y
⎨2 x− = 3 x+ .
⎩⎪
⎪
( 2) ( 18)
ax+by = 2 x = −2
3
解方程组 时，一学生把c看错得 ，已知方程组的正确解是
{cx−7y = 8 {y = 2
x = 3
，则a、b、c的值是（ ）
{y = −2
A： a、b不能确定，c = −2
B： a=4，b=5，c = −2
C： a=4，b=7，c = −2
D： a、b、c都不能确定
79/151
x−2y = 0, ax−by = 8,
4
已知关于x、y的二元一次方程组 与 有相同的解，则
{ax+2by = −4 {2x+3y = 14
a−b =（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
3kx−3y +1 = 0,
5
若方程组 有无穷多组解（x，y为未知数），则（ ）
{6x+3y = 1
A： k≠2
B： k = −2
C： k < −2
D： k > −2
6 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫整体代换或换元思
a x+b y = c ,
1 1 1
想，请根据上面的思想解决下面问题：若关于x，y的方程组 的解是
{a x+b y = c
2 2 2
x = 6, 3a (x+y)+2b (x−y) = 5c ,
1 1 1
，则关于x，y的方程组 的解是_______．
{y = 2 {3a (x+y)+2b (x−y) = 5c
2 2 2
能力强化 / 初二 / 秋季
第 9 讲 二元一次方程组应用题
例题练习题答案
例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时平均每小时行驶20千
1
米，下坡时平均每小时行驶35千米，该汽车从甲地开往乙地需9小时，从乙地开往甲地需7 小
2
时．问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地需行驶多少千米的上坡路？
练1.1 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路,假设他始终保持平路每分钟走60 m,下坡路每分
钟走80 m,上坡路每分钟走40 m,则他从家里到学校需10 min,从学校到家里需15 min.问:从小华
80/151
家到学校的平路和下坡路各有多远?
例2 甲、乙两人相距42千米，若两人同时相向而行，可在6小时后相遇；而若两人同时同向而行，乙可
在14小时后追上甲，设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时，列出的二元一次方程组为
_________________________．
练2.1 两人骑自行车在400米环形跑道上用不变的速度行驶，当他们按相反的方向行驶时，每20秒相遇
一次；若按同一方向行驶，那么每100秒钟相遇一次，问两个人的速度各是多少？
例3 某商店将某种碳酸饮料每瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶价格下调了5%，已知调价
前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问
这两种饮料调价前每瓶各多少元？
练3.1 列二元一次方程组解应用题.
某工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而
总收入比总支出多100万元．求去年的总收入和总支出．
例4 某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：
（总利润=单件利润×销售量）
商品价格 A B
进价（元/件） 1200 1000
售价（元/件） 1350 1200
(1)该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？
(2)商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进B商品的件数不变，而购进A商品的件数是第1次
的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营
活动获得利润等于72000元，则B种商品是打几折销售的？
81/151
练4.1 打折前，买6件A商品和3件B商品用了108元，买5件A商品和1件B商品用了84元，打折后买5件A
商品和5件B商品用了80元，问打折后买5件A商品和5件B商品比不打折少花多少元？
例5 某车间共有75名工人生产A、B两种工件，已知一名工人每天可生产A种工件15件或B种工件20
件，但要安装一台机械时，同时需A种工件1件，B种工件2件，才能配套，设车间如何分配工人生
产，才能保证连续安装机械时，两种工件恰好配套？
练5.1 现有39名工人生产螺栓、螺母，已知每人每天可生产螺栓7个或螺母12个，问如何分配任务，才
能使每天生产的螺栓、螺母刚好配套（提示：一个螺栓与两个螺母配套）．
例6 某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5
个双人间共需700元，问入住2个单人间和5个双人间共需多少元？
练6.1 将若干本书放入若干个抽屉中，若每个抽屉放4本书，则有3本书无抽屉可放；若每个抽屉放5本
书，则只有一个抽屉无书可放，其它抽屉正好放满，则这批书有__________本．
例7 小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形. 小红看见
了，说:"我来试一试."结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形.咳，怎么中间还留了一个洞，
恰好是边长为2mm的小正方形.请你求出这些长方形的长和宽.
练7.1 用四个完全一样的长方形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积是121，
小正方形的面积是9，若用x、y(x > y)表示长方形的长和宽，则下列关系中不正确的是（ ）
A： x+y=11
82/151
B： x2 +y2 = 180
C： x﹣y=3
D： x•y=28
例8 如图，由矩形和三角形组合而成的广告牌紧贴在墙面上，重叠部分（阴影）的面积是4m2 ，广告
牌所占的面积是
30m2
（厚度忽略不计），除重叠部分外，矩形剩余部分的面积比三角形剩余部
分的面积多2m2 ，设矩形面积是xm2 ，三角形面积是ym2
，则根据题意，可列出二元一次方程组
为（ ）
x+y −4 = 30
A：
{(x−4)−(y −4) = 2
x+y = 26
B：
{(x−4)−(y −4) = 2
x+y −4 = 30
C：
{(y −4)−(x−4) = 2
x−y +4 = 30
D：
{ x−y = 2
练8.1 如图所示，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边
形，求白皮、黑皮各多少块？
能力强化 / 初二 / 秋季
第 9 讲 二元一次方程组应用题
自我巩固答案
1 现有两辆汽车从相距120 km的A，B两地同时出发匀速行驶，如果两辆车的行驶方向相同，那么6
h后，速度快的汽车追上速度慢的汽车，如果两辆车相向行驶，那么1.2 h后两车相遇，则速度快
83/151
的汽车和速度慢的汽车的速度分别为（ ）
A： 60 km/h；40 km/h
B： 80 km/h；60 km/h
C： 40 km/h；20 km/h
D： 80 km/h；40 km/h
2 从甲地到乙地的路有一段上坡、一段平路与一段3千米长的下坡，如果保持上坡每小时走3千米，
平路每小时走4千米，下坡每小时走5千米，那么从甲地到乙地需90分钟，从乙地到甲地需102分
钟，则甲地到乙地全程是多少千米？
3 某天，一蔬菜经营户用90元钱按批发价从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角共50kg，然后在市场上
按零售价出售，西红柿和豆角当天的批发价和零售价如下表所示：
品名 西红柿 豆角
批发价（单位：元/kg） 2.0 1.5
零售价（单位：元/kg） 2.9 2.6
如果西红柿和豆角全部以零售价售出，他当天卖这些西红柿和豆角赚了多少元钱？
4 某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价 销售价（元/箱）
甲 24 36
乙 33 48
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
5 用白铁皮做罐头盒,每张铁皮可制盒身10个或制盒底40个,一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒,现
有120张白铁皮,设用x张制盒身,y张制盒底,得方程组（ ）
84/151
x+ y = 120
A：
{40y = 16x
x+ y = 120
B：
{40y = 32x
x+ y = 120
C：
{40y = 20x
x+ y = 120
D：
{20y = 40x
6 买钢笔和铅笔共30支，其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支．若设买钢笔x支，铅笔y支，根据
题意，可得方程组（ ）
x+ y = 30
A：
{y = 2x+ 3
x+ y = 30
B：
{y = 2x− 3
x+ y = 30
C：
{x = 2y + 3
x+ y = 30
D：
{x = 2y − 3
7 小明在学习之余去买文具,打算购买 5 支单价相同的签字笔和 3 本单价相同的笔记本,期间他与售
货员对话如下:请你判断在单价没有弄反的情况下,购买 1 支签字笔和 1 本笔记本应付（ ）
小明:您好,我要买 5 支签字笔和 3 本笔记本.
售货员:好的,那你应该付 52 元.
小明:刚才我把两种文具的单价弄反了,以为要付 44 元.
A： 10元
B： 11元
C： 12元
D： 13元
8 某车间有技术工人85人，平均每人每天可加工甲种部件16个或乙种部件10个．两个甲种部件和三
个乙种部件配成一套，问各安排多少人加工甲、乙部件才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配
套？
9 如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依
题意列方程组正确的是（ ）
85/151
x+2y = 75，
A：
{y = 3x
2x+y = 75，
B：
{x = 3y
2x+y = 75，
C：
{y = 3x
x+2y = 75，
D：
{x = 3y
10 如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）
A： 400 cm2
B： 500 cm2
C： 600 cm2
D： 4000 cm2
能力强化 / 初二 / 秋季
第 9 讲 二元一次方程组应用题
课堂落实答案
1 从A地到B地有一段上坡路和一段平路，如果车辆保持上坡每小时行驶30km，平路每小时行驶
50km，下坡每小时行驶60km，那么车辆从A地到B地需要48分钟，从B地到A地需要27分钟，问
A，B两地之间的坡路和平路各有多少千米？若设A，B两地之间的坡路为xkm，平路为ykm，根据
题意可列方程组为（ ）
86/151
x y
A： + = 48
⎧ 30 50
⎪
x y
⎨ + = 27
⎩⎪ 60 50
x y
B： + = 27
⎧ 30 50
⎪
x y
⎨ + = 48
⎩⎪ 60 50
x y
C： + = 0.45
⎧ 30 50
⎪
x y
⎨ + = 0.8
⎩⎪ 60 50
x y
D： + = 0.8
⎧ 30 50
⎪
x y
⎨ + = 0.45
⎩⎪ 60 50
2 甲、乙两人相距42km，若相向而行，则需2小时相遇；若同向而行，乙要14小时才能追上甲，则
甲、乙二人每小时各走（ ）
A： 12km；9km
B： 11km； 10km
C： 10km； 11km
D： 9km；12km
3 某公司去年的利润（总产值−总支出）为200万元．今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年
减少了10%，今年的利润为780万元．如果去年的总产值x万元、总支出y万元，则下列方程组正确
的是（ ）
x−y = 200，
A：
{(1 +20%)x−(1 −10%)y = 780
x−y = 200，
B：
{(1 −20%)x−(1 +10%)y = 780
x−y = 200，
C：
{20%x−10%y = 780
x−y = 200，
D：
{(1 −20%)x−(1 −10%)y = 780
4 如图，根据根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（ ）
87/151
A： 51元
B： 35元
C： 8元
D： 7.5元
5 某车间有56名工人生产螺栓和螺母,每人每天可生产螺栓16个或螺母24个,问怎样分配工人才能使
每天生产的螺栓和螺母按1:2配套? 设生产螺栓为x人,生产螺母为y人,生产的螺栓和螺母按1:2配
套,则方程可列为（ ）
x+ y = 56
A：
{2× 16x = 24y
x+ y = 56
B：
{2× 24y = 16x
x+ y = 56
C：
{2× 16y = 24x
x+ y = 56
D：
{24x = 16y
能力强化 / 初二 / 秋季
第 9 讲 二元一次方程组应用题
精选精练
1 甲、乙二人跑步，如果甲让乙先跑10米，甲跑5秒就可追上乙；如果甲让乙先跑2秒钟，那么甲跑
4秒钟就能追上乙，若设甲、乙每秒钟分别跑x，y米，可列方程组为（ ）
5x = 5y +10
A：
{ 4x−2 = 4y
5x+10 = 5y
B：
{ 4x−4y = 2
88/151
5(x−y) = 10
C：
{4(x−y) = 2x
5x−5y = 10
D：
{4(x−y) = 2y
2 利用二元一次方程组解应用题：甲、乙两地相距160km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由两地以各
1
自的速度匀速相向而行，1 小时后相遇，相遇后，拖拉机以其原速继续前进，汽车在相遇处停留
3
1小时后掉转头以其原速返回，在汽车再次出发半小时后追上拖拉机，这时，汽车、拖拉机各自走
了多少千米？
3 等腰三角形的周长是25 cm,一腰上的中线将周长分为3 : 2两部分,则此三角形的底边长为___
cm或___cm.
4 若等腰三角形一腰上的中线分周长为6cm或9cm两部分，求这个等腰三角形的底边和腰的长．
5 小林在某商店购买商品A，B共三次，只有其中一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按标
价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如表所示，
购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元
第一次购物 6 5 1140
第二次购物 3 7 1110
第三次购物 9 8 1062
(1)在这三次购物中，第_____次购物打了折扣；
(2)求出商品A、B的标价；
(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？
6 某大学食堂共有7个大餐厅和3个小餐厅，经过测试，同时开放3个大餐厅和2个小餐厅，可供3160
名学生就餐；同时开放2个大餐厅和3个小餐厅，可供2640名学生就餐．
（1）求1个大餐厅、1个小餐厅可分别供多少名学生就餐？
（2）若10个餐厅同时开放，能否供全校的6500名学生就餐？请说明理由．
89/151
能力强化 / 初二 / 秋季
第 10 讲 一次函数综合
例题练习题答案
例1 直线y = 3x+b与x轴的交点坐标是(1,0)，则关于x的一元一次方程3x+b = 0的解是
______．
练1.1 如图，直线y = kx+b(k ≠ 0)与x轴交于点(−4,0)，则关于x的方程kx+b = 0的解为
______．
例2
(1)已 知 直 线 y = 3x+b与 y = ax−2的 交 点 的 横 坐 标 为 −2 ， 则 关 于 x 的 方 程
3x+b = ax−2的解为x =_____．
(2)如图，已知函数y = ax+b和y = kx的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一
y = ax+b
次方程组 的解是（ ）
{y = kx
x = −2
A：
{y = −4
x = −4
B：
{y = −2
x = 2
C：
{y = −4
90/151
x = −4
D：
{y = 2
练2.1 已知：如图，直线l ：y = a x−b 与直线l ：y = a x−b 相交于点P(-1,2)，则方程组
1 1 1 1 2 2 2 2
a x−y = b
1 1
的 解为________．
{a x−y = b
2 2
y = k x+b x = −2
例3 已知方程组 1 1 的解是 ，则一次函数y = k x+b 与y = k x+b 的
1 1 2 2
{y = k x+b { y = 3
2 2
交点坐标是____．
y = 3x−5 x = 12
练3.1
已知方程组 的解为 ，则一次函数y = 3x−5与y = 2x+7的交点坐
{y = 2x+7 {y = 31
标是________．
例4 在平面直角坐标系xOy中，直线y = kx+b经过点A(3,1)，与x轴交于点B，与y轴交于点C，连
接OA．若S
△AOB
: S
△BOC
= 1 : 2，求直线y = kx+b的解析式．
练4.1 如果一次函数y = kx+4与两坐标轴围成的三角形面积为4，则k = ________．
2
例5
直线y = x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA
3
上一动点，请你在所给的坐标系中准确地画出点P的位置，并求出PC+PD值最小时点P的坐标．
练5.1 已知点A(0,2)、B(4,1)，点P是x轴上的一点，则PA +PB的最小值是_____．
例6 如图（含备用图），在平面直角坐标系中，已知直线y = kx+3与x轴相交于点A(2,0)，与y轴
交于点B．
（1）求k的值及△AOB的面积；
（2）点C在x轴上，若△ABC是以AB为腰的等腰三角形，直接写出点C的坐标．
91/151
–
练6.1 √3
已知一次函数y = x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是坐标轴上的一点，是否存在
3
点P使得△ABP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 10 讲 一次函数综合
自我巩固答案
1 如图，根据函数y = kx+b（k、b是常数，且k ≠ 0）的图象，求：
（1）方程kx+b = 0的解；
（2）式子b−k的值；
（3）方程kx+b = −3的解．
2 一次函数y = −2x+3的图象和y = kx−b的图象相交于点A(m,1)，则关于x，y的二元一次
2x+y = 3
方程组 的解为（ ）
{ kx−y = b
92/151
x = −1
A：
{ y = 5
x = 2
B：
{y = −1
x = 1
C：
{y = 1
x = 2
D：
{y = 3
3 用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如
图所示），则所解的二元一次方程组是（ ）
x+y −2 = 0
A：
{3x−2y −1 = 0
2x−y −1 = 0
B：
{3x−2y −1 = 0
2x−y −1 = 0
C：
{3x+2y −5 = 0
x+y −2 = 0
D：
{2x−y −1 = 0
x = a
4 若直线y = 3x+6与直线y = 2x+4的交点坐标为(a,b)，则解为 的方程组是
{y = b
（ ）
y −3x = 6
A：
{2x+y = 4
3x+6 +y = 0
B：
{2x−4 −y = 0
3x+6 −y = 0
C：
{2x+4 −y = 0
3x−y = 6
D：
{2x−y = 4
93/151
5 如图所示，直线y = kx+b(k > 0)与y轴交于点(0,3)，则关于x的方程kx+b = 3的解
为x=（ ）
A： −5
B： −4
C： 0
D： 1
6 如图，直线y = −2x−4与坐标轴交于A、B两点，点P为直线y = 2x上一点，且△ ABP 的面
积被y轴分为1 : 2两部分，求点P的坐标．
7 如图，一次函数y = kx+b的图象经过点A(4,0)，直线y = −3x+3与x轴交于点B，与y轴交
于点D，且两直线交于点C (2,m)．
94/151
(1)求m的值及一次函数的解析式；
(2)求△ACD的面积．
8 如图，一次函数y = k x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y = k x的图象相交于点
2 1
A(4,3)，且OA = OB．
(1)分别求出这两个函数的解析式；
(2)求△AOB的面积；
(3)点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
2
9 如图，直线y = x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点
3
P为OA上的一动点．
（1）求点C、D的坐标；
（2）求PC +PD的值最小时点P的坐标，并求出这个最小值．
1
10 如图，直线l：y = − x+2与x轴，y轴分別交于点A，B，在y轴上有一点C (0,4)，动点M从
2
点A出发以毎秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为t秒．
（1）求点A的坐标；
95/151
（2）请从①，②两题中任选一题作答．
①．求△COM的面积S与时间t之间的函数表达式；
②．当△ABM为等腰三角形时，求t的值．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 10 讲 一次函数综合
课堂落实答案
1 已知直线l ：y = −3x+b与直线l ：y = −kx+1在同一平面直角坐标系中的图象交于点
1 2
3x+y = b
(1,−2)，那么方程组 的解是（ ）
{kx+y = 1
x = 1
A：
{y = −2
x = 1
B：
{y = 2
x = −1
C：
{ y = −2
x = −1
D：
{ y = 2
2 已知直线y = x+2与直线y = kx+b的图象相交于点A(2,4)，则二元一次方程组
y = x+2
的解为____________．
{y = kx+b
3 直线y = x+3与坐标轴围成的三角形的面积是_____．
4 如图，一次函数y = −x+m的图象与y轴交于点B，与正比例函数y = x的图象交于点
P (2,n)．
96/151
(1)求m和n的值；
(2)求△POB的面积．
5 已知△ABC，回答下列问题．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A B C (其中A 、B 、C 分别是A、B、C的对应点，不写
1 1 1 1 1 1
画法）；
(2)直接写出A ，B ，C 三点的坐标：A ，B ，C ；
1 1 1 1_____ 1_____ 1_____
(3)在x轴上找一点P使PA +PB值最小．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 10 讲 一次函数综合
精选精练
97/151
x+2y = 5
1 已知函数x+2y = 5与函数x+y = 3的交点坐标是(1,2)，则方程组 的解是
{x+y = 3
_________．
2 如图，直线y = ax+b过点A(0,2)和点B(−3,0)，则方程ax+b = 0的解是________．
3 已知一次函数y = 2x+a，y = −x+b的图象都经过A(−2,0)，且与y轴分别交于B、C两
点，则△ABC的面积为（ ）
A： 4
B： 5
C： 6
D： 7
4 如图，已知直线EF交x轴于点E(18,0)，交y轴于点F，∠FEO = 30∘ ，C、D为EF上两点，且两
点的横坐标分别为12和6；DA⊥y轴于点A，CB⊥y轴于点B，CQ⊥x轴于点Q．
(1)求直线EF的解析式，以及点A和点B的坐标；
(2)P为直线CD上一动点，连接PQ，OP，探究△POQ的周长，并求出当周长最小时，P的坐标及
此时该三角形的周长；
(3)点N从点Q(12,0)出发，沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向点O运动，同时另一动点M从
点B开始沿B −C −D−A的方向绕梯形ABCD运动，运动速度为每秒2个单位长度，当其
中一个点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为t秒，连接MO和MN，试探究当t为
何值时MO = MN．
98/151
3
5 如图，已知直线y = − x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作
4
等腰Rt△ABC，∠BAC = 90∘ ，点P是x轴上的一个动点，设P (x,0)．
(1)当x =_____时，PB +PC的值最小；
(2)当x =_____时，|PB −PC|的值最大．
4
6 如图：在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y = x与一次函数y = −x+7的图象交于点
3
A．
(1)求点A的坐标；
(2)在y轴上确定点M，使得△AOM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标；
(3) 如图，设x轴上一点P (a,0)，过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交
4 14
y = x和y = −x+7的图象于点B、C，连接OC，若BC = OA，求△ABC的面积
3 5
及点B、点C的坐标；
(4) 在（3）的条件下，设直线y = −x+7交x轴于点D，在直线BC上确定点E，使得△ADE的周
长最小，请直接写出点E的坐标．
能力强化 / 初二 / 秋季
99/151
第 11 讲 平行线与三角形
例题练习题答案
例1 如图，∠1 +∠2 = 180∘ ，∠3 = ∠B，EH与DF交于点G，求证：EF∥BC．
练1.1 如图，∠A = ∠F，∠C = ∠D，试说明∠BMN与∠CNM互补吗？为什么？
例2
(1)△ABC的三个内角中，最大角∠A的范围是____________，最小角∠B的范围是_______．
(2)在△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 3 : 4 : 5，则∠C等于（ ）
A： 45°
B： 60°
C： 75°
D： 90°
(3)如图，△ABC中，∠ACB = 90∘ ，CD⊥AB于点D，图中与∠A相等的角是哪个？与
∠B相等的角是哪个？
100/151
(4)在下列条件中：
①∠A +∠B = ∠C；②∠A : ∠B : ∠C = 1 : 2 : 3；
③∠A = 90∘ −∠B；④∠A = ∠B −∠C；
⑤∠A +∠B < ∠C．
能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
练2.1
(1)三角形的外角和是内角和的______倍
(2)如图，在△ABC中，AB = AC，D、E分别在AC、AB边上，且BC = BD，
AD = DE = EB，求∠A的度数．
101/151
例3 如图，∠A = 60∘ ，∠B = 67∘ ，∠C = 91∘ ，∠D = 58∘ ，∠E = 22∘ ，则∠F =（ ）
A： 60°
B： 59°
C： 65°
D： 62°
练3.1 如图，△ABC中，已知∠A = α，∠ABD = β，∠ACE = γ，下列选项中结果为180∘ 的为
（ ）
A： β +γ −α
B： α+γ −β
C： α+β −γ
D： α+β +γ
例4
(1)如图，△ ABC的角平分线CD、BE相交于点O，∠A = 60∘ ，则∠DOE =（ ）
A： 80°
B： 100°
102/151
C： 120°
D： 140°
(2)已知：△ ABC中，∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线相交于G
1
、G
2
、G
3
、…、
G
n−1
，试猜想∠BG
n−1
C与∠A的关系（其中n ≥ 2且n为整数）．
①如图1，当n = 2时，∠BG C =________；
1
②如图2，当n = 3时，∠BG C =________；
2
③如图3，猜想∠BG
n−1
C =________．
练4.1
(1)如图，BP、CP分别为∠ABC和∠ACB的角平分线．若∠P = 120∘ ，则∠A的度数为
（ ）
A： 40°
B： 60°
C： 80°
D： 100°
(2)如图，已知∠MAC = 3∠MAB，∠MCA = 3∠MCB，则∠M与∠B的数量关系为
_________________________．
103/151
例5
(1)如图1，∠A BC、∠A CM的角平分线BA 、CA 相交于点A ．如果∠A = 68∘ ，
1 1 2 2 2 1
那么∠A 的度数是多少，试说明理由；
2
(2)如图2，如果∠A BC、∠A CM的角平分线BA 、CA 相交于点A ，请直接写出
2 2 3 3 3
∠A 的度数；
3
(3)如图3，重复上述过程，∠A n1 BC、∠A n1 CM的角平分线BA n 、CA n 相交于点A n 得到
∠A n，设∠A
1
= θ，请用θ表示∠A
n
（直接写出答案）．
练5.1 （1）如图，在△ABC中，∠A = α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A ，得
1
∠A ，∠A BC的平分线与∠A CD的平分线交于点A ，得∠A ……∠A BC的平分线与
1 1 1 2 2 2016
104/151
∠A CD的平分线交于点A ，得∠A ，则∠A =________________．
2016 2017 2017 2017
（2）如图，△ABC中，∠B = ∠C，∠A = 28∘ ，E为BC边上一点，且满足∠DEB = 60∘ ，若
∠ABC与∠ADE的角平分线相交于G，则∠G的度数为（ ）
A．30°
B．14°
C．38°
D．35°
例6 如图，△ABC中，分别延长△ ABC的边AB、AC到D、E，∠CBD与∠BCE的平分线相交于点P，爱
动脑筋的小明在写作业的时候发现如下规律：
(1)若∠A=50°，则∠P= °；
(2)若∠A=90°，则∠P= °；
(3)若∠A=100°，则∠P= °；
(4)请你用数学表达式归纳∠A与∠P的关系，并说明理由．
练6.1
105/151
1 1
(1) 如图，在△ABC中，∠A = 60∘ ，∠FBC = ∠DBC，∠FCB = ∠ECB，∠F的度
3 3
数为（ ）
A： 100°
B： 110°
C： 120°
D： 130°
1 1
(2)如图，在△ ABC中，∠A = 60∘ ，∠MBC = ∠DBC，∠MCB = ∠ECB，
2 2
1 1
∠NBC = ∠ABC，∠NCB = ∠ACB，
2 2
则∠N =__________°，∠M =__________°．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 11 讲 平行线与三角形
自我巩固答案
106/151
1 已知：如图，AD⊥BC于点D，∠1=∠2，∠CDG=∠B，求证：EF⊥BC．
2 △ABC中，若最大角∠A等于最小角∠C的两倍，最大角又比∠B大20∘ ，则△ABC的三个内角的度
数分别是多少？
3 如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，∠1 +∠2 = 225∘ ，则∠A =（ ）
A： 30∘
B： 45∘
C： 55∘
D： 60∘
4 在△ ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点I，且∠BIC = 130∘ ，则∠A的度数是
（ ）
A： 40∘
B： 50∘
C： 65∘
D： 80∘
5 我们知道，任何一个三角形三个内角的和是180∘ ，如图，△ABC中，
∠BAC +∠ABC +∠ACB = 180∘ ．
（1）请画出∠ABC和∠ACB的角平分线，交点是D；
（2）若∠BAC = x∘ ，请用含x的代数式表示出∠BDC的度数，并简单说明理由；
107/151
（3）若∠BAC和∠BDC互补，求x的值．
6 如图，△ABC的外角平分线CP和内角平分线BP相交于点P，若∠BPC = 35∘ ，则∠A =（ ）
A： 70∘
B： 80∘
C： 55∘
D： 65∘
7 如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是△ABC的外角平分线，BD、CD交于点D，若∠A = 70∘ ，
求∠D．
8 如图，在△ABC中，∠B = 48∘ ，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，∠AEC等
于（ ）
A： 56∘
B： 66∘
C： 76∘
108/151
D： 无法确定
9 如图，∠ABC = ∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、
外角∠ACF，以下结论：①AD // BC；②∠ACB = 2∠ADB；③
1
∠ADC = 90∘ −∠ABD；④BD平分∠ADC；⑤∠BDC = ∠BAC，其中正确的结论
2
有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
10 如图，在△ABC中，点P是△ABC的外角∠DBC、∠BCE的平分线的交点，若∠BPC = 70∘ ，
则∠BAC的度数为（ ）
A： 40∘
B： 45∘
C： 55∘
D： 60∘
能力强化 / 初二 / 秋季
109/151
第 11 讲 平行线与三角形
课堂落实答案
1 如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA，求证：EF平分∠BED．
2 如图，将等边△ABC剪去一个角后，∠BDE +∠CED = _________．
3 如图，在△ABC中，∠ABC = 3∠EBC ， ∠ACB = 3∠ECB ， 若 ∠A = 45∘ ， 求
∠BEC的度数．
4 如图，∠MAN = 100∘ ，点B、C是射线AM、AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的
平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小是（ ）
A： 40∘
B： 50∘
110/151
C： 80∘
D： 随点B、C的移动而变化
5 如图，在△ ABC中，∠A = 60∘ ，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别
在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、
∠ECQ，则∠F =_________．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 11 讲 平行线与三角形
精选精练
1 如图所示，已知∠B = ∠C，∠1 = ∠2，求证：AE // DF．
2 设α、β、γ是某三角形的三个内角，则α+β、β +γ、α+γ中（ ）
A： 有两个锐角、一个钝角
B： 有两个钝角、一个锐角
C： 至少有两个钝角
111/151
D： 三个都可能是锐角
3 如图，已知∠α = 133∘ ，∠β = 83∘ ，则∠A +∠B +∠C +∠D = _________．
4
(1)在△ ABC中，∠BAC = 100∘ ，若∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，如图1所示，
试求∠BOC的大小；
(2) 若∠ABC和∠ACB的三等分线（即将一个角平均分成三等分的射线）相交于O、O ，如
1
图2所示，试求∠BOC的大小；
(3)如此类推，若∠ABC和∠ACB的n等分线自下而上依次相交于点O，O ，O ，⋯，如图
1 2
3所示，试探究∠BOC的大小与n的关系，并判断当∠BOC = 170∘ 时，是几等分线的交
线所成的角．
5
112/151
(1)如图1，在平面直角坐标系中，A(0,1)，B(4,1)，C为x轴正半轴上一点，且AC平分
∠OAB．
求证：∠OAC = ∠OCA；
(2)如图2，OA = OC，若点P为△ AOC外部一点，OP 平分∠AOC，CP 平分外角
∠ACE，求∠P的大小；
1 1
(3) 如图3，在（2）中，若射线OP、CP满足∠POC = ∠AOC，∠PCE = ∠ACE，
n n
猜想∠OPC的大小，并证明你的结论（用含n的式子表示）．
6 已知BM、CN分别是△A BC的两个外角的角平分线，BA 、CA 分别是∠A BC和
1 2 2 1
∠A CB的角平分线，如图①；BA 、CA 分别是∠A BC和∠A CB的三等分线（即
1 3 3 1 1
1 1
∠A
3
BC = ∠A
1
BC，∠A
3
CB = ∠A
1
CB），如图②；依此画图，BA n、CA n分别
3 3
1
是 ∠A 1 BC 和 ∠A 1 CB 的 n 等 分 线 （ 即 ∠A n BC = ∠A 1 BC ，
n
1
∠A
n
CB = ∠A
1
CB），n ≥ 2，且n为整数．
n
（1）若∠A ＝70∘ ，求∠A 的度数；
1 2
（2）设∠A
1
＝α，请用α和n的代数式表示∠A n的大小，并写出表示的过程；
（3）当n ≥ 3时，请直接写出∠MBA n +∠NCA n与∠A n的数量关系．
113/151
能力强化 / 初二 / 秋季
第 12 讲 等腰与直角
例题练习题答案
例1 如图，在△ABC中，AB = AC．
(1)如图1，如果∠BAD = 30∘ ，AD是BC上的高，AD = AE，则∠EDC =__________．
(2)如图2，如果∠BAD = 40∘ ，AD是BC上的高，AD = AE，则∠EDC =__________．
(3)通过以上两题，你发现∠BAD与∠EDC之间有什么关系？请用式子表示：__________．
(4)如图3，如果AD不是BC上的高，AD = AE，是否仍有上述关系？如有，请你写出来，并
说明理由．
练1.1 如图，已知AD⊥BC于点D，AE⊥CE于点E，∠ACE = ∠B，AD = AE，求证：D是BC中
点．
114/151
例2 如图所示，△ABC中，AB = AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD = AE，连接DE．求
证：DE⊥BC．
练2.1 如图，△ABC中，AB = AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC上的点，且AE = AF，求
证：DE = DF．
例3 在△ABC中，其中两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
A： ∠A = 30∘ ，∠B = 50∘
B： ∠A = 30∘ ，∠B = 60∘
C： ∠A = 40∘ ，∠B = 90∘
D： ∠A = 50∘ ，∠B = 80∘
练3.1 在△ABC中，其中两个内角如下，则不能判定△ABC为等腰三角形的是（ ）
115/151
∘ ∘
A： ∠A = 30 ，∠B = 120
∘ ∘
B： ∠A = 30 ，∠B = 75
∘ ∘
C： ∠A = 50 ，∠B = 65
∘ ∘
D： ∠A = 50 ，∠B = 70
例4 如图，已知△ABC中，BC边上有D，E两点，∠1 = ∠2，∠3 = ∠4．求证：△ABC是等腰三角
形．
练4.1 如图，Rt△ABC中，∠ACB = 90∘ ，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交
CB于点F．求证：CE = CF．
练4.2 如图，CE平分∠ACB且CE⊥BD，∠DAB = ∠DBA，AC = 18，BD=8，求BC的长．
例5 如图，∠ACB = 90∘ ，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？
练5.1 如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
116/151
例6 下列说法正确的有( )个．
①两条边对应相等的两个直角三角形全等；
②有一锐角和斜边对应相等的两直角三角形全等；
③一条直角边和一个锐角对应相等的两直角三角形全等；
④面积相等的两个直角三角形全等．
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
练6.1 下列条件不能判定两个直角三角形全等的是( )
A： 两条直角边对应相等
B： 斜边和一锐角对应相等
C： 斜边和一直角边对应相等
D： 两个锐角对应相等
例7 如图，已知∠A = ∠D = 90∘ ，BD与AC相交于点O，且BD = AC．
求证：△ABC≌△DCB．
练7.1 如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB = AD，求证：△ABC≌△ADC．
117/151
能力强化 / 初二 / 秋季
第 12 讲 等腰与直角
自我巩固答案
1 如图，△ABC中，AB = AC，D是BC中点，下列结论中不正确的是（ ）
A： AB = 2BD
B： AD⊥BC
C： AD平分∠BAC
D： ∠B = ∠C
2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90∘ ，∠A = 52∘ ，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交
AB于点D，连接CD，则∠ADC的度数为( )
A： 142∘
118/151
B： 132∘
C： 119∘
D： 109∘
3 如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 100∘ ，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交
AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是( )
A： 100∘
B： 105∘
C： 110∘
D： 120∘
4 如图，在△ABC中，∠A = 55∘ ，∠B = 70∘ ，则△ABC是什么三角形？
5 如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD = CE，∠ABE = ∠ACD，BE
与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．
6 在直角三角形中，两个锐角的度数比为2 : 3，则较小锐角的度数为（ ）
A： 20∘
119/151
B： 32∘
C： 36∘
D： 72∘
7 如图，已知∠BAC = 90∘ ，AD⊥BC于D，则图中互余的角有（ ）
A： 4对
B： 5对
C： 6对
D： 7对
8 如图，C是AB的中点，DA⊥AB，EB⊥AB，若要用HL证明△ADC≌△BEC，需要添加的条件是
（ ）
A： AD = BE
B： ∠D = ∠E
C： CD = CE
D： ∠ACD = ∠BCE
9 能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A： 斜边相等
B： 一锐角对应相等
120/151
C： 两锐角对应相等
D： 两直角边对应相等
10 如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD = BC．求证：（1）AB = DC；（2）AD∥BC．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 12 讲 等腰与直角
课堂落实答案
1 如图，在△ABC中，AB = AC，D为BC中点，∠BAD = 35∘ ，则∠C的度数为（ ）
∘
A： 35
∘
B： 45
∘
C： 55
∘
D： 60
2 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，AE⊥CD，垂足为点D，交BC于点E ，
∠B = ∠BAE，若BC = 5，AC = 3，则AD的长为( )
A： 1
121/151
B： 1.5
C： 2
D： 2.5
3 如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中最小锐角的度数是
（ ）
A： 9∘
B： 18∘
C： 27∘
D： 36∘
4 如 图 ， BE = CF ， AE⊥BC ， DF⊥BC ， 要 根 据 “HL” 证 明
Rt △ ABE≌Rt △ DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A： AE = DF
B： ∠A = ∠D
C： ∠B = ∠C
D： AB = DC
5 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，BC=AD．求证：△ABC≌△BAD．
能力强化 / 初二 / 秋季
122/151
第 12 讲 等腰与直角
精选精练
1 一个等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为12和30两部分，则这个等腰三角形的腰长
为__________．
2 如图所示，∠AOB是一钢架，设∠AOB = α，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管
EF，FG，GH …，添加的钢管长度都与OE相等，若最多能添加这样的钢管4根，则α的取
值范围是___________________．
3 已知：如图，在△ABC中，AB > AC，∠B = 45∘ ，点D是BC边上一点，且AD = AC，过点
C作CF⊥AD于点E，与AB交于点F．
（1）若∠CAD = α，求：
①∠BCA的大小；
②∠BCF的大小；（用含α的式子表示）
（2）求证：AC = FC．
4 在一个三角形中，若∠A = ∠B +∠C，则△ABC是（ ）
A： 直角三角形
B： 锐角三角形
C： 钝角三角形
D： 以上都不对
123/151
5 如图，四边形AECD中，BE=DF，CE⊥AB，CF⊥AD，CB = CD，
试说明：△ACE≌△ACF．
6 如 图 ， 有 一 个 直 角 三 角 形 ABC ， ∠C = 90∘ ， AC = 10， BC = 5 ， 一 条 线 段
PQ = AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，当AP =__________
时，才能使△ ABC与△ QPA全等．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 13 讲 等边与369
例题练习题答案
例1 如图，已知△ABC是等边三角形，AD是中线，点E在AC上，AE = AD，则∠EDC =_______．
练1.1 如图，D是等边△ABC中AC边上的中点，点E在BC的延长线上，DE = DB，△ABC的周长是9，
则∠E =_______°，CE =_______．
124/151
例2 如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG = CD ，
DF = DE，则∠E =_______°．
练2.1 △ABC是等边三角形，M是AC上一点，N是BC上的一点，且AM = BN，∠MBC = 25∘ ，
AN与BM交于点O，则∠MON =（ ）
A： 130°
B： 120°
C： 110°
D： 85°
例3 如图，已知点O是∠APB内的一点，M、N分别是点O关于PA、PB的对称点，连接MN，
与PA、PB分别相交于点E、F，已知MN = 6cm．
（1）求△OEF的周长；
（2）连接PM、PN，若∠APB = α，求∠MPN（用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若α = 30∘ ，判定△PMN的形状，并说明理由．
练3.1 如图，AB = AC，∠BAC = 120∘ ，AD⊥AC，AE⊥AB．
（1）求∠C的度数；
125/151
（2）求证：△ADE是等边三角形．
例4 如图，在四边形ABCD中，AB = AC，∠ABD = 60∘ ，∠ADB = 78∘ ，
∠BDC = 24∘ ，则∠DBC =（ ）
A： 18°
B： 20°
C： 25°
D： 15°
练4.1 如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，E为AD延长线上的一点，
∠CAD = ∠CBD = 15∘ 且CE = CA．
（1）试说明CD垂直于AB；
（2）求证：DE平分∠BDC；
（3）若点M在DE上，且DC = DM，求证：ME = BD．
例5
(1)如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交
BC的延长线于点F．
①求∠F的度数；
②若CD = 2，求DF的长．
126/151
(2)已知：如图，在等腰三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 120∘ ，D为BC中
1
点，DE⊥AB于点E．求证：AE = AB．
4
练5.1 如图，△ABC中，∠ACB = 90∘ ，CD是高，若∠A = 30∘ ，BD = 1，则BC =____，
AD =_______．
例6 如图，在△ABC中，AB = a，AC = b，∠BAC = 150∘ ，则S
△ABC
=_____．
练6.1 如图，已知∠AOB = 60∘ ，点P在边OA上，OP = 24，点M、N在边OB上，
PM = PN，若NM = 6，则OM等于（ ）
A： 6
B： 7
C： 8
127/151
D： 9
例7 已知，如图，△ABC为等边三角形，AE = CD，AD、BE相交于点P．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若BQ⊥AD于Q，PQ = 6，PE = 2，求AD的长．
练7.1 如图，等边△DEF的顶点分别在等边△ABC各边上，且DE⊥BC于E，若AB = 1，则
DB = _______．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 13 讲 等边与369
自我巩固答案
1 如图是由9个等边三角形拼成的六边形，现已知中间最小的等边三角形的边长是a，则围成的六边
形的周长为（ ）
128/151
A： 30a
B： 32a
C： 34a
D： 无法计算
∘
2 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3 = 50 ，则∠1 +∠2 =（ ）
A： 90∘
B： 100∘
C： 130∘
D： 180∘
3 如图，若△ABC是等边三角形，AB = 6，BD是∠ABC的平分线，延长BC到E ， 使
CE = CD，则BE =（ ）
A： 7
B： 8
C： 9
D： 10
4 如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE = BD，求证：
△ADE为等边三角形．
129/151
5 如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，DE∥BC．
（1）求证：△ADE是等边三角形；
（2）求证：AE = EB．
6 如图，在等边三角形ABC中，AB = 2，点D为BC的中点，DE // AB交AC于点E，过点E作
EF⊥DE，交BC的延长线于点F，则图中长度为1的线段有（ ）
A： 3条
B： 4条
C： 5条
D： 6条
7 已知：△ABC中，AB = AC，∠C = 30∘ ，AB⊥AE，DE⊥AC．
（1）求证：AE = EC；
（2）若DE = 2，求BC的长．
130/151
8 如图，在三角形ABC中，DE是AC边的垂直平分线，且分别交BC、AC于点D和E，∠B = 60∘ ，
∠C = 30∘ ，求证：△ABD是等边三角形．
9 如图，等边△ABC中，BD = CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数为（ ）
A： 45°
B： 60°
C： 55°
D： 75°
10 如图，△ABC是等边三角形，AE = CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥DA于Q．
若PQ = 3，EP = 1，求AD的长．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 13 讲 等边与369
课堂落实答案
131/151
1 给出下面的几种三角形：①外角都相等的三角形；②三边上的高都相等的三角形；③有一个角为
60°且一边上的高也是这边的中线的三角形．其中是等边三角形的有（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
D： 3个
2 已知∠AOB = 30∘ ，点P在∠AOB内部，P 与P关于OB对称，P 与P关于OA对称，则
1 2
P 、O、P 三点所构成的三角形是（ ）
1 2
A： 直角三角形
B： 钝角三角形
C： 等腰三角形
D： 等边三角形
3 已知，如图，在等边三角形ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE = CD，连接AD、BE
交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q，则下列说法正确的是（ ）
A： BP = PQ
B： BP = 2PQ
C： AP = PE
D： AP = AB
4 如图，在△ABC中，∠A : ∠B : ∠ACB = 1 : 2 : 3，CD⊥AB于点D，若AB = 4，则DB的
长为（ ）
132/151
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
5 如图，在△ABC中，∠C = 90∘ ，∠A = 30∘ ，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，
E，若AE = 4，则EC的长是（ ）
A： 4
B： 3
C： 2
D： 1
能力强化 / 初二 / 秋季
第 13 讲 等边与369
精选精练
1 如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE = BD，连接CE、DE．
求证：EC = ED．
133/151
2 如 图 ， △ABC 是 等 边 三 角 形 ， 点 D、 E、 F 分 别 在 BC、 AB、 CA 边 延 长 线 上 ， 且
BE = AF = CD．
求证：△DEF是等边三角形．
3 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形底角的度数为__________．
4 如图，OP平分∠AOB，∠AOP = 15∘ ，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC = 4 ， 则
PD =_______．
5 如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．
已知∠AOB = 110∘ ．
(1)求证：△COD是等边三角形；
134/151
(2)当α = 150∘ 时，试判断△AOD的形状，并说明理由．
6 如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q
是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P
作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD = 30∘ 时，求AP的长；
（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；
（3）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理
由．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 14 讲 角平分线与垂直平分线
例题练习题答案
例1 如图，∠A=80°，点O是AB，AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（ ）
A： 40°
B： 30°
C： 20°
D： 10°
练1.1 如图,在△ ABE中,∠A = 105∘ ,AE的垂直平分线MN交BE于点C,且AB +BC = BE,则
∠B的度数是（ ）
135/151
A： 45∘
B： 50∘
C： 55∘
D： 60∘
例2 如图，在△ABC中，BC = 12，AB的垂直平分线交BC于D，AC的垂直平分线交BC于E，则△ADE
的周长等于（ ）
A： 12
B： 13
C： 14
D： 15
练2.1 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 5cm，△ABD的周长为17cm，求△ABC的周
长．
例3 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， AD 是 高 ， 在 线 段 DC 上 取 一 点 E ， 使 DE = BD ， 已 知
AB +BD = DC．
求证：点E在线段AC的垂直平分线上．
136/151
练3.1 如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P．求证：点P也在BC的垂直平分线上．
例4 角平分线的性质是：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”，请你根据下面的图形，写
出已知，求证，并进行证明．
已知：
求证：
证明：
练4.1 如图，已知OP平分∠AOB，PE⊥AO，PF⊥BO，垂足分别为E、F．
（1）求证：PE＝PF；
（2）将∠EPF绕点P进行旋转，角的两边与OA、OB分别交于E、F两点，问（1）中的结论是否
仍然成立．并说明理由．
例5 如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，AC=3，DE=2，AB=4，则
S △ACB=（ ）
137/151
A： 7
B： 10
C： 13
D： 14
练5.1
(1)如图所示，在△ABC中，∠A=90°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD=6cm，BC=15cm，则
△BDC的面积为_______cm2
．
(2)如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为
65和33，则△EDF的面积为_________．
例6 如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠BAC的平分线交于点D．求证：CD平分
∠ACB．
练6.1 如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O，BO = CO．求证：AO平分∠BAC．
138/151
例7 如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B +∠D = 180∘ ，求证：AE = AD+BE．
练7.1 如图，四边形ABDC中，∠D = ∠ABD = 90∘ ，点O为BD的中点，且OA平分∠BAC．
（1）求证：OC平分∠ACD；
（2）求证：OA⊥OC；
（3）求证：AB +CD = AC．
能力强化 / 初二 / 秋季
第 14 讲 角平分线与垂直平分线
课堂落实答案
1 如图，在△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周
长为_______．
139/151
2 如图,△ABC中,AB = AC,∠A = 36∘ ,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,则
∠BDC的度数为（ ）
A： 72∘
B： 36∘
C： 60∘
D： 82∘
3 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA = 3，则PQ的最
小值为（ ）
–
A： √3
B： 2
C： 3
–
D： 2√3
4 如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于B，且PB=5cm，AC=12cm，则△APC的面积是
（ ）
140/151
A： 30cm2
B： 40cm2
C： 50cm2
D： 60cm2
5 5．如图，在四边形ABCD中，∠B = ∠C = 90∘ ，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上
的M点．有下列结论：①∠AMD = 90∘ ；②M为BC的中点；③AB +CD = AD；④
1
S △ADM =
2
S ABCD；⑤M到AD的距离等于BC的一半．其中正确的结论有（ ）
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
能力强化 / 初二 / 秋季
第 14 讲 角平分线与垂直平分线
自我巩固答案
1 如图，在△ABC中，AB > AC，分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，
两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，连接CD．若AB = 7，AC = 5，则△
141/151
ACD的周长为（ ）
–
A： 2√6
B： 12
C： 17
D： 19
2 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若
∠A = 60∘ ，∠ACF = 48∘ ，则∠ABC的度数为（ ）
A： 48∘
B： 36∘
C： 30∘
D： 24∘
3 如图，在△ABC中，∠ABC = ∠C，AB = 8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于
点E，△BEC的周长为13，则BC =（ ）
A： 5
142/151
B： 6
C： 7
D： 8
4 如图，在△ABC中，AB = AC，D是△ABC外的一点，且BD = CD．求证：AD垂直平分BC．
5 如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD = 2，则点P到边OA的距
离是（ ）
A： 1
B： 2
–
C： √3
D： 4
6 如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC = 5，
DE = 2，则△BCE的面积等于（ ）
A： 10
B： 7
143/151
C： 5
D： 4
7 如图，已知点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在
∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平
分线的交点，其中正确的是（ ）
A： ①②③④
B： ①②③
C： ④
D： ②③
8 如图，AB = AC，BD = CD，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC的延长线于点F，求证：
DE = DF．
9 如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，求证：点O也在∠A的平分线上．
10 如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO > AO，AC = BC，求证：
∠OAC +∠OBC = 180∘ ．
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能力强化 / 初二 / 秋季
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 16的平方根是（ ）
A： 4
B： −4
C： ±4
−−
D： √16
2 已知点A(−2,3)，将它先向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到点B，则B点坐标为（ ）
A： (−6,4)
B： (−6,2)
C： (2,2)
D： (2,4)
2x−y = 7
3
下列方程组中，解与 相同的是（ ）
{x+y = 2
3x+4y = 5
A：
{2x+y = 4
x+2y = 1
B：
{x−y = 4
145/151
x
C： +y = 2
3
{x−y = 4
3x+2y = 1
D：
{x+y = 2
4 我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼
成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短
直角边长为a，较长直角边为b，那么(a+b) 2 的值为（ ）
A： 13
B： 19
C： 25
D： 169
−− −−−−−−−
5 若0 < x < 1，则 √x2 + (x−1) 2 的化简结果为（ ）
√
A： 2x−1
B： 1 −2x
C： 1
D： −1
6 买3斤苹果和2斤香蕉需20元，买2斤苹果和4斤香蕉需27元．若设1斤苹果x元，1斤香蕉y元，则可
列二元一次方程组（ ）
3x−2y = 20
A：
{2x+4y = 27
3x+2y = 27
B：
{2x+4y = 20
3x+2y = 20
C：
{2x+4y = 27
3y +2x = 20
D：
{2y +4x = 27
146/151
7 如图，△ABC中，点O是△ABC角平分线的交点，∠A=40°，则∠BOC=（ ）
A： 110°
B： 120°
C： 130°
D： 140°
−− −−
8 −−− x 2
若√18x +2 +x = 10，则x的值等于（ ）
√ 2 √x
A： 4
B： ±2
C： 2
D： ±4
9 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A： 4，5，6
–
B： 1，1，√2
C： 6，8，11
D： 5，12，23
10 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点，∠A=50°，则
∠D=（ ）
A： 15°
147/151
B： 20°
C： 25°
D： 30°
−−−−−−−−−
11 若(x+2y −1) 2 +√3x−y +2 = 0，则x+y =__________．
12 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，∠A，∠1，∠2之间有一种数
量关系始终保持不变，这种关系是__________．
13 如图，在△ABC中，AB = 25，BC = 14，BC边上的中线AD = 24，线段AC为___________．
x = 1
14 已知 是关于x、y的方程ax−by = 1的一组解，且a+b = −3，则
{y = −2
5a−2b =_____________．
y −ax = c x = −2
15 已知方程组 （a、b、c、k为常数，ak ≠ 0）的解为 ，则直线
{y −kx = b {y = 3
y = ax+c和直线y = kx+b的交点坐标为_______________．
16 如图，已知△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD，CE交于点F，∠FBC，∠FCB的
平分线交于点O，则∠BOC的度数为____________．
148/151
17 已知一次函数y = −x+a与y = x+b的图象相交于点(m,8)，则a+b =_____．
18 一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动,在第一秒钟,它从原点跳动到(0,1),然后接着按图中箭头所
示方向跳动[即(0,0) → (0,1) → (1,1) → (1,0) →…],且每秒跳动一个单位,那么第35秒时跳
蚤所在位置的坐标是___
19 解下列方程组：
2(x−4)−3(y −1) = 3
(1)
；
{2x+3y = 0
x − y = 3
(2)
3 2
．
{ x + y = 5
6 3
−−
20 2 −− 1
化简计算：（1） – +√18 −4
√2−1 √ 2
−−−− −−−− 3 −−−−
（2） √3a2b⋅√2ab2 ÷ √12ab
(2 )
21 已知:点P在直线CD上，∠BAP +∠APD = 180∘ ，∠1 = ∠2 ．
求证：:AB∥CD，∠E = ∠F ．
149/151
22 某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费．
②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元．
暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数．设游泳x次时，所需总费用为y
元．
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请求出点A、B、C的坐
标；
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算．
23 某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：
类别/单价 成本价 销售价（元/箱）
甲 24 36
乙 33 48
150/151
(1)该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？
(2)全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？
1
24 已知一次函数y = x+k(k > 0)与x、y轴分别交于A、B两点，
2
y = −2x+m(m > 0)与x、y轴交于C、D两点．
（1）求A、B、C、D的坐标（用含k、m的代数式表示）；
k
（2）若△AOB≌△DOC，求 的值；
m
（3）在（2）的前提下，若△DAC的面积为27，求m的值．
25 如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，
已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为(0,2)，点P从点A出发以每秒2个单位的速
度沿线段AC-CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．
(1)当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；
(2)①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；
②如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．
(3)点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由．
26 若(a−2b+3c+4) 2 +(2a−3b+4c−5) 2 ≤ 0，则6a−10b+14c−3 =________．
27 定义[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.5] = 3，[2] = 2，[−1.2] = −2．
（1）将x、x−1、[x]按照从小到大的顺序用不等号连接：_______________；
1
（2）利用（1）中的结论，方程[2x+1] = 3x+ 的解为___________________．
2
151/151
