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能力强化 / 初二 / 暑假
第 1 讲 勾股定理
例题练习题答案
例1 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S 、S 、S ，且S = 5，S = 12，则
1 2 3 1 2
S =_____．
3
练1.1 如图，已知在直角三角形ABC中，以直角边BC、AC为边的正方形的面积分别为25、144，则AB
的长为（ ）
A： 169
B： 119
C： 13
D： 17
练1.2 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方
2
形的边长为7cm，则所有正方形的面积的和是（ ）cm ．
A： 28
1/118
B： 49
C： 98
D： 147
例2 一直角三角形的三边分别为2、3、x，那么以x为边长的正方形的面积为（ ）
A： 13
B： 5
C： 13或5
D： 4
练2.1 已知直角三角形的三边长为6、8、x，x为斜边，则以x为边的正方形的面积为_____．
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，D为AC上一点，且DA = DB = 5，又△DAB的面积为10，
那么DC的长是（ ）
A： 4
B： 3
C： 5
D： 4.5
练3.1 如图， AB = AC = 15，AP = 12，P是BC中点，则BC的值是（ ）
A： 18
B： 20
2/118
C： 25
D： 30
练3.2 在△ ABC中，∠C = 90∘ ，其中a、b、c分别为△ ABC三边．
（1）若a = 6，b = 8，则c =____________；
（2）若a = 24，c = 25，则b =____________；
（3）若b : c = 5 : 13，a = 2.4，则b =____________．
例4 已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（ ）
A： 24cm2
B： 30cm2
C： 40cm2
D： 48cm2
练4.1 下列四组数据中，不能作为直角三角形的三边长是（ ）
A： 6，8，10
B： 7，24，25
C： 9，12，15
D： 2，5，7
练4.2 在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）
A： a = 15，b = 8，c = 17
B： a = 9，b = 12，c = 15
C： a = 7，b = 24，c = 25
D： a = 3，b = 5，c = 7
例5 如果一个三角形三边的长度之比为5 : 12 : 13，那么这个三角形是（ ）
A： 锐角三角形
B： 直角三角形
3/118
C： 钝角三角形
D： 无法判断
练5.1 有四个三角形，分别满足下列条件：
①一个内角等于另外两个内角之和；
②三个内角之比为3:4:5；
③三边长分别为9，40，41；
④三边之比为8:15:17．其中，能构成直角三角形的个数有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
例6 如图，在△ABC中，∠ACB = 90∘ ，BC = 6，AC = 8，CD⊥AB，垂足为D，则CD的
长为_______．
练6.1 如图，在△ABC中，∠ACB = 90∘ ，CD⊥AB于D，AB = 5，BC = 3，求CD的长．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 1 讲 勾股定理
自我巩固答案
4/118
1 如图，以直角三角形的各边为边长向外作正方形，字母B所代表的正方形的面积是_____．
2 已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm 2 ，则斜边长为（ ）
A： 30cm
B： 80cm
C： 90cm
D： 120cm
3 一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，则斜边是（ ）
A： 13
B： 12
C： 15
D： 10
4 分别以下列五组数为一个三角形的边长：
1 1 1
①13，5，12；②7，25，24；③1，2，3；④9，40，41；⑤3 ，4 ，5 ．
2 2 2
其中不能构成直角三角形的组数为（ ）组．
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
5/118
5 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC = 20，BC = 15，DB = 9．
（1）求CD、AD的值；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
6 三角形的三边长为a、b、c，下列条件不能判定它是直角三角形的是（ ）
A： a : b : c = 8 : 16 : 17
B： a2 −b2 = c2
C： a2 = (b+c)(b−c)
D： a : b : c = 13 : 5 : 12
7 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A： 三内角之比为1 : 2 : 3
B： 三边长的平方之比为1 : 2 : 3
C： 三边长之比为3 : 4 : 5
D： 三内角之比为3 : 4 : 5
8 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AC = 9，AB = 15，则点C到AB的距离是（ ）
A： 3
B： 4
C： 15
D： 7.2
9 在△ABC中，∠C = 90∘ ，AC = 5，BC = 12，CD⊥AB于D，则CD长为（ ）
A： 4
60
B：
13
6/118
30
C：
13
120
D：
13
10 如图，在△ABC中，∠BAC = 90∘ ，AB = 6，AC = 8，AD⊥BC，垂足为D，求BC、
AD的长．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 1 讲 勾股定理
课堂落实答案
1 如图，三个正方形围成一个直角三角形，字母C所表示的正方形面积是100，字母B所表示的正方
形面积是36，则字母A所表示的正方形面积为_____．
2
2 已知x、y为正数，且 ∣ ∣x2 −4∣ ∣ +(y2 −3) = 0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角
形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）
A： 5
B： 25
C： 7
D： 15
7/118
3 分别以每一组的三个数为一个三角形的边长：（1）3、4、5；（2）5、12、13；（3）8、15、
17；（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有（ ）
A： 4组
B： 3组
C： 2组
D： 1组
4 若一个三角形三边的长度之比为3 : 4 : 5，且周长为60cm，则它的面积是__________．
5 在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AC = 9，BC = 12，则AB边上的高是（ ）
36
A：
5
12
B：
25
9
C：
4
–
3√3
D：
4
能力强化 / 初二 / 暑假
第 1 讲 勾股定理
精选精练
1 如图，两阴影部分都是正方形，如果两正方形面积之比为1 : 2，那么，两正方形的面积分别为
________．
2 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长的平方是________．
8/118
有
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3 直角三角形的两直角边边长之比是3 : 4，而斜边的长是15cm，那么这个三角形的面积是
_______．
4 某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB = 90∘ ，
AC = 80m，BC = 60m．线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价单价为
1000元/m，问：当水渠的总造价最低时，CD长为多少米？最低造价是多少元？
5 如图，分别以△ABC的三边为直径作三个半圆，面积分别为S 、S 、S ，S +S = S ，求
1 2 3 1 2 3
证：∠ACB = 90∘ ．
6 在△ABC中，CD是AB边上的高，AC = 4，BC = 3，DB = 1.8．
(1)求CD的长；
9/118
(2)求AB的长；
(3)△ABC是直角三角形吗？请说明理由．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 2 讲 平方根与立方根
例题练习题答案
例1 求下列各数的算术平方根：
1 9
1 0.36 1
196 16
例2 求下列各数的值：
−−−−
(1)−√0.81=_______；
−−−−
11
(2)
− 1 =_______．
√ 25
例3 小明房间的面积为10.8m2 ，房间地面恰由120块相同的正方形地砖铺成，每块地砖的边长是多
少？
−−
例4 36的算术平方根是______；√36的算术平方根是________．
–
练4.1 √4的算术平方根等于（ ）
A： 2
B： −2
C： ±2
–
D： √2
10/118
有
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习
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爱
−−
练4.2 （1）√49的算术平方根是_____________；
−−−
（2）√121的算术平方根是_____________．
例5 计算下列各数的平方根：
（1）169的平方根是_______；
（2）47的平方根是_________；
（3）0.25的平方根是_______；
100
（4） 的平方根是_________．
49
例6 关于平方根，下列说法正确的是（ ）
A： 任何一个数有两个平方根，并且它们互为相反数
B： 负数没有平方根
C： 任何一个数只有一个算术平方根
D： 以上都不对
练6.1 下列说法正确的是（ ）
A： 平方根等于它本身的数是0，1
B： 平方等于它本身的数只有0
C： 算术平方根等于它本身的数是0，1
D： 倒数等于它本身的数只有1
例7 如果一个正数的平方根分别为x+1和x−3，则x的值是（ ）
A： 4
B： 2
C： 1
D： ±2
练7.1 一个正数x的两个平方根分别是2a−2与a−4，求a的值和这个正数x的值．
例8 求下列各数的立方根：
11/118
1000
(1)−
；
27
(2)5；
(3)−11；
−−
(4)√64；
−−
(5)√3 64．
练8.1 填空：
(1)64的平方根是________，立方根是________；
(2)−512的立方根是________；
–
(3)√3 7是_______的立方根；
−−
(4)−√64的立方根是________．
练8.2 计算：
−−−−−
① 3 (100) 3 ；
√
−−−−−
② 3 (−1) 3 ；
√
−− 3
2
3
③ ；
(√ 3)
−−
④
√ 3 a3
．
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第 2 讲 平方根与立方根
自我巩固答案
1
1
的算术平方根是（ ）
144
1
A：
12
12/118
有
所
权
版
习
学
爱
1
B： −
12
1
C： ±
12
1
D：
1442
2 求下列各数的算术平方根．
1
（1）81；（2） ； （3）0.64．
169
3 求下列各数的算术平方根．
−−− 4 −−−−
（1）√225；（2） −−； （3）√0.36．
√81
4 一个自然数的算术平方根是x，则下一个自然数的算术平方根是（ ）
−−
A： √x +1
−−−−−
B： √x+1
−−−−−
C： √x2 +1
D： x+1
5 49的平方根是（ ）
A： 7
B： −7
C： ±7
−−
D： √49
6 一个数若有两个不同的平方根，则两个平方根的和（ ）
A： 大于0
B： 等于0
C： 小于0
D： 不能确定
7 平方根和立方根都是本身的数是（ ）
13/118
A： 0
B： 0和1
C： ±1
D： 0和±1
8 下列说法正确的是（ ）
A： −0.064的立方根是0.4
B： −9的平方根是±3
−−
C： 16的立方根是√3 16
D： 0.01的立方根是0.000001
9 −125的立方根是（ ）
A： −5
–
B： −5√5
–
C： −√5
D： −25
10 下列说法正确的是（ ）
A： 25的平方根是5
B： −22 的算术平方根是2
C： 0.8的立方根是0.2
5 25
D：
是 的一个平方根
6 36
能力强化 / 初二 / 暑假
第 2 讲 平方根与立方根
课堂落实答案
14/118
有
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爱
−−−
1 √100的算术平方根是______．
2 下列说法正确的是（ ）
A： −0.02是0.4的平方根
B： 任何一个非负数的平方根都不大于这个数
C： 若x2 = a，则a的平方根是x
D： 平方根等于本身的数为零
3 一个正数的两个平方根分别为2x+1和x−7，则这个正数为（ ）
A： 5
B： 10
C： 25
D： ±25
4 下列说法正确的是（ ）
A： 立方根是它本身的数只能是0和1
B： 如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
C： 16的平方根是4
D： −2是4的一个平方根
5 0.027的立方根为_____．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 2 讲 平方根与立方根
精选精练
−− −− −−−
1 √16的算术平方根是_____；______是√81的算术平方根；√289的算术平方根是______．
15/118
−−−− −−−− 1 6
2 已知√a−3 +√2 −b = 0，求 + 的值．
a b
3 若一个正数的算术平方根是a，则比这个正数大3的正数的平方根是（ ）
−−−−−
A： √a2 +3
−−−−−
B： −√a2 +3
−−−−−
C： ±√a2 +3
−−−−
D： ±√a+3
4 已知a，b都是实数，且(b+4) 2 +|3a−b−5| = 0，求13a2 −b的平方根．
5 一个正方体木块的体积为1000cm3 ，现要把它锯成8块同样大小的正方体小木块，小木块的棱长
是_____cm．
−−
6 若x2 = (−5) 2 ， 3 y3 = −5，则x+y的值是（ ）
√
A： 0
B： −10
C： 0或−10
D： 0或±10
能力强化 / 初二 / 暑假
第 3 讲 实数
例题练习题答案
例1 将下列各数填入相应的括号里：
1 π 2 3 ⋅ ⋅
−2.5，5 ，0，8，−2， ，0.7，− ，−1.121121112…， ，−0.05．
2 2 3 4
正数{______________}；
负数{_____________}；
整数{_______________}；
有理数{__________________}；
16/118
有
所
权
版
习
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爱
无理数{_________________}．
–
练1.1 √3 – 1
在实数 ，−√4，0.33， 中，下列说法正确的是（ ）
2 7
–
√3
A：
是分数
2
–
B： −√4是无理数
C： 0.33是分数
1
D：
是无理数
7
例2 下列说法正确的是（ ）
A： 无限小数是无理数
B： 无理数的相反数还是无理数
C： 无理数的倒数不一定是无理数
D： 开不尽的方根和分数统称实数
练2.1 下列说法正确的是_______（填序号）．
b
①一个实数不是有理数就是无理数；②无理数一定不能表示成 的形式；③不带根号的数是有理
a
数；④任何实数的绝对值都是非负数．
练2.2 下列说法正确的是__________________．
①数轴上有无数多个表示无理数的点；
②带根号的数不一定是无理数；
③每个有理数都可以用数轴上唯一的点来表示；
④数轴上每一个点都表示唯一一个实数；
⑤π 在数轴上找不到对应的点．
例3 比较下列数大小．
–
– – √5−1
(1)
√5_______2； √5−1_______1； _______0.5．
2
−−− –
(2) −√3 7 – _______ −2； √7 – _______ 6 1 ； √2 _______ 1 ．
√ 2 2 2
17/118
例4 下列实数在哪两个连续的整数之间？
−−
(1)_______<√26<_______；
–
(2)_______<2 +√5<_______．
练4.1 下列实数在哪两个连续的整数之间？
−−
(1)_______<−√15<_______；
−−−
2
(2)
_______< 3 <_______．
√ 3
例5 填空：
–
（1）2 −√5的相反数是___________；绝对值是___________．
–
（2）√7+3的相反数是___________；绝对值是___________．
（3）π−3.14的相反数是___________；绝对值是__________．
（4）π+7的相反数是___________；绝对值是____________．
例6 计算下列各式：
（1）(−2) 2 +√ − 0 − . − 2 − 5+|√2 – −2|−√3 − − −− 2 − 7；
−−
1 −− −−−
（2） +√36 −|√3 −8|．
√ 4
−−−−−
−−−−
练6.1 计算：√0.04+3 −27 + (−2) 2 ．
√
能力强化 / 初二 / 暑假
第 3 讲 实数
自我巩固答案
– – 22
1 给出一组数0，π，√5，3.1415926，√3 9， ，0.1234567891011…（自然数依次相连），其
7
中无理数有（ ）
A： 2个
18/118
B： 3个
C： 4个
D： 5个
2 能与数轴上的点一 一对应的是（ ）
A： 整数
B： 有理数
C： 无理数
D： 实数
3 如图，长方形OABC中，OC = 2，OA = 1．以原点O为圆心，对角线OB长为半径画弧交数轴
于点D，则数轴上点D表示的数是__________．
−−
4 已知a、b为两个连续的整数，且a < √24 < b，则a+b =_____．
–
5 估计√7+1的值（ ）
A： 在1和2之间
B： 在2和3之间
C： 在3和4之间
D： 在4和5之间
– −−
6 2√6、√27、5三个数的大小关系是（ ）
– −−
A： 2√6 < 5 < √27
−− –
B： √27 < 5 < 2√6
– −−
C： 2√6 < √27 < 5
−− –
D： √27 < 2√6 < 5
– –
7 比较大小：−4√3_____ −3√5．
19/118
– –
8 |1 +√3|+|1 −√3|的值为（ ）
A： 1
–
B： √3
C： 2
–
D： 2√3
9 填空：
–
√5+1的相反数是_________，绝对值是__________；
−−
√π −2的相反数是_________，绝对值是_________．
−−−−−
−−− –
10 计算：|−3|+√3 125+ (−4) 2 −|1 −√3|．
√
能力强化 / 初二 / 暑假
第 3 讲 实数
课堂落实答案
1 下列各数中，有理数是（ ）
–
A： √8
22
B：
7
–
C： √3 4
π
D：
2
2 如图，OA = OB，BC = 1，则数轴上点A所表示的数为（ ）
−−
A： √10
–
B： √5
20/118
−−
C： −√10
D： −3.5
−−
3 估计√40的值在（ ）
A： 4和5之间
B： 5和6之间
C： 6和7之间
D： 7和8之间
−−
4 √11 −3的相反数是____________，绝对值是___________．
– –
5 计算：(−1) 3 +√4−|−2 −√3 8|=__________．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 3 讲 实数
精选精练
1 下列说法：
（1）无限小数都是无理数；
（2）实数与数轴上的点一一对应；
（3）任何实数都有平方根；
（4）无理数就是带根号的数．
其中说法正确的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
−−
2 若√13的整数部分为a，小数部分为b，则a−b的值为（ ）
21/118
−−
A： −√13
−−
B： 6 −√13
−−
C： 8 −√13
−−
D： √13 −6
3 下列各组数中，互为相反数的一组是（ ）
−−−−−
A： −2与 (−2) 2
√
−−−
B： −2与√3 −8
1
C： −2与−
2
D： |−2|与2
−−−−−−
–
4 计算|3 −√5|+ (3 −π ) 2 的结果是（ ）
√
–
A： √5−π
–
B： −√5+π
–
C： √5+π
D： 6 +π
−− −− –
5 计算：−√16 +√3 27 +|2 −√5|．
−− −−−−−−
6 已知实数a、b、c在数轴上如图，化简 √a2 −|a+b|+ (a−c) 2 +|b−c的| 值．
√
能力强化 / 初二 / 暑假
第 4 讲 二次根式的概念和性质
例题练习题答案
例1 判断下列根式是不是二次根式：
−−−
( 1 ) √−3；
−−−−
22/118
−−−−
( 2 ) |−3|；
√
−−−−−
( 3 ) (−3) 3 ；
√
–
( 4 ) √3 8；
−−−
( 5 ) √−a；
−−−
−2
( 6 )
；
√−3
−−−−−−−
( 7 ) √−a2 −1；
−−−−−−−−−
( 8 ) √a2 +2a+1.
−−−−−
例2 已知实数m、n满足|n −2|+√m+1 = 0，则m+2n的值为_____．
练2.1 若√ − 2 − x − + −− 1+(y +3) 2 = 0，则x−y =________．
例3
−− −−−
(1)若√a和√−a都有意义，则a应满足的条件是（ ）
A： a ≥ 0
B： a ≤ 0
C： a = 0
D： a ≠ 0
−−−−− −−−−−
(2)已知y = √2x−5+√5 −2x−3，则2xy的值为（ ）
A： −15
B： 15
15
C： −
2
15
D：
2
练3.1 已知y = √ − 2 − x − + −− 3+√ − − − 3 −− − −− 2 − x −24，则√ − x − y =_____．
例4 计算：
−−−−−−−
2 −− 2
1 1
（1） − ； （2） ；
( 5) (√ 2)
√
−−−−−− −− 2
（3） (3 −π ) 2 ； （4） √a2 ．
√ ( )
23/118
例5 化简下列各式：
−−
(1)√18
−−−
50
(2)
√81
练5.1 化简下列各式：
−−−
(1)√320 =__________.
−−
2
(2)
=___________.
√ 3
例6 化简下列各式：
−−
(1)√32
−−
(2)√72
−−−
12
(3)
√ 7
1
(4)
–
√5
练6.1 把下列二次根式化成最简二次根式
−−−−−−−−
−−−− −−− −−−−
3 1 4x3 27 132 −122
（1） ；（2） 8 ；（3） ；（4）
√100 √ 3 √ 3 5 √ 27
能力强化 / 初二 / 暑假
第 4 讲 二次根式的概念和性质
自我巩固答案
1 下列各式中不是二次根式的为（ ）
−−−−−
A： √b2 +1
24/118
−−
B： √a (a < 0)
–
C： √0
−−−−−−
D： (a−b) 2
√
2 下列式子中二次根式的个数有（ ）
−−−−−−−
−− 2
1 −−−−− 1
−−−
（1） ；（2）√−3；（3）−√x2 +1；（4）38；（5） − ；（6）
√ 3 ( 3)
√
−−−−−−−−−
−−−−−
√1 −x(x > 1)；（7）√x2 +2x+3．
A： 2个
B： 3个
C： 4个
D： 5个
−−−−−
3 已知√x−2y +|y −1| = 0，则x+y的值是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
−−−−−
4 已知√3 −x+|2x−y| = 0，那么x−y =_______．
−−−−− −−−−−
5 已知y = √x−3+√3 −x+2，则xy 的值为（ ）
A： 9
B： 8
C： 2
D： 3
−−−−
6 已知三角形三边为a、b、c，其中a、b两边满足|a−6|+√b−8 = 0，那么这个三角形的最大
边c的取值范围是（ ）
A： c＞8
25/118
B： 8 ≤ c < 14
C： 6＜c＜8
D： 2＜c＜14
7 填空：
−−−−−
（1）若a、b为实数，且√2a−1+|b+1| = 0，则a−2 +b−2015 的值是________；
1 x
−−−−− −−−−−
（2）已知x、y为实数，且y = +√4x−1+√1 −4x，则 的值是________．
3 y
8 下列属于最简二次根式的是（ ）
–
A： √8
–
B： √5
–
C： √4
−−
1
D：
√ 3
9 下列根式是最简二次根式的是（ ）
1
A：
–
√2
−−
B： √50
−−
2
C：
√ 7
−−
D： √22
10 在下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?对不是最简二次根式的进行化简.
−−
(1)√45
−−
1
(2)
√ 3
–
√5
(3)
2
−−−
(4)√0.5
−−−
26/118
−−−
4
(5)
1
√ 5
能力强化 / 初二 / 暑假
第 4 讲 二次根式的概念和性质
课堂落实答案
−− −−−−− −−−−−− −−−−−−−−− −−−−
1 下列各式中①√15、② √b2 −4、③√x2 +16、④√x2 +6x+9、⑤√−121，一定是
二次根式的是____________．
−−−−
2 若实数x、y满足|x−2|+√y +5 = 0，则xy的值是（ ）
A： 10
B： 3
C： 7
D： −10
−−−− −−−−
3 已知√4 −a +√a−4 = c−5，则a+c的算术平方根为（ ）
A： 3
B： −3
C： 9
D： −3或3
4 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
–
A： √8
−−
B： √10
−−
C： √12
−−
D： √27
27/118
−−−
1
5
化简： 4 =________．
√ 2
能力强化 / 初二 / 暑假
第 4 讲 二次根式的概念和性质
精选精练
−−−− −− −−−−− −−−−− −−−−−−−−−
1 下列各式中①√ −− a、② √b+1、③ √a2 、④√a2 +3、⑤√x2 −1、⑥√x2 +2x+1，
一定是二次根式的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
−−−−−
2 已知x、y是实数，若√3x+4+y2 −6y +9 = 0，则3x−y的值是（ ）
1
A：
4
B： −7
C： −1
7
D： −
4
−−−−
3 若|3x−3|和√y −4互为相反数，求4x+3y的平方根．
– −−−− −−−− −−−−
4 若实数a，b，c满足|a−√2|+√b−2 = √c−3 +√3 −c，求a，b，c．
5 下列各式中，最简二次根式是（ ）
−−
A： √27
−−−−−
B： √m5n2
−−
1
C：
√ 2
28/118
–
D： √6
6 把下列二次根式化为最简二次根式：
−−−
−−−−
9b2
（1）√1200； （2） ．
√ 2a
能力强化 / 初二 / 暑假
第 5 讲 二次根式的运算
例题练习题答案
例1 计算：
−−
1 −−
×√15 =__________；
√ 3
−−
1 – 4
√7× −4 =__________；
2 ( √ 7)
–
√2
–=_________；
√7
−−− −−
2 1
1 ÷ =_________．
√ 7 √ 7
练1.1 计算：
– −−
√6×√48=__________；
−−
1 −−
3 ×2√12=__________；
√ 3
– –
√3÷√8 =_________；
−−− −−−
2 5
− 1 ÷ =_________．
√ 3 √54
例2 计算：
−− −− −−
2 7 3
（1）− × × ；
√ 7 √ 6 √ 5
−−
– 4 −−
（2）2√5× ÷(−√15)．
√ 3
−−−− −−−−−
例3 若最简二次根式 3b √−1a+2与 √4b−a是同类二次根式，则a =______，b =_______．
−− −−−−−
练3.1 若√75与最简二次根式√m+1是同类二次根式，则m的值为（ ）
29/118
A： 7
B： 11
C： 2
D： 1
例4 计算：
−− –
(1)√12 +√3；
−−
– 1
(2)
√8+ ；
√ 8
−− −−
(3)√80 −√45；
−− −−
(4)√75 −√12．
练4.1 计算：
−− –
(1)√18 +4√2；
−− –
(2)√98 −√8．
例5 计算：
−− – −− −−
(1)√50 +2√8−3√12 +√27；
−−
−− 1 −−
(2)
2√12 −6 +3√48．
√ 3
练5.1 计算：
−−
−− – 1
(1)
√12 −√3+ ；
√ 3
−−
−− −− 1
(2)
3√20 −√45 + ．
√ 5
−−−−−
例6 计算：(√3 – +1) 2 − (−5) 2 +√3 − − −− 6 − 4．
√
练6.1 计算：
−−
30/118
−−
−− – 2 – – 0
（1）√24 ÷√3− ×|−√3|+(√2−1)；
√ 3
−− – –
−−−−−−−−
−− 9 √3+√6 – 0 – 2
（2）√18 ×
√ 2
−
√3 –
+(√3−2) +
√
(1 −√2)．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 5 讲 二次根式的运算
自我巩固答案
1 下列式子中，不正确的是（ ）
−− – –
A： √14 = √2×√7
−− – –
B： √15 = √3×√5
−− –
3 √3
C：
=
–
√ 8 √8
−− −− −−
5 2 3
D：
= ×
√ 6 √ 3 √ 2
−−− −−−
2 5
2
计算− 1 ÷ ，结果正确的是（ ）
√ 3 √72
–
A： −3√6
–
B： −3√2
–
C： 3√2
–
D： −2√6
3 下列计算中，错误的是（ ）
– –
A： 18 ÷3√2×2√2 = 12
−− – −− 1
B： √20 ÷3√2×√15 ÷ = 20
–
2√6
−−− −−−
C： 3 2 −−
1 ÷ 1 ×√10 = 5
√ 4 √ 5
−− −− – −−
D： √24 ×√15 ÷√6 = 2√15
31/118
−−−−− −−−−−
4 若最简二次根式√3x+2 与√4x+1 是同类二次根式，求x.
−−−−−−−−− −−−−−−−−−
5 若最简二次根式 3x− √ 102x+y −5和√x−3y +11是同类二次根式，求x+y．
−−
6 1 1 –
化简 + − √2 的结果是（ ）
√ 2 ( 2 )
A： 1
B： −1
C： 2
D： 0
7 计算：
– −−
（1）√5−√20；
−− −−
（2）√28+√63．
8 计算：
−−
−− 1 1 −−
（1）√27 −15 + √48；
√ 3 4
−− – –
（2）(√50 −√8)+√2．
– −− – – –
9 计算：(3√2−√12)(√3+√2)÷√6 =（ ）
– –
A： 2√3−√2
B： 1
– –
C： √3+√2
– –
D： 2√2−√3
10 计算：
（1）√3 − − −− 8−(1 +√2 – ) 0 +√4 – ；
– 2 – −−
（2）(−√2) +|−√3|+√27．
能力强化 / 初二 / 暑假
32/118
第 5 讲 二次根式的运算
课堂落实答案
−− –
1 计算并化简√24 ×√3的结果为（ ）
A： 6
–
B： 6√2
−−
C： √72
–
D： 3√8
−−−− −−−−−
2 如果最简二次根式√1 +a与√4a−2能合并，那么a =_____．
−−
3 −− 2
计算√24 +9 的结果是（ ）
√ 3
–
A： 5√6
–
B： −√6
4 –
C： − √6
3
4 –
D： √6
3
4 计算：
−−
−− – 1
（1）√18 −√8+ ；
√ 8
−−
−− 1
（2）√27 −6 ．
√ 3
5 计算：
– 2 – –
（1）(2√3−1) +(√3+2)(√3−2)；
−−
– −− – 1
（2）(√6−2√15)×√3−6 ．
√ 2
能力强化 / 初二 / 暑假
第 5 讲 二次根式的运算
33/118
精选精练
1 如果ab > 0，a+b < 0，那么下面各式：
−− −− −− −− −−
a √a a b −− a
① = ，② × = 1，③√ab ÷ = −b，其中正确的是（ ）
√ b √b √ b √a √ b
A： ①②
B： ②③
C： ①③
D： ①②③
2 判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？
−− −−
（1）√24和√48；
−−−−−−−
−−−−−−
32 +42 1 1
（2） 和 − ；
√ 5 √ 4 9
−−− −−−
（3） x4y和3 x3y(x > 0)．
√ √
3 下列运算正确的是（ ）
−− −− –
A： √x +√2x = √3x
– –
B： 3√3−2√3 = 1
– –
C： 2 +√5 = 2√5
−− −− −−
D： m√x −n√x = (m−n)√x
4 下列计算错误的是（ ）
– –
A： 3√2−√2 = 3
−− – –
B： √60 ÷√5 = 2√3
−−− −− −−
C： √25a +√9a = 8√a
−− – –
D： √14 ×√7 = 7√2
5 计算：
– −−
−− √3 – – −− 1 −−
（1）2√18 × ÷3√6； （2）3√2−2√12 −4 +3√48．
3 √ 8
6 计算下列各题:
34/118
(1)√3 − − −− 8−|1 −√2 – |+(− 1 ) −1 ×(−2007) 0 ;
2
−−
−− 3 – 2
(2)√27 ÷ −(√2−1) ．
√ 2
能力强化 / 初二 / 暑假
第 6 讲 位置与坐标
例题练习题答案
例1 如图，O对应的有序数对为(1,3)，有一个英文单词的字母对应图中的有序数对分别为(1,2)，
(5,1)，(5,2)，(5,2)，(1,3)，这个英文单词是（ ）
A： HELLO
B： HELOL
C： HLLOE
D： LOELH
练1.1 文字密码游戏：如图，“家”字的位置记作(1,9)．
请你破解密码：(3,3)，(5,5)，(2,7)，(2,2)，(1,8)，(8,7)，(8,8)．
35/118
练1.2 如图，是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(1,90∘)，则其余各目标的
位置分别是什么？
例2 （1）如图所示，在平面直角坐标系中，A点坐标为________，B点坐标为________，C点坐标为
________，D点坐标为________．
（2）请在图上标出E(7,−4)、F (−10,−9)和G(−8,7)的位置．
练2.1 （1）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（ ）
A．(3,−2)
B．(−2,3)
C．(−3,2)
D．(2,−3)
（2）若某一点的坐标为(−2,3)，则这个点是（ ）
36/118
A．A
B．B
C．C
D．D
（3）如图，写出坐标平面内各点的坐标．
A( ， )；
B( ， )；
C( ， )；
D( ， )；
E( ， )；
F( ， )．
例3 在平面直角坐标系中，点P (−2,x2 +2)所在的象限是（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
练3.1 若点A(a,b)在第二象限，则点B(a,−b)在（ ）
A： 第一象限
37/118
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
例4
(1)若点P (2a−6,a)在x轴上，求点P的坐标．
(2)若点A(−6,n)在x轴上，则点B(n −1,n +1)在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
练4.1
(1)点M (m+1,m+3)在y轴上，则点M的坐标为（ ）
A： (0,−4)
B： (4,0)
C： (−2,0)
D： (0,2)
(2)如果P (m+3,2m+4)在y轴上，求点P的坐标．
例5 若过点P和A(3,2)的直线平行于x轴，过点P和B(−1,−2)的直线平行于y轴，则点P的坐标为
__________．
练5.1 已知点A(a+5,4)、B(3,a2 )，若线段AB平行于x轴，则a的值为（ ）
A： −2
B： 0
C： 2
38/118
D： 2或−2
例6 （1）点P(−5,−12)到x轴的距离为_____．
（2）在平面直角坐标系中，点M在x轴的上方，y轴的左侧，且点M到x轴的距离为4，到y轴的
距离为7，则点M的坐标是_________．
（3）在平面直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离为1，到y轴的距离为2，则点P的坐标为
______或_______或______或_______．
练6.1
(1)平面直角坐标系中，点A(1,−2)到x轴的距离是______．
(2)已知点P在第四象限，该点到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为______．
(3)点M在x轴的上方，距离x轴3个单位长度，距离y轴2个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A： (3,2)
B： (−2,3)
C： (3,2)或(−3,2)
D： (2,3)或(−2,3)
能力强化 / 初二 / 暑假
第 6 讲 位置与坐标
自我巩固答案
1 如图，是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中A的位置为(5,30∘)，则B的位置是（ ）
39/118
A： (3,120∘)
B： (2,90∘)
C： (3,90∘)
D： (2,270∘)
2 在平面直角坐标系中，点P (1,−3)在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
3 在平面直角坐标系中，下列各点位于第四象限的是（ ）
A： (−3,−2)
B： (−2,5)
C： (1,−4)
D： (2,2)
4 如果点M (a−1,a+1)在x轴上，则a的值为（ ）
A： a = 1
B： a = −1
C： a > 0
D： a的值不能确定
5 若点A(m,2)在y轴上，则点B(m−1,m+1)在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
40/118
6 在A(−5,3)、B(−3,3)、C (−5,−3)、D(5,3)四个点中，有其中两个点确定的直线与y轴平
行的是（ ）
A： 点A、B
B： 点B、D
C： 点A、C
D： 点C、D
7 已知点A(m+1,−2)和点B(3,m−1)，若直线AB∥x轴，则m的值为（ ）
A： −1
B： −4
C： 2
D： 3
8 点C在x轴的下方，y轴的右侧，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，则点C的坐标为
（ ）
A： (−3,5)
B： (3,−5)
C： (5,−3)
D： (−5,3)
9 在平面直角坐标系中，点P的横坐标是−3，且点P到x轴的距离为5，则点P的坐标是（ ）
A： (5,−3)或(−5,−3)
B： (−3,5)或(−3,−5)
C： (−3,5)
D： (−3,−3)
10 已知点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为4，求点P的坐标（直接写结果）．
41/118
能力强化 / 初二 / 暑假
第 6 讲 位置与坐标
课堂落实答案
1 若图中的有序数对(4,1)对应字母D，有一个英文单词的字母对应图中的有序数对分别为(1,1)，
(2,3)，(2,3)，(5,2)，(5,1)，则这个英文单词是__________（大小写均可）．
2 在平面直角坐标系中，若点 P 的坐标为 (−2,3) ，则点 P 所在的象限是 （ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
3 如果点P (a−4,a)在y轴上，则点P的坐标是（ ）
A： (4,0)
B： (0,4)
C： (−4,0)
D： (0,−4)
4 已知点P的坐标为(−5,6)，则点P到y轴的距离是（ ）
A： 5
B： 6
C： −6
42/118
D： −5
5 点A到x轴的距离是1，到y轴的距离是3，且点A在第二象限，则点A的坐标是（ ）
A： (3,1)
B： (−3,−1)
C： (−1,3)
D： (−3,1)
能力强化 / 初二 / 暑假
第 6 讲 位置与坐标
精选精练
1 小刚家位于某住宅楼A座16层，记为：A16，按这种方法，小红家住B座10层，可记为
________．
2 如图，奥运福娃在5 ×5的方格（每小格边长为1m）上沿着网格线运动．贝贝从A处出发去寻
找B、C、D处的其它福娃，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．如果从A到B记为：
A ⇒ B(+1,+4)，从B到A记为：B ⇒ A(−1,−4)，其中第一个数表示左右方向，第二个
数表示上下方向，那么请回答下列问题：
(1)A ⇒ C(____，____)，B ⇒ C(____，____)，C ⇒____(−3,−4)；
(2)若贝贝的行走路线为A ⇒ B ⇒ C ⇒ D，请计算贝贝走过的路程；
(3)若贝贝从A处去寻找妮妮的行走路线依次为(+2,+2)，(+2,−1)，(−2,+3) ，
(−1,−2)，请在图中标出妮妮的位置E点．
43/118
3 在平面直角坐标系中，点(−1 −2m2,m2 +1)一定在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
4 已知两点A(−3,m)，B(n,4)，AB⊥y轴，AB = 9，则m−n的值为（ ）
A： −2
B： −16
C： −2或−16
D： −2或16
5 点P的坐标为(3a−2,8 −2a)，若点P到两坐标轴的距离相等，则a的值是（ ）
2
A：
或4
3
B： −2或6
2
C： − 或−4
3
D： 2或−6
6 在平面直角坐标系中，第二象限内的点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，已知线段PQ∥y轴且
PQ = 5，求点Q的坐标．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 7 讲 阶段自检A
期中试卷答案
1 64的平方根为（ ）
A： 8
44/118
B： ±8
C： −8
D： ±4
2 如图，三个四边形都是正方形，三角形是直角三角形，其中两个正方形的面积如图，则正方形A的
面积为（ ）．
A： 20
B： 25
C： 30
D： 35
3 下列选项计算不正确的是（ ）
– −− –
A： √6×√12 = 6√2
−−
B： −− 1
√18 × = 3
√ 3
−− –
C： √36 ÷√9 = 2
−−
D：
√21
–
= √3
–
√7
−−
4 估计√37 −2的值应在（ ）
A： 4和5之间
B： 5和6之间
C： 6和7之间
D： 7和9之间
5 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
−−
1
A：
√ 2
45/118
−−
B： √17
−−
C： √75
−−−
D： √5a3
6 如果点P (x y)满足xy = 0，那么点P必定在（ ）
A： 原点上
B： x轴上
C： y轴上
D： 坐标轴上
xy
7 若√ − x −− + −− 6+(y −1) 2 +|z −3| = 0，求 的值为（ ）
z
A： −2
B： −18
1
C： −
2
D： 2
8 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，D为AC上一点．若DA = DB = 15，△ABD的面积为90，
则CD的长是（ ）
A： 6
B： 9
C： 12
−−−
D： √189
9 已知点A(m+1,−2)和点B(3,m−1)，若直线AB∥x轴，则m的值为（ ）
A： −1
46/118
B： −4
C： 2
D： 3
10 如图，在△ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线
段AD长为正整数，则点D的个数共有（ ）
A： 5个
B： 4个
C： 3个
D： 2个
−−−−−−−
2
11 3
− =________________．
( 7)
√
−−
12 −− −− 1
√24 −√18 × =________．
√ 3
13 如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为−1，以P点为圆
心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为________．
−−
14 1 −−
计算2 −√18的结果是________．
√ 2
15 若点M (a−2,2a+3)是x轴上的点，则点M的坐标为______________．
16 直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为_____________．
17 点P在第二象限内，并且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为________．
47/118
−−−−−−−−−−
18 已知a、b、c是△ABC的三边长，且满足关系式 √c2 −a2 −b2 +|a−b| = 0，则△ABC的形状
为__________________．
19 计算：
−−
−− 1 −−
（1）2√12 −6 +√27；
√ 3
−−
1 −− −−
（2） ÷(−√12)×3√24；
√ 2
−−− −−−
1 1 –
（3） 1 ÷ 2 ÷√5；
√ 3 √ 2
– – – 2
（4）(3 +√2)(3 −√2)+(1 +√2) ．
20 如图，在△ ABC中，H是边BC上的一点，AB = 13，AH = 12，AC = 15，CH = 9，
求△ ABC的面积．
21 计算下列各题:
(1)√3 − − −− 8−|1 −√2 – |+(− 1 ) −1 ×(−2007) 0 ;
2
−−
−− 3 – 2
(2)√27 ÷ −(√2−1) ．
√ 2
22 请完成以下题目：
（1）在平面直角坐标系中，描出下列3个点：A(−1,0)、B(3,−1)、C (4,3)；
（2）顺次连接A、B、C，组成△ABC，求△ABC的面积．
48/118
23 正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫格点三角形．如图，正
方形网格中的每个小正方形的边长都是1，根据勾股定理可以求出图1中的
−−−−−− −−
AB = √12 +32 = √10．
根据此方法：
（1）在图1中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
– −−
（2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、√5、√13；
（3）如图3，A、B、C是小正方形的顶点，求∠ABC．
24 已知，如图，△ ABC 中，∠C = 90∘ ，M 为BC 中点，MD⊥AB于D ． 求 证 ：
AD2 = AC2 +BD2 ．
25 如图Rt△ABC中，AB = BC = 4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则
△BDE周长的最小值为________．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 8 讲 函数初步
49/118
例题练习题答案
例1 下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A：
B：
C：
D：
练1.1 下列图象中y不是x的函数的是（ ）
A：
B：
C：
50/118
D：
例2
(1)下列关系式中，y是x的函数的是________________．
①y = 12x；②y = 2x2 ；③y2 = x；④y = |x|；
⑤x2 +y2 = 1；⑥y = 3x；⑦|2y| = x；⑧y = −2x+1．
(2)下面每个选项中给出某个变化过程中的两个变量x、y的数值，其中y不是x的函数的是
（ ）
A：
x 1 1 3 3
y −1 −2 −3 −4
B：
x 1 2 3 4
y −1 −2 −3 −4
C：
x 1 2 3 4
–
y π √2 0 22016
D：
x 1 2 3 4
y 2 2 2 2
练2.1 下列关系式中，y不是x的函数的有（ ）个
|x| 3
①y = 5x−4；②y = 5x2 ；③y2 = −3x；④y = ；⑤x2 −y2 = 3；⑥y = 4 − .
4 x
A： 1
B： 2
51/118
C： 3
D： 4
例3 写出下列函数中自变量x的取值范围：
3
（1）y＝2x−3； （2）y = ；
1 −x
−−−−−
√x−1
−−−−−
（3）y = √4 −x； （4）y = ；
x−2
−−−−−
（5）y = √3 x−1．
练3.1 已知函数解析式为y = |x−1|+2，
(1)求自变量等于5时的函数值；
(2)求函数值等于5时的自变量的值．
例4 已知等腰三角形的周长为10cm，腰长为xcm，底边长为ycm．
（1）以腰长x为自变量，写出y与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围；
（2）当y = 3时，求x的值．
练4.1 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h（cm）与燃烧时间t（h）之间
的函数解析式是________，t的取值范围为________．
例5 某人骑车沿直线旅行，先前进了a km，休息了一段时间，又原路返回了b km（b < a），再前进
c km，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（ ）
练5.1 为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”．张村和王村之间的道路需要进行
改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按
时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y（公里）与时间x（天）
的函数关系的大致图象是（ ）
52/118
例6 周末小丽从家里出发骑单车去公园，因为她家与公园之间是一条笔直的自行车道，所以小丽骑得
特别放松．途中，她在路边的便利店挑选一瓶矿泉水，耽误了一段时间后继续骑行，愉快地到了
公园．图中描述了小丽路上的情景，下列说法中错误的是（ ）
A： 小丽在便利店时间为15分钟
B： 公园离小丽家的距离为2 000米
C： 小丽从家到达公园共用时间20分钟
D： 小丽从家到便利店的平均速度为100米/分钟
练6.1 一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的距离s（千
米）与行驶时间t（小时）的关系如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A： 甲、乙两地相距300千米
B： 相遇时快车行驶了100千米
C： 慢车行驶速度为50千米/小时
D： 快车出发后3小时到达乙地
能力强化 / 初二 / 暑假
第 8 讲 函数初步
自我巩固答案
1 下列变量之间的关系：
53/118
（1）三角形面积与它的底边（高为定值）；
（2）x−y = 3中的x与y；
（3）圆的面积与圆的半径；
（4）y = |x|中的x与y．其中是函数关系的有（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
2 下列曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A：
B：
C：
D：
3 下列四个选项中，y不是关于x的函数的是（ ）
A： |y| = x−1
54/118
2
B： y =
x
C： y = 2x−7
D： y = x2
−−−−−
√x+1
4
在函数y = 中，自变量x的取值范围是（ ）
2x−1
A： x ≥ −1
1
B： x > −1且x ≠
2
1
C： x ≥ −1且x ≠
2
D： x > −1
5 求出下列函数中自变量取值范围．
1
（1）y = x2 +2x+8； （2）y = ；
1 +3x2
−−−−−
x √x+3
（3）y = −−−−−； （4）y = ．
√1 −x x−1
6 如图，根据流程图中的程序，当输出数值y = 5时，输入数值x是（ ）
1
A：
7
1
B： −
3
1 1
C： 或−
7 3
1 1
D： 或−
7 7
x−2(x > 2)
7
若函数y = ．
{x2 +2(x ≤ 2)
55/118
–
(1)求当自变量x = √3时，函数y的值；
(2)求当函数y = 8时，自变量x的值．
8 一艘游船在同一航线上往返于甲、乙两地，已知游船在静水中的速度为15 km/h，水流速度为5
km/h．游船先从甲地逆水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地顺水航行返回到甲地，
设游船航行的时间为t h，离甲地的距离为s km，则s与t之间的函数关系用图象表示大致是
（ ）
A：
B：
C：
D：
9 某水池有水15m 3 ，现打开进水管进水，进水速度为5m 3 /h；x h后这个水池内有水y m 3 ，则y关于
x的关系式为（ ）
A： y = 15 −5x
B： y = 5x−15
C： y = 5x+15
D： y = 5x
56/118
10 在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所
跑的路程s（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，下列说法正确
的是（ ）
A： 小莹的速度随时间的增大而增大
B： 小梅的平均速度比小莹的平均速度大
C： 在起跑后180秒时，两人相遇
D： 在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面
能力强化 / 初二 / 暑假
第 8 讲 函数初步
课堂落实答案
1 下列式子中y是x的函数的有（ ）个．
3
①y = x，②y = x2 ，③y2 = x，④y = |x|，⑤y = ，⑥y = 2x．
x
A： 2
B： 3
C： 4
D： 5
2 下列图形中的曲线不表示y是x的函数的是（ ）
57/118
A：
B：
C：
D：
−−−−−
√x−3
3
在函数y = 中，自变量x的取值范围是（ ）
x−3
A： x > 3
B： x ≥ 3
C： x ≠ −3
D： x > −3且x ≠ 0
1
4 已知函数y = (−x+3)+1，当x =______时，函数值为1．
2
5 均匀地向如图所示的一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，能大致反映水面高度h随时
间t变化的图象是（ ）
58/118
A：
B：
C：
D：
能力强化 / 初二 / 暑假
第 8 讲 函数初步
精选精练
1 随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童数量有所减少．下表中的数据近似地呈现了某地区
入学儿童人数的变化趋势：
（1）表中_____是自变量，_____是因变量；
（2）你预计该地区从_____年起入学儿童的人数不超过1000人．
2 （1）求下列函数中自变量的取值范围：
4
−−−−− −−−−−
①y = 2x−1； ②y = ； ③y = √4 −x+√x+1；
x+3
−−−−−
√2x−1 1
④y = ； ⑤y = −−−−−．
x−2 √2 −x
59/118
（2）已知y = 2x−1，当函数y的取值范围是0 ≤ y ≤ 1时，x的取值范围是_______________．
（3）某市场摩托车自行车保管处平均一天接收保管的车辆共有500辆次，其中摩托车保管费为1
元/辆，自行车为0.5元/辆，自行车一天停放x辆，一天总保管费为y，求y与x之间的函数关系式，
并写出自变量x的取值范围．
（4）等腰三角形的周长为30，则腰长y关于底边长x的函数关系式为_________________，其中自变
量x的取值范围是_________________，函数值y的取值范围是_______________．
3 小明做了一个数学实验：将一个圆柱形的空玻璃杯放入无水鱼缸内，看作一个容器．然后，小明
对准玻璃杯口匀速注水，如图所示，在注水过程中，杯底始终紧贴鱼缸底部，则下面可以近似地
刻画出容器最高水位h与注水时间t之间的变化情况的是（ ）
A：
B：
C：
D：
4 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停
止，设点P运动的时间为x秒，△ABP的面积为y．如果y关于x的变化情况如图2所示，则△ABC的面
积是（ ）
60/118
A： 10
B： 20
C： 40
D： 80
5 如图，l A，l B分别表示A步行与B骑车在同一路上行驶的路程S与时间t的关系．
(1)B出发时与A相距_____千米．
(2)B走了一段路后，自行车发生故障，进行修理，所用的时间是_____小时．
(3)B出发后_____小时与A相遇．
(4)若B的自行车不发生故障，保持出发时的速度前进，_____小时与A相遇，相遇点离B的出发点
_____千米．在图中表示出这个相遇点C．
(5)求出A行走的路程S与时间t的函数关系式．（写出过程）
6 一辆慢车与一辆快车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，两车在途中相遇后分别按原速
同时驶往甲地，两车之间的距离s（km）与慢车行驶时间t（h）之间的函数图象如图所示，则下
列说法中：①甲、乙两地之间的距离为560km；②快车速度是慢车速度的1.5倍；③快车到达甲地
61/118
时，慢车距离甲地60km；④相遇时，快车距甲地320km．正确的是（ ）
A： ①②
B： ①③
C： ①④
D： ①③④
能力强化 / 初二 / 暑假
第 9 讲 一次函数
例题练习题答案
例1 若y = (m−2)x+(m2 −4)是正比例函数，则m的值是（ ）
A： 2
B： −2
C： ±2
D： 任意实数
练1.1 若函数y =
(m−2)xm2−3
是正比例函数，则m的值是_____．
例2 下列关于正比例函数y = 3x的说法中，正确的是（ ）
A： 当x = 3时,y = 1
B： 它的图象是一条过原点的直线
C： y随x的增大而减小
62/118
D： 它的图象经过第二、四象限
练2.1 关于一次函数y＝−kx+2k（x是自变量，k ≠ 0），下列说法正确的是（ ）
A： 图象必过第一，二，四象限
B： 函数图象必经过点(2,0)
C： 当自变量x < 2时，函数y < 0
D： 函数y的值随自变量x的增大而减小
例3 若正比例函数y = (1 −2m)x的图象经过点A(x ,y )和点B(x ,y )，当x < x 时，
1 1 2 2 1 2
y > y ，则m的取值范围是（ ）
1 2
A： m < 0
B： m > 0
1
C： m <
2
1
D： m >
2
练3.1 已知正比例函数y = kx(k < 0)图象上的两点A(x ,y )、B(x ,y )，且x < x ，则下列
1 1 2 2 1 2
不等式中恒成立的是（ ）
A： y +y > 0
1 2
B： y +y < 0
1 2
C： y −y > 0
1 2
D： y −y < 0
1 2
例4
2 x
(1) 下列函数：①y = x−6；②y = ；③y = ；④y = 7 −x；⑤y = x2 −2x；
x 8
其中，y是x的一次函数的是_______________．（填序号）
(2)函数y = (3 −m)x2|m|−5 +(m−5)是一次函数，则m =（ ）
A： ±3
B： 3
63/118
C： ±2
D： −3
练4.1 若函数y = (6 +3m)x+4n −4是关于x的一次函数，则m，n满足的条件是______；若是正比
例函数，则m，n满足的条件是________．
例5 给出下列函数：①y = 2x；②y = −2x；③y = 2x−1；④y = −2x+1，其中y随着x的增
大而增大的是（ ）
A： ①②
B： ③④
C： ①③
D： ②④
练5.1 一次函数y = 2x−3的图象不经过的象限是（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
1
例6 已知(−1,y )，(1.8,y )，(− ,y ）是直线y = −3x+m（m为常数）上的三个点，则y ，
1 2 3 1
2
y ，y 的大小关系是（ ）
2 3
A： y > y > y
3 1 2
B： y > y > y
1 3 2
C： y > y > y
1 2 3
D： y > y > y
3 2 1
练6.1 已知点(−4,y )，(2,y )都在直线y = −(k2 +1)x+2上，则y ，y 的大小关系是_____．
1 2 1 2
例7 已知一次函数y = (m+1)x−(4m−3)，y值随x值的增大而减小，则m的取值范围是（ ）
A： m > −1
64/118
B： m < −1
3
C： −1 < m <
4
3
D： m <
4
练7.1 已知一次函数y = (m+2)x+(1 −m)，若y值随x值的增大而减小，且此函数图象与y轴的交
点在x轴的上方，则m的取值范围是（ ）
A： m > −2
B： m < 1
C： m < −2
D： m < 1且m ≠ −2
例8 在平面直角坐标系中，已知一次函数y = (k−2)x−b的图象大致如图所示，则下列结论正确的
是（ ）
A： k > 2，b > 0
B： k > 2，b < 0
C： k < 2，b > 0
D： k < 2，b < 0
练8.1 函数y = kx+|k|(k ≠ 0)在直角坐标系中的图象可能是（ ）
A：
65/118
B：
C：
D：
练8.2 正比例函数y = kx(k ≠ 0)的函数值y随x的增大而增大，则一次函数y = x−k的图象大致是
（ ）
A：
B：
C：
D：
66/118
能力强化 / 初二 / 暑假
第 9 讲 一次函数
自我巩固答案
1 下列描述中，成正比例关系的有（ ）
A： 人的身高与体重
B： 正方形的面积与它的边长
C： 买同一种练习本所需的钱数和所买的本数
D： 从甲地到乙地，所用的时间与行驶的速度
1 1
2 下列函数①y = πx，②y = 2x−1，③y = ，④y = −x，⑤y = x2 −1中，是一次函
x 2
数的有（ ）
A： 4个
B： 3个
C： 2个
D： 1个
3
如果y=(m−1)x2−m2
+3是一次函数，那么m的值是（ ）
A： 1
B： −1
C： ±1
–
D： ±√2
4 下列一次函数中，y随着x增大而减小的是（ ）
A： y＝3x
B： y＝3x−2
67/118
C： y＝3+2x
D： y＝−3x−2
5 给出下列函数：①y = 2x；②y = −2x；③y = 2x−1；④y = −2x+1，其中y随着x的增
大而增大的是（ ）
A： ①②
B： ③④
C： ①③
D： ②④
6 若一次函数y = kx+b(k ≠ 0)的图象如图所示，则k、b的取值范围是（ ）
A： k > 0，b > 0
B： k > 0，b < 0
C： k < 0，b > 0
D： k < 0，b < 0
7 一次函数y = (k−3)x+2，若y随x的增大而增大，则k的值可以是（ ）
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
8 一次函数y = −(m−1)x−3，若y随着x的增大而减小，则m的值可以是（ ）
A： −1
68/118
B： 0
C： 1
D： 2
1
9 已知P (−1,y )，P (−2,y )是函数y = x的图象上的两点，则y 与y 的大小关系是（ ）
1 1 2 1 2
3
A： y > y
1 2
B： y < y
1 2
C： y = y
1 2
D： 以上都不对
10 点P (x ,y )，点P (x ,y )是一次函数y = −4x+3图象上的两个点，且x < x ，则y 与
1 1 1 2 2 2 1 2 1
y 的大小关系是（ ）
2
A： y > y
1 2
B： y > y > 0
1 2
C： y < y
1 2
D： y = y
1 2
能力强化 / 初二 / 暑假
第 9 讲 一次函数
课堂落实答案
1 下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
1
A： y = − x
2
B： y = −2x−2
C： y = 2(x−2)
2
D： y =
x
69/118
2 函数y = 3x的图象经过（ ）
A： 第一、三象限
B： 第二、四象限
C： 第一、二象限
D： 第三、四象限
3 下列函数中，一次函数为（ ）
A： y = x3
B： y = −2x+1
2
C： y =
x
D： y = 2x2 +1
4 已知直线y = kx+b(k ≠ 0)经过第一、三、四象限，则下列结论正确的是（ ）
A： k > 0，b > 0
B： k < 0，b < 0
C： k > 0，b < 0
D： k < 0，b > 0
1
5 已 知 点 (−2,y ) ， (1,y ) 在 直 线 y = − x+b 上 ， 则
1 2
3
y y （填“>”、“<”或“=”）．
1_____ 2
能力强化 / 初二 / 暑假
第 9 讲 一次函数
精选精练
1 当m =_____时，函数y＝(2m−1)x3m−2 是正比例函数．
2 若y = (a+1)xa2 +(b−2)是正比例函数，则(a−b) 2015 的值是_______．
70/118
1
3 作出y = x的图象，并判断点P (−2,3)、Q(4,2)是否为图象上的点．
2
2x−4
4 函数y= 是一次函数吗？如果是，请写出k，b的值；如果不是，试说明理由．
4
5 已知，一次函数y = ax−b的图象如图所示，则（ ）
A： a> 0，b > 0
B： a> 0，b < 0
C： a< 0，b > 0
D： a< 0，b < 0
6 如图，四个一次函数y = ax，y = bx，y = cx+1，y = dx−3的图象如图所示，则a、b、
c、d的大小关系是（ ）
A： b > a > d > c
B： a > b > c > d
C： a > b > d > c
D： b > a > c > d
能力强化 / 初二 / 暑假
71/118
第 10 讲 二元一次方程组（一）
例题练习题答案
例1 回答下列问题.
(1)已知3xm−1 +y3n+1 = 11是关于x、y的二元一次方程，则m+n =_____．
(2)已知(n −1)x|n| −2ym−2020 = 0是关于x、y的二元一次方程，则nm =_____．
练1.1 若(k−2)x
|k|−1
−3y = 2是关于x、y的二元一次方程，那么k2 −3k−2的值为（ ）
A： 8
B： 8或−4
C： −8
D： −4
x = 2,
例2
已知 是关于x、y的方程4kx−3y = −1的一组解，则k的值为（ ）
{y = 3
A： 1
B： −1
C： 2
D： −2
x = a，
练2.1
已知 是关于x、y的方程3x−ay = 5的一个解，则a的值为( )
{y = −2
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
x = −1，
例3
以 为解的二元一次方程组有__________．
{y = 1
x+y = 0， x+y = 0，
① ②
{x−y = −2； {x−y = 2；
72/118
2x+y = −1， 2x−y = 3，
③ ④
{y −x = 2； {x−2y = −3．
2x+y = b， x = 1，
练3.1
若方程组 的解是 则a−b的值是（ ）
{ x−by = a {y = 0，
A： 0
B： 1
C： −1
D： 2
例4 用代入消元法解下列方程组：
x = 6y +4,
x = y +1,
（1）⎧ x y 1 （2）
⎨ − = ； {2x+y = 8；
⎩ 6 2 3
2x+y = 6, x = y +3,
（3） （4）
{y = 3x+1； {3x−8y = 14．
练4.1 用代入消元法解下列方程组：
x−3y = 1，① x = 2y， ①
（1） （2）
{ y = x−1； ② {2x+3y = 7； ②
3x+2y = 8， ①
（3）
{y = x−1． ②
例5 用加减消元法解方程组．
7x−4y = 4， ① x+2y = 1， ①
（1） （2）
{8x−4y = 5； ② { 3x−2y = 11．②
练5.1 用加减消元法解方程组．
2m+3n = 6， ① x+3y = 12， ①
（1） （2）
{3n −4m = −6；② {2x−3y = 16．②
例6 用加减消元法解方程组．
2x+y = 5，① 2x−y = 1， ①
（1） （2）
{4x+3y = 7；② {3x+2y = 5；②
7x−2y = 13，① 4x−3y = −7， ①
（3） （4）
{3x−5y = −11；② {5x+4y = 30．②
能力强化 / 初二 / 暑假
73/118
第 10 讲 二元一次方程组（一）
自我巩固答案
1 若方程(a+3)x|a|−2 +3y = 1是关于x、y的二元一次方程，则a =（ ）
A： −3
B： 3
C： ±3
D： ±2
2 下列四组数中，是方程4x−y = 10的解的是（ ）
x = 0，
A：
{y = −10
x = 3.5，
B：
{ y = −4
x = 15，
C：
{ y = 4
x = 1，
D：
{ y = 6
x = 5，
3 已知 是关于x、y的方程ax+ay = 12的一组解，那么a的值为（ ）
{y = −1
A： 1
B： 3
C： −3
D： −1
4 下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
3x−2y = 0,
A：
{4x−1 = y
−2x = y +x,
B：
{x+y = 8
3x−y = 6,
C：
{x−z = 1
74/118
2x+y = 6,
D：
{2x = y
x = 2，
5
以 为解的二元一次方程组是（ ）
{y = −1
x+y = 1，
A：
{x−y = −3
2x+y = 3，
B：
{x−y = −1
x+y = 1，
C：
{x−y = 3
x+y = 0，
D：
{x−y = −2
x = 2， mx+y = 3，
6
已 知 是 关 于 x ， y 的 二 元 一 次 方 程 组 的 解 ， 则
{y = −1 {x−(n −3)y = 10
m+n =（ ）
A： 10
B： 12
C： 13
D： 15
ax+4 = 14 x = 5
7 若关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，求a+b的值．
{−2+by = −22 {y = 5
x+y = 6
8
方程组 的解是（ ）
{3x−y = 2
x = 2
A：
{y = 4
x = 4
B：
{y = 2
x = 1
C：
{y = 5
x = 3
D：
{y = 3
9 用代入消元法解方程组：
x = 3y, m−n = 2, 5x+2y = 25,
（1） （2） （3）
{x+2y = −5； {2m+3n = 14； {3x+4y = 15.
75/118
能力强化 / 初二 / 暑假
第 10 讲 二元一次方程组（一）
课堂落实答案
1 若(a+2)x|a|−1 +3y = 1是关于x、y的二元一次方程，则a =__________．
x = 2，
2 若关于x、y的二元一次方程ax+2(y −3) = 7的一组解是 ，则a =________．
{y = 1.5
x = 2， 2x+(m−1)y = 2，
3 已知 是方程组 的解，则(m+n) 2018 的值为（ ）
{ y = 1 {nx+y = 1
A： −1
B： 0
C： 1
D： −2
y = 1 −x，
4
用代入消元法解方程组 时，代入正确的是（ ）
{x−2y = 4
A： x−2 −x = 4
B： x−2 −2x = 4
C： x−2 +2x = 4
D： x−2 +x = 4
5x−2y = −15 ①
5
已知方程组 ，则方程②−①得（ ）
{5x+6y = 17 ②
A： 8y = 32
B： 8y = 2
C： 10x = 2
D： 10x = 32
76/118
能力强化 / 初二 / 暑假
第 10 讲 二元一次方程组（一）
精选精练
1 方程x+2y = 5的非负整数解有（ ）
A： 无数组
B： 3组
C： 4组
D： 5组
2ax+by = 3， x = 1，
2 已知关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则a−2b的值是（ ）
{ ax−by = 1 {y = −1
A： −2
B： 2
C： 3
D： −3
y −(a−1)x = 5
3
若方程组
是关于x，y的二元一次方程组，则ab
的值为______．
{y|a| +(b−5)xy = 3
3x+7y = 10，
4
如果方程组 的解中的x与y的值相等，那么a的值是（ ）
{2ax+(a−1)y = 5
A： 1
B： 2
C： 3
D： 4
5 用代入消元法解方程组：
y = x+2， x−2y = 7，
（1） （2）
{4x+3y = 13； {6x+y = 3．
77/118
6 解答下列各题．
2x+4y = 16,
（1）解方程组：
{5x−2y = 4.
2(m+n)+4(m−n) = 16,
（2）在（1）的基础上，求方程组 的解．
{5(m+n)−2(m−n) = 4
能力强化 / 初二 / 暑假
第 11 讲 二元一次方程组（二）
例题练习题答案
例1 用适当方法解方程组：
y = x−3
(1)
；
{7x+5y = 9
x+y = 1
(2)
；
{2x−y = −4
3(x−1) = y +5
(3)
；
{5(y −1) = 3(x+5)
2x+5y = 7
(4)
．
{3x+2y = 5
例2 选择适当方法解下列三元一次方程组．
x+y = −1
（1） ⎧x−y +z = 7
⎨
2x−y −z = 0
⎩
2x+y +3z = 13
（2） ⎧3x+2y −z = 16
⎨
x+3y −5z = 10
⎩
例3 某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题
意的是（ ）
x+y = 246，
A：
{ 2y = x−2
x+y = 246，
B：
{ 2x = y +2
78/118
x+y = 246，
C：
{ y = 2x+2
x+y = 246，
D：
{ 2y = x+2
练3.1 买甲、乙两种纯净水共用250元，其中甲种水每桶8元，乙种水每桶6元，乙种水的桶数是甲种水
的桶数的75%，设买甲种水x桶，乙种水y桶，则所列方程组中正确的是（ ）
8x+6y = 250，
A：
{ y = 0.75x
8x+6y = 250，
B：
{ x = 0.75y
6x+8y = 250，
C：
{ y = 0.75x
6x+8y = 250，
D：
{ x = 0.75y
例4 学校八年级师生共466人准备到飞翔教育实践基地参加研学旅行，现已预备了49座和37座两种客
车共10辆，刚好坐满．求49座客车和37座客车的数量分别为多少？
练4.1 我国明代数学家程大位所著《算法统宗》中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三
个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分
完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？
例5 某工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加10%，总支出节约20%，因而
总收入比总支出多100万元．求去年的总收入和总支出．
练5.1 某农场去年大豆和小麦的总产量为200吨，今年大豆和小麦的总产量为225吨，其中大豆比去年增
产5%，小麦比去年增产15%，求该农场今年大豆和小麦的产量各是多少吨？
能力强化 / 初二 / 暑假
第 11 讲 二元一次方程组（二）
自我巩固答案
1 解方程组：
79/118
5x−y = 5,
（1）
{x−y = 4；
x−y = −4,
（2）
{2x+y = 13.
2 解方程组．
3x+4y = 11，
（1）
{5x−y = 3；
3x+2y = 3，
（2）
{5x−6y = −23．
3 解方程组．
3x−2y = 7，
（1）
{2x+3y = 9；
2x−5y = −3，
（2）
{5x−2y = −18．
x−y +z = 0,
4
方程组 ⎧2x+3y −z = 3, 消去未知数x后，得到的二元一次方程组是（ ）
⎨
x−2y −z = −2,
⎩
5y −3z = 3,
A：
{2y +z = 2
5y −3z = 2,
B：
{y +2z = 3
5y +3z = 3,
C：
{y +2z = 2
5y −3z = 3,
D：
{y +2z = 2
5 解方程组：
x+y +z = 12,
⎧⎪x+2y
+5z = 22,
⎨
x = 4y．
⎩⎪
6 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量
之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折
再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程
组是（ ）
y = x+4.5
A：
⎧ 1
y = x+1
⎨
⎩ 2
80/118
y = x+4.5
B：
⎧ 1
y = x−1
⎨
⎩ 2
y = 4.5−x
C：
⎧ 1
y = x+1
⎨
⎩ 2
y = x−4.5
D：
⎧ 1
y = x−1
⎨
⎩ 2
7 上课时，地理老师介绍到：长江比黄河长836千米，黄河长度的6倍比长江长度的5倍多1284千
米，小东根据地理教师的介绍，设长江长为x千米，黄河长为y千米，然后通过列、解二元一次方
程组，正确的求出了长江和黄河的长度，那么小东列的方程组可能是（ ）
x+y = 836
A：
{5x−6y = 1284
x−y = 836
B：
{6x−5y = 1284
x+y = 836
C：
{6y −5x = 1284
x−y = 836
D：
{6y −5x = 1284
8 在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，
若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2 560元，求两种型号粽子各多
少千克．
9 列方程或方程组解应用题：
《九章算术》中有这样一个问题：“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16两），雀重燕轻，互换其
中一只，恰好一样重，问；每只燕、雀的重量各为多少？”
译文如下：有5只麻雀和6只燕子，一共重16两；5只麻雀的重量超过6只燕子的重量，如果互换其
中的一只，重量恰好相等．则每只麻雀、燕子的平均重量分别为多少两？
10 某工厂去年的利润（总收入−总支出）为300万元，今年总收入比去年增加20%，总支出比去年
减少10%，今年的利润为420万元，去年的总收入、总支出各是多少万元？
能力强化 / 初二 / 暑假
81/118
第 11 讲 二元一次方程组（二）
课堂落实答案
1 解方程组．
2x+5y = 25
{4x+3y = 15
2 下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）
xy = 1
A：
⎧yz = 1
⎨
xz = 1
⎩
x+y = 2
B：
⎧y +z = 2
⎨
x+z = 2
⎩
1 1
C： + = 1
⎧ ⎪ x y
⎪
⎪
⎪
⎪ 1 1
⎪
⎪ + = 1
y z
⎨
⎪ ⎪ 1 1
⎪
⎪ + = 1
⎪
⎩ ⎪ ⎪ x z
3x2 +y = 1
D：
⎧⎪x+z
= 1
⎨
x−y −z = 1
⎩⎪
3x−y +z = 10,
3
方程组 ⎧x+2y −z = 6, 的解为（ ）
⎨
x+y +z = 12
⎩
x = 5,
A：
⎧y = 4,
⎨
z = 3
⎩
x = 4,
B：
⎧y = 3,
⎨
z = 5
⎩
x = 3,
C：
⎧y = 4,
⎨
z = 5
⎩
x = 5,
D：
⎧y = 3,
⎨
z = 4
⎩
4 一个长方形的长的2倍比宽的5倍还多1 cm，宽的3倍又比长多1 cm，求这个长方形的长与宽．设
长为x cm，宽为y cm，则下列方程组中正确的是（ ）
82/118
2x−5y = 1
A：
{x−3y = 1
5y −2x = 1
B：
{3y −x = 1
2x−5y = 1
C：
{3y −x = 1
5y −2x = 1
D：
{x−3y = 1
5 为了迎接体育中考，体育委员到体育用品商店购买排球和实心球，若购买2个排球和3个实心球共
需95元，若购买5个排球和7个实心球共需230元，若设每个排球x元，每个实心球y元，则根据题
意列二元一次方程组得（ ）
3x+2y = 95
A：
{5x+7y = 230
2x+3y = 95
B：
{5x+7y = 230
3x+2y = 95
C：
{7x+5y = 230
2x+3y = 95
D：
{7x+5y = 230
能力强化 / 初二 / 暑假
第 11 讲 二元一次方程组（二）
精选精练
1 解方程组．
x+y = 2
（1）
{x−y = 0
x y
+ = 8
⎧ 2 3
⎪
（2） x y
⎨ − = 7
⎩⎪ 5 2
2(x−1)+3(y +1) = 10
（3）
{3x = 2(y −2)
2 若2x+5y +4z = 0，4x+y +2z = 0，则x+y +z的值等于（ ）
83/118
A： 0
B： 1
C： 2
D： 3
3 已知|x−z +4|+|z −2y +1|+|x+y −z +1| =，0则x+y +z =____________．
1
4
父子二人并排垂直站立于游泳池中时，爸爸露出水面的高度是他自身身高的 ，儿子露出水面的
3
1
高度是他自身身高的 ，父子二人的身高之和为3.2米．若设爸爸的身高为x米，儿子的身高为
7
y米，则可列方程组为（ ）
x+y = 3.2，
A：
⎧⎪ 1 1
1 + x = 1 + y
⎨
( 7) ( 3)
⎩⎪
x+y = 3.2，
B：
⎧⎪ 1 1
1 − x = 1 − y
⎨
( 7) ( 3)
⎩⎪
x+y = 3.2，
C：
1x = 1y
{
3 7
x+y = 3.2，
D：
⎧⎪ 1 1
1 − x = 1 − y
⎨
( 3) ( 7)
⎩⎪
5 疫情之下，口罩的需求量大幅上升，小明去某厂调查口罩的生产速度，小明发现做5只普通医用口
罩、5只KN95口罩共需200秒，做4只普通医用口罩、8只KN95口罩共需300秒，请你帮小明计算
下平均做一只普通医用口罩与一只KN95口罩各需多少时间？
6 有一群小鸟，其中一部分在树上唱歌，另一部分在地上觅食．树上的一只小鸟对地上觅食的小鸟
1
说：“若从你们中飞上来一只，则树下的小鸟就是整个鸟群的 ；若从树上飞下去一只，则树
3
上、树下的小鸟一样多”．你知道树上树下各有几只小鸟吗？
能力强化 / 初二 / 暑假
第 12 讲 二元一次方程组与一次函数
84/118
例题练习题答案
例1 下面哪个点不在函数y = −2x+3的图象上（ ）
A： (−5,13)
B： (0.5,2)
C： (3,0)
D： (1,1)
1
练1.1
下面哪个点在函数y = x−1的图象上（ ）
3
A： (3,1)
B： (−3,1)
C： (−3,0)
D： (3,0)
例2 已知直线y = −2x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点．求A、B两点的坐标．
4
练2.1
函数y = − x−4的图象交x轴于A，交y轴于B，则AB两点间的距离为______．
3
例3 已知一次函数y = 2x−3，回答下列问题：
（1）和x轴的交点坐标为__________，和y轴交点坐标为___________；
（2）和直线y = 3的交点坐标为___________，和直线x = −2的交点坐标为__________；
（3）和一三象限角平分线的交点为____________，和二四象限角平分线的交点坐标为
____________．
1
练3.1 一次函数y = x−4和y = −3x+3的图象的交点坐标是________________．
2
例4 函数y=ax+b的图象如图，则关于x的方程ax+b=0的解为_________．
85/118
练4.1 如图，已知一次函数l：y=ax+b的图象为直线，则关于x的方程ax+b=0的解为x=________．
例5 如图，已知直线y=kx+b，则关于x的方程kx+b=3的解为x=_________．
练5.1 一次函数y = kx+b的图象如图所示，则关于x的方程kx+b = −1的解为（ ）
A： x=0
B： x=1
1
C：
x=
2
D： x=-2
y = k x+b
例6 如图，y = k x+b 与y = k x+b 交于点A，则方程组 1 1 的解为_____．
1 1 2 2
{y = k x+b
2 2
86/118
练6.1 如图，已知一次函数y = kx+3和y = −x+b的图象交于点P (2,4)，则关于x的方程
kx+3 = −x+b的解是_______．
例7 若一次函数y = kx−3k+6的图象过原点，则k =______，一次函数的解析式为________．
练7.1 一次函数图象经过(3,1)，(2,0)两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求当x = 6时，y的值．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 12 讲 二元一次方程组与一次函数
自我巩固答案
1 下列给出的四个点中，在函数y = 2x−3图象上的是（ ）
A： (1,−1)
B： (0,−2)
C： (2,−1)
D： (−1,6)
2 若点A(2,4)在函数y = kx−2的图象上，则下列各点在函数图象上的是（ ）
A： (0,−2)
3
B：
,0
(2 )
C： (8,20)
87/118
1 1
D：
,
(2 2)
3 一次函数y = −2x+3的图象与y轴的交点坐标是__________．
4
(1)一次函数y = −2x+2的图象与x轴的交点坐标为______________．
(2)已知一次函数y = −x+3；
①求一次函数与x轴、y轴交点坐标；
②画出一次函数y = −x+3的图象；
③求出一次函数图象与坐标轴所围成的三角形的面积．
5 如图，直线y = kx+b(k ≠ 0)与x轴交于点(−4,0)，则关于x的方程kx+b=0的解
为x=________．
6 如图，根据函数y = kx+b（k、b是常数，且k ≠ 0）的图象，求：
（1）方程kx+b = 0的解；
（2）b的值；
（3）方程kx+b = −1的解．
1
7 小亮在同一直角坐标系内作出了y = −2x+2和y = − x−1的图象，则方程组
2
2x+y = 2
的解是（ ）
1x+y = −1
{
2
88/118
x = −2
A：
{y = 2
x = 2
B：
{y = −2
x = 2
C：
{y = 2
x = −2
D：
{y = −2
8 已知一次函数y = (m−1)x−4的图象经过(2,4)，则m的值为（ ）
A： 7
B： 5
C： 8
D： 2
9 已知一次函数的图象过点(0,3)和(−2,0)，那么直线必过点（ ）
A： (4,6)
B： (−4,−3)
C： (6,9)
D： (−6,6)
10 已知点A(2,0)在函数y = kx+3的图象上．
(1)求该函数的表达式；
(2)求该函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．
能力强化 / 初二 / 暑假
89/118
第 12 讲 二元一次方程组与一次函数
课堂落实答案
1 点A(1,3)__________（填“在”、或“不在”）直线y = −x+2上．
2 一次函数y = 2 −5x和y = 2x−5的图象的交点坐标是________________．
3 如图是一次函数y = kx+b的图象，则方程kx+b = 0的解为__________．
4 如图，已知一次函数y = 3x−1和y = −x+3的图象交于点P ，则二元一次方程组
y = 3x−1
的解是______．
{y = −x+3
5 一次函数图象过点(0,−3)和(2,0)，则其表达式为（ ）
A： y = −2x+3
3
B： y = x−3
2
C： y = −3x+2
90/118
2
D： y = − x+2
3
能力强化 / 初二 / 暑假
第 12 讲 二元一次方程组与一次函数
精选精练
1 已知一次函数y = −5x+m的图象经过点(−2,7)，则下列点在函数图象上的是（ ）
A： (0,−2)
B： (1,8)
C： (−3,12)
D： (−1,1)
1
2 一次函数y = − x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点．
2
（1）画出该函数的图象；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）求直线与两坐标轴围成三角形的面积．
3 已知一次函数y = −2x+1与y = x+2交于点(m,n)，则m+n =（ ）
A： 2
2
B：
3
C： 1
4
D：
3
4 如图所示，一次函数y = kx+b的图象与x轴的交点为(−2,0)，则下列说法：
①y的值随x的值的增大而增大；
91/118
②b > 0；
③关于x的方程kx+b = 0的解为x = −2．
其中说法正确的有__________（只写序号）．
5 如图是一次函数y = kx+b与y = x+a的图象，则下列结论：①k < 0；②a > 0；③
1 2
b > 0；④方程kx+b = x+a的解是x = 3，其中错误的个数是（ ）
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
6 已知一次函数y = kx+b(k ≠ 0)，当−1 ≤ x ≤ 3时，2 ≤ y ≤ 4，求一次函数解析式．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 13 讲 数据的集中
例题练习题答案
例1 8名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）分别为80，82，79，69，74，78，x，81，这组
成绩的平均数是78，则x的值为（ ）
A： 76
B： 74
C： 75
D： 81
92/118
练1.1 某小组某次英语听写的平均成绩为80分，5名同学中有4名同学的成绩分别为：82，85，90，
75，则另一名同学的成绩为__________分．
例2 某公司欲招聘一名工作人员，对甲、乙两位应聘者进行面试和笔试，他们的成绩（百分制）如下
表所示．
应聘者 面试 笔试
甲 87 90
乙 91 82
若公司分别赋予面试成绩和笔试成绩6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？
练2.1 学生的平时作业、期中考试、期末考试三项成绩分别按2 : 3 : 5的比例计入学期总评成绩．小明、
小亮、小红的平时作业、期中考试、期末考试的数学成绩（单位：分）如下表，计算这学期谁的
数学总评成绩最高？
平时成绩 期中成绩 期末成绩
小明 96 94 90
小亮 90 96 93
小红 90 90 96
练2.2 晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，其中体育课外活动成绩占20%，期中考试成绩占
30%，期末考试成绩占50%，小桐三项体育成绩（百分制）依次为95分，90分，86分，则小桐这
学期的体育成绩是（ ）
A： 88分
B： 89分
C： 90分
D： 91分
例3 五一期间（5月1日-7日），北京每天最高温度（单位：℃）情况如图所示，则表示最高温度的这
组数的中位数是（ ）
93/118
最高温度
A： 24
B： 25
C： 26
D： 27
练3.1 某住宅小区五月份1日至5日每天用水量变化情况如图所示，那么这5天每天用水量的中位数是
（ ）
A： 28
B： 32
C： 34
D： 36
练3.2 六箱苹果的重量分别为（单位：千克）：18，20，21，22，19，19，则这六箱苹果重量的中位
数为（ ）
A： 20
B： 19.5
C： 19
94/118
D： 18.5
例4 为了解某市九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩进行分段（A：50
分；B：49 −45分；C：44 −40分；D：39 −30分；E：29 −0分）统计如下：
学业考试体育成绩（分数段）统计表
分数段 人数（人） 频率
A 48 0.2
B a 0.25
C 84 0.35
D 36 b
E 12 0.05
根据上面提供的信息，回答下列问题：
(1)在统计表中，a的值为_____，b的值为_____；
(2)甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数．”请问：甲同学的体育成绩
应在什么分数段内？____________（填相应分数段的字母）．
练4.1 某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月销售目标，根据目标
完成的情况对营业员进行适当的奖惩．为了确定一个适当的目标，商场统计了每个营业员在某月
的销售额，并整理得到如下统计图（单位：万元）．请分析统计数据完成下列问题．
（1）月销售额的中位数是______万元？（直接写结果）
（2）如果想让一半左右营业额都能达到目标，你认为月销售额定为_______万元合适？（直接写出
结果）
95/118
练4.2 有13位同学参加学校组织的才艺表演比赛．已知他们所得的分数互不相同，共设7个获奖名额．某
同学知道自己的比赛分数后，要判断自己能否获奖，在下列13名同学成绩的统计量中只需知道一
个量，它是（ ）
A： 众数
B： 都可以
C： 中位数
D： 平均数
例5 某校学生参加体育测试，某小组10名同学完成引体向上的个数如下表：
完成引体向上的个数 10 9 8 7
人数 1 1 3 5
这10名同学引体向上个数的众数是（ ）
A： 10
B： 9
C： 8
D： 7
练5.1 在某次数学测验中，随机抽取了15份试卷，其成绩如下：72，77，81，81，85，81，92，87，
79，84，92，87，90，87，89，则这组数据的众数是（ ）
A： 81
B： 92
C： 87
D： 81和87
例6 某酒店共有6名员工，所有员工的工资如下表所示：
人员 经理 会计 厨师 服务员1 服务员2 勤杂工
月工资（元） 6000 3000 4000 2000 2000 1000
96/118
（1）酒店所有员工的平均月工资是多少元？中位数、众数各是多少？
（2）平均月工资能准确反映该酒店员工工资的一般水平吗？若能，请说明理由；若不能，如何才
能较准确地反映该酒店员工工资的一般水平？谈谈你的看法．
练6.1 某校在一次考试中，甲、乙两班学生的数学成绩如下表：
分数 50 60 70 80 90 100
甲 1 6 12 11 15 5
人
数
乙 3 5 15 3 13 11
请根据表格提供的信息回答下列问题：
(1)甲班众数为_____分，乙班众数为_____分，从众数看成绩较好的是_____班；
(2)甲班的中位数是_____分，乙班的中位数是_____分；
(3)若成绩在85以上为优秀，则成绩较好的是_____班．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 13 讲 数据的集中
自我巩固答案
1 数据80，20，40，60，35，65的平均数是（ ）
A： 40
B： 50
C： 60
D： 70
2 某班学生每周课外阅读时间的统计结果如下表：则这些学生每周课外阅读的平均时间为（ ）
时间/小时 3 4 5 6 7
97/118
人数 2 5 15 11 7
A： 4.5 小时
B： 5小时
C： 5.4 小时
D： 5.5 小时
3 某招聘考试分笔试和面试两种，其中笔试按70%，面试按30%计算加权平均数，作为总成绩．孔
明笔试成绩90分，面试成绩85分，那么孔明的总成绩是_____分．
4 有一批种子共有98颗，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，……，下表是不同
发芽天数的种子数的记录：
发芽天数 1 2 3 4 5 6 7
种子数 8 26 22 24 12 4 2
统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是（ ）
A： 2
B： 3
C： 3.5
D： 4
5 研究霸王龙的体型大小，科学家主要关注已发现的霸王龙化石尺码的（ ）
A： 众数
B： 中位数
C： 平均数
D： 都可以
6 某地区一周内每天的平均气温是：16，19，18，14，17，18，15．这组数据的中位数
是_______．
98/118
7 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有9名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的
一名学生想要知道自己能否进入前5名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这9名学生成绩的（ ）
A： 众数
B： 中位数
C： 平均数
D： 都可以
8 七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”，下表是从七
年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况：
节水量（m3
） 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
家庭数（个） 1 2 2 4 1
那么这组数据的众数和平均数分别是（ ）
A： 0.4和0.34
B： 0.4和0.3
C： 0.25和0.34
D： 0.25和0.3
9 我市某中学举行“中国梦⋅校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手
组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩，如图所示．
(1) 根据图示填写下表：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
初中部 __________ 85 __________
99/118
高中部 85 __________ 100
(2)结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好？
10 从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽出8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果
如下（单位：年）．
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；
乙：4，6，6，6，8，9，12，13；
丙：3，3，4，7，9，10，11，12．
三家广告中都称该种产品的使用寿命是8年，请根据调查结果判断三个厂家在广告中分别运用了平
均数、众数和中位数的哪一种数据作代表．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 13 讲 数据的集中
课堂落实答案
1 数据60，70，40，30，这四个数的平均数是（ ）
A： 40
B： 50
C： 60
D： 70
2 某校规定：学生的平时作业、期中练习、期末考试三项成绩分别按40%，20%，40%的比例计入
学期总评成绩，小路的平时作业、期中练习、期末考试的数学成绩依次为90分、92分、85分，小
路这学期总评成绩是_____．
3 某校五人参加孔子学院志愿者选拔考试，已知这5人的平均考试成绩为91分，有2人得92分，1人
得83分，1人得94分，由这5人得分所组成的一组数据的中位数是（ ）
A： 91
100/118
B： 92
C： 93
D： 94
4 某班要从9名百米跑成绩各不相同的同学中选4名参加4 ×100米接力赛，而这9名同学只知道自
己的成绩，要想让他们知道自己是否入选，老师只需公布他们成绩的（ ）
A： 平均数
B： 中位数
C： 众数
D： 方差
5 在某次体育测试中，九(1)班6位同学的立定跳远成绩（单位：m）分别为：1.71，1.85，
1.85，1.95，2.10，2.31，则这组数据的众数是（ ）
A： 1.71
B： 1.85
C： 1.90
D： 2.31
能力强化 / 初二 / 暑假
第 13 讲 数据的集中
精选精练
1 小明期末语、数、英三科的平均分为92分，他记得语文是88分，英语是95分，把数学成绩忘记
了，你知道小明数学多少分吗？（ ）
A： 93分
B： 95分
C： 92.5分
101/118
D： 94分
2 已知一组数据：2，5，x，7，9的平均数为6，则x =_____．
3 若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（ ）
A： 0
B： 2.5
C： 3
D： 5
4 甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中进球分别为9，9，x，7．若这组数据的众数与平均
数恰好相等，则这组数据的中位数为_____．
5 某单位欲从内部公开选拔一名管理人员，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试面试两项测试，三
人的测试成绩如表：
测试成绩/分
测试项目
甲 乙 丙
笔试 75 80 90
面试 93 70 68
根据录用程序，组织400名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权
票，每位职工只能推荐1人）如图，每得一票记作1分．
（1）请算出三人的民主评议得分；
102/118
（2）根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按5 : 3 : 2的比例确定个人成
绩，那么谁将被录用？
6 某公司欲聘请一位员工，三位应聘者A、B、C的原始评分表如下：
（1）如果按五项原始评分的平均分，谁将被录用？
（2）如果按仪表、工作经验、电脑操作、社交能力，工作效率的原始评分分别占10%、15%、
20%、25%、30%综合评分，谁将被录用？
能力强化 / 初二 / 暑假
第 14 讲 数据的离散
例题练习题答案
例1 已知一组数据：4，−1，5，9，7，则这组数据的极差是__________．
练1.1 数据−1，0，3，5，x的极差为7，那么x等于（ ）
A： 6
B： −2
C： 6或−2
D： 不能确定
练1.2
(1)某天中央电视台的天气预报说，北京今天最高气温28℃，最低气温16℃，昆明最高气温
24℃，最低气温18℃，那么这两个城市当天气温的极差分别为________和________，气温波动
大的是_______．
(2)下列能够刻画一组数据变化范围的统计量是（ ）
103/118
A： 平均数
B： 众数
C： 中位数
D： 极差
例2 若甲、乙两个街舞团的人数相同，平均身高相同，通过计算身高的方差发现身高更整齐的街舞团
是甲，那么S2 ______S2
（填“＞”或“＜”）．
甲 乙
练2.1 小林同学对甲、乙、丙三个市场某月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月三个市场的
价格平均值相同，方差分别为S2 =7.5，S2 =1.5，S2 =3.1，那么该月份白菜价格最稳定的
甲 乙 丙
是_______市场．
例3 （1）学完方差的知识后，小明了解了他最要好的四个朋友的身高，分别是176cm，174cm，
177cm，173cm，那么小明四个好朋友身高的方差是____________cm2
；
（2）已知一组数据1，2，0，−1，x的平均数为1，则这组数据的方差为__________．
练3.1 （1）已知一组数据为：5，3，3，6，3，则这组数据的方差是____________；
（2）2，2，x，3，3，6．如果这个样本的众数为2，那么这组数据的方差是___________．
例4 某校八年级甲、乙两班分别选5名同学参加“学雷锋读书活动”演讲比赛，其预赛成绩如图：
（1）根据上图求出下表所缺数据：
平均数 中位数 众数 方差
甲班 8.5 8.5 ______ ______
乙班 ______ 8 10 1.6
（2）根据上表中的平均数、中位数和方差你认为哪班的成绩较好？并说明你的理由．
练4.1 某次跳绳比赛中，统计甲、乙两班学生每分钟跳绳的成绩（单位：次）情况如下表：
104/118
班级 参加人数 平均次数 中位数 方差
甲 45 135 149 180
乙 45 135 151 130
下列三个命题：
（1）甲班平均成绩低于乙班平均成绩；
（2）甲班成绩的波动比乙班成绩的波动大；
（3）甲班成绩优秀人数少于乙班成绩优秀人数（跳绳次数≥ 150次为优秀）．
其中正确的命题是_____．（只填序号）
1
例5
已知一组数据x ，x ，x ，x ，x 的平均数是2，方差是 ，那么另一组数据3x −2，
1 2 3 4 5 1
3
3x −2，3x −2，3x −2，3x −2的平均数是__________，方差是__________．
2 3 4 5
练5.1 若一组数据a，b，c，d的方差是2，则a+1，b+1，c+1，d+1的方差是______．
例6 （1）一组数据5，6，7，8，9的标准差为_______．
（2）在一次女子排球比赛中，甲、乙两队参赛选手的年龄（单位：岁）如下：
甲队：26，25，28，28，24，28，26，28，27，29；
乙队：28，27，25，28，27，26，28，27，27，26．
①两队参赛选手的平均年龄分别是多少？
②利用标准差比较说明两队参赛选手年龄波动的情况如何．
练6.1 一组数据3，5，2，x，5的平均数是4，则这组数据的标准差是___．
2
A：
5
−−
√10
B：
5
−−
2√10
C：
5
−−
3√10
D：
5
例7 某同学对数据16，20，20，36，4■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水
涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是( )
105/118
A： 标准差
B： 平均数
C： 方差
D： 众数
练7.1 小丽参加了学校“新年迎新”诗歌朗诵比赛，如果将9位评委所给出的分数去掉一个最高分、去掉
一个最低分，那么一定不发生变化的是( )
A： 平均分
B： 中位数
C： 众数
D： 方差
能力强化 / 初二 / 暑假
第 14 讲 数据的离散
课堂落实答案
1 甲、乙二人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数都是7，方差S2 = 3，
甲
S2 = 1.8，则射击成绩较稳定的是（ ）
乙
A： 甲
B： 乙
C： 一样
D： 不能确定
2 一组数据3，4，x，6，7的平均数为5，则这组数据的方差为_______．
3 省运动会举行射击比赛，我市射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛，在选拔赛中，每人
射击10次，计算他们10次成绩的平均数和方差如下表，请你根据表中数据选一人参加比赛，最适
合的人选是_________．
106/118
甲 乙 丙 丁
平均数 9.2 9.0 9.0 9.2
方差 2.0 1.8 1.5 1.3
4 若一组数据x
1
+1，x
2
+1，⋯，x
n
+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x
1
+2，
x 2 +2，⋯，x n +2的平均数和方差分别为（ ）
A： 17，2
B： 18，2
C： 17，3
D： 18，3
5 如图是某地5月上旬日平均气温统计图，这些气温数据的极差是________________．
能力强化 / 初二 / 暑假
第 14 讲 数据的离散
自我巩固答案
1 袁隆平院士是中国杂交水稻育种专家，中国研究与发展杂交水稻的开创者，被誉为“世界杂交水
稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．某村引进了袁隆平的甲乙两种水稻良种，各
选6块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为
1100kg/亩，方差分别为s2 = 141.7，s2 = 433.3，则产量稳定，适合推广的品种为
甲 乙
（ ）
107/118
A： 甲、乙均可
B： 甲
C： 乙
D： 无法确定
2 甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别
是S2 = 1.8，S2 = 0.7，则成绩比较稳定的是（ ）
甲 乙
A： 甲
B： 乙
C： 一样
D： 无法比较
3 如果一组数据1，3，5，a，8的方差是0.7，则另一组数据11，13，15，a+10，18的方差是
（ ）
A： 0.7
B： 10.7
C： 17
D： 70
4 已知一组数据为：4，5，6，8，13，则这组数据的方差是（ ）
A： 6
B： 10
C： 10.16
D： 8
5 2018年12月4日是第五个国家宪法日，也是第一个“宪法宣传周”．甲、乙两班各选派10名学生
参加宪法知识竞赛（满分100分），成绩如下：
成绩 85 90 95 100
108/118
甲班参赛学生（人） 1 1 5 3
乙班参赛学生（人） 1 2 3 4
分别求甲、乙两班参赛学生竞赛成绩的平均数和方差．
6 甲进行了5次射击训练，平均成绩为9环，且前4次的成绩（单位：环）依次为：8，10，9，10．
（1）求甲第5次的射击成绩与这5次射击成绩的方差；
（2）乙在相同情况下也进行了5次射击训练，平均成绩为9环，方差为0.9，请问甲和乙哪个的射
击成绩更稳定？
7 若一组数据x
1
+1，x
2
+1，x
3
+1…x
n
+1的平均数为18，方差为2，则数据x
1
+2，
x 2 +2，x 3 +2……，x n +2的平均数和方差分别是（ ）
A： 18，2
B： 19，3
C： 19，2
D： 20，4
8 已知一组数据：4，−1，5，9，7，6，7，则这组数据的极差和众数分别是（ ）
A： 10和7
B： 9和7
C： 10和9
D： 7和9
9 某市举行中学生“好书伴我成长”演讲比赛，某同学将所有选手的得分情况进行统计，绘成如图
所示的成绩统计图．思考下列四个结论：①比赛成绩的众数为6分；②成绩的极差是5分；③比赛
成绩的中位数是7.5分；④共有25名学生参加了比赛，其中正确的判断共有（ ）
109/118
A： 1个
B： 2个
C： 3个
D： 4个
10 要从甲、乙两名射击运动员中挑选一人参加全国比赛，在最近的5次选拔赛中，他们的成绩如下
（单位：环）．
甲：7，8，6，8，9；
乙：9，7，5，8，6．
（1）甲运动员这5次选拔赛成绩的中位数和众数分别是多少？
（2）求乙运动员这5次选拔赛成绩的平均数和标准差；
（3）若已知甲运动员的选拔赛成绩的标准差为1.04，为了保证稳定发挥，应该选哪位运动员参加
比赛？
能力强化 / 初二 / 暑假
第 14 讲 数据的离散
精选精练
1 下表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差：
甲 乙 丙 丁
平均数（环） 8.9 9.1 8.9 9.1
方差 3.3 3.8 3.8 3.3
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ）
A： 丁
B： 丙
C： 乙
110/118
D： 甲
2 如果一组数据1，0，−2，2，x的极差是6，且x＞0，那么x的值是___．
3 数据−2、0、1、6、x的极差为9，那么x等于（ ）
A： 7
B： −3
C： 7或−3
D： 不能确定
4 为了了解学生关注热点新闻的情况，“两会”期间，小明对班级同学一周内收看“两会”新闻的
次数情况作了调查，调查结果统计如图所示（其中男生收看3次的人数没有标出）．
根据上述信息，解答下列各题：
(1)该班级女生人数是_____，女生收看“两会”新闻次数的中位数是_____；
(2)对于某个群体，我们把一周内收看某热点新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百
分比叫做该群体对某热点新闻的“关注指数”．如果该班级男生对“两会”新闻的“关注指
数”比女生低5%，试求该班级男生人数；
(3)为进一步分析该班级男、女生收看“两会”新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量
（如表）．
统计量 平均数（次） 中位数（次） 众数（次） 方差 ……
该班级男生 3 3 4 2 ……
根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班级男、女生收看“两
会”新闻次数的波动大小．
111/118
5 已知数据x
1
，x
2
，…，x n的方差是0.1，则4x
1
−2，4x
2
−2，…，4x
n
−2的方差为
__________．
6 一组数据x ，x ，x ，x ，x 的平均数是5，方差是3，则4x −3，4x −3，4x −3，
1 2 3 4 5 1 2 3
4x −3，4x −3的平均数是__________，方差是__________．
4 5
能力强化 / 初二 / 暑假
第 15 讲 阶段自检B
期末试卷答案
1 若点P (m,n)在第二象限，则点Q(−n,−m)是在（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
2 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
−−
A： √12
−−
a
B：
√b
−−−−−
C： √a2 + 1
−−−−−
D： √4a+ 4
1 1
3
以下六个点： , 、(2,0)、(−1,2)、(0,1)、(−1,−1)、(0,0)．其中在坐标轴上的点
(2 2)
有（ ）
A： 0个
B： 1个
C： 2个
112/118
D： 3个
4 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
x+y = 4
A：
{2x+y = 7
2a−3b = 11
B：
{3b+4c = 12
x2 = 1
C：
{y = x
2x−y = 3
D：
⎧ 1
= 2 +y
⎨
⎩ x
5 一次函数y = 3x−2的图象不经过（ ）
A： 第一象限
B： 第二象限
C： 第三象限
D： 第四象限
6 一个直角三角形的一条直角边长为12，斜边长为15，则此直角三角形的面积为（ ）
A： 54
B： 90
C： 108
D： 180
x = 2
7
已知一个二元一次方程组的解为 ，则这个二元一次方程组可以是（ ）
{y = 3
2x−1 = 5
A：
{x+y = 4
x+y = 5
B：
{x−2y = −4
2x+y = 7
C：
{x+2y = 9
113/118
1
D： x−y = −2
⎧ ⎪ 2
⎪
1
⎨x− y = 0
⎩⎪ ⎪ 3
8 某校九年级数学模拟测试中，六名学生的数学成绩如下（单位：分）：110，106，109，111，
108，110，下列关于这组数据描述正确的是（ ）
A： 众数是110
B： 方差是16
C： 平均数是109.5
D： 极差是6
9 若实数k，b满足k+b = 0，且k > b，则一次函数y = kx+b的图象可能是（ ）
A：
B：
C：
D：
10 已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运
动时间为x，线段AP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如右图所示，则该封闭图形可能（
114/118
）
A：
B：
C：
D：
11 27的立方根是__________．
12 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6
cm，则A，B，C，D四个正方形的面积之和为________cm2
．
13 点A(3,−5)到x轴的距离为___________，到y轴的距离为__________．
14 已知点M (1,a)和点N (2,b)是一次函数y = −2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是
__________．
x−y −3 = 0
15 已知直线y = x−3与y = 2x+2的交点为(−5 −8)，则方程组 的解是
{2x−y +2 = 0
________．
115/118
−− −−−−−
16 如果√28与最简二次根式√3a−8可以合并成一个二次根式，则a =________．
17 一次函数y = kx+|k−2|的图象过点（0，3），且y随x的增大而减小，则k的值__________．
1
18 Rt△ABC中，∠C = 90∘ ，AB = 6，BC = AB，则AC =___________．
2
19 计算：
−−
1 – 1 −−
（1）4 ÷(−√6)× √12
√ 2 3
−−
−− −−− 1 −−
（2）(√32 +√0.5)− 2 −√75
( √ 8 )
−−
−− – 1 −− −−
（3）√48 ÷√3− ×√12 +√24
√ 2
−−
−− 1 −− –
（4） 3√12 −2 +√48 ÷2√3
( √ 3 )
20 解二元一次方程组：
2x+3y = 19
（1）
{3x−2y = 7
4(x+1)+3(y −2) = 7
（2）⎧ x 2y −1
+ = 1
⎨
⎩ 4 3
−−−−−−−−−
21 若（a−2b+1） 2 与 √3a−2b−5互为相反数，求ab 的值.
22 如图是轮船和快艇从甲港出发驶向乙港的函数图象．请根据函数图象，回答问题．
①____________先出发____________小时，
先到达乙港的船用了____________小时；
②轮船走后____________小时两船相遇，
相遇地离甲港____________千米；
③轮船的速度是____________千米/小时，
快艇的速度是____________千米/小时；
23 如图所示，平面直角坐标系中，每一个小方格代表一个单位长度．
116/118
（1）A点坐标为________，B点坐标为________，C点坐标为________；
（2）在图中标出D(5,−6)、E(−7,−3)；
（3）求△ ABC的面积．
24 如图，直线PA是一次函数y = x+1的图象，直线PB是一次函数y = −2x+2的图象．
(1)求A、B、P三点的坐标；
(2)求四边形PQOB的面积．
25 如图是一个城市的街道图，五个人分别住在坐标为A(1,6)，B(2,4)，C (3,1)，D(5,3)，
E(6,5)的地方．他们准备到街道的某处会面，并且他们只能沿着街道走．若要使得五人所行路程
117/118
之和最短，则这个会面地点的坐标是_______________．
4
26 一次函数y = x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点，使△ABC为等腰三角形，则
3
这样的点C的坐标为______________________________．
118/118
