2.复数、平面向量
一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共计40 分.每小题给出的四个选项中,只有一个
选项是正确的.
1.(2025 浙江衢州、丽水、湖州二模)已知i 为虚数单位,复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚
数,则a=( )
A.2 或-2
B.2
C.0
D.-2
2.(2025 湖南常德模拟)已知复数z 满足(1+2i)z=i2 025(i 为虚数单位),则z的虚部为( )
A.1
5
B.-1
5
C.1
5
i
D.-1
5
i
3.(2025 山东烟台、德州二模)已知复数z 满足z(1+i)=2-3i,则z 在复平面内所对应的点位
于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
4.(2025 湖南长沙二模)在复平面内,O 为坐标原点,复数1-i,-1+2i 对应的向量分别是⃗
OM ,⃗ON,则⃗MN对应的复数为( )
A.-2+3i
B.i
C.2-3i
D.-i
5.(2025 山东济宁二模)已知1-2i 是关于x 的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个根,则|a+bi|
=( )
A.2
B.3
C.5
D.❑√29
6.(2025 山东淄博一模)已知|a|=2,向量a 在向量b 上的投影向量c 与向量b 方向相反,且|
c|=❑√3,则a 与b 的夹角为( )
A.π
3
B.π
2
C.2π
3
D.5 π
6
7.(2025 山东滨州二模)在平行四边形ABCD 中,AD=2,AB=3,∠BAD=π
3
,点M 在边AB 上,
且⃗AM = 1
3⃗AB,则⃗MC ·⃗MD=( )
A.2
B.3
C.-2
D.4
8.(2025 湖北黄冈模拟)如图,在平行四边形ABCD 中,已知⃗CE = 1
2⃗CD ,⃗AF = 1
3⃗AD,直线
BE,CF 交于点O,若⃗AB=a,⃗AD=b,则⃗AO=( )
A.3
8
a+1
4
b
B.3
5
a+4
5
b
C.1
3
a+2
3
b
D.5
8
a+3
4
b
二、选择题:本大题共3 小题,每小题6 分,共计18 分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025 山东泰安模拟)已知向量a=(3,-1),b=(1,2),则下列说法正确的有( )
A.a⊥b
B.|a+b|=❑√17
C.已知c=(t,1),若a∥c,则t=-3
D.a 与b 夹角的余弦值为
❑√2
5
10.(2025 安徽亳州模拟)已知任意两个不共线向量a,b,|a|=|b|,⃗OA=a+b,⃗OB=a+2b, ⃗OC
=a+λb,则下列选项正确的有( )
A.|⃗OA|<|⃗OB|
B.A,B,C 三点共线
C.若λ=4,则B 为AC 的中点
D.若λ=-1,则⃗OA ⊥⃗OC
11.(2025 江苏苏州模拟)任何一个复数z=a+bi(a,b∈R,i 为虚数单位)都可以表示成
z=r(cos θ+isin θ)(r≥0,θ∈R)的形式,通常称之为复数z 的三角形式.法国数学家棣莫弗发
现:[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ)(n∈N*),我们称这个结论为棣莫弗定理,则下列说
法正确的有( )
A.复数z=1-❑√3i 的三角形式为z=2(cosπ
3
+isinπ
3
)
B.当r=1,θ=π
2
时,z+z2+z3+…+z2 024=0
C.当r=2,θ=π
3
时,z3=-8
D.当r=3,θ=π
4
时,“n 为偶数”是“zn为纯虚数”的充分不必要条件
三、填空题:本大题共3 小题,每小题5 分,共计15 分.
12.(2025 湖南郴州模拟)定义:|a×b|=|a||b|·sin θ,其中θ 为向量a,b 的夹角.若a·b=8,tan
θ=2,则|a×b|= .
13.(2025 广东深圳模拟)已知i 为虚数单位,复数z=i-2i2+3i3-4i4+…+2 025i2 025,则z 的实部
与虚部之和为 .
14.(2025 安徽蚌埠二模)键线式可以简洁直观地描述有机物的结构,在有机化学中极其重
要.某有机物分子可以用如图所示的键线式表示,其结构简式可以抽象为如图所示的图形.
已知六边形ABCHIJ 与六边形CDEFGH 为全等的正六边形,且AB=4,点M 为正六边形
CDEFGH 内的一点(包含边界),则⃗AB·⃗AM的取值范围是 .
答案：
1.D 解析 因为复数z=a2-4+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,所以{
a
2- 4 =0,
a-2≠0, 由a2-4=0,得a=2 或
a=-2,由a-2≠0,得a≠2,所以a=-2.故选D.
2.B 解析 因为复数z 满足(1+2i)z=i2 025=i,所以z=
i
1+2i =
i(1-2i)
(1+2i)(1-2i) = 2+i
5
,可得z=
2
5 + 1
5
i,所以z = 2
5 −1
5
i,故z的虚部为-1
5 .故选B.
3.C 解析 由z(1+i)=2-3i 得z=2-3i
1+i =(2-3i)(1-i)
(1+i)(1-i)
=-1-5i
2
,则z 在复平面内所对应的
点为(-1
2
,-5
2
),位于第三象限.故选C.
4.A 解析 因为复数1-i,-1+2i 在复平面内对应的点为M(1,-1),N(-1,2),所以⃗OM=(1,-1),⃗
ON=(-1,2),所以⃗MN =⃗ON −⃗OM=(-1,2)-(1,-1)=(-2,3),则⃗MN对应的复数为-2+3i.故选A.
5.D 解析 将1-2i 代入x2+ax+b=0 有(1-2i)2+a(1-2i)+b=0,化简整理有(a+b-3)-
(4+2a)i=0,即{
a+b-3=0,
4+2a=0, 解得{
a=-2,
b=5, 所以|a+bi|=❑√a
2+b
2=
❑√(-2)
2+5
2= ❑√29.故选D.
6.D 解析 设向量a 和向量b 的夹角为θ,θ∈[0,π],因为向量a 在向量b 上的投影向量c
与向量b 方向相反,所以|a|cos θ=-|c|=-❑√3,即cos θ=-
❑√3
2
,所以θ=5 π
6 .故选D.
7.B 解析 因为⃗AM = 1
3⃗AB,所以⃗MD =⃗AD−⃗AM =⃗AD−1
3⃗AB ,⃗MC =⃗MB+⃗BC = 2
3⃗AB+⃗AD,
所以⃗MD·⃗MC=(⃗AD−1
3⃗AB)·(2
3⃗AB+⃗AD)=⃗AD
2+ 1
3⃗AD·⃗AB−2
9⃗AB
2=|⃗AD|2+1
3 |⃗AD||⃗AB|
cosπ
3 −2
9 |⃗AB|2=22+1
3 ×2×3× 1
2 −2
9 ×32=3.故选B.
8.D 解析 设⃗BO=λ⃗BE,则⃗AO =⃗AB+⃗BO =⃗AB+λ⃗BE =⃗AB+λ(⃗BC +⃗CE)=a+λ(b-1
2
a)=(1- λ
2
)a+λb,
又b=3⃗AF,a=⃗AC −⃗AD =⃗AC-3⃗AF,所以⃗AO=(1- λ
2
)(⃗AC-3⃗AF)+3λ⃗AF=(1- λ
2 )⃗AC+(9
2 λ-3)⃗
AF,
因为F,O,C 三点共线,所以1- λ
2 + 9
2 λ-3=1,解得λ=3
4
,所以⃗AO=(1- λ
2
)a+λb=5
8
a+3
4
b.故选D.
9.BC 解析 对于A,易知a·b=3-2=1≠0,所以a,b 不垂直,故A 错误;对于B,a+b=(3,-
1)+(1,2)=(4,1),可得|a+b|=❑√4
2+1
2= ❑√17,故B 正确;对于C,由c=(t,1)且a∥c 可得
3×1+t=0,解得t=-3,故C 正确;对于D,设a 与b 的夹角为θ,所以cos θ=
a·b
|a||b| =
1
❑√10×❑√5 =
1
5 ❑√2 =
❑√2
10
,故D 错误.故选BC.
10.ABD 解析 对于A,|⃗OA|2=⃗OA
2=(a+b)2=a2+2a·b+b2,|⃗OB|2=⃗OB
2
=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2,所以|⃗OB|2-|⃗OA|2=(a2+4a·b+4b2)-(a2+2a·b+b2)=3b2+2a·b>0,所以|⃗
OB|2>|⃗OA|2,所以|⃗OB|>|⃗OA|,故A 正确;对于B,由题意可得⃗AB =⃗OB−⃗OA=(a+2b)-
(a+b)=b,⃗AC =⃗OC −⃗OA=(a+λb)-(a+b)=(λ-1)b,所以⃗AC ∥⃗AB,故A,B,C 三点共线,故B 正确;
对于C,若B 为AC 的中点,则⃗AB =⃗BC,因为⃗AB=b,⃗BC =⃗OC −⃗OB=(a+λb)-(a+2b)=(λ-2)b,所
以λ-2=1,解得λ=3,故C 错误;对于D,若λ=-1,则⃗OA ·⃗OC=(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,故⃗OA ⊥⃗OC,
故D 正确.故选ABD.
11.BC 解析 复数z=1-❑√3i 的三角形式为z=2(cos5 π
3
+isin5 π
3
),故A 错误;当r=1,θ=π
2
时,
z=cosπ
2
+isinπ
2
=i,所以z+z2+z3+…+z2 024=0,故B 正确;当r=2,θ=π
3
时,z=2(cosπ
3
+isinπ
3
),z3=[2(cosπ
3
+isinπ
3
)]3=23(cos π+isin π)=-8,故C 正确;当r=3,θ=π
4
时,z=3(cosπ
4
+isinπ
4
),zn=[3(cosπ
4
+isinπ
4
)]n=3n(cosn π
4
+isinn π
4
),若zn为纯虚数,则{
cos n π
4 =0,
sin n π
4 ≠0,
则n π
4 = π
2
+kπ,
所以n=4k+2,k∈Z,虽然n=4k+2,k∈Z 是偶数,但是偶数还有n=4k,k∈Z 的形式的数,所以
“n 为偶数”是“zn为纯虚数”的必要不充分条件,故D 错误.故选BC.
12.16 解析 因为a·b=|a||b|cos θ=8,所以|a×b|=|a||b|sin θ=|a||b|cos θ·tan θ=16.
13.1 解析 z=i-2i2+3i3-4i4+…+2 025i2 025=i+2-3i-4+5i+…+2 025i,所以z 的实部与虚部
之和为(1+2-3-4)+(5+6-7-8)+…+2 025=-4× 2 024
4
+2 025=1.
14.[16,48] 解析 过点M 作直线AB 的垂线,垂足为M1,则⃗AB·⃗M 1 M=0,⃗
AM =⃗A M 1+⃗M 1 M,所以⃗AB·⃗AM =⃗AB·⃗AM 1,当点M 与点H 重合时,⃗AB·⃗AM取最小值⃗
AB·⃗AM min=4×4=16,当点M 与点E 重合时,⃗AB·⃗AM取最大值⃗AB·⃗AM max=4×12=48,所以⃗
AB·⃗AM的取值范围是[16,48].
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