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回顾 2 复数、平面向量
1.复数的相关概念及运算法则
(1)复数z=a+bi(a，b∈R)的分类
①z是实数⇔__________________；
②z是虚数⇔__________________；
③z是纯虚数⇔__________________.
(2)共轭复数
复数z=a+bi(a，b∈R)的共轭复数z=__________________.
(3)复数的模
复数z=a+bi(a，b∈R)的模|z|=_______________.
(4)复数相等的充要条件
a+bi=c+di __________________(a，b，c，d∈R).
特别地，a+bi=0 __________________(a，b∈R).
⇔
(5)复数的运算法则
⇔
加减法：(a+bi)±(c+di)=__________________；
乘法：(a+bi)(c+di)=__________________；
除法：(a+bi)÷(c+di)=__________________
__________________.(其中a，b，c，d∈R)
2.复数的几个常见结论
(1)(1±i)2=±2i.
1+i 1-i
(2) =i， =-i.
1-i 1+i
(3)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).
3.平面向量基本定理
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ ，
1 2 1
λ ，使a=λ e +λ e .若e ，e 不共线，我们把{e ，e }叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
2 1 1 2 2 1 2 1 2
4.向量a与b的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作⃗OA=a，⃗OB=b，则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b
的夹角.当θ=0时，a与b____________；当θ=π时，a与b___________.如果a与b的夹角是__________，
我们说a与b垂直，记作a⊥b.
5.平面向量的数量积
(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b=__________________.
(2)设a=(x ，y )，b=(x ，y )，则a·b=__________________.
1 1 2 26.两个非零向量平行、垂直的充要条件
若a=(x ，y )，b=(x ，y )，则
1 1 2 2
(1)a∥b a=λb(b≠0) __________________.
(2)a⊥b a·b=0 __________________.
⇔ ⇔
7.利用数量积求长度
⇔ ⇔
(1)若a=(x，y)，则|a|=√a·a=___________.
(2)若A(x ，y )，B(x ，y )，则
1 1 2 2
|⃗AB|=_________________________________.
8.利用数量积求夹角
设a，b为非零向量，若a=(x ，y )，b=(x ，y )，θ为a与b的夹角，
1 1 2 2
则cos θ=_______________=___________________.
9.三角形“四心”向量形式的充要条件
设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则：
(1)O为△ABC的外心⇔|⃗OA|=|⃗OB|=|⃗OC|=____________.
(2)O为△ABC的重心⇔⃗OA+⃗OB+⃗OC=0.
(3)O为△ABC的垂心⇔⃗OA·⃗OB=⃗OB·⃗OC=⃗OC·⃗OA.
(4)O为△ABC的内心⇔a⃗OA+b⃗OB+c⃗OC=__________________.
1.复数z=a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.
2.复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2=-1化简合并同类项.
( ⃗AB ⃗AC )
3.若⃗AP=λ + (λ∈(0，+∞))，则点P的轨迹过△ABC的内心.
|⃗AB| |⃗AC|
4.找向量的夹角时，需把向量平移到同一个起点，共起点容易忽视.答案精析
回归教材
1.(1)①b=0 ②b≠0 ③a=0且b≠0
(2)a-bi (3)√a2+b2
(4)a=c且b=d a=0且b=0 (5)(a±c)+(b±d)i
(ac-bd)+(ad+bc)i
ac+bd bc-ad
+ i
c2+d2 c2+d2
(c+di≠0)
π
4.同向 反向
2
5.(1)|a||b|·cos θ (2)x x +y y
1 2 1 2
6.(1)x y -x y =0
1 2 2 1
(2)x x +y y =0
1 2 1 2
7.(1)√x2+ y2
(2)√(x -x ) 2+(y - y ) 2
2 1 2 1
x x + y y
a·b
1 2 1 2
8.
|a||b| √x2+ y2√x2+ y2
1 1 2 2
a
9.(1) (4)0
2sinA
