北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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命题点 5 平面向量与复数
预测说明
平面向量是连接代数与几何的桥梁,由于其在数学中的工具特点,在试题的基础性、
综合性、灵活性、创新性、难度设计和区分度设计等方面提供了广泛的试题命制空间,
从考试题型看,一般以小题的形式呈现,偶尔在解答题中以向量为载体,考查与三角函数或
解析几何等的综合内容;复数部分主要考查复数的基本概念和基本运算等,主要以选择题
或填空题形式呈现.
命题方向:
1.考查对平面向量的基本概念、性质和运算法则的直接运用;与平面向量的线性运
算、数量积相结合的问题,命题主要突出向量的工具作用,强化数形结合思想.
2.复数主要是以四则运算为基础,考查对复数概念的理解以及运算求解能力,难度较
小.另外复数背景下的多选题将会成为一个新的命题点,重点考查复数代数形式的抽象运
算以及复数的性质等问题.
预测探究
识透高频考点
2+i
1.(2024浙江台州第二次质量评估,2)在复平面内,复数z= (i为虚数单位),则 (
i
B )
A.z的实部为2 B.|z|=√5
C.z=2-i D.z对应的点位于第一象限
2.(2024湖南常德模拟,6)已知平面向量a,b均为单位向量,且夹角为60°,若向量c与a,b共
面,且满足a·c=b·c=1,则|c|= ( B )
2√3
A.1 B. C.√3 D.2
3
3.(2024湖南邵阳第二次联考,5)“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图
形,如图所示,AB=2,CD=1,∠A=45°.点P在线段AB与线段BL上运动,则⃗EH·⃗FP的取值范
围为 ( C )
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A.[-4,6] B.[0,6] C.[0,8] D.[4,8]
4.(多选)(2024山东聊城二模,9)已知向量a=(-1,2),b=(1,λ),若b在a上的投影向量为a,则
(ACD)
A.λ=3 B.a∥b
C.a⊥(b-a) D.a与b的夹角为45°
5.(2024浙江名校协作体二模,12)已知复数1+i与3i在复平面内用向量⃗OA和⃗OB表示(其
π
中i是虚数单位,O为坐标原点),则⃗OA与⃗OB的夹角为 .
4
悟透新型考法
1.(多选)(2024广东梅州二模,9)已知z ,z 是复数,则下列说法正确的是 (ACD)
1 2
A.若z2 =0,则z =0 B.若z2 +z2 =0,则z =z =0
1 1 1 2 1 2
C.|z -i·z |=|z +i·z | D.若z2 =z2 ,则|z |=|z |
1 1 1 1 1 2 1 2
2.(2024广东汕头一模,13)已知△ABC外接圆的半径为1,圆心为点O,且满足4⃗OC=-2⃗OA
1 3
-3⃗OB,则cos∠AOB= ,⃗AB·⃗OA= - .
4 4
参透创新情境
1.(多选)(2024江苏苏州大学考前指导卷,9)任何一个复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位)都可
以表示成z=r(cos θ+isin θ)(r≥0,θ∈R)的形式,通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣
莫弗发现:[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ)(n∈N*),我们称这个结论为棣莫弗定理,则下
列说法正确的有 ( BC )
( π π)
A.复数z=1-√3i的三角形式为z=2 cos −isin
3 3
π
B.当r=1,θ= 时,z+z2+z3+…+z2 024=0
2
π
C.当r=2,θ= 时,z3=-8
3
π
D.当r=3,θ= 时,“n为偶数”是“zn为纯虚数”的充分不必要条件
4
2.(多选)(2024山西临汾第二次适应性训练,10)设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数
轴,e ,e 分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若⃗OP=xe +ye ,则把有序实数对(x,y)叫
1 2 1 2
做向量⃗OP在斜坐标系Oxy中的坐标,记作⃗OP=(x,y).则下列说法正确的是 (ABD)
A.若⃗OP=(2,1),则|⃗OP|=√7
( 1)
B.若⃗AB=(2,1),⃗BC= −1,− ,则A,B,C三点共线
2
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C.若⃗OP =(3,2),⃗OP =(2,-3),则⃗OP ⊥⃗OP
1 2 1 2
7√3
D.若⃗OA=(2,0),⃗OB=(0,3),⃗OC=(4,1),则四边形OACB的面积为
2
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