1
1.集合、常用逻辑用语、不等式
一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共计40 分.每小题给出的四个选项中,只有一个
选项是正确的.
1.(2025 浙江杭州模拟)已知集合A={3,4},B={x∈Z|x2-8x+12<0},则A∪B 中元素的个数
是( )
A.3
B.4
C.5
D.6
2.(2025 浙江嘉兴模拟)已知集合A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=2k+1,k∈N},则A∩B=( )
A.{x|x=6k-1,k∈N}
B.{x|x=6k+1,k∈N}
C.{x|x=6k+3,k∈N}
D.{x|x=6k+5,k∈N}
3.(2025 山东菏泽二模)已知a>1,b>1,且ab=4,则log2a·log2b 的最大值为( )
A.1
4
B.1
C.4
D.16
4.(2025 湖南沅澧共同体模拟)设集合A={(x,y)|x∈N*,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=9},则集
合A∩B 的子集的个数为( )
A.4
B.8
C.15
D.16
5.(2025 山东菏泽一模)“x>0”是“2x+ 1
2
x>2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.(2025 陕西西安二模)已知命题p:∃x∈R,3x=x3;命题q:∀x>0,x+1
x
>sin x,则( )
A.p 和¬q 都是真命题
B.¬p 和¬q 都是真命题
C.p 和q 都是真命题
D.¬p 和q 都是真命题
7.(2025 广东佛山模拟)图中阴影部分用集合符号可以表示为( )
2
A.B∩(A∪C)
B.B∩(A∩C)
C.B∩∁U(A∪C)
D.(A∪B)∩(B∪C)
8.(2025 湖南长沙模拟)命题p:∀x∈R,ax2+2x+5>0 为真命题的一个充分不必要条件是(
)
A.a<1
5
B.a>1
C.a≤1
5
D.a>1
5
二、选择题:本大题共3 小题,每小题6 分,共计18 分.在每小题给出的四个选项中,有多项
符合题目要求,全部选对的得6 分,部分选对的得部分分,有选错的得0 分.
9.(2025 山东临沂二模)已知a>b>c,则下列不等式正确的有( )
A. 1
a-c <
1
a-b
B.ab2>cb2
C.a+b>c
D.a2+c2>b2
10.(2025 湖南永州模拟)下列命题是真命题的有( )
A.“a>1”是“1
a
<1”的必要不充分条件
B.命题“∃x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是“∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1”
C.若a,b∈R,则b
a + a
b≥2√
b
a · a
b
=2
D.若a+b=0,则ea+eb≥2
3
11.(2025 浙江温州模拟)给定n∈N*,若集合P⊆{1,2,3,…,n},且存在a,b,c,d∈P,满足
a<b≤c<d,b-a=d-c,则称P 为“广义等差集合”.记P 中的元素个数为|P|,则下列选项正
确的有( )
A.{1,2,3}是“广义等差集合”
B.{1,3,4,6}是“广义等差集合”
C.若P 不是“广义等差集合”,当n=8 时,|P|的最大值为4
D.若P 不是“广义等差集合”,且|P|的最大值为4,则n 可以是13
三、填空题:本大题共3 小题,每小题5 分,共计15 分.
12.(2025 河北石家庄模拟)设p:m<x<m+2,q:1<x<3,若p 是q 的必要条件,则实数m 的取
值范围是 .
13.(2025 江苏南通模拟)已知二次不等式x2-bx+2b-3<0 的解集为(x1,x2), 1
x1
+ 1
x2
<2,则实数
b 的取值范围是 .
14.(2025 安徽蚌埠二模)柯西不等式在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不
等式:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc 时等号成立.已知a>0,b>0,直线y=x-2a 与
曲线y=ln(x+b)相切,则1
a + 1
b +√
1
a
2 + 1
b
2的最小值为 .
4
答案：
1.A 解析 集合A={3,4},B={x∈Z|x2-8x+12<0}={x∈Z|2<x<6}={3,4,5},则
A∪B={3,4,5},元素的个数是3.故选A.
2.C 解析 易知集合B 中的元素为全体正奇数,所以集合A∩B 中的元素为集合A 中的正
奇数,所以A∩B={x|x=3(2k+1),k∈N}={x|x=6k+3,k∈N}.故选C.
3.B 解析 log2a·log2b≤(lo g2a+lo g2b
2
)2=(lo g2ab
2
)2=1,当且仅当log2a=log2b=1,即
a=b=2 时,等号成立.故选B.
4.D 解析 因为集合A={(x,y)|x∈N*,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=9},所以集合A∩B 中元
素为(4,5),(3,6),(2,7),(1,8),共4 个.所以它的子集有24=16 个.故选D.
5.A 解析 因为2x>0,所以2x+ 1
2
x ≥2√
2
x· 1
2
x=2,当且仅当x=0 时等号成立,所以当x≠0 时,
2x+ 1
2
x>2,所以“x>0”是“2x+ 1
2
x>2”的充分不必要条件.故选A.
6.C 解析 当x=3 时,3x=x3成立,所以p:∃x∈R,3x=x3为真命题;因为∀x>0,x+1
x ≥2√x· 1
x
=2,当且仅当x=1
x
,即x=1 时,等号成立,而sin x≤1,所以q:∀x>0,x+1
x
>sin x 为真命题.所以
p,q 都是真命题,¬p,¬q 都是假命题.故选C.
7.A 解析 在阴影区域内任取一个元素x,则x∈(A∩B)或x∈(B∩C),故阴影部分所表示
的集合为B∩(A∪C)或者(A∩B)∪(B∩C),故A 正确.故选A.
8.B 解析 因为命题p 为真命题,所以ax2+2x+5>0 在R 上恒成立,故{
a>0,
Δ= 4 -20a<0,解
得a>1
5
,故命题p 为真命题的一个充分不必要条件为a>1.故选B.
9.AD 解析 对于A, 1
a-c -
1
a-b =(a-b)-(a-c )
(a-c )(a-b)
=
c -b
(a-c )(a-b)
,因为a>b>c,所以c-
b<0,a-c>0,a-b>0,即
c -b
(a-c )(a-b)
<0,所以1
a-c <
1
a-b
,故A 正确;对于B,取a>b=0>c,此
时ab2=cb2=0,故B 错误;对于C,取a=-1>b=-2>c=-3,则a+b=c=-3,故C 错误;对于D,若
a>b=0>c,则a2+c2>b2=0 显然成立,若a>b>0>c 或a>b>c>0,则a2+c2>a2>b2成立,若
a>0>b>c 或0>a>b>c,则a2+c2>c2>b2成立.综上所述,只要a>b>c,就一定有a2+c2>b2,故
D 正确.故选AD.
5
10.BD 解析 将不等式1
a
<1 化为1
a
-1<0,即1-a
a
<0,解得a>1 或a<0,因此“a>1”能推出
“ 1
a
<1”,反之则不成立,所以“a>1”是“ 1
a
<1”的充分不必要条件,故A 错误;易知命题
“∃x∈(0,+∞),ln x=x-1”的否定是“∀x∈(0,+∞),ln x≠x-1”,故B 正确;当a,b∈R 且异号时,
b
a + a
b
为负值,显然b
a + a
b ≥2√
b
a · a
b
=2 不成立,故C 错误;对于D,易知ea>0,eb>0,所以
ea+eb≥2√e
a·e
b=2√e
a+b=2,当且仅当a=b=0 时,等号成立,故D 正确.故选BD.
11.ABC 解析 对于A,取a=1,b=c=2,d=3,则符合“广义等差集合”的定义,故A 正确;
对于B,取a=1,b=3,c=4,d=6,则b-a=d-c=2,故B 正确;对于C,当n=8 时,P⊆{1,2,3,…,8},若|
P|=5,设P={a1,a2,a3,a4,a5},a1<a2<a3<a4<a5,由题意可知a2-a1,a3-a2,a4-a3,a5-a4两两不相同,
则a5-a1=(a5-a4)+(a4-a3)+(a3-a2)+(a2-a1)≥1+2+3+4=10,与n=8 矛盾,故|P|<5,当|P|=4 时,
取P={1,2,4,8},满足P 不是“广义等差集合”,故|P|的最大值为4,故C 正确;对于D,当
n=13 时,取P={1,2,4,8,13},满足P 不是“广义等差集合”,这与|P|max=4 矛盾,故D 错误.
故选ABC.
12.{1} 解析 因为p 是q 的必要条件,所以{x|1<x<3}⊆{x|m<x<m+2},所以{
m+2≥3,
m≤1, 解
得m=1,则实数m 的取值范围是m∈{1}.
13.(-∞,3
2
)∪(6,+∞) 解析 因为二次不等式x2-bx+2b-3<0 的解集为(x1,x2),所以x2-
bx+2b-3=0 的两实数根为x1,x2,则{
Δ=b
2- 4(2b-3)>0,
x1+ x2=b,
x1 x2=2b-3,
所以(b-6)(b-2)>0 且
1
x1
+ 1
x2
= x1+ x2
x1 x2
=
b
2b-3<2,整理得(b-6)(b-2)>0 且b-2
2b-3>0,等价于(b-6)(b-2)>0 且(b-2)
(2b-3)>0,解得b>6 或b<3
2 .
14.10 解析 由y=ln(x+b),得y'= 1
x +b
,设切点为(x0,y0),则
1
x0+b=1,故x0=1-b,
又y0=x0-2a,y0=ln(x0+b),所以y0=ln(x0+b)=0,x0-2a=0,所以2a+b=1,
6
所以1
a + 1
b +√
1
a
2 + 1
b
2 = 1
a + 1
b +√
( 1
a
2 + 1
b
2 )( 16
25 + 9
25 )≥1
a + 1
b + 4
5a + 3
5b = 9
5a + 8
5b=( 9
5a + 8
5b)
(2a+b)=18
5 + 8
5 + 9b
5a + 16a
5b ≥26
5
+2√
9b
5a · 16a
5b
=10,
当且仅当3
5a = 4
5b , 9b
5a = 16a
5b ,即a= 3
10,b=2
5时两个等号均成立,所以1
a + 1
b +√
1
a
2 + 1
b
2的最小
值为10.
