文档文本内容
模块一 基础知识（集合、常用逻辑用语、不等式、复数）
（测试）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知集合A={1,2},B={2,3},C={2,4}，则(A∩B)∪C=（ ）
A．{1,2} B．{2}
C．{2,4} D．{1,2,3,4}
2．设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是（ ）
1 1 1 1 a+2 a
A．
a2>b2
B．
a
−c<
b
−c C．
b+2
>
b
D．ac2<bc2
3．（2024·吉林·模拟预测）已知 是 的导函数，则“ ”是“ 是函数 的一
y=f'(x) y=f (x) f' (x )=0 x y=f (x)
0 0
个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数y=log (x−1)+1（a>0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A
a
4 1
在直线mx+ny−1=0上，则 + 的最小值为（ ）
m n
A．13 B．8√2 C．9+4√2 D．8
z
5．（2024·湖南衡阳·一模）复数z满足z+z=|z|，则 的实部为（ ）
|z|
√3 √3 1 1
A． B．− C． D．−
2 2 2 2
6．（2024·江西新余·模拟预测）已知集合A、B、C为全集U的子集，A∩B= ∁ C≠∅，则
U
(A∪B)∩C=（ ）.A． B．
A∪(B∩C) (∁ A)∩(∁ B)
U U
C． D．
[
∁
(A∩B)]∩(A∪B) [
∁
(A∪B)]∪(A∩B)
U U
7．（2024·福建宁德·模拟预测）若正实数a，b满足a+b=2，则下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为2 B．√a+√b的最大值为4
8
C．a2+b2的最小值为1 D．2a2+b2的最小值为
3
8．[新考法]（2024·高三·上海黄浦·期末）已知复数z=a+bi（a、b∈R，i是虚数单位），z ，z ∈C，
1 2
定义： ， ．给出下列命题：
D(z)=‖z‖=|a|+|b| D(z ,z )=‖z −z ‖
1 2 1 2
①对任意z∈C，都有D(z)>0；
②若z是复数z的共轭复数，则D(z)=D(z)恒成立；
③若 （ 、 ），则 ；
D(z )=D(z ) z z ∈C z =z
1 2 1 2 1 2
④对任意 、 、 ，结论 恒成立．
z z z ∈C D(z ,z )≤D(z ,z )+D(z ,z )
1 2 3 1 3 1 2 2 3
则其中真命题是（ ）．
A．①②③④； B．②③④； C．②④； D．②③．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024·高三·河北·期中）已知复数z满足z=2−i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．|z|=√5
B．z=2−i
C．z在复平面内对应的点位于第四象限
D．z2+4z−11=0
a2+b2+13
10．（2024·广东茂名·一模）若a>0，b>0，ab=2，则 的值可以为（ ）
a+b
A．2√13 B．6 C．4√2 D．3
11．[新考法]（2024·吉林长春·模拟预测）对于集合A，若∀x∈A,2−x∈A，则称A为对偶互存集，
则下列为对偶互存集的是（ ）
A．{−1,0,1,2,3} B．¿C．¿ D．¿
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024·甘肃武威·一模）命题“∃x∈[1,4]，使λx2+x−2>0成立”的否定命题是 .
13．（2024·吉林·模拟预测）复数z满足|z−5|=|z−1|=|z+i|，则|z|= .
14．（2024·河南信阳·一模）已知不等式ax2+(a+2)x+c>0的解集为{x|−1<x<2}，则函数
的定义域为 .
y=√ax2+cx
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
（2024·安徽·模拟预测）已知集合 .
A={x∣x2+x−6<0},B={x∣1−m<x<2m+3}
(1)若A∩B=A，求实数m的取值范围；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
16．（15分）
z
已知z是复数,z+2i与 均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai) 2在复平面上对应点在第一象限.
2−i
(1)求z的值;
(2)求实数a的取值范围.17．（15分）
某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处
理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示
1
为y= x2−200x+80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.
2
(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使
该单位不亏损？
18．（17分）
已知全集为R，关于x的不等式：x2+(a+3)x+2a+b≥0的解集为M，
(1)若M={x|x≤1或x≥4}，求a，b的值；
(2)若b=2，记M的补集为M，M中恰好有3个整数，求实数a的取值范围；
(3)若b=1，集合N=[0,+∞)，且满足N⊆M，求实数a的取值范围.
19．（17分）
y2
若至少由两个元素构成的有限集合A⊆N∗，且对于任意的x,y∈A(x>y)，都有 ∈A，则称
x−y
A为“L−集合”．
(1)判断{1,2,4}是否为“L−集合”，说明理由；
(2)若双元素集M为“L−集合”，且4∈M，求所有满足条件的集合M；
(3)求所有满足条件的“L−集合”．
