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专题04 首届新高考-概率统计大题综合（首届新高考江西、
广西、贵州、甘肃专用）
一、解答题
1．（2023·山东日照·三模）某学校有 两家餐厅，王同学第一天午餐时随机的选择
一家餐厅用餐.如果第一天去 餐厅，那么第二天去 餐厅的概率为0.6；如果第一天
去 餐厅，那么第二天去 餐厅的概率为0.8.
(1)计算王同学第二天去 餐厅用餐的概率；
(2)王同学某次在 餐厅就餐，该餐厅提供5种西式点心， 种中式点心，
王同学从这些点心中选择3种点心，记选择西式点心的种数为 ，求 的最大
值，并求此时 的值.
2．（2023·云南保山·统考二模）中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族
医药的统称，是具有悠久历史传统和独特理论技术方法的医药体系，长期呵护着我们
的健康，为中华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某味中药的药用量
x（单位：克）与药物功效 （单位：药物功效单位）之间具有关系 .
(1)估计该味中药的最佳用量与功效；
(2)对一批含有这昧中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为6克，
标准差为2，估计这批合成药的药物功效 的平均值.
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）数据报告显示，2018-2022年期间，某公司旗下一款
软件产品的年度活跃用户数每年都保持着较为稳定的增长态势，具体数据如下表.
年份代码 1 2 3 4 5
活跃用户数 （单位：亿） 11.51 12.25 12.58 13.67 18.01
(1)根据上表的数据，可用函数模型 拟合 与 的关系，请建立 关于 的回
归方程（计算 的值时精确到0.01），并预测2025年的活跃用户数；
(2)公司规定，活跃用户数大于12.00（单位：亿）的年份为“企业腾飞年”.在企业腾飞年中，将活跃用户数低于13.00的视为良好，赋1分；将活跃用户数不低于13.00的
视为优秀，赋2分.现从企业腾飞年中任取两年，用 表示赋分之和，求 的分布列和
数学期望.
（参考数据： ， ， ）
4．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）某学校为了解学生对航天知识的
知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学
生的测试成绩，按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如下所
示的样本频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的平均数；
(2)从测试成绩在[90，100]的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随
机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加
选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互
独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为 ，求 的分布列及期望．
5．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）移动物联网广泛应用于生产制造、公共
服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达 亿户，成为
全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．下图是2018-2022年移动物联网连接
数 与年份代码 的散点图，其中年份2018-2022对应的 分别为1~5．
(1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到 ），并推
断它们的相关程度；
(2)求 关于 的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数．附：样本相关系数 ， ， ，
6．（2023·江苏·金陵中学校联考三模）一只不透朋的袋中装有10个相同的小球，分别
标有数字0~9，先后从袋中随机取两只小球.用事件A表示“第二次取出小球的标号是
2”，事件B表示“两次取出小球的标号之和是m”.
(1)若用不放回的方式取球，求 ；
(2)若用有放回的方式取球，求证：事件A与事件B相互独立的充要条件是 .
7．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）某大学平面设计专业的报考人数
连创新高，今年报名已经结束．考生的考号按0001，0002， 的顺序从小到大依次
排列．某位考生随机地了解了50个考生的考号，具体如下：
0400 0904 0747 0090 0636 0714 0017 0432 0403 0276
0986 0804 0697 0419 0735 0278 0358 0434 0946 0123
0647 0349 0105 0186 0079 0434 0960 0543 0495 0974
0219 0380 0397 0283 0504 0140 0518 0966 0559 0910
0558 0442 0694 0065 0757 0702 0498 0156 0225 0327
(1)据了解，这50名考生中有30名男生，20名女生．在某次模拟测试中，30名男生平
均分数是70分，样本方差是10，20名女生平均分数是80分，样本方差是15，请求出
此50人该次模拟考试成绩的平均分和方差；（考生个人具体分数不知晓）
(2)请根据这50个随机抽取的考号，帮助这位考生估计考生总数N，并说明理由．
8．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）为了丰富学生的课外活动，学校
羽毛球社团举行羽毛球个人赛，有甲、乙、丙、丁四位同学参加，甲与其他三人各进
行一场比赛，共进行三场比赛，而且三场比赛相互独立.根据甲最近分别与乙、丙、丁
比赛的情况，得到如下统计表：
乙 丙 丁
比赛的次数 60 60 50
甲获胜的次数 20 30 40
以上表中的频率作为概率，求解下列问题.
(1)如果甲按照第一场与乙比赛、第二场与丙比赛、第三场与丁比赛的顺序进行比赛.
（ⅰ）求甲至少胜一场的概率；（ⅱ）如果甲胜一场得2分，负一场得0分，设甲的得分为 ，求 的分布列与期望；
(2)记“甲与乙、丙、丁进行三场比赛中甲连胜二场”的概率为 ，那么以什么样的出
场顺序才能使概率 最大，并求出 的最大值.
9．（2023·山东威海·统考二模）乒乓球被称为中国的“国球”．20世纪60年代以来，
中国乒乓球选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军，甚至多次包揽整个赛事的所有冠
军．乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2
球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2
分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成 平后，发球权的次序仍然不变，但
实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束．现有甲、乙两
人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 ，乙发球时甲得分的概率为
，各球的结果相互独立，已知某局比赛甲先发球．
(1)求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率；
(2)求该局比赛结束时，双方比分打成 且甲获胜的概率；
(3)若在该局双方比分打成 平后，两人又打了X个球该局比赛结束，求事件“
”的概率．
10．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）某市为了更好的了解全体中小学生感染新
冠感冒后的情况，以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检
测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为
，并以此为样本得到了如下图所示的表格：
疼痛指数
人数（人） 10 81 9
无症状感染
名称 轻症感染者 重症感染者
者
其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者.
(1)统计学中常用 表示在事件A发生的条件下事件 发生的似然比.现从样
本中随机抽取1名学生，记事件 ：该名学生为有症状感染者，事件 ：该名学生为
重症感染者，求似然比 的值；
(2)若该市所有抗原检测为阳性的中小学生的疼痛指数 近似的服从正态分布，且 .若从该市众多抗原检测为阳性的中小学生中随机抽取3
名，设这3名学生中轻症感染者人数为 ，求 的分布列及数学期望.
11．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）为纪念中国共产党成立102周年，
加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，
坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，我校举办了党史知识竞赛．竞赛规则是：
两人一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获
得一个积分．已知甲乙两名同学一组，甲同学和乙同学对每道题答对的概率分别是
和 ，且每道题答对与否互不影响．
(1)若 ，求甲乙同学这一组在一轮竞赛中获得一个积分的概率；
(2)若 ，且每轮比赛互不影响，若甲乙同学这一组想至少获得7个积分，那
么理论上至少要进行多少轮竞赛？
12．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）杭州2022年第19届亚运会
（The 19th Asian Games Hangzhou 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本
届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持
40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个
新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．
传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队
伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队
伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的
胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者
组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败
者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进
入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜
者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失
败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对
强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为 ，其中 对阵其他三个队伍获胜概率均为 ，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为 ．最初分组时
同组， 同组．
(1)若 ，在淘汰赛赛制下， 获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下 获得冠军的概率（用 表示），并据此简单分析一下双败赛
制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
13．（2023·湖南·校联考模拟预测）为了让学生了解毒品的危害，加强禁毒教育，某校
组织了全体学生参加禁毒知识竞赛，现随机抽取50名学生的成绩（满分100分）进行
分析，把他们的成绩分成以下6组： ， ， ， ， ，
．整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中a的值并估计全校学生的平均成绩μ．（同一组中的数据用该组区间的中点
值作代表）
(2)在（1）的条件下，若此次知识竞赛得分 ，为了激发学生学习禁毒知
识的兴趣，对参赛学生制定如下奖励方案：得分不超过57分的不予奖励，得分超过57
分但不超过81分的可获得学校食堂消费券5元，得分超过81分但不超过93分的可获
得学校食堂消费券10元，超过93分可获得学校食堂消费券15元．试估计全校1000名
学生参加知识竞赛共可获得食堂消费券多少元．（结果四舍五入保留整数）
参考数据： ， ，
．
14．（2023·广东韶关·统考模拟预测）研究表明，如果温差太大，人们不注意保暖，可能会导致自身受到风寒刺激，增加感冒患病概率，特别是对于儿童以及年老体弱的人
群，要多加防范.某中学数学建模社团成员研究了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就
诊人数多少之间的关系，他们记录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天
学生新增感冒就诊的人数，得到数据如下：
第一 第四
日期 第二天 第三天 第五天 第六天
天 天
昼夜温差 （℃） 4 7 8 9 14 12
新增感冒就诊人数 (位)
参考数据： ， .
(1)已知第一天新增感冒就诊的学生中有 位男生，从第一天新增的感冒就诊的学生中
随机抽取 位，其中男生人数记为 ，若抽取的 人中至少有一位女生的概率为 ，
求随机变量 的分布列和数学期望；
(2)已知两个变量 与 之间的样本相关系数 ，请用最小二乘法求出 关于 的经
验回归方程 ，据此估计昼夜温差为 时，该校新增感冒就诊的学生人数.
参考公式： ， .
15．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）中日围棋擂台赛是由中国围
棋队与日本围棋队各派若干名棋手，以擂台制形式举行的围棋团体赛.这是中国和国外
开设的最早的围棋对抗赛，由中国围棋协会、日本棋院和中国《新体育》杂志社联合
举办，日本电器公司（NEC）赞助，因此也称NEC杯中日围棋擂台赛.该赛事从1984
年开始至1996年停办，共进行了11届，结果中国队以7比4的总比分获胜.该赛事对
中国围棋甚至世界围棋发展产生了很大影响，被认为是现代围棋最成功的比赛之一.中
日围棋擂台赛由中日双方各派同样数量的若干名棋手组成队伍，两队各设一名主帅，
采用打擂台的形式，决出最后的胜负.比赛事先排定棋手的上场顺序（主帅最后上场），
按顺序对局，胜者坐擂，负方依次派遣棋手打擂，直至一方“主帅”被击败为止.设中、
日两国围棋队各有 名队员，按事先排好的顺序进行擂台赛，中国队的 名队员按出场的先后顺序记为 ；日本队的 名队员按出场的先后顺序记为 .假设
胜 的概率为 （ 为常数）.
(1)当 时，若每个队员实力相当，求中国队有四名队员被淘汰且最后战胜日本队的
概率；
(2)记中国队被淘汰 人且中国队获得擂台赛胜利的概率为 ，求 的
表达式；
(3)写出中国队获得擂台赛胜利的概率 的表达式（不用说明理由）.
16．（2023·江苏盐城·盐城中学校考三模）2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在
我国射击也是一项历史悠久的运动.某射击运动爱好者甲来到靶场练习.
(1)已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有 发子弹，甲每次打靶的命中
率均为 ，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击.记标靶上的子弹数量为随
机变量 ，求 的分布列和数学期望；
(2)若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有 发为实
弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包
弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行 次射击后，记弹巢中空包弹的
发数为 ，
①当 时，请直接写出数学期望 与 的关系；
②求出 关于 的表达式.
17．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）某市为了传承发展中华优秀传统文化，
组织该市中学生进行了一次数学知识竞赛.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽
取100名学生的竞赛成绩（单位：分），并以此为样本绘制了如下频率分布直方图.(1)求该100名学生竞赛成绩的中位数；（结果保留整数）
(2)从竞赛成绩在 的两组的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，
现从这10人中随机抽取3人，记竞赛成绩在 的学生人数为 ，求 的分布列
和数学期望 ；
(3)以样本的频率估计概率，从 随机抽取20名学生，用 表示这20名学生中
恰有 名学生竞赛成绩在 内的概率，其中 ．当 最大时，求
.
18．（2023·云南·校联考模拟预测）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学
习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会
的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.为了了解全
民对于“学习强国”使用的情况，现从某单位全体员工中随机抽取3人做问卷调查.已
知某单位有 名员工，其中 是男性， 是女性.
(1)当 时，求抽出3人中男性员工人数 的分布列和数学期望；
(2)我们知道，当总量 足够大而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现
在全市范围内考虑.从 名员工（男女比例不变）中随机抽取3人，在超几何分布中男
性员工恰有2人的概率记作 ；在二项分布中（即男性员工的人数 ）男性
员工恰有2人的概率记作 .那么当 至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001（即 ）的前提下认为超几何分布近似为二项分布.（参考数据：
）
19．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）生产某种特殊零件的废品率为
（ ），优等品的概率为0.4，若20个此特殊零件中恰有4件废品的概率为
，设 的最大值点为 ．
(1)求 ；
(2)若工厂生产该零件的废品率为 ．
（ⅰ）从生产的产品中随机抽取 个零件，设其中优等品的个数为 ，记
， ，已知 时优等品概率 最大，求 的最小值；
（ⅱ）已知合格率为 ，每个零件的生产成本为80元，合格品每件售价150元，同
时对不合格零件进行修复，修复为合格品后正常售卖，若仍不合格则以每件10元的价
格出售，若每个不合格零件修复为合格零件的概率为0.5，工厂希望一个零件至少获利
50元，试求一个零件的修复费用最高为多少元．
20．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，
第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在
一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率（结果用分数表示）；
(3)参照第（2）问给出判断，求第1，2，3台车床操作员对加工次品分别应承担的份额.
21．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）在上海举办的第五届中国国际进
口博览会中，一款无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注，成为了进博会的“明星
展品”．体积仅有维生素胶囊大小，体积比传统心脏起搏器减小93%，重量仅约2克，
拥有强大的电池续航能力，配合兼容1.5T/3.0T全身核磁共振扫描检查等创新功能．在
起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片生产，试产期每天都需同步进
行产品检测，检测包括智能检测和人工检测，选择哪种检测方式的规则如下：第一天
选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”和“1”，连续生成4次，
把4次的数字相加，若和小于3，则该天的检测方式和前一天相同，否则选择另一种检
测方式．(1)求该企业前三天的产品检测选择智能检测的天数X的分布列；
(2)当地政府为了检查该企业是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：设
表示事件“第n天该企业产品检测选择的是智能检测”的概率，若
恒成立，认为该企业具有一定的智能化管理水平，将给予该企业一定的奖励资金，否
则将没有该项奖励资金．请问该企业能拿到奖励资金吗？请说明理由．
22．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）某中学对学生钻研理工课
程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程超过6小时的学生称为“理工迷”，否
则称为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：
理工迷 非理工迷 总计
男 24 36 60
女 12 28 40
总
36 64 100
计
(1)根据 的独立性检验，能否认为“理工迷”与性别有关联？
(2)在人工智能中常用 表示在事件 发生的条件下事件 发生的优势，
在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人， 表示“选到的学生是非理工迷”，
表示“选到的学生是男生”请利用样本数据，估计 的值.
(3)现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出6人组成一个小组，从抽取的6
人里再随机抽取3人参加理工科知识竞赛，求这3人中，男生人数 的概率分布列及
数学期望.
参考数据与公式：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
，其中 .
23．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）现有4个除颜色外完全一样的小
球和3个分别标有甲、乙、丙的盒子，将4个球全部随机放入三个盒子中（允许有空
盒）．(1)记盒子乙中的小球个数为随机变量 ，求 的数学期望；
(2)对于两个不互相独立的事件 ，若 ，称
为事件 的相关系数．
①若 ，求证： ；
②若事件 盒子乙不空，事件 至少有两个盒子不空，求 ．
24．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）在2005年世青赛中，被称作“超白金
一代”的中国男足U23代表队打出了中国男足在世界舞台上的最好表现．球队的战术
核心，来自沈阳的陈涛入选了奏事最佳阵容．世青赛的赛制分为小组赛、淘汰赛两个
阶段．小组赛中，参赛的32支代表队被分为8各小组，每个小组4支球队，按照单循
环赛制选出两支球队进入淘汰赛．淘汰赛中16支球队捉对厮杀，败者淘汰胜者晋级，
通过4轮比赛决出最后的冠军．
(1)已知在小组赛中，每赢一场记3分，打平一场记1分，输一场记0分．小组赛阶段
中国队与巴拿马、土耳其、乌克兰三支球队分在同一组．首战中中国队惊险战胜了欧
洲亚军土耳其队，在小组赛占据了优势．面对后两场比赛的对手乌克兰队和巴拿马对，
根据赛前球探报告分析，中国队都有实力优势，可以近似认为后两场比赛中国的获胜
的概率都为0.5，打平的概率都为0.2，输球的概率都为0.3．设中国队三场小组赛之后
的总积分为随机变量X，求出其分布列和期望．
(2)10号队员陈涛作为中国队的进攻核心，他的表现对中国队而言举足轻重．过往数据
表示，在所有陈涛出场并且有进球或者助攻的比赛中，中国队赢得了其中80%的场次，
陈涛在其代表中国队出场的40场比赛中，有30场比赛完成了进球或者助攻．在本届
比赛中，中国队在小组赛中顺利出线，淘汰赛首轮中对阵世界足坛的传统强队德国队．
已知在淘汰赛对阵德国队的比赛中，陈涛代表中国队出场比赛，虽然经过全队不懈努
力，仍然不敌强大的德国队，遗憾告别世界杯．那么，若以过往的数据估计概率，请
估计陈涛在本场比赛贡献进球或者助攻的概率．
25．（2023·浙江·校联考三模）为贯彻落实习近平总书记关于学生近视问题的指示精神
和《教育等八部门关于印发<综合防控儿童青少年近视实施方案>的通知》以及《中国
防治慢性病中长期规划（2017-2025年）》等文件要求，切实提升我省儿童青少年视力
健康整体水平，实施了，“明眸”工程.各中小学为推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查.其校为研究本校的近视情况与本校学生是否有长时间使
用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生
中随机调查了100人，得到如下数据：
长时间使用电子产品 非长时间使用电子产品
近视 45 55
未近
20 80
视
(1)能否有99%的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关？
(2)据调查，某校患近视学生约为46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为30%，
这些人的近视率约为60%.现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，
求他患近视的概率.
附： ，其中 .
0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
26．（2023·福建厦门·统考模拟预测）甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环小组赛，比
赛分三轮，每轮两场比赛，具体赛程如下表：
第一
甲VS乙 丙VS丁
轮
第二
甲VS丙 乙VS丁
轮
第三
甲VS丁 乙VS丙
轮
规定：每场比赛获胜的球队记3分，输的球队记0分，平局两队各记1分，三轮比赛
结束后以总分排名.总分相同的球队以抽签的方式确定排名，排名前两位的球队出线.假
设甲、乙、丙三支球队水平相当，彼此间胜、负、平的概率均为 ，丁的水平较弱，
面对其他任意一支球队胜、负、平的概率都分别为 ， ， .每场比赛结果相互独立.
(1)求丁的总分为7分的概率；判断此时丁能否出线，并说明理由；
(2)若第一轮比赛结束，甲、乙、丙、丁四支球队积分分别为3，0，3，0，求丁以6分
的成绩出线的概率.
27．（2023·山东泰安·统考模拟预测）现有一种不断分裂的细胞 ，每个时间周期内分裂一次，一个 细胞每次分裂能生成一个或两个新的 细胞，每次分裂后原 细
胞消失，设每次分裂成一个新 细胞的概率为 ，分裂成两个新 细胞的概率为 ；
新细胞在下一个周期 内可以继续分裂，每个细胞间相互独立.设有一个初始的 细胞，
在第一个周期 中开始分裂，其中 .
(1)设 结束后， 细胞的数量为 ，求 的分布列和数学期望；
(2)设 结束后， 细胞数量为 的概率为 .
（i）求 ；
（ii）证明： .
28．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）甲、乙两人组团参加答题挑战赛，规
定：每一轮甲、乙各答一道题，若两人都答对，该团队得1分；只有一人答对，该团
队得0分；两人都答错，该团队得－1分．假设甲、乙两人答对任何一道题的概率分别
为 ， ．
(1)记X表示该团队一轮答题的得分，求X的分布列及数学期望 ；
(2)假设该团队连续答题n轮，各轮答题相互独立．记 表示“没有出现连续三轮每轮
得1分”的概率， ，求a，b，c；并证明：答题轮数越多
（轮数不少于3），出现“连续三轮每轮得1分”的概率越大．
29．（2023·浙江·校联考模拟预测）为了解中学生的阅读情况，现随机抽取了某重点中
学100人，调查他们是否喜爱阅读，统计人数如下表：
喜爱阅
不喜爱阅读 共计
读
女生 45 50
男生 15共计
(1)根据 列联表中数据判断是否有 的把握认为“喜爱阅读与性别有关”？
(2)现进行一项阅读答题测试，测试规则：若该同学连续三次答对，则测试通过，答题
结束；若出现连续两次答错，则未通过测试，答题结束.其余情况下可以一直答题，直
至出现前面两种情况.已知该同学每次答对的概率为 ，求该同学通过测试的概率.
参考附表：
0.050 0.025 0.010
3.841 5.024 6.635
参考公式： ，其中
30．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在一个典型的数字通信系统中，
由信源发出携带着一定信息量的消息，转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传
送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信道中存在干扰，从而造成
传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值 的随
机变量，分别记作 和 .条件概率 ，描述了输入信号
和输出信号之间统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量 的平均信息量定义
为： .当 时，信道疑义度定义为
(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次
骰子向上的面出现的点数 的平均信息量 ；(2)设某信道的输入变量 与输出变量 均取值0，1.满足：
.试回答以下问题：
①求 的值；
②求该信道的信道疑义度 的最大值.
