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专题一 三角函数与解三角形
第3 讲 平面向量与解三角形
一、考点透析
考点1 平面向量运算
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系
中，
，
.设
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先根据
，求出
，进而可以用向量
表示出
，
即可解出．
【详解】因为
，
，
由
平方可得，
，所以
．
，
，
所以，
，
又
，即
，
所以
，即
，
故选：D.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得
，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，
解出即可.
【详解】
，因为
，则
，
则
，解得
.
则
，则
.
故答案为：
.
3．（2025·天津·高考真题）
中，D 为AB 边中点，
，则
（用
，
表示），若
，
，则
【答案】
；
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为
，所以
，所以
．
因为D 为线段
的中点，所以
；
又因为
，所以
，
，所以
所以
，
所以
．
故答案为：
；
.
考点2 正余弦定理的直接应用
1．（2025·全国二卷·高考真题）在
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由余弦定理
直接计算求解即可.
【详解】由题意得
，
又
，所以
.
故选：A
2．（多选题2025·全国一卷·高考真题）已知
的面积为
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】对
由二倍角公式先可推知A 选项正确，方法一分情况
比较
和
的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解
决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用
算出
取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项.
【详解】
，由二倍角公式，
，
整理可得，
，A 选项正确；
由诱导公式，
，
展开可得
，
即
，
下证
.
方法一：分类讨论
若
，则
可知等式成立；
若
，即
，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，
，同理
，
又
，于是
，
与条件不符，则
不成立；
若
，类似可推导出
，则
不成
立.
综上讨论可知，
，即
.
方法二：边角转化
时，由
，则
，
于是
，
由正弦定理，
，
由余弦定理可知，
，则
，
若
，则
，注意到
，则
，
于是
（两者同负会有两个钝角，不成立），于是
，
结合
，而
都是锐角，则
，
于是
，这和
相矛盾，
故
不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由
，结合正弦定理可得，
，由射影定理可得
，于是
，
则
，可同方法一种讨论的角度，推出
，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
，可知
同时为
或者异号，即
，展开可得，
，
即
，结合和差化积，
，由上
述分析，
，则
，则
，则
，即
，于是
，可知
.
由
，由
，则
，即
，
则
，同理
，由上述推导，
，则
，
不妨设
，则
，即
，
由两角和差的正弦公式可知
，C 选项正确
由两角和的正切公式可得，
，
设
，则
，
由
，则
，则
，
于是
，B 选项正确，由勾股定理可知，
，D 选项错误.
故选：ABC
3．（2025·天津·高考真题）在
中，角
的对边分别为
．已知
，
，
．
(1)求A 的值；
(2)求c 的值；
(3)求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；
（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于
的方程，求解可得
，进而求得；
（3）利用正弦定理先求
，再由二倍角公式分别求
，由两角和的正弦可得.
【详解】（1）已知
，由正弦定理
，
得
，显然
，
得
，由
，
故
；
（2）由（1）知
，且
，
，
由余弦定理
，
则
，
解得
（
舍去），
故
；
（3）由正弦定理
，且
，
得
，且
，则
为锐角，
故
，故
，
且
；
故
.
考点3 平面向量和正余弦定理综合应用
1．已知
是
的中线BD 上一点（不包含端点），且
，则下列结论
正确的是（ ）
A．
B．
的最大值为
C．
的最小值为4
D．
的最小值为
【答案】ABC
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、平面向量共线定理的推论、基本
不等式“1”的妙用求最值
【分析】依题意可得
，根据平面向量共线定理的推论得到
，再
利用基本不等式一一判断即可.
【详解】因为
为边
的中点，所以
，
又
，
，
共线，所以
，所以A 项正确；
对于B 项，因为
0，所以
，可得
，
当且仅当
时等号成立，所以
的最大值为
，所以B 项正确；
对于C 项，
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
的最小值为4，所以C 项正确；
对于D 项，由
得
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
所以
的最小值为
，所以D 项错误.
故选：ABC.
2．已知向量
，
，函数
，将函
数
的图象向右平移
个单位长度可得到
的图象.
(1)求函数
的解析式；
(2)设锐角
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，且
，求
周长的最大值.
【答案】(1)
(2)12
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式、余弦定理解三角形、基本（均
值）不等式的应用
【分析】（1）利用平面向量数量积的计算公式，结合辅助角公式，求出
的解析式，
再根据图象的平移，可求
的解析式.
（2）由
和
为锐角三角形，求出角
，再利用余弦定理结合基本（均值）不
等式，可求
周长的最大值.
【详解】（1）因为
.
所以
.
（2）由
，
所以
或
，所以
或
，
又因为
为锐角三角形，所以
.
由余弦定理：
.
又
，所以
（当且仅当
时取“
”），
此时，
的周长取得最大值，为
.
3．（2025·河北张家口·三模）在
中，内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)若
的外接圆面积为
，且
，
，求
的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角形的性质及同角三角函数基本关系将条件化为
，然后利用正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得
解；
（2）由正弦定理可得
，由余弦定理及
得
，利用
及向量的线性运算得
，结合数量积的运算律，利用
向量模的运算公式求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以
，所以
，
所以
，
由正弦定理可知
，即
，
又由余弦定理可知
，
又
，则
；
（2）由
的外接圆面积为
，得外接圆半径为1，由正弦定理得
，
由余弦定理及
得，
，
化简得
，解得
（负根舍去），从而
，
因为
，所以
，
，所以
，
故
的长是
.
二、跟踪练习
1．（2025·湖南·三模）若向量
满足
，且
，则
的夹角为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的数量积的定义计算即可得出结果.
【详解】∵
，
.
∴
，
，
，∴
，
且
，则
，
故选：B.
2．（2025·河南·三模）若点A 在点O 的正北方向，点B 在点O 的南偏西
方向，且
，则向量
表示（ ）
A．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
B．从点O 出发，朝北偏西
方向移动
C．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
D．从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km
【答案】C
【分析】以O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立平
面直角坐标系，标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出
即可.
【详解】以O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，建立如
图所示的平面直角坐标系，
依题意可得
，
设
，因为
，所以四边形OACB 为菱形，
则
，则
为正三角形，所以
，
故向量
表示从点O 出发，朝北偏西
方向移动2km.
故选：C
3．（多选题2025·吉林·三模）已知向量
，
，若
，
则
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由
，得到
，再由向量数量积的坐标表示列出等式求解即可.
【详解】
，以
为临边的平行四边形对角线相等，
，
，
，
，
时，
，
故选：ACD．
4．（2025·河北保定·一模）记
的内角
所对的边分别为
，若
，则
边上的中线
长度的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得
，结合余弦定理、向
量运算、基本不等式等知识来求得正确答案.
【详解】由
，得
，
所以
，
即
，
则由正弦定理得
，
因为
，所以
，所以
，即
，
又
，所以
，因为
，
所以由余弦定理得
，即
.
由题可得
，
所以
，
因为
，所以
，当且仅当
时等号成立，
所以
，则
，
所以
边上的中线
长度的最小值为
.
故选：C.
5．（2025·北京大兴·三模）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，角
的角平分线交
于点
，且
．
(1)求
；
(2)若
，且
的面积为
，角
的角平分线为
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据二倍角公式化简可得解；
（2）根据三角形面积可得
，再根据等面积法可得角分线长度.
【详解】（1）由已知
，
又由正弦定理可得
，
又
，所以
，
则
，又
，即
，
又
，
，即
，
则
，所以
，
；
（2）由已知
，所以
，
因为
为角
的角分线，
故
，
所以
，
即
，
解得
.
6．记
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，满足
，
且
.
(1)求
与
比值；
(2)当
时，求
.
【答案】(1)
；
(2)
【知识点】余弦函数图象的应用、三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、由向量
共线（平行）求参数
【分析】（1）根据向量平行得到方程，利用三角恒等变换得到
，分类讨论，
得到
，
；
（2）由正弦定理得
，又
，得到
，求出
.
【详解】（1）
，故
，
其中
，所以
，
若
，则
，则
，
此时若
，则
，
，
若
，则
，
要想
，则
，
又
，所以
，即
，这是不可能的，
故舍去；
若
，则
，
，
则
，故
，此时
均为钝角，不合要求，
综上，
；
（2）
，由正弦定理得
，
又
，故
，即
，
又
，
，所以
，
所以
