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1.3 解三角形
目录
题型一：射影定理的应用........................................................................1
题型二：三角形中的面积、周长范围问题............................................3
题型三：三角形中的其它范围问题........................................................8
题型四：解三角形的应用......................................................................12
题型五：三角形的内切圆相关问题......................................................17
题型六： 三角与圆锥曲线的结合........................................................22
多选题专练..............................................................................................23
综合训练..................................................................................................26
题型一：射影定理的应用
1．在
中，
（
，
，分别为角
，
，
的对边），则
是
（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等腰三角形
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解.
【详解】由
，得
，整理得
，
在
中，由射影定义得
，则
，
而
，因此
，又
，则
，
所以
是直角三角形.
故选：B
2．
外接圆半径为2，三个角
的对边分别为
，若
，
且
，则
.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用余弦定理及正弦定理求得
，再由数量积确定角范围
得解.
【详解】在
中，由余弦定理得
，
而
外接圆半径
，则由正弦定理得
，
又
，即
，而
，因此
所以
.
故答案为：
3．在锐角
中，
分别是角
的对边，且
，则
的最小值是 ．
【答案】
【分析】利用正弦定理对
进行处理得到
，然后根据
为锐角
三角形得到
，再根据诱导公式和换元法得到
，最后利用基
本不等式求最值即可.
【详解】对
两边同乘
得
，
由正弦定理得
，
因为
，所以
，
因为
为锐角三角形，所以
，
所以
，解得
，
，
令
，则
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时等号成立，
所以
的最小值为
.
故答案为：
.
4．在
中，角
对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
，
，求
边上的高.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，即可求解角
；
（2）利用余弦定理求解第三边，再用正弦定理求角，即可求高.
【详解】（1）由
可得：
，
由三角形内角和定理可知：
，
化简可得：
，
因为
，则
，所以上式可化简为：
，
又因为
，所以
;
（2）
由余弦定理得：
，
解得
或
（舍去），
再由正弦定理可得：
，
所以
边上的高
.
题型二：三角形中的面积、周长范围问题
1．已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求
；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，利用正弦定理转化为
求解.
（2）由
的面积为
，得到
，再利用余弦定理求解.
【详解】（1）
中，
，
由正弦定理可得：
，
即
，
又
，
，
∴
，求得
.
（2）由
的面积为
，
即
，
∵
，∴
，
由
，利用余弦定理
，
可得
，
即
，
∴
，
即
的周长为
.
2．在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，且
，
.
(1)求角
；
(2)若
为锐角三角形，求
的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A；
（2）结合
，
，在
中利用正弦定理得到
，再根据
为锐角三角形，求得B 的范围，利用三角函数的性质求解.
【详解】（1）已知
，
由正弦定理得
，
∴
，
∴
，
又
，
，
∴
，
∵
，∴
，
∵
，∴
．
（2）在
中由正弦定理得
，又
，
所以
，
，
所以
，
，
，
因为
为锐角三角形，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
周长
的取值范围是
.
3．在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
(1)求A；
(2)若
是锐角三角形，
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）由题设及正弦定理可得
，即
，根据
，可得
角A；
（2）由正弦定理可得
，从而
，由
为锐角三
角形，得
，即可求解．
【详解】（1）因为
，
所以由正弦定理可得
，
又
，
所以
，
因为B 为三角形内角，
，
所以
，可得
，
因为
，所以
；
（2）由正弦定理可得
，
所以
，
故
，
而因为
为锐角三角形，
故
，解得
，
从而
，所以
，
故
的取值范围是
.
4．如图，在平面四边形ABCD 中，
．
(1)若
，求四边形
的面积；
(2)求四边形
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）连接
，在
中与
中分别使用余弦定理，从而可得
的值，
再根据三角形面积公式求解四边形
的面积；
（2）结合余弦定理，三角面积公式以及正弦型三角函数即可得四边形
面积的最大值．
【详解】（1）连接BD，
在
中，由余弦定理可得
，
在
中，由余弦定理可得
，则
，
从而
，
因此四边形ABCD 的面积为：
．
（2）连接BD．在
中，由余弦定理可得
，
在
中，由余弦定理可得
，
则
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
，
四边形ABCD 的面积
，
则
①，
由
，则
②，
联立①②，解得
，则
，
当且仅当
时，等号成立，四边形ABCD 的面积取得最大值
．
题型三：三角形中的其它范围问题
1．在
中，
，
，点
为
的中点，点
为
的中点，若设
，
，若
，则
的最大值为 ．
【答案】
【分析】由
，则
，再由余弦定理和基本不等式求得
，得
到
，即可求解．
【详解】如图，在
中，
，点
为
的中点，点
为
的中点，
，则
．
设
，
，由余弦定理可得
，
又
，故
，当且仅当
时取等号．
又
，
则
，
则
即
的最大值为
故答案为：
．
2．在
中，内角
所对的边分别为
，该三角形面积大小记为，则
的最大值为 .
【答案】
/
【分析】先根据三角形面积公式和余弦定理对
进行化简，再利用三角函数的性
质求其最大值.
【详解】由三角形面积
，余弦定理
，
有
，
则
由基本不等式
当且仅当
时取等号，则
，
所以
，
令
，则
，
根据辅角公式
，
其中
，即
，
因为
，所以
，两边平方可得
，
则
的最大值为
.
故答案为：
.
3．已知
的面积为1，边
上的中线为
，且
，则边
的最小
值为 .
【答案】
【分析】利用线段长度的关系，设其中一条线段，就可以表示相关线段，再引入
，利用面积关系找到一个等式，然后由余弦定理求
边，最后转化为角的函数
来求最值即可.
【详解】
取
，根据已知条件可知
为
的重心，
由
，设
，
，则
，
，
由
，又因为
，
所以
，
再由余弦定理可知
，
令
，则
，
即
因为
，所以
，
即
，
因为
，所以
的最小值为
，
故答案为：
4．记锐角
的内角
、
、
所对的边分别为
、
、，已知
．
(1)求B；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式以及余弦定理化简可得出
的值，结合角
为锐
角可得出角
的值；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换得出
，根据
为锐角三角形
可求出角
的取值范围，再利用正弦型函数的基本性质可求得
的取值范围.
【详解】（1）因为
，即
，
因为
为锐角，故
，所以
，
由余弦定理可得
，故
.
（2）因为
，由正弦定理可得
，
所以
，
，
所以
，
因为
为锐角三角形，则
，解得
，
所以
，则
，
所以
，即
的取值范围是
.
5．在
中，内角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求角B 的大小；
(2)若
，记
边上的高为，求的最大值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由正弦定理化简得
，再由余弦定理即可得解；
（2）由三角形面积公式可得
，结合正弦定理及三角恒等变换得
，即可得解.
【详解】（1）根据正弦定理可得
，化简整理得
，
由余弦定理得
，因为
，故
；
（2）由
，得
，又
，
所以
，
在三角形
中
，故
，
当
，即
时，
.
题型四：解三角形的应用
1．如图所示，为测量一棵树
的高度，在地面上选取A，B 两点（A，B，H 三点共线），
从A，B 两点分别测得树尖P 的仰角为
，
，且A，B 两点之间的距离为
，则树
的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据图形和角边关系求出结果即可.
【详解】设树的高度为，由已知，得
，
在
中，
.
化简得
，解得
.
所以树的高度为
m.
故选：C.
2．为了测量某古塔（点
为塔顶，点
为
在地平面上的射影）的高度，小张遥控无人机
从地平面垂直向上飞行10 米后，无人机悬停在古塔外面的
处进行拍摄，拍到观测塔顶
的仰角为
，然后小张遥控无人机朝着水平方向（即垂直于直线
的方向）沿直线飞行
6 米到达
处，且
距离
比
距离
更远（
四点共面），最后小张遥控无人机
沿着直线朝着塔顶
飞了14 米恰好到达塔顶
.若将无人机视为质点，则该古塔的高度约
为（ ）
A．16.6 米
B．17.3 米
C．18.7 米
D．19.2 米
【答案】C
【分析】通过设未知数，利用三角函数关系和勾股定理建立方程，进而求解古塔的高度.
【详解】
设
在地面的射影为
，作
，根据题意易知
,
设
，
在
中，
，
根据锐角三角函数：
，则
.
在
中，
，
根据勾股定理
，则有
，
化简得
，解得
或
（舍去）.
所以
，所以古塔高度约为
米.
故选：C.
3．目前世界最大跨度斜拉桥——中国常泰长江大桥（如图（1））于2025 年9 月9 日正式
通车，这种桥体可减小梁体内弯矩，减轻结构重量，节省材料.如图（2）为一座斜拉桥的
设计方案图，AB 为主梁，CD 为索塔，且CD 垂直平分AB，AC，EC 为两条斜拉索，若
，
，
，
，且
，则索塔CD 最高为 m.
【答案】
【分析】设
，则
，
，结合
，利用正切函数的
单调性列不等式，求解即可.
【详解】设
，则
，
.
因为
，所以
，
即
，解得
，即索塔CD 最高为
m.
故答案为：
4．如图，为了测量河对岸的塔高
，可以选取与塔底
在同一水平面内的两个测量基点
与
.现测得
，在点
测得塔顶
的仰角为
，则
，塔高
.
【答案】
【分析】利用正弦定理解三角形得出
，再解直角三角形即可得
.
【详解】在
中，易知
，
由正弦定理可知：
，
即
米，
且
米，
因为
，则
，所以
米.
故答案为：
，
5．目前，中国已经建成全球最大的
网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见
到
基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座
基站
，已
知基站高
.该同学眼高
（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置
处（眼
睛所在位置）测得基站底部
的仰为
，测得基站顶端
的仰角为
.
(1)求出山高
（结果保留一位小数）；
(2)如图（第二幅），当该同学面向基站
前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所
在位置
处（眼睛所在位置）到基站
所在直线的距离
，且记在
处观测基站
底部
的仰角为
，观测基站顶端
的仰角为
.试问当
多大时，观测基站的视角
最大？
参考数据：
，
，
，
.
【答案】(1)
(2)
时，视角
最大
【分析】（1）利用仰角差得
，通过正弦定理求
，结合直角三角形求山高
即
可.
（2）用正切表示仰角，通过正切差公式表示视角的正切值，结合基本不等式求最值即可.
【详解】（1）由题意可知，
，
，
，
，
在
中，
，所以
，
在
中，
，
所以山高
.
（2）由题意知，
，
，且
，
则
，
在
中，
，
在
中，
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
时，
取得最大值，
又
，所以此时视角
最大.
综上，当
时，视角
最大.
题型五：三角形的内切圆相关问题
1．在
中，内角
的对边分别为
，若
，则该三
角形内切圆面积的最大值为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求得
，进而
求得三角形内切圆半径的关系式，利用基本不等式求出最大值即可.
【详解】在
中，由正弦定理及
，得
，
则
，
整理得
，而
，即
，
因此
，
，设该三角形内切圆半径为，
则
，又
，于是
，由
，得
，
当且仅当
时取等号，因此
，
所以该三角形的内切圆面积的最大值为
.
故答案为：
2．记
内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)已知
，
的内切圆半径为.
（ⅰ）当
时，求
；
（ⅱ）求
的最大值.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
.
【分析】（1）利用正弦定理化简
，可得
，利用辅助角公式结合三角函数值即可求解；
（2）（ⅰ）利用三角形面积与内切圆的半径关系化简可得
，利用余弦定
理可得
，由正弦定理化简可得
即可求解；（ⅱ）利用三角
形面积与内切圆的半径关系化简可得
，由余弦定理结合基本不等式可
得
，从而得到
即可求解.
【详解】（1）易得
，
由正弦定理得
，
而
，故
，
易知
，故
，
即
，由
可知
（2）（ⅰ）记
的面积为，则
，即
，
，
而
，即
，故
，
于是
，解得
，
而
，故
，同理
，
故
，得到
（ⅱ）
，
而
，即
，
故
，当且仅当
时等号成立，
故
的最大值为
.
3．已知
的外接圆半径为
，内切圆半径为，角
的对边分别为
，且
，
，
(1)求
的值；
(2)求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理求出
，再利用正弦定理求出
；
（2）根据等面积法求出，方法一：利用均值不等式求出
，进而得到的取值范
围；
方法二：利用正弦定理转化为函数，再由三角函数求值域即可得出范围.
【详解】（1）由题意
，由余弦定理得
，
又
，则
，
又由正弦定理：
，解得
.
（2）由（1）得
，则
，
，
则
，
方法一：由
，
解得
（当且仅当
时取等号），
又因为
，故
，
从而得
.
方法二：在
中，由正弦定理得
，
即
，
则
，
又
，则
，
，
即
，
.
4．已知
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
.
(1)求
.
(2)若
内心为
，求
的周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式和正、余弦定理化简已知式，结合三角形内角范围即可求得；
（2）由内心和
求得
，设
，可得
，在
中，利用
正弦定理求出
和
,表示出
，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用
正弦函数的性质即可求得周长范围.
【详解】（1）由
可得
，
化简得
，
则由正弦定理得
，
又由余弦定理
，
因
，所以
；
（2）如图，
因
内心为
，则
和
分别平分
和
，
则
，则
，
设
，则有
，
，
，
由
，可得
，
在
中，
，由正弦定理
，
则
，
，则
，
又
，
，则
则
的周长范围为
.
题型六： 三角与圆锥曲线的结合
1．已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，点
在椭圆上，且满足
.若椭圆的离心率为
，则
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
，可得出
，利用椭圆定义求出
，再利用
余弦定理可求得
的余弦值.
【详解】由题意可得
，则
，
所以
，由椭圆定义可得
，
由余弦定理可得
.
故选：A.
2．已知
的顶点
和
，顶点
在椭圆
上，则
的值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据椭圆的定义得出
的值，再结合正弦定理即可求出.
【详解】由题意得，椭圆
，
由
得
，
和
为椭圆的左右焦点，且
，
顶点
在椭圆
上，根据椭圆的定义，可得
，
由正弦定理，得
，
故选：
.
3．设椭圆
：
(
，
)的左､右焦点分别为
，
，离心率为
，
是
上一点，且
，若
的面积为
，则
．
【答案】
【分析】根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解.
【详解】根据题意，离心率为
，所以
，所以
，设
，
，
由椭圆的定义可得，
，因为
，所以
，因为
的面
积为
，
所以
，即
，所以
，即
，解得
，
因为
，所以
.
故答案为：
.
多选题专练
1．已知
的三个内角分别为
，
，
，
在线段
上，
且满足
平分
.则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】由正弦定理可判断A；利用诱导公式可判断B；求出
，
，由
余弦定理可判断C；利用余弦二倍角公式求出
，再由等面积可得判断D 正确.
【详解】对于A，在
中，由正弦定理可得
，所以
，故A
正确；
对于B，因为
，则
，
则
，故B 错误；
对于C，由于
，
，且
，
则
，
由于
，
，则
，
则
，
在
中，由余弦定理：
，
即
，故C 正确；
对于D，由于
，则
，
，
由于
，解得
（负数舍去）；
因为
在线段
上，且满足
平分
．则在
中，由等面积可得：
，
即
，
解得：
，故D 正确.
故选：ACD.
2．
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，且
，下列说法正确
的是（ ）
A．
B．若
且
有唯一解，则
C．若
，则
D．若
，则
面积最大值为
【答案】ACD
【分析】利用正弦定理边角互化及正弦两角和差公式化简可计算出
，即可判断A，
根据正弦定理和解三角形知识即可判断B，根据和差角公式求解，可判断C，根据余弦定
理和三角形的面积公式求解，可判断D.
【详解】由
，则
，
则
，
由于
，所以
，
，
，故A 正确；
由正弦定理得
，即
，
又
有唯一解，所以
或
，故B 错误；
由
，则
，
，
则
，即
，
,
所以
，则
，所以
，故C 正确；
若
，则由余弦定理得
，
所以有
，即
，当且仅当
时取等号，
的面积为
，故D 正确.
故选：ACD.
3．记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，.若
，
，则
（ ）
A．
的周长为6
B．
，
，成等差数列
C．角
的最大值为
D．
面积的最大值为
【答案】ABD
【分析】利用正弦定理结合等差数列的性质判断B，结合题意判断A，利用余弦定理结合
基本不等式判断C，利用三角形面积公式判断D 即可.
【详解】对于B，因为
，所以
，
则
，
，成等差数列，故B 正确，
对于A，因为
，所以
，可得
的周长为6，故A 正确，
对于C，由余弦定理得
，
由基本不等式得
，当且仅当
时取等，
可得
，由余弦函数性质得
在
上单调递减，
而
，得到
，即角
的最大值为
，故C 错误，
对于D，由三角形面积公式得
，
可得
面积的最大值为
，故D 正确.
故选：ABD
综合训练
1．在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理求出
，再利用余弦定理求解.
【详解】在
中，由射影定理得
，而
则
，解得
，而
，因此
，
由余弦定理，得
，
则
，
，所以
.
故选：A
2．如图，在倾斜角为
的山坡上有一根垂直于水平面的旗杆
，当太阳光线的仰角是
时，旗杆在山坡上的影子的长度是
，则旗杆
的高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理计算可得.
【详解】如图
，
，则
，
，
米，
由正弦定理
，
即
，
解得
.
故选：C
3．如图，为了测量河对岸A，B 两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点
C，D，E.从D 点测得
，从C 点测得
，
，从E 点测得
.若测得
，
(单位：千米)，则A，B 两点的距离为 千
米．
【答案】3
【分析】根据三角形的性质和正弦定理分别求
和
，
中，根据余弦定理求
.
【详解】
中，
，
，所以
，
所以
，
中，
，
，所以
，
，即
，得
，
中，根据余弦定理
,
即
，得
.
故答案为：3
4．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且满
．
(1)求C；
(2)已知角C 的平分线交AB 于点M，且
，当
取最小值时，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）应用正弦定理结合两角和正弦公式化简求值；
（2）应用面积计算得
，再结合基本不等式计算得出得
，
，最后应用面
积公式计算求解.
【详解】（1）由已知得
，
在
中，由正弦定理得
，
化简得
，
即
，
又
，所以
，所以
，又
，所以
.
（2）由（1）得
，
因为角C 的平分线交AB 于点M，所以
，
又
，所以
，
又
，所以
，即
，
所以
，
当且仅当
，即
时
取得最小值，
由
，解得
，
，
所以
.
5．已知在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，然后通过三角函数的性质求出即可；
（2）先利用余弦定理得出
和
的关系，再运用不等式即可求出.
【详解】（1）由正弦定理，得
．
因为
，所以
，
所以
，即
，所以
．
因为
，所以
．
（2）因为
，
，
所以由余弦定理，得
，
即
，所以
．
因为
，
，所以
化简得
，所以
，
当且仅当
时，等号成立．
又因为
，所以
．
综上，
的取值范围为
．
6．
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
．
(1)若
，
，求
的面积；
(2)若角
为钝角，求
的取值范围．
【答案】(1)
的面积为
(2)
【分析】（1）利用正、余弦定理以及三角恒等变换可得
，利用余弦定理可得
，
再利用三角形的面积公式进行求解即可.
（2）利用正弦定理以及三角恒等变换可得
，再结合角
的范围进行计算即
可.
【详解】（1）根据题意，
以及正弦定理可得
，
因为
，因为
，所以
，
所以
，又
，
所以
，由余弦定理可得
，可得
，
即
，因为
，所以
，所以
.
（2）由正弦定理可得
，因为
，所以
，
因为角
为钝角，所以
，可得
，则
，
，即
，
所以
的取值范围为
.
7．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求证：
；
(2)设
边上的中点为D.
（ⅰ）若
，
，求
；
（ⅱ）记
，求
的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简，再结合三角函数求出
；
（2）（ⅰ）利用余弦定理以及
即可；
（ⅱ）在
和
中利用正弦定理，结合两角和差、倍角公式得出
，令
，结合辅助角公式和三角函数的最值求出最大
值，并检验其存在性，即可求出
的最大值.
【详解】（1）
，则
，
因
，则
，则
，
又
，则
或者
（舍），则
；
（2）（ⅰ）因
，
，
，
，
则在
和
中利用余弦定理可得，
，
得
，则
为等边三角形，故
；
（ⅱ）在
和
中利用正弦定理可得，
，
，
两式联立可得，
，即
，即
则
，即
，
则
，
因
，则令
，
则
，其中
，
则
，得
，
当
时，
，
因
，则
，则
，则
，
故当
，即
时，
有最大值
，此时
，
故
的最大值为
.
8．在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
(1)若
，求
的面积；
(2)若
为锐角三角形，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理及正弦定理边化角，再利用和角的正弦求得得
，进而求出
及三角形面积.
（2）结合（1）中信息，利用正弦定理边化角及二倍角的正弦求解.
【详解】（1）在
中，
及余弦定理
，
得，
，整理得
，
由正弦定理得
，即
，
则
，即
，由
，
得
，
，因此
，即
，
由
，得
，又
，则
，
所以
的面积为
.
（2）由（1）及
为锐角三角形，得
，解得
，
由正弦定理得，
，
所以
的取值范围为
.
9．已知函数
．
(1)求函数
的对称中心和单调递增区间；
(2)若
中，
，且
，求
面积的最大值．
【答案】(1)对称中心为
，单调递增区间为
(2)
【分析】（1）化简得
，利用整体法可求函数
的对称中心和单
调递增区间；
（2）由
可得
，利用余弦定理结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）
，
由
，得
，所以函数
的对称中心为
，
由
，得
，
所以函数
的单调递增区间为
；
（2）因为
，可得
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，解得
，
由余弦定理
可得：
则
，所以
，当且仅当
时取等号，
由于
面积
则
面积的最大值
10．记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
，且
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的面积；
(3)求
周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦的两角和公式化简得
，可得
，即可得解；
（2）利用余弦定理结合已知条件计算可得
，再利用三角形面积公式计算即可.
（3）利用正弦定理把边转化为角，结合角
的范围，即可求解.
【详解】（1）根据
，
可得
，
所以
，因为
，所以
；
（2）由（1）可知，
，根据余弦定理
，
因为
，则
，即
，
又因为
，所以
，解得
，
所以
的面积
；
（3）因为
，所以
，
所以
，
，
所以
的周长
，
因为
，所以
，所以
，
所以
.
11．如图，平面四边形
中，
．
(1)当
时，求
(2)求当
为何值时，
的面积最大？并求出其最大值．
【答案】(1)
(2)
时，面积取最大值1
【分析】（1）根据余弦定理可得
，进而应用正弦定理及结合两角和的正弦公式求
解即可；
（2）正弦定理结合诱导公式化简，再应用三角形的面积公式结合正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）在
中，由余弦定理得
，
，
，
在
中，由正弦定理得
，
.
（2）在
中，由正弦定理得
，
，
的面积为
，
当且仅当
时，
的面积取最大值1.
12．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角A；
(2)D 为BC 上一点，
．
（i）若
，求
的值；
（ii）若
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
；
(2)（i）
；（ii）
.
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简求解.
（2）（i）利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解；（ii）利用向量数量积的运算律及基
本不等式求出
最大值，再利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，
则
，即
，
整理得
，而
，所以
.
（2）（i）由
，得
，
，
在
中，由正弦定理得
，
，
在
中，由正弦定理得
，
所以
.
（ii）由
得，得
，则
，
因此
，即
，
当且仅当
时取等号，则
，
，
所以当
时，
的面积取得最大值
.
13．已知
为锐角三角形，角
所对的边分别为
，且
.
(1)证明：
；
(2)已知点
在线段
上，且
，若
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据正弦定理得
，结合三角形内角和锐角三角形，证得结果.
（2）根据正弦定理和三角形面积公式得
，进而利用锐角三角形得到正切的范
围，最后得到三角形面积的取值范围.
【详解】（1）证明：由
，由正弦定理得
，
即
，
又
，所以
，
故
，
因为
为锐角三角形，所以
，
，故
，
故
，即
.
（2）由（1）可知，
中，
，
由正弦定理得
，所以
，
故
，
而
是锐角三角形，故
，
，
，
解得
，故
，故
面积的取值范围为
.
14．在
中，
，
分别为
，
的中点，
与
交于点
，记
，
．
(1)若
，
，
，求
；
(2)若
，
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)16.
【分析】（1）根据题意得
是
的重心，再根据余弦定理求解；
（2）设
，根据余弦定理得出
，及
，
，再求出三角形的面积，根据三角恒
等变换和均值定理求解即可.
【详解】（1）由题意知
是
的重心，
所以
，
在
中，由余弦定理得
，
所以
；
（2）因为
，所以
，设
，则
.
在
中，由余弦定理可得
，
即
，得
又
，
，
所以
记
，则
，
则
，
当且仅当
时等号成立，
故
面积的最大值为16.
15．某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不倒.如今，它是
全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重兴
塔高度
时，可以选取与塔底
在同一水平面内的两个测量基点
，
，且在
，
两
点测得塔顶
的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得
，
，
两地相距
36 米.
(1)求重兴塔高
；
(2)如图2，塔顶为点
，距离塔顶
点竖直向下5 米处有点
，若在离地面竖直高度为2
米的点
处用测角仪器测得
，求
的最大值.
【答案】(1)
米
(2)
【分析】（1）设
米，可得
，
，在
中，由余弦定理得，
，解方程即可求解；
（2）过点
作
交
于
，设
，可得
，
，
由
结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意得，设
米，
在
中，
，则
；
在
中，
，则
.
在
中，由余弦定理得，
，
整理得
，解得
或
（舍）
所以重兴塔高
米
（2）过点
作
交
于
，设
，
则在
中，
，
在
中，
，
.
当且仅当
，即
等号成立
所以
的最大值为
