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２ ９２ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
命题点 5 平面向量与复数
M"A
平面向量是连接代数与几何的桥梁，由于其在数学中的工具特点，在试题的基础性、综合性、灵活性、创新性、难度设计和区
分度设计等方面提供了广泛的试题命制空间，从考试题型看，一般以小题的形式呈现，偶尔在解答题中以向量为载体，考查与三
角函数或解析几何等的综合内容；复数部分主要考查复数的基本概念和基本运算等，主要以选择题或填空题形式呈现．
命题方向：
．考查对平面向量的基本概念、性质和运算法则的直接运用；与平面向量的线性运算、数量积相结合的问题，命题主要突出
１
向量的工具作用，强化数形结合思想．
．复数主要是以四则运算为基础，考查对复数概念的理解以及运算求解能力，难度较小．另外复数背景下的多选题将会成为
２
一个新的命题点，重点考查复数代数形式的抽象运算以及复数的性质等问题．
预测探究
识透高频考点
参透创新情境
１．（
２０２４
浙江台州第二次质量评估，
２
）在复平面内
，
复数ｚ
＝
２＋ｉ １．（多选）（
２０２４
江苏苏州大学考前指导卷，
９
）任何一个复数ｚ
＝
ｉ ａ ｂ ａ ｂ Ｒ 为虚数单位 都可以表示成ｚ ｒ θ θ
＋ ｉ（ ， ∈ ，ｉ ） ＝ （ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ）
为虚数单位 则 Ｂ
（ｉ ）， （ ） ｒ θ Ｒ 的形式 通常称之为复数ｚ的三角形式．法国数
（ ≥０， ∈ ） ，
ｚ的实部为 ｚ 学家棣莫弗发现 ｒ θ θ ｎ ｒｎ ｎθ ｎθ ｎ
Ａ． ２ Ｂ．｜ ｜＝ ５ ：［ （ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ）］ ＝ （ｃｏｓ ＋ｉｓｉｎ ）（ ∈
ｚ ｚ对应的点位于第一象限 Ｎ 我们称这个结论为棣莫弗定理 则下列说法正确的有
Ｃ． ＝２－ｉ Ｄ． ）， ，
２．（ 湖南常德模拟， ）已知平面向量ａ ｂ均为单位向量 且 ＢＣ
２０２４ ６ ， ， （ ）
( )
夹角为 ° 若向量ｃ与ａ ｂ共面 且满足ａ ｃ ｂ ｃ 则
６０ ， ， ， · ＝ · ＝１， 复数ｚ 的三角形式为ｚ π π
Ａ． ＝１－ ３ｉ ＝２ ｃｏｓ －ｉｓｉｎ
ｃ Ｂ ３ ３
｜ ｜＝ （ ）
当ｒ θ π时 ｚ ｚ２ ｚ３ ｚ２０２４
２ ３ Ｂ． ＝１， ＝ ， ＋ ＋ ＋…＋ ＝０
Ａ．１ Ｂ． Ｃ． ３ Ｄ．２ ２
３
３．（ 湖南邵阳第二次联考， ） 四叶 - 当ｒ θ π时 ｚ３
２０２４ ５ “ Ｃ． ＝２， ＝ ， ＝－８
３
回旋镖 可看作是由四个相同的直角梯 #
” " 当ｒ θ π时 ｎ为偶数 是 ｚｎ 为纯虚数 的充分不必
形围成的图形 如图所示 ＡＢ ＣＤ Ｄ． ＝３， ＝ ，“ ” “ ”
， ， ＝２， ＝ ) ４
Ａ °．点Ｐ在线段ＡＢ与线段ＢＬ % $ 要条件
１，∠ ＝４５
( ２．（多选）（ 山西临汾第二次适应性训练， ）设 Ｏｘ Ｏｙ 是
上运动 则Ｅ→Ｈ Ｆ→Ｐ的取值范围为 ' ２０２４ １０ ，
， ·
平面内相交成 °角的两条数轴 ｅ ｅ 分别是与ｘ轴 ｙ轴正
（ Ｃ ） & ６０ ， １， ２ 、
方向同向的单位向量．若Ｏ→Ｐ ｘｅ ｙｅ 则把有序实数对 ｘ ｙ
Ａ．［－４，６］ Ｂ．［０，６］ Ｃ．［０，８］ Ｄ．［４，８］ ＝ １＋ ２， （ ， ）
４．（多选）（ 山东聊城二模， ）已知向量ａ ｂ 叫做向量Ｏ→Ｐ在斜坐标系Ｏｘｙ中的坐标 记作Ｏ→Ｐ ｘ ｙ ．则下
２０２４ ９ ＝（－１，２）， ＝（１， ， ＝（ ， ）
λ 若ｂ在ａ上的投影向量为ａ 则 ＡＣＤ 列说法正确的是 ＡＢＤ
）， ， （ ） （ ）
λ ａ ｂ 若Ｏ→Ｐ 则 Ｏ→Ｐ
Ａ． ＝３ Ｂ． ∥ Ａ． ＝（２，１）， ｜ ｜＝ ７
ａ ｂ ａ ａ与ｂ的夹角为 ° ( )
Ｃ． ⊥（ － ） Ｄ． ４５ 若→ＡＢ Ｂ→Ｃ １ 则Ａ Ｂ Ｃ三点共线
５．（ 浙江名校协作体二模， ）已知复数 与 在复平面 Ｂ． ＝（２，１）， ＝ －１，－ ， ， ，
２０２４ １２ １＋ｉ ３ｉ ２
内用向量Ｏ→Ａ和Ｏ→Ｂ表示
（
其中
ｉ
是虚数单位
，
Ｏ为坐标原点
）， Ｃ．
若Ｏ→Ｐ
１＝（３，２），
Ｏ→Ｐ
２＝（２，－３），
则Ｏ→Ｐ
１⊥
Ｏ→Ｐ
２
若Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ 则四边形ＯＡＣＢ的
则Ｏ→Ａ与Ｏ→Ｂ的夹角为 π ． Ｄ． ＝（２，０）， ＝（０，３）， ＝（４，１），
４ 面积为７ ３
悟透新型考法 ２
１．（多选）（ 广东梅州二模， ）已知ｚ ｚ 是复数 则下列说
２０２４ ９ １， ２ ，
法正确的是 ＡＣＤ
（ ）
若ｚ２ 则ｚ 若ｚ２ ｚ２ 则ｚ ｚ
Ａ． １＝０， １＝０ Ｂ． １＋ ２＝０， １＝ ２＝０
ｚ ｚ ｚ ｚ 若ｚ２ ｚ２ 则 ｚ ｚ
Ｃ．｜ １－ｉ· １｜＝｜ １＋ｉ· １｜ Ｄ． １＝ ２， ｜ １｜＝｜ ２｜
２．（ 广东汕头一模， ）已知 ＡＢＣ外接圆的半径为 圆心
２０２４ １３ △ １，
为点Ｏ 且满足 Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ 则 ＡＯＢ １ →ＡＢ
， ４ ＝－２ －３ ， ｃｏｓ∠ ＝ ， ·
４
Ｏ→Ａ ３ ．
＝ －
４
