专题16 平面向量数量积及其应用
十年大数据*全景展示
年
份
题号
考
点
考查内容
2011[
来源:学科网]
课标[来
源:学科网][来源:Zxxk.Com]
理10
平面向量的综合应用
利用平面向量数量积计算向量夹角与模问题及命题
真假的判定[来源:学科网ZXXK]
文13
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积处理向量垂直问题
2012
课标
理13
文15
平面向量数量积性质的应用
平面向量的定义及利用平面向量数量积处理向量模
问题
2013
卷1
理13
文13
平面向量数量积的概念及其
几何意义
平面向量数量积的概念及运算法则
卷2
理13
文14
平面向量数量积的概念及其
几何意义
平面向量数量积的运算法则
2014
卷1
理15
平面向量数量积的概念及其
几何意义
中点公式的向量形式及向量的夹角的概念
卷2
文4
理3
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积处理向量模问题
2015
卷1
理5
平面向量的综合应用
主要与双曲线结合考查平面向量数量积的坐标运算
卷2
文4
平面向量数量积的概念及其
几何意义
平面向量的坐标运算、平面向量数量积
2016
卷1
理13
平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及平面向量模公式
卷2
理3
平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理垂
直问题
卷3
理3 文3
平面向量数量积的概念及其
几何意义
平面向量的数量积的坐标运算及利用平面向量数量
积求夹角
卷1
文13
平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理垂
直问题
2017
卷1
理13
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积计算模
理2
理12
平面向量的综合应用
与平面图形有关的平面向量数量积的最值问题
卷1
文13
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积的坐标运算及利用向量数量积
处理垂直问题
卷2
文4
平面向量数量积性质的应用
利用平面向量数量积的模
卷3
理12
平面向量的综合应用
向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质
卷3
文13
平面向量数量积性质的应用
平面向量的坐标运算及利用平面向量数量积处理
垂直问题
2018
卷2
理4 文4
平面向量数量积的概念、几
何意义及其运算律
平面向量的数量积及其运算律
2019
卷1
理7
文8
平面向量数量积性质的应用
平面向量数量积处理垂直与夹角问题
卷2
理3
平面向量的综合应用
平面向量的减法运算、模公式、平面向量数量积
卷3
理13
平面向量的综合应用
平面向量数量积处理模与夹角问题
卷3
理13
平面向量数量积性质的应用
平面向量坐标的模公式及夹角公式
2020
卷1
理14
平面向量数量积及其运算
向量模长的计算
文14
平面向量数量积的应用
平面向量垂直充要条件的坐标形式，平面向量数量积
的应用
卷2
理13
平面向量数量积的应用
向量夹角公式，应用向量数量积处理垂直问题
文15
平面向量数量积定义及性质
平面向量数量积的定义和运算性质，应用平面向量数
量积处理向量垂直
卷3
理6
平面向量数量积及其运算
平面向量夹角公式，平面向量数量积的计算以及向量
模长的计算
大数据分析*预测高考
考
点
出现频率
2021 年预测
考点51 平面向量数量积的概念及其
几何意义
7/24
2021 年高考仍将重点单独或与平面图形等知识结合
重点平面向量数量积的定义、性质及应用平面向量数
量积计算夹角、模、垂直等问题，难度为基础题、中
档题或难题，题型为选择或填空．
考点52 平面向量数量积性质的应用
9/24
考点53 平面向量的综合应用
8/24
十年试题分类*探求规律
考点51 平面向量数量积的概念、其几何意义及其运算律
1．(2020 全国Ⅲ理6)已知向量
,
a b 满足
5 ,
6 ,
6
a
b
a b
，则cos
,
a a
b
(
)
A．
35
31
B．
35
19
C．35
17
D．35
19
2．(2020 山东7)已知P 是边长为2 的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB
的取值范围是
(
)
A．( 2 , 6)
B．( 6 , 2)
C．( 2 , 4)
D．( 4 , 6)
3．(2018•新课标Ⅱ，理4)已知向量a，b
满足|
| 1
a
，
1
a b
，则
(2
)
(
a
a
b
)
A．4
B．3
C．2
D．0
4．(2016 新课标，理3)已知向量
1
3
( ,
)
2
2
BA
uuv
，
3 1
(
, ),
2
2
BC
uuuv
则ABC=
(A)300
(B)
450
(C) 600
(D)1200
5．(2017 北京)设m ，n为非零向量，则“存在负数，使得
m
n ”是“
0
m n
”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．(2013 湖北)已知点
( 1, 1)
A
、
(1, 2)
B
、
( 2,
1)
C
、
(3, 4)
D
，则向量AB
在CD
方向上的投影为
A．3 2
2
B．3 15
2
C．
3 2
2
D．
3 15
2
7．(2011 辽宁)已知向量
(2,1)
a
，
( 1, )
k
b
，
(2
)
0
a
a
b
，则
k
A．
12
B．
6
C．6
D．12
8．(2015 山东)已知菱形ABCD 的边长为a ，
60
ABC
，则BD CD
＝
A．
2
3
2 a
B．
2
3
4 a
C．
2
3
4 a
D．
2
3
2 a
9．(2015 四川)设四边形ABCD 为平行四边形，
6
AB
，
4
AD
．若点
,
M N 满足
3
BM
MC
，
2
DN
NC
，则AM NM
(
)
A．20
B．15
C．9
D．6
10．(2014 天津)已知菱形ABCD 的边长为2，
120
BAD
Ð
=
，点
,
E F 分别在边
,
BC DC 上，BE
λBC
=
，
DF
μDC
=
．若
1
AE AF
×
=
，
2
3
CE CF
×
= -
，则λ
μ
+
=
A．1
2
B．2
3
C．5
6
D．7
12
11．(2012 天津)在△ABC 中，A=90°，AB=1，设点P，Q 满足AP
AB
，
(1
)
AQ
AC
，
R
．若
2
BQ CP
，则(
)
A．1
3
B．2
3
C．4
3
D．2
12．(2020 全国Ⅰ文14)设向量
,
,
,
1
1
1 2
4
m
m
a
b
，若
a
b ，则m
．
13．(2020 全国Ⅱ理13)已知单位向量
b
a, 的夹角为45°，k
b
a
与a 垂直，则
k
__________．
14．(2020 全国Ⅰ理14)设
,
a b 为单位向量，且
1
a
b
，则
a
b
．
15．(2019•新课标Ⅲ，文13)已知向量
(2,2)
a
，
( 8,6)
b
，则cos
a
，b
．
16．(2014 新课标Ⅰ，理15)已知A，B，C 是圆O 上的三点，若
1 (
)
2
AO
AB
AC
，则AB
与AC
的夹角
为
．
17．(2013新课标Ⅰ，理13文13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，则t=_____．
18．(2013 新课标Ⅱ，理13 文14)已知正方形ABC 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD
=
．
19．(2011 江苏)已知
1e ，
2e 是夹角为
3
2
的两个单位向量，
1
2
2
a
e
e ，
1
2
k
b
e
e ，若
0
a b
，则k
的值为
．
20．(2017 天津)在
ABC
△
中，
60
A
∠
，
3
AB
，
2
AC
．若
2
BD
DC
，
AE
AC
AB
(
)
R ，且
4
AD AE
，则的值为___________．
21．(2014 天津)已知菱形ABCD 的边长为2 ，
120
BAD
，点E ，F 分别在边BC 、DC 上，
3
BC
BE
，
DC
DF
．若
1
AE AF
，则的值为________．
考点52 平面向量数量积性质的应用
1．(2020 全国Ⅱ文5)已知单位向量,
a b的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是
(
)
A．
b
a
2
B．
b
a
2
C．
b
a
2
D．
b
a
2
2．(2019•新课标Ⅰ，理7 文8)已知非零向量a，b
满足|
| 2|
|
a
b
，且(
)
a
b
b
，则a与b
的夹角为(
)
A．6
B．3
C．2
3
D．5
6
3．(2017•新课标Ⅱ，文4)设非零向量a，b
满足|
| |
|
a
b
a
b
则(
)
A．a
b
B．|
| |
|
a
b
C．
/ /
a
b
D．|
| |
|
a
b
4．(2016 新课标，理3)已知向量
(1,
)
(3, 2)
m
，=
a
b
，且(
)
a + b
b ，则m=(
)
(A)－8
(B)－6
(C)6
(D)8
5．(2014 新课标Ⅱ，理3 文4)设向量
b
a
,
满足
10
|
|
b
a
，
6
|
|
b
a
，则
b
a
(
)
A．1
B．2
C．3
D．5
6．(2018 北京)设a ，b 均为单位向量，则“
3
3
a
b
a
b ”是“a ⊥b ”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．(2016 年山东)已知非零向量m,n 满足4 |
3|
m |
n | ，
1
cos
,
3
m n
．若
(
)
t
n
m
n ，则实数t 的值
为(
)
A．4
B．–4
C．9
4
D．– 9
4
8．(2015 重庆)若非零向量a ，b 满足
2 2
3
a
b ，且(
)
(3
2 )
a
b
a
b ，则a 与b 的夹角为(
)
A．4
B．2
C．3
4
D．
9．(2015 陕西)对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是
A．|
| |
||
|
≤
a b
a b
B．|
| ||
|
|
||
≤
a
b
a
b
C．
2
2
(
)
|
|
a
b
a
b
D．
2
2
(
)(
)
a
b a
b
a
b
10．(2015 安徽) ΑΒC
是边长为2 的等边三角形，已知向量a ，b 满足
2
ΑΒ
a ，
2
ΑC
a
b ，则下列
结论正确的是( )
A．
1
b
B．
a
b
C．
1
a b
D．
4
ΒC
a
b
11．(2014 山东)已知向量
(1, 3),
(3,
)
m
a
b
．若向量,a b 的夹角为6
，则实数m (
)
A．2 3
B．
3
C．0
D．
3
12．(2014 重庆)已知向量
( ,3)
k
a
，
(1,4)
b
，
(2,1)
c
，且(2
3 )
a
b
c ，则实数k
A．
9
2
B．0
C．3
D．15
2
13．(2012 陕西)设向量a =(1，cos)与b =( 1，2cos)垂直，则cos2等于
A．
2
2
B．1
2
C．0
D．－1
14．(2012 浙江)设a ，b 是两个非零向量
A．若|
| |
|
|
|
a
b
a
b ，则
a
b
B．若
a
b ，则|
| |
|
|
|
a
b
a
b
C．若|
| |
|
|
|
a
b
a
b ，则存在实数，使得
b
a
D．若存在实数，使得
b
a ，则|
| |
|
|
|
a
b
a
b
15．(2019•新课标Ⅲ，理13)已知a，b
为单位向量，且
0
a b
，若
2
5
c
a
b
，则cos
a
，c
．
16．(2017•新课标Ⅰ，理13)已知向量a，b
的夹角为60，|
| 2
a
，|
| 1
b
，则|
2 |
a
b
．
17．(2017•新课标Ⅰ，文13)已知向量
( 1,2)
a
，
( ,1)
b
m
，若向量a
b
与a垂直，则m
．
18．(2017•新课标Ⅲ，文13)已知向量
( 2,3)
a
，
(3,
)
b
m
，且a
b
，则m
．
19．(2016 新课标，理13)设向量a=(m，1)，b=(1，2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m=
．
20．(2016•新课标Ⅰ，文13)设向量
( ,
1)
a
x x
，
(1,2)
b
，且a
b
，则x
．
21．(2012 课标，理13)已知向量a ，b 夹角为
0
45 ，且|a |=1，|2
a
b |= 10 ，则|b |=
．
22．(2011 新课标，文13)已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a + b 与向量ka - b 垂直，
则k =
．
23．(2017 山东)已知
1e ，
2e 是互相垂直的单位向量，若
1
2
3
e
e 与
1
2
e
e 的夹角为60，则实数的值
是
．
24．(2015 湖北)已知向量OA
AB
，|
| 3
OA
，则OA OB
．
25．(2014 四川)平面向量
(1,2)
a
，
(4,2)
b
，
m
c
a
b ( m
R
)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，
则m ____________．
26．(2013 北京)已知向量a ，b 夹角为
o
45 ，且|
| 1
a
，| 2
|
10
a
b
，则|
|
b
．
27．(2012 湖北)已知向量a =(1，0)，b =(1，1)，则
(Ⅰ)与2
a
b 同向的单位向量的坐标表示为____________；
(Ⅱ)向量
3
b
a 与向量a 夹角的余弦值为____________．
28．(2012 安徽)若平面向量a ，b 满足：2
3
≤
a
b
；则
a b 的最小值是_____ ．
29．(2011 安徽)已知向量,a b 满足(
) (
)
a
b
a
b
，且
1
a
，
2
b
，则a 与b 的夹角为
．
考点53 平面向量的综合应用
1 ．(2019•新课标Ⅱ，理3)已知
(2,3)
AB
，
(3, )
AC
t
，|
| 1
BC
，则
(
AB BC
)
A．3
B．2
C．2
D．3
2．(2017•新课标Ⅱ，理12)已知ABC
是边长为2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
(
)
PA PB
PC
的最小值是(
)
A．2
B．
3
2
C．
4
3
D．1
3．(2017•新课标Ⅲ，理12)在矩形ABCD 中，
1
AB ，
2
AD
，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆
上．若AP
AB
AD
，则
的最大值为(
)
A．3
B．2 2
C．
5
D．2
4．(2015 新课标Ⅰ，理5)已知M(x0，y0)是双曲线C：
2
2
1
2
x
y
上的一点，F1、F2 是C 上的两个焦点，若
1
MF
2
MF
＜0，则y0 的取值范围是(
)
(A)(-
3
3
，
3
3
)
(B)(-
3
6
，
3
6
)
(C)(
2 2
3
，2 2
3
)
(D)(
2 3
3
，2 3
3
)
5．(2011 新课标，理10)已知a 与b 均为单位向量，其中夹角为，有下列四个命题
1p ：|
| 1
a
b
∈[0，2
3
)
2p ：|
| 1
a
b
∈( 2
3
，]
3p ：|
| 1
a
b
∈[0，3
)
4p ：|
| 1
a
b
∈( 3
，]
其中真命题是
(A)
1p ，
4p
(B)
1p ，
3p
(C)
2p ，
3p
(D)
3p ，
4p
6．(2016 年天津)已知ΔABC 是边长为1 的等边三角形，点
E
D,
分别是边
BC
AB,
的中点，连接DE 并延
长到点F ，使得
EF
DE
2
，则AF BC
的值为
A．
8
5
B．8
1
C．4
1
D．8
11
7．(2014 安徽)设,a b 为非零向量，
2
b
a ，两组向量
1
2
3
4
,
,
,
x x x x
和
1
2
3
4
,
,
,
y y
y y
均由2 个a 和2 个b 排
列而成，若
1
1
2
2
3
3
4
4
x
y
x
y
x
y
x
y
所有可能取值中的最小值为
2
4 a ，则a 与b 的夹角为
A．2
3
B．3
C．6
D．0
8．(2014 浙江)设为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，|
|
t
b
a 是最小值为1
A．若确定，则|
|
a 唯一确定
B．若确定，则|
|
b 唯一确定
C．若|
|
a 确定，则唯一确定
D．若|
|
b 确定，则唯一确定
9．(2013 福建)在四边形ABCD中，
)
2,4
(
),
2,1(
BD
AC
，则该四边形的面积为
A．
5
B．
5
2
C．5
D．10
10．(2013 浙江)设ABC
，
0P 是边AB 上一定点，满足
0
1
4
PB
AB
，且对于边AB 上任一点P ，恒有
0
0
PB PC
P B PC
≥
．则
A．
0
90
ABC
B．
0
90
BAC
C．
AC
AB
D．
BC
AC
11．(2013 湖南)已知,a b 是单位向量，
0
a b =
．若向量c 满足
1
c
a
b
，则c 的最大值为
A．
2
1
B．
2
C．
2
1
D．
2
2
12．(2013 重庆)在平面上，
1
2
AB
AB
，
1
2
1
OB
OB
，
1
2
AP
AB
AB
．若
1
2
OP
，则OA
的取
值范围是
A．
5
0, 2
B．
5
7
,
2
2
C．
5 ,
2
2
D．
7 ,
2
2
13．(2018 天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB
BC
，AD
CD
，
120
BAD
，
1
AB
AD
．若点E 为边CD 上的动点，则
uuur uur
AE BE 的最小值为
A．21
16
B．3
2
C．25
16
D．3
14．(2018 浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3
，向量b 满足
2
4
3
0
b
e b
，则|
|
a
b 的最小值是( )
A．
3
1
B．
3
1
C．2
D．2
3
15．(2017 浙江)如图，已知平面四边形ABCD ，AB
BC
，
2
AB
BC
AD
，
3
CD
，AC 与BD
交于点O ，记
1I
OA OB
，
2
·
I
OB OC
＝
，
3
·
I
OC OD
＝
，则
A．
1I <
2I <
3I
B．
1I <
3I <
2I
C．
3I <
1I <
2I
D．
2I <
1I <
3I
16．(2016 四川)在平面内，定点A，B，C，D 满足DA
= DB
= DC
，DA DB
=
DB DC
= DC DA
= 2，动点P，M 满足AP
=1，PM
= MC
，则
2
BM
的最大值是
A．43
4
B．49
4
C．37
6 3
4
D．37
2 33
4
17 ．(2015 福建) 已知AB
AC
，
1
AB
t
，
AC
t
，若点P 是
ABC
所在平面内一点，且
4
AB
AC
AP
AB
AC
，则PB PC
的最大值等于(
)
A．13
B．15
C．19
D．21
18．(2015 湖南)已知点
, ,
A B C 在圆
2
2
1
x
y
上运动，且AB
BC
．若点P 的坐标为(2,0) ，则
PA
PB
PC
的最大值为(
)
A．6
B．7
C．8
D．9
19．(2014 安徽)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,a b ，|
| |
| 1
a
b
，
0
a b
，点Q 满足
2(
)
OQ
a
b ．曲线
{
|
cos
sin ,0
2 }
C
P OP
a
b
≤
≤
，区域
{
| 0
|
|
,
}
P
r
PQ
R r
R
≤
≤
．若C
为两段分离的曲线，则(
)
A．1
3
r
R
B．1
3
r
R
C．
1
3
r
R
D．1
3
r
R
20．(2012 广东)对任意两个非零的平面向量α和β，定义
．若平面向量,a b 满足|
| |
| 0
.
a
b
，
a 与b 的夹角
(0,
)
4
，且a b
和b a
都在集合{
|
}
2
n n
Z 中，则a b
=(
)
A．1
2
B．1
C．3
2
D．5
2
21．(2011 山东)设
1A ，
2
A ，
3
A ，
4
A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，
若
1
3
1
2
A A
A A
(∈R )，
1
4
1
2
A A
A A
( μ ∈R )，且1
1
2
，则
称
3
A ，
4
A 调和分割
1A ，
2
A ，已知点
( ,0)
C c
，
( ,0)
D d
，( ,c d ∈R )调和分割
点
(0,0)
A
，
(1,0)
B
，则下面说法正确的是
A．C 可能是线段AB 的中点
B．D 可能是线段AB 的中点
C．C ，D 可能同时在线段AB 上
D．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上
22．(2020 浙江17)设
1e ，
2e 为单位向量，满足
1
2
2
|
2
|
e
e
，
1
2
a
e
e ，
1
2
3
b
e
e ，设a ，b 的夹角为
，则
2
cos 的最小值为
▲
．
23．(2020 北京13)已知正方形ABCD 的边长为2 ，点P 满足
1
2
AP
AB
AC
，则PD
________；
PB PD
__________．
24．(2020 上海12)已知
*
1
2
1
2
,
,
,
,
,
k
a a b b
b
k
N
是平面内两两互不相等的向量，满足
1
2
|
| 1
a
a
且
|
| {1,2}
i
j
a
b
(其中
1,2,
1,2,
,
i
j
k
)，则k 的最大值为
．
25 ．(2020 天津15) 如图，在四边形ABCD 中，
60 ,
3
B
AB
，
6
BC
，且
3
,
2
AD
BC
AD AB
，则实数的值为_________，若
,
M N 是线段BC 上的动点，且|
| 1
MN
，
则DM DN
的最小值为_________．
26．(2017 浙江)已知向量a ，b 满足|
| 1
a
，|
| 2
b
，则|
|
|
|
a
b
a
b 的最小值是
，
最大值是
．
27．(2015 浙江)已知
1
2
,
e e 是空间单位向量，
1
2
1
2
e e
，若空间向量b 满足
1
2
b e
，
2
5
2
b e
，且对于
任意
,x y
R
，
1
2
0 1
0
2
0
0
(
)
(
)
1(
,
)
x
y
x
y
x
y
R
≥
b
e
e
b
e
e
，则
0x ____ ，
0y _____ ，
b
_____．
28．(2014 山东)在
ABC
V
中，已知
tan
AB AC
A
uuur uuur
，当
6
A
时，
ABC
V
的面积为
．
29．(2014 安徽)已知两个不相等的非零向量a ，b ，两组向量
1
2
3
4
5
,
,
,
,
x
x
x
x
x
和
1
2
3
4
5
,
,
,
,
y
y
y
y
y
均
由2 个a 和3 个b 排列而成．记
1
1
2
2
3
3
S
x
y
x
y
x
y
4
4
5
5
x
y
x
y
，
min
S
表示S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是____(写出所有正确命题
的编号)．
①S 有5 个不同的值．
②若
a
b 则
min
S
与|
|
a 无关．
③若∥
a
b 则
min
S
与|
|
b 无关．
④若|
| 4 |
|
b
a ，则
0
min
S
．
⑤若|
| 2 |
|
b
a ，
2
min
8|
|
S
a
，则a 与b 的夹角为4
．
30．(2013 山东)已知向量AB
与AC
的夹角120，且| AB
|=3，| AC
|=2，若
AP
AB
AC
，且AP
BC
，则实数的值为_____．
31．(2013浙江)设
1e ，
2e 为单位向量，非零向量
1
2
x
y
b
e
e ，,x y R ，若
1e ，
2e 的夹角为6
，则|
|
|
|
x
b
的最大值等于________．
32．(2013 天津)在平行四边形ABCD 中，AD = 1，
60
BAD
，E 为CD 的中点．若
·
1
AC BE
，则AB
的长为
．
33．(2011 浙江)若平面向量，满足||=1，| |≤1，且以向量，为邻边的
平行四边形的面积为1
2
，则与的夹角的取值范围是
．
34．(2019 江苏12)如图，在
ABC
△
中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA，AD 与CE 交于点O ．若
6
AB AC
AO EC
，则AB
AC
的值是
．
35 ．(2019 浙江17) 已知正方形ABCD 的边长为1 ，当每个
(
1,2,3,4,5,6)
i i
取遍
1
时，
1
2
3
4
5
6
|
|
AB
BC
CD
DA
AC
BD
的最小值是________，最大值是_______．
36．(2019 天津理14 )在四边形ABCD 中，
,
2 3,
5,
30
AD
BC
AB
AD
A
∥
，点E 在线段CB
的延长线上，且AE
BE
，则BD AE
．
37．(2018 上海)在平面直角坐标系中，已知点
( 1 0)
A ，，(2,0)
B
，E ，F 是y 轴上的两个动点，且|
| 2
EF
，
则AE BF
的最小值为______．
38．(2017 江苏)在平面直角坐标系xOy 中，
( 12,0)
A
，
(0,6)
B
，点P 在圆O ：
2
2
50
x
y
上，若
20
PA PB
≤
，则点P 的横坐标的取值范围是
．
39．(2016 年浙江)已知向量,a b ，|
| 1
a
，|
| 2
b
，若对任意单位向量e ，均有
|
|
|
|
6
-
ae
be
，则
a b 的最大值是
．
40．(2015 天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB
DC
∥
，
2
AB
，
1
BC ，
60
ABC
．
动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE
BC
，
1
9
DF
DC
，则AE AF
的最小值为
．
41．(2015 江苏)设向量
(cos
,sin
cos
)
6
6
6
k
k
k
k
a
(
0,1,2,
,12)
k
，则
12
0
1)
(
k
k
k a
a
的值为
．
42．(2014 湖南)在平面直角坐标系中，O 为原点，
( 1,0), (0, 3),
(3,0),
A
B
C
动点D 满足|
| 1
CD
，则
|
|
OA
OB
OD
的最大值是
．
43．(2012 江苏)如图，在矩形ABCD 中，
2
2
AB
BC
，
，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若
2
AB
AF
，则AE
BF
的值是
．
44．(2012 山东)如图，在平面直角坐标系xoy 中，一单位圆的圆心的初始位置在
1,0
，此时圆上一点P 的
位置在
0,0
，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于
1,2
时，OP 的坐标为
．
45．(2017 江苏)已知向量
(cos ,sin )
x
x
a
，
(3,
3)
b
，
[0, ]
x
．
(1)若∥
a
b ，求x 的值；
(2)记
( )
f x
a b ，求
( )
f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．
46．(2015 广东)在平面直角坐标系xoy 中，已知向量
2
2
(
,
)
2
2
m
，
(sin ,cos )
x
x
n
，
(0,
)
2
x
．
(1)若
m
n ，求tan x 的值；
(2)若m 与n的夹角为3
，求x 的值．
47．(2014 山东)已知向量
,cos2
,
sin2 ,
m
x
x n
a
b
，函数
f x
a b，且
y
f x
的图像过点
, 3
12
和点2
, 2
3
．
(Ⅰ)求
,
m n 的值；
(Ⅱ)将
y
f x
的图像向左平移
0
个单位后得到函数
y
g x
的图像，若
y
g x
图像上各最高点到点
0,3 的距离的最小值为1，
求
y
g x
的单调递增区间．
48．(2014 辽宁)在ABC
中，内角
, ,
A B C 的对边, ,
a b c ，且a
c
，已知
2
BA BC
，
1
cos
3
B
，
3
b
，求：
(Ⅰ)a 和c 的值；
(Ⅱ)cos(
)
B
C
的值．
49．(2013 江苏)已知
(cos
,sin
)
a
，
(cos
,sin
)
b
，0
．
(1) 若|
|
2
a
b
，求证：
a
b ；
(2) 设
(0,1)
c
，若
a
b
c ，求，的值．
50．(2013 辽宁)设向量
3sin ,sin
,
cos ,sinx ,
0,
.
2
x
x
x
x
a
b
(I)若|
| |
|
a
b ，求x 的值；
(II)设函数
( )
f x
a b ，求
( )
f x 的最大值．
