北京曲一线图书策划有限公司 高考项目部
专题六 平面向量与复数
6.1 平面向量的概念及线性运算
考点 平面向量的概念及线性运算
1.(2023北京,3,4分)已知向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则|a|2-|b|2= ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
答案 B 由题知{ a+b=(2,3), 则{a=(0,2),
a−b=(−2,1), b=(2,1),
所以|a|2-|b|2=4-5=-1.
2.(2022全国乙文,3,5分)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案
D 由题意知a-b=(4,-3),
所以|a-b|= =5,故选D.
√42+(−3) 2
3.(2022新高考Ⅰ,3,5分)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记⃗CA=m,⃗CD=n,则⃗CB= ( )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
答案
B 由题意可知,
⃗DA=⃗CA−⃗CD
=m-n,又BD=2DA,所以
⃗BD=2⃗DA
=2(m-n),所以
⃗CB=⃗CD+⃗DB=n-2(m-n)=3n-2m,故选B.
4.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,⃗BC=3⃗CD,则( )
1 4 1 4
A.⃗AD=- ⃗AB+ ⃗AC B.⃗AD= ⃗AB- ⃗AC
3 3 3 3
4 1 4 1
C.⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC D.⃗AD= ⃗AB- ⃗AC
3 3 3 3
4 4 1 4
答案 A ⃗AD=⃗AB+⃗BD=⃗AB+⃗BC+⃗CD=⃗AB+ ⃗BC=⃗AB+ (⃗AC-⃗AB)=- ⃗AB+ ⃗AC.故选A.
3 3 3 3
5.(2014课标Ⅰ文,6,5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则⃗EB+⃗FC=( )
1 1
A.⃗AD B. ⃗AD C.⃗BC D. ⃗BC
2 2
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答案 A 设 =a, =b,则 =-1b+a, =-1a+b,从而 + =( 1 )+( 1 )=1
⃗AB ⃗AC ⃗EB ⃗FC ⃗EB ⃗FC − b+a − a+b
2 2 2 2 2
(a+b)=⃗AD,故选A.
6.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ= .
1
答案
2
λ 1 1
解析 由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是λa+b与a+2b平行等价于 = ,即λ= .
1 2 2
7.(2015北京理,13,5分)在△ABC中,点M,N满足⃗AM=2⃗MC,⃗BN=⃗NC.若⃗MN=x⃗AB+y⃗AC,则x=
,y= .
1 1
答案 ;-
2 6
解析 由⃗AM=2⃗MC知M为AC上靠近C的三等分点,由⃗BN=⃗NC知N为BC的中点,作出草图如下:
1 1 2 1 1
则有⃗AN= (⃗AB+⃗AC),所以⃗MN=⃗AN-⃗AM= (⃗AB+⃗AC)- ·⃗AC= ⃗AB- ⃗AC,
2 2 3 2 6
1 1
又因为⃗MN=x⃗AB+y⃗AC,所以x= ,y=- .
2 6
1 2
8.(2013江苏,10,5分)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD= AB,BE= BC.若⃗DE=λ⃗AB+λ⃗AC
1 2
2 3
(λ,λ 为实数),则λ+λ 的值为 .
1 2 1 2
1
答案
2
1 2 1 2 1 2
解析 ⃗DE=⃗DB+⃗BE= ⃗AB+ ⃗BC= ⃗AB+ (⃗AC-⃗AB)=- ⃗AB+ ⃗AC,
2 3 2 3 6 3
1 2 1
∵⃗DE=λ⃗AB+λ⃗AC,∴λ=- ,λ= ,故λ+λ= .
1 2 1 2 1 2
6 3 2
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