目录
第1 讲
平面向量的基本概念与线性运算·········1
第2 讲
平面向量基本定理及坐标表示···········4
第3 讲
平面向量的数量积及其应用··············7
第4 讲
不等式的概念及其性质·················10
第5 讲
不等式求解方法·························13
第6 讲
不等式拓展······························16
第7 讲
数列的概念与表示法····················19
第
讲
1
1
平面向量的基本概念与线性运算
2
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，−→
AB+−→
AD = λ−→
AO，则λ =( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
【测试2】
P 为△ABC 内部一点，且满足|PB| = 2|PA| = 2，∠APB = 5π
6 ，且2−→
PA+3−→
PB+4−→
PC =⃗0，则△ABC
的面积为( )
A. 9
8
B. 4
3
C. 1
D. 6
5
第1 讲
3
拍摄区
【测试3】
下列结论中，正确的是
．
①零向量只有大小没有方向
②对任一向量−→a ，|−→a | > 0 总是成立的
③
−→
AB
=
−→
BA
④
−→
AB
与线段BA 的长度不相等
【测试4】
已知两个非零向量−→a ，−→b 不共线，−→
OA = −→a +−→b ，−→
OB = −→a +2−→b ，−→
OC = −→a +3−→b ．
（1）证明A，B，C 三点共线．
（2）试确定实数k，使k−→a +−→b 与−→a +k−→b 共线．
第
讲
2
4
平面向量基本定理及坐标表示
第2 讲
5
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
已知向量⃗a = (−3,4)，则下列能使⃗a = λ−→
e1 + µ−→
e2 (λ,µ ∈R) 成立的一组向量−→
e1,−→
e2 是( )
A. −→
e1 = (0,0),−→
e2 = (−1,2)
B. −→
e1 = (−1,3),−→
e2 = (2,−6)
C. −→
e1 = (−1,2),−→
e2 = (3,−1)
D. −→
e1 =
(
−1
2,1
)
,−→
e2 = (1,−2)
【测试2】
在△ABC 中，点P 满足−→
BP = 2−→
PC，过点P 的直线与AB，AC 所在直线分别交于点M，N，若
−→
AM = m−→
AB，−→
AN = n−→
AC(m > 0,n > 0)，则m+2n 的最小值为( )
A. 3
B. 4
C. 8
3
D. 10
3
6
拍摄区
【测试3】
如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E，使得DE = CD. 若动点P 从点A 出发，沿正方形
的边按逆时针方向运动一周回到A 点，其中−→
AP = λ−→
AB+ µ−→
AE，下列判断不正确的是( )
A. 当P 在D 点时，λ + µ = 2
B. 满足λ + µ = 1 的点P 有且只有一个
C. 满足λ + µ = a(a > 0) 的点P 最多有2 个
D. λ + µ 的最大值为3
【测试4】
已知O、A、B、C 是平面内四点，−→
OC = sin2α−→
OA+cos2α−→
OB，α 是锐角．
（1）证明：C 在线段AB 上．
（2）若α = 45◦，
−→
OA
=
−→
OB
= 1，且
−→
OA−−→
OB
=
√
2，求
−→
OC
．
第
讲
3
7
平面向量的数量积及其应用
8
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
已知平面向量−→a ，−→b 满足|−→a | = 3，
−→b
= 2
√
3，且−→a + −→b 与−→a 垂直，则−→a 与−→b 的夹角为
( )
A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
【测试2】
已知两个非零向量−→a ,−→b ，且满足|−→a +−→b | = |−→a −−→b |，则下面结论正确的是( )
A. −→a //−→b
B. −→a ⊥−→b
C. |−→a | = |−→b |
D. −→a +−→b = −→a −−→b
第3 讲
9
拍摄区
【测试3】
在等腰直角△ABC 中，AB = AC = 3，点D 在边BC 上，且BD = 1
2DC，点P 是线段AD 上的任意
一点，则−→
AP·−→
CP 的取值范围是( )
A.
[
−9
20,2
]
B.
[
−9
16,0
]
C.
[
9
16,2
]
D.
[
0, 9
20
]
【测试4】
平面直角坐标系xOy 中，已知向量−→
AB = (6,1)，−→
BC = (x,y)，−→
CD = (−2,−3)，且−→
AD//−→
BC．
（1）求x 与y 之间的关系式．
（2）若−→
AC⊥−→
BD，求四边形ABCD 的面积．
第
讲
4
10
不等式的概念及其性质
第4 讲
11
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
已知−1 < a < 0，A = 1+a2，B = 1−a2，C =
1
1+a，比较A，B，C 的大小，结果为( )
A. A < B < C
B. B < C < A
C. A < C < B
D. B < A < C
【测试2】
若a1995 < a1994 < a1996，则一定有( )
A. a > 1
B. a < −1
C. −1 < a < 0
D. 0 < a < 1
12
拍摄区
【测试3】
在下列函数中，最小值是2 的是( )
A. y = x
2 + 2
x
B. y = x+2
√x+1(x > 0)
C. y = sinx+
1
sinx，x ∈
(
0, π
2
)
D. y = 7x +7−x
【测试4】
已知x、y ∈R+，且
1
2+x +
1
3+y = 1
3，则x+y 的最小值为
．
【测试5】
若a > 0，b > 0，则( )
A. b
a3 + a
b3 ⩾1
a + 1
b
B. b
a3 + a
b3 ⩾1
a2 + 1
b2
C. b
a3 + a
b3 ⩾a+b
D. b
a3 + a
b3 ⩾a2 +b2
第
讲
5
13
不等式求解方法
14
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
设0 < b < 1+a，若关于x 的不等式(x−b)2 > (ax)2 的解集中的整数解恰有3 个，则( )
A. −1 < a < 0
B. 0 < a < 1
C. 1 < a < 3
D. 3 < a < 6
【测试2】
对任意xy ∈R，|x−1|+|x|+|y−1|+|y+1| 的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
第5 讲
15
拍摄区
【测试3】
解不等式(x+1)(x−1)(x+3)(x+5) > 0．
【测试4】
已知f (x) = kx+2，不等式|f (x)| < 3 的解集为(−1,5)，不等式
x
f (x) ⩾1 的解集为A．
（1）求集合A．
（2）设g(x) = log2
(
ax2 −2x+2
)
的定义域为B，若B∩A̸ = ∅，求实数a 的取值范围．
第
讲
6
16
不等式拓展
第6 讲
17
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
求证：√a−√a−1 < √a−2−√a−3(a ⩾3)．
【测试2】
已知x2 +y2 = a，m2 +n2 = b，求证：mx+ny ⩽
√
ab．
18
拍摄区
【测试3】
若a > 1，求证：acos2x +a2sin2x > 2．
【测试4】
已知f (x) 是定义在R 上的偶函数，x ⩽0 时，f (x) = log2 (−x+1)．
（1）求函数f (x) 在定义域R 上的解析式．
（2）若存在x ∈[0,2] 使得不等式f
(
x2 −2x+a
)
< 2 能成立，求实数a 的取值范围．
第
讲
7
19
数列的概念与表示法
20
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：30 分钟
你的用时：
【测试1】
下列叙述中正确的是( )
A. 数列1,3,5,7 和数列3,1,5,7 是相同的数列
B. 数列1,3,5,7,9,··· 的第五项是确定的
C. 数列1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7}
D. 同一个数在数列中不可能重复出现
【测试2】
对于数列{an}，n ∈N∗，定义an =
[
n
10
]
+
[
n
102
]
+
[
n
103
]
+···+
[
n
10k
]
，其中k 是满足10k ⩽n 的
最大整数，[x] 表示不超过x 的最大整数，如[2.5] = 2，[3] = 3，则
（1）a2018 =
．
（2）满足am = 100 的最大整数m 为
．
第7 讲
21
拍摄区
【测试3】
求自然数a 的最大值，使得不等式
1
n+1 +
1
n+2 +···+
1
3n+1 > 2a−5 对一切正整数n 都成立．
【测试4】
设数列{an} 的通项公式为an = n2 +λn，且{an} 满足a1 < a2 < a3 < ··· < an < an+1 < ···，求实
数λ 的取值范围．
