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2020 春
高一数学·目标竞赛班（一试）
模拟测试试卷
（本试卷共二大题，满分120 分，考试时间80 分钟）
一、填空题（每题8 分）
1
设f (x) 为奇函数，g(x) 为偶函数，且f (x)+g(x) =
√
1+cos2x
1−sinx
(
x ∈
(
−π
2 , π
2
))
．则f 2 (x)−
g2 (x) =
．
2
已知实数x、y 满足x2 +y2 ⩽1．则x+y−xy 的最大值为
．
3
若正七边形P1P2 ···P7 的边长为2，则−−→
P1P2 ·−−→
P2P5 =
．
4
已知△ABC 的外心为O，内心为I，∠B = 30◦．若OI//BC，则cosC =
．
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1419092614297
5
在一个圆上任取三点(相同长度的弧上取到同样多个点的概率相同) 构成的三角形为锐角三角
形的概率是
．
6
设整数数列a1，a2，··· 满足对所有的素数p 及正整数k，均有apk+1 = pak −3ap +13．
则a2019 的所有可能值为
．
7
已知W1、W2、W3、W4、W5 五个球均在球W 内部，与球W 相切，且W1、W2、W3、W4 两两
相切，W2、W3、W4、W5 两两相切．若球W2、W3、W4 的半径均为1，则W1、W5 两球半径之
和的最小值为
．
8
设长轴为2
√
3、离心率为
√
6
3
的椭圆在平面直角坐标系中的第一象限内滑行，椭圆始终保持
与两坐标相切．则其中心的轨迹的长度为
．
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二、解答题（第9 题16 分，第10、11 题20 分）
9
已知a、b、c、d > 0，且abcd ⩾1．
证明：
c
√
a+
√
bc
+
d
√
b+
√
cd
+
a
√
c+
√
da
+
b
√
d +
√
ab
⩾2
√
2．
10
已知抛物线C : y = 1
2x2 与直线l : y = kx−1 没有公共点，P 为l 上的动点，过P 作抛物线C
的两条切线，A、B 为切点．证明：
（1）直线AB 恒过定点Q．
（2）若点P 与(1) 中的定点Q 的连线与抛物线C 交于M、N 两点，则|PM|
|PN| = |QM|
|QN| ．
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11
已知n 次整系数多项式f (x) = anxn+an−1xn−1+···+a1x+a0，其中，0 ⩽ai ⩽2019(i = 0,1,··· ,n)，
且β 为方程f (x) = 0 的一个复数根．证明：Re(β) ⩽0 与|β| < 46 至少有一个成立．
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