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CONTENTS
第8 讲
线性规划
1
第9 讲
空间几何体进阶
4
第10 讲
空间的平行问题
7
第11 讲
空间的垂直问题
12
第12 讲
截面与球的切接问题
17
第13 讲
空间中的距离与夹角问题
21
第14 讲
空间中的动点问题
24
第15 讲
直线的方程与相关位置关系
28
第16 讲
圆的方程与相关位置关系
32
参考答案
35
第8 讲
线性规划
1
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
第8 讲
线性规划
基础题
1 若变量x，y 满足约束条件
x−y ⩾0
x+y−3 ⩽0
y ⩾1
，则目标函数z = −2x+y 的最大值为( )
A. 1
B. −1
C. −3
2
D. −3
2 已知点P(x,y) 的坐标满足
x−y ⩽0
x−3y+2 ⩾0
y > 0
，则(x−1)2 +y2 的取值范围是( )
A.
[1
2,9
)
B.
[1
2,9
]
C. [1,9)
D.
[1
2,3
)
2
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
巩固题
3 在坐标平面上，不等式组
y ⩾2|x|−1
y ⩽x+1
所表示的平面区域的面积为( )
A. 2
√
2
B. 8
3
C. 2
√
2
3
D. 2
4 已知实数x，y 满足
x+y ⩾1
mx−y ⩽0
2x−y+2 ⩾0
，若z = 3x−y 的最大值为1，则m 的值为( )
A. 8
3
B. 2
C. 1
D. 2
3
5 设关于x，y 的不等式组
x−2y+1 > 0
x−m > 0
y−m > 0
表示的平面区域内存在点P(x0,y0)，满足3x0 −2y0 = 1．则
m 的取值范围是( )
A.
(
−∞, 2
3
)
B.
(
−∞, 1
3
)
C. (−∞,1)
D. (−∞,−1)
第8 讲
线性规划
3
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
6 若x，y 满足约束条件
x−1 ⩾0
x ⩽y
x+y ⩽4
，则1
x + 2
y 的最大值为( )
A. 5
3
B. 2
C. 3
2
D. 3
拔高题
7 已知实数x，y 满足
2x−y+6 ⩾0
4x−y−2 ⩽0
x ⩾0
y ⩾0
，若目标函数z = ax+by(a > 0,b > 0) 的最大值为2，则1
a + 1
b
的最小值为( )
A. 9+2
√
14
B. 4+2
√
6
C. 9+2
√
15
D. 5+2
√
6
4
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
第9 讲
空间几何体进阶
基础题
1 下列命题正确的是( )
A. 底面是正方形的四棱柱是正方体
B. 棱锥的高线可能在几何体之外
C. 有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱
D. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥
2 已知圆锥底面半径为4，高为3，则该圆锥的表面积为( )
A. 16π
B. 20π
C. 24π
D. 36π
巩固题
3 一个圆台的上、下底面积是πcm2 和49πcm2，一个平行于底面的截面积为25πcm2，则这个截面与上、
下底面的距离之比为( )
A. 2 : 1
B. 3 : 1
C.
√
2 : 1
D.
√
3 : 1
第9 讲
空间几何体进阶
5
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
4 一个高为1
2 的正三棱锥的底面正三角形的边长为3，则此正三棱锥的表面积为
．
5 如图，四面体S−ABC 的三组对棱分别相等，且依次为2
√
5，
√
13，5，求四面体S−ABC 的体积．
6 四棱锥P−ABCD 的侧面PAB 垂直于底面ABCD，且三角形PAB 是等边三角形，底面ABCD 是边长
为2 的正方形，则四棱锥P−ABCD 外接球的表面积为( )
A. 28
√
3
27 π
B.
√
21
3
C. 4π
D. 28
3 π
6
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
拔高题
7 如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个半径为x 的内接圆柱．当x 为何值时，圆柱的
全面积最大，最大全面积为多少？
8 圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是5，则它的侧面积是( )
A. π
B. 5π
C. 10π
D. 20π
第10 讲
空间的平行问题
7
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
第10 讲
空间的平行问题
基础题
1 设α，β，γ 为两两不重合的平面，l，m，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若α//β，γ//β，则α//γ；
②若m ⊂α，n ⊂α，m//β，n//β，则α//β；
③若α//β，l ⊂α，则l//β；
④若α ∩β = l，β ∩γ = m，γ ∩α = n，l//γ，则m//n．
其中正确结论的序号为
．(请写出所有正确的序号)
2 关于两条不同的直线m、n 与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是( )
A. m//α，n//β 且α//β，则m//n
B. m⊥α，n⊥β 且α⊥β，则m//n
C. m⊥α，n//β 且α//β，则m⊥n
D. m//α，n⊥β 且α⊥β，则m//n
8
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
巩固题
3 如图，四棱锥P−ABCD 中，PA⊥底面ABCD，AD//BC，AB = AD = AC = 3，PA = BC = 4，M 为线段AD
上一点，AM = 2MD，N 为PC 的中点．证明：MN// 平面PAB．
4 在三棱柱ABC −A1B1C1 中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，AA1 = BC = 3，A1B = AC = 4，AB = 5，E 为AB
的中点．求证：BC1// 平面A1CE．
第10 讲
空间的平行问题
9
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
5 如图，已知直三棱柱ABC −A1B1C1 中，AB = BC，E 为AC 的中点．求证：AB1// 平面BC1E．
6 如图，在几何体ABCDE 中，四边形ABCD 是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB = BE = EC = 2，点G，
F 分别是线段BE，DC 的中点．求证：GF// 平面ADE．
10
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
7 如图，在四棱锥P−ABCD 中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD 是正方形，E 是PA 的中点，求证：PC//
平面EBD．
第10 讲
空间的平行问题
11
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
拔高题
8 在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，M、N、P 分别是AD1、BD、B1C 的中点，
求证：
（1）MN// 平面CC1D1D．
（2）平面MNP// 平面CC1D1D．
12
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
第11 讲
空间的垂直问题
基础题
1 已知互相垂直的平面α，β 相交于直线l，若直线m，n 满足m//α，n⊥β，则( )
A. m//l
B. m//n
C. n⊥l
D. m⊥n
2 设m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m⊥n
B. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥β
C. 若m⊥n，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β
D. 若α//β，m ⊂α，n ⊂β，则m//n
巩固题
3 如图，PA 垂直于矩形ABCD 所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )
A. 2 对
B. 3 对
C. 4 对
D. 5 对
第11 讲
空间的垂直问题
13
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
4 如图所示，在四棱锥P−ABCD 中，PA⊥底面ABCD，且底面ABCD 为菱形，M 是PC 上的一个动点，
若要使得平面MBD⊥平面PCD，则应补充的一个条件可以是( )
A. MD⊥MB
B. MD⊥PC
C. AB⊥AD
D. M 是棱PC 的中点
5 在三棱柱ABC −A1B1C1 中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，AA1 = BC = 3，A1B = AC = 4，AB = 5，E 为AB
的中点．求证：A1A⊥平面A1BC．
14
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
6 如图所示，在四棱锥P−ABCD 中，AB⊥平面PAD，AB//CD，E 是PB 的中点，PD =
√
2，PA =
√
5，
AB = AD = 3，AH
HD = 2．证明：PH⊥平面ABCD．
7 如图，在直三棱柱ABC −A1B1C1 中，D，E 分别为AB，BC 的中点，点F 在侧棱B1B 上，且B1D⊥A1F，
A1C1⊥A1B1．求证：平面B1DE⊥平面A1C1F．
第11 讲
空间的垂直问题
15
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
8 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E、F 分别为棱AD、AB 的中点．
（1）求证：EF// 平面CB1D1．
（2）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．
16
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
拔高题
9 在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠PAD = ∠PAB，AC 交BD 于点O．
求证：平面PAC⊥平面PBD．
10 如图，在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且SA = SB = SC = SD，其中E，M，N 分别是边
BC，CD，SC 的中点，动点P 在线段MN 上运动时，下列四个结论：
①EP⊥AC；②EP//BD；③EP// 平面SBD；④EP⊥平面SAC，其中恒成立的是( )
A. ①③
B. ③④
C. ①④
D. ②③
第12 讲
截面与球的切接问题
17
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
第12 讲
截面与球的切接问题
基础题
1 下列命题中错误的是( )
A. 圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个
B. 圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个
C. 圆台的所有平行于底面的截面都是圆面
D. 圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形
2 圆柱的轴截面是正方形，且轴截面面积是5，则它的侧面积是( )
A. π
B. 5π
C. 10π
D. 20π
巩固题
3 在三棱锥A−BCD 中，AB = CD = a，截面MNPQ 与AB，CD 都平行，则截面MNPQ 的周长是( )
A. 4a
B. 2a
C. 3a
2
D. 周长与截面的位置有关
18
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
4 如图所示的正四棱锥V −ABCD，它的高VO =
√
3，侧棱长为
√
7，O′ 是高VO 的中点，求过O′ 点且与
底面平行的截面(即中截面) 的面积．
5 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π
2 ，则这个正方体的体积为( )
A. 3
√
3
B. 27
C. 3
√
3
2
D. 9
√
3
6 在平行四边形ABCD 中，∠ABD = 90◦，且AB = 1，BD =
√
2，若将其沿BD 折起使平面ABD⊥平面
BCD，则三棱锥A−BDC 的外接球的表面积为
．
第12 讲
截面与球的切接问题
19
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
7 四棱锥P−ABCD 的侧面PAB 垂直于底面ABCD，且三角形PAB 是等边三角形，底面ABCD 是边长
为2 的正方形，则四棱锥P−ABCD 外接球的表面积为( )
A. 28
√
3
27 π
B.
√
21
3
C. 4π
D. 28
3 π
8 已知三棱锥S−ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA⊥平面SCB，
SA = AC，SB = BC，三棱锥S−ABC 的体积为9，则球O 的表面积为
．
拔高题
9 如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，P 是A1B1 的中点，过点A1 作与截面PBC1 平行的
截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．
20
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
10 如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC = 90◦，CD//AB，AB = 4，AD = CD = 2，将△ADC 沿AC 折起，使
平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D−ABC，如图2 所示．求几何体D−ABC 内切球的半径．
第13 讲
空间中的距离与夹角问题
21
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
第13 讲
空间中的距离与夹角问题
基础题
1 △ABC 中，AB = 9,AC = 15,∠BAC = 120◦，它所在平面外一点P 到△ABC 三个顶点的距离都是14，那
么点P 到平面ABC 的距离是
．
巩固题
2 已知△ABC 中，∠A = 30◦，∠B = 60◦，AB = 2，AB ⊂平面α，平面ABC 与α 所成角为30◦，则点C 到平
面α 的距离为
．
3 如图，梯形ABCD 中，AD//BC，∠ABC = π
2 ，AB = a，PA⊥平面ABCD，PA = a．则点A 到平面PBC 的
距离是
．
22
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
4 在长方体ABCD−A1B1C1D1 中，B1C 和C1D 与底面A1B1C1D1 所成的角分别为45◦和60◦，则异面直
线B1C 和C1D 所成的角的余弦值为
．
5 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1 中，BC1 与平面BB1D1D 所成角为
．
第13 讲
空间中的距离与夹角问题
23
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
拔高题
6 如图，直三棱柱ABC −A1B1C1 中，∠ACB = 90◦，AB = 2，BC = 1，D 为AB 的中点，则异面直线CD 与
A1C1 所成的角的大小为( )
A. 90◦
B. 60◦
C. 45◦
D. 30◦
24
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
第14 讲
空间中的动点问题
基础题
1 在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，点P 在线段AD1 上运动，则异面直线CP 与BA1 所成的角θ 的取值
范围是( )
A.
(
0, π
3
)
B.
[
0, π
3
)
C.
[
0, π
3
]
D.
(
0, π
3
]
巩固题
2 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为1，P，Q 分别是线段AD1 和B1C 上的动点，且满足AP = B1Q，
则下列结论错误的是( )
A. 存在P，Q 的某一位置，使AB//PQ
B. △BPQ 的面积为定值
C. 当PA > 0 时，直线PB1 与AQ 是异面直线
D. 无论P，Q 运动到任何位置，均有BC⊥PQ
第14 讲
空间中的动点问题
25
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
3 如图，在直角梯形ABCD 中，AD//BC，∠ADC = 90◦，AE⊥平面ABCD，EF//CD，BC = CD = AE = EF =
1
2AD = 1．
（1）求证：CE// 平面ABF．
（2）在直线BC 上是否存在点M，使二面角E −MD−A 的大小为π
6 ？若存在，求出CM 的长; 若不存
在，说明理由．
26
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
4 如图，在三棱锥P−ABC 中，PA⊥AC，PA⊥AB，PA = AB，∠ABC = π
3 ，∠BCA = π
2 ，点D，E 分别在棱PB，
PC 上，且DE//BC．
（1）求证：BC⊥平面PAC．
（2）当点D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值的大小．
（3）是否存在点E 使得二面角A−DE −P 为直二面角？并说明理由．
第14 讲
空间中的动点问题
27
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
拔高题
5 在棱长为1 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，点F 是棱CC1 的中点，P 是正方体表面上的一点．
若D1P⊥AF，则线段D1P 长度的取值范围是( )
A.
(
0,
√
2
]
B.
(
0,
√
34
4
]
C.
(
0, 3
2
]
D.
(
0,
√
3
]
28
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
第15 讲
直线的方程与相关位置关系
基础题
1 经过两点A(4,2y+1)，B(2,−3) 的直线的倾斜角为3π
4 ，则y =( )
A. −1
B. −3
C. 0
D. 2
2 若直线x+my−2 = 0 的倾斜角为30◦，则实数m 的值是( )
A. −
√
3
3
B.
√
3
3
C. −
√
3
D.
√
3
巩固题
3 点(3,4) 到直线x
3 + y
4 = 0 的距离是( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 24
5
第15 讲
直线的方程与相关位置关系
29
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
4 与直线2x+y+1 = 0 的距离为
√
5
5
的直线的方程是( )
A. 2x+y = 0
B. 2x+y−2 = 0
C. 2x+y = 0 或2x+y−2 = 0
D. 2x+y = 0 或2x+y+2 = 0
5 过点A(1,0) 的直线l1 与过点B(−1,4) 的直线l2 平行，且它们之间的距离为
√
2．求直线l1 和l2 的
方程．
6 已知直线(a−2)y = (3a−1)x−1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的取值范围是
．
30
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
7 对于任意实数m，直线mx−y+1−3m = 0 必经过的定点坐标是( )
A. (3,1)
B. (1,3)
C.
( 1
m,−3m
)
D. 无法确定
8 方程(1+4k)x−(2−3k)y+(2−14k) = 0 表示的直线必经过定点
．
拔高题
9 已知两点A(−1,5)、B(4,−2)，若直线l 经过点T (0,−4) 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值
范围为
．
第15 讲
直线的方程与相关位置关系
31
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
10 已知点A(−2,2) 和点B(−3,−1)，在直线l：y = 2x−1 上找一点P，使：
（1）|PA|+|PB| 最小．
（2）|PA|2 +|PB|2 最小．
32
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
第16 讲
圆的方程与相关位置关系
基础题
1 以(2,0) 为圆心，经过原点的圆的方程为( )
A. (x+2)2 +y2 = 4
B. (x−2)2 +y2 = 4
C. (x+2)2 +y2 = 2
D. (x−2)2 +y2 = 2
2 圆x2 +y2 +4x−6y−3 = 0 的圆心和半径分别为( )
A. (−2,3)，4
B. (−2,3)，16
C. (2,−3)，4
D. (4,−6)，16
巩固题
3 在平面直角坐标系xOy 中，圆O : x2 +y2 = 1，圆C : (x−4)2 +y2 = 4．若存在过点P(m,0) 的直线l，l
被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是
．
第16 讲
圆的方程与相关位置关系
33
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
4 若圆x2 +y2 −2kx+2y+2 = 0(k > 0) 与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围是( )
A. 0 < k <
√
2
B. 1 < k <
√
2
C. 0 < k < 1
D. k >
√
2
5 若圆C：x2 +y2 −2(m−1)x+2(m−1)y+2m2 −6m+4 = 0 过坐标原点，则实数m 的值为( )
A. 2 或1
B. −2 或−1
C. 2
D. 1
6 直线l : kx−y+k +1 = 0 与圆x2 +y2 = 8 交于A、B 两点，且|AB| = 4
√
2，过点A、B 分别作l 的垂线
与y 轴交于点M、N，则|MN| 等于( )
A. 2
√
2
B. 4
C. 4
√
2
D. 8
7 圆x2 +y2 −4y = 0 与直线3x+4y+2 = 0 相交于A、B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是
．
34
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
8 求下列各圆的方程：
（1）圆心为点M (−5,3)，且过点A(−8,−1)；
（2）过三点A(−2,4)，B(−1,3)，C(2,6)．
拔高题
9 若直线y = kx−1 与曲线y = −
√
1−(x−2)2 有两个公共点，则k 的取值范围是
．
10 过直线l : y = 2x+a 上的点作圆C : x2 +y2 = 1 的切线，若在直线l 上存在一点M，使得过点M 的圆
C 的切线MP，MQ(P，Q 为切点) 满足∠PMQ = 90◦，则a 的取值范围是( )
A. [−10,10]
B.
[
−
√
10,
√
10
]
C. (−∞,−10]∪[10,+∞)
D.
(
−∞,−
√
10
]
∪
[√
10,+∞
)
参考答案
35
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
参考答案
第8 讲
线性规划
1 B
2 A
3 B
4 A
5 C
6 D
7 A
第9 讲
空间几何体进阶
1 B
2 D
3 A
4
18+9
√
3
4
5 8
6 D
7 x = 3
4；最大全面积9π
4
8 B
第10 讲
空间的平行问题
1 ①③④
2 C
3 略
4 略
5 略
6 略
7 略
8 （1）略
（2）略
36
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
第11 讲
空间的垂直问题
1 C
2 B
3 D
4 B
5 略
6 略
7 略
8 （1）略
（2）略
9 略
10 A
第12 讲
截面与球的切接问题
1 B
2 B
3 B
4 2
5 A
6 4π
7 D
8 36π
9 2
√
6
10 r = 3V
S表
=
2
√
2
√
2+
√
3+3
第13 讲
空间中的距离与夹角问题
1 7
2
√
3
4
3
√
2
2 a
4
√
6
4
5 30◦
6 D
参考答案
37
【春】高一数学目标985 班（必修5+ 必修2）进阶练习册
第14 讲
空间中的动点问题
1 D
2 B
3 （1）略
（2）作AS⊥DM，则AS =
√
3，由等面积法，得DM = 2
√
3
3 ，∴|CM| =
√
3
3
4 （1）略
（2）sin∠DAE =
√
2
4
（3）存在点E 使得二面角A−DE −P 为直二面角
5 C
第15 讲
直线的方程与相关位置关系
1 B
2 C
3 D
4 D
5 l1：x+y−1 = 0，l2：x+y−3 = 0 或l1：7x+y−7 = 0，l2：7x+y+3 = 0
6 [2,+∞)
7 A
8 (2,2)
9 (−∞,−9]∪
[1
2,+∞
)
10（1）P
( 3
65,−59
65
)
（2）P
( 1
10,−4
5
)
第16 讲
圆的方程与相关位置关系
1 B
2 A
3
(
−4, 4
3
)
4 B
5 C
6 D
7 4x−3y+6 = 0
8 （1）(x+5)2 +(y−3)2 = 25
（2）x2 +(y−5)2 = 5
9
(
0, 1
3
]
10 B
1219092514020
