答案
B
解析
解：函数
，
有且仅有一个零点等价于
，
有且仅有一个解，
即直线
与
在
时的图象只有一个交点，
设
，
，
则
，
当
时，
，
当
时，
，
即
在
上为增函数，在
上为减函数，
又因为
，
，
，
则可得实数的值为
．
故选：B．
答案
B
解析
因为
，且
，
所以当
时，
，
模块1：
1
1
练习
练习册——春季
春季讲义
讲义高三理数
高三理数
第4讲——满分系列之
分系列之导数
（中）
（中）——目标985
例题1
f x =
( )
ae −
x
2 sinx
x ∈0, π
[
]
a =
ex
2 sinx
x ∈0, π
[
]
y = a
g x =
( )
ex
2 sinx
x ∈0, π
[
]
g x =
( )
ex
2 sinx
x ∈0, π
[
]
g
x =
′ ( )
ex
2
cos x +
2
(
4
π )
0 ⩽x <
4
π
g
x >
′ ( )
0
<
4
π
x ⩽π
g
x <
′ ( )
0
g x
( )
0,
[
4
π )
, π
( 4
π
]
g 0 =
( )
0
g π =
( )
0
g
=
( 4
π )
e
2 −
4
π
a
e
2 −
4
π
例题2
f
x =
′ ( )
x −
2
2ax
a > 2
x ∈0, 2
(
)
f
x <
′ ( )
0
即
在
上是单调减函数．
又因为
，
，
所以
在
上恰好有个零点．故选B．
答案
解析
解：函数
的零点满足
，即
，
则原问题等价于函数
与函数
有且只有一个交点．
注意到函数
的定义域为
，且
，
在区间
上，
，函数
单调递增，
在区间
上，
，
单调递减，
则函数
的最大值为
，
据此可得，实数的值为
．
故答案为：
．
答案
见解析
解析
函数
的对应方程为
，
，令
，解得
；
令
，解得
；
令
，解得
．
故当
时，函数有两个零点；当
时，函数有一个零点；
当
时，函数无零点．
答案
解析
是对应方程的根，
，
．
1
1
2
f x
( )
0, 2
(
)
f 0 =
( )
1 > 0
f 2 =
( )
−
3
11
4a < 0
f x
( )
0, 2
(
)
1
例题3
5 ln2 −4
f x
( )
e
−
x+a
x +
3
2x =
2
0
a = ln x −2x
−
(
3
2)
x
y = a
g x =
( )
ln x −2x
−
(
3
2)
x
g x
( )
2, +∞
(
)
g
x =
′ ( )
−
x −2x
3
2
3x −4x
2
1 =
x x −2
(
)
−x −1
x −4
(
) (
)
2, 4
(
)
g
x >
′ ( )
0
g x
( )
4, +∞
(
)
g
x <
′ ( )
0
g x
( )
g x
( )
g 4 =
( )
5 ln2 −4
a
5 ln2 −4
5 ln2 −4
例题4
f x
( )
−3x +
2
2x −m + 1 = 0
Δ = 4 + 12 1 −m
(
)
Δ > 0
m <
3
4
Δ = 0
m =
3
4
Δ < 0
m >
3
4
m <
3
4
m =
3
4
m >
3
4
m = 1
∵0
∴1 −m = 0
∴m = 1
答案
解析
解：由题意知，函数
的定义域为
，
，
，解得
．
答案
见解析
解析
解：若函数
有两个零点，
则方程
恰有两个不相等的正实根，
即方程
恰有两个不相等的正实根．
设函数
，
．
当
时，
恒成立，
则函数
在
上是增函数，
函数
最多一个零点，不合题意，舍去；
当
时，令
，解得
，
令
，解得
，
则函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
易知
时，
恒成立，
要使函数
有个正零点，
则
的最小值
，
即
，
即
，
，
，解得
，
即实数的取值范围为
．
1
2
例题5
a = 2
f x
( )
0, +∞
(
)
f
x =
′ ( )
+
x2
a lnx −1
(
)
1
∴f
1 =
′ ( )
1 −a = −1
a = 2
F x =
( )
f x +
( )
4x
a2
−
+
x
a lnx
x −a + 2 +
=
4x
a2
0
−a lnx + x −
2
a −2 x +
(
)
=
4
a2
0
g x =
( )
−a lnx + x −
2
a −2 x +
(
)
4
a2
∴g
x =
′ ( )
2x −a −2 −
(
)
=
x
a
x
2x −a −2 x −a
2
(
)
=
x
2x −a
x + 1
(
) (
)
a ⩽0
g
x >
′ ( )
0
g x
( )
0, +∞
(
)
∴
g x
( )
a > 0
g
x >
′ ( )
0
x >
2
a
g
x <
′ ( )
0
0 < x <
2
a
g x
( )
0,
(
2
a)
, +∞
(2
a
)
x →0+
g x >
( )
0
g x
( )
2
g x
( )
g
<
(2
a)
0
−a ln
+
2
a
−
4
a2
a −2 ×
(
)
+
2
a
<
4
a2
0
−a ln
+
2
a
a < 0
∵a > 0
∴ln
>
2
a
1
a > 2e
a
2e, +∞
(
)
答案
解析
解：函数
，则
，
由题意知当
时，
，即实数的值为．
答案
见解析
解析
解：
，
所以
，
当
时，若
，则
，
，
单调递增，所以
．
当
时，若
，令
，解得
(舍去)，
，
所以
在
内单调递减，
，所以
不恒成立，
所以实数的最大值为．
，显然
有一个零点为，
设
，则
．
当
时，
无零点，所以
只有一个零点．
当
时，
，所以
在
上单调递增，
又
，
，
由零点存在性定理可知，
在
上有惟一一个零点，
所以
有个零点．
综上所述，
时，函数
只有一个零点
时，函数
有个零点．
答案
见解析
解析
．
因为
是
的极大值点，所以
，解得
．
当
时，
，
．
1
2
1
例题6
1
f x =
( )
axex
f
x =
′ ( )
ae
x + 1
x (
)
x = 0
f
0 =
′ ( )
a = 1
a
1
(i)g x =
( )
f x −
( )
b
+ x
=
( 2
x2
)
xe −
x
b
+ x
( 2
x2
)
g
x =
′ ( )
x + 1
e −b
(
) ( x
)
x ∈0, +∞
[
)
b ⩽1
e −
x
b ⩾0
g
x ⩾
′ ( )
0
g x
( )
g x ⩾
( )
g 0 =
( )
0
x ∈0, +∞
[
)
b > 1
g
x =
′ ( )
0
x
=
1
−1
x
=
2
lnb > 0
g x
( )
0, lnb
(
)
g lnb <
(
)
g 0
( )
g x ⩾
( )
0
b
1
(ii)g x =
( )
xe −
x
b
+ x
=
( 2
x2
)
x e −b
+ 1
[ x
(2
x
)]
g x
( )
0
h x =
( )
e −
x
b
+ 1
(2
x
)
h
x =
′ ( )
e −
x
2
b
b = 0
h x
( )
g x
( )
0
b < 0
h
x >
′ ( )
0
h x
( )
R
h 0 =
( )
1 −b > 0
h
−2
=
( b
2
)
e
−
−2
b
2
1 < 0
h x
( )
−∞, 0
(
)
g x
( )
2
b = 0
g x
( )
, b < 0
g x
( )
2
例题7
f
x =
′ ( )
e −
x
a 2x + 1
(
)
x = 0
f x
( )
f
0 =
′ ( )
1 −a = 0
a = 1
a = 1
f
x =
′ ( )
e −
x
2x + 1
(
)
f
x =
′′ ( )
e −
x
2
令
，解得
．
当
时，
，
在
上单调递减，又
，
所以当
时，
，当
时，
，
故
是
的极大值点．故的值为．
答案
见解析
解析
令
，
在
上只有一个零点，
当且仅当
在
上只有一个零点．
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
的最小值为
．
当
的最小值为
，即
时，
在
上只有一个零点，
即
在
上只有一个零点；
当
的最小值为
，即
时．
取
，
．
①当
，即
时，
在
和
上各有一个零点，
即
在
上有个零点，不符合题意；
②当
，即
时，
只在
上有一个零点，
即
在
上只有一个零点．
综上得，当
时，
在
上只有一个零点．
答案
解析
解：因为
，
又因为
在
处的切线方程为
，
所以
，
解得
．
2
1
f
x =
′′ ( )
0
x = ln2
x ∈−∞, ln2
(
)
f
x <
′′ ( )
0
f
x
′ ( )
−∞, ln2
(
)
f
0 =
′ ( )
0
x ∈−∞, 0
(
)
f
x >
′ ( )
f
0 =
′ ( )
0
x ∈0, ln2
(
)
f
x <
′ ( )
f
0 =
′ ( )
0
x = 0
f x
( )
a
1
g x =
( )
−
x + x + 1
2
ex
a
∵f x
( )
0, +∞
(
)
∴
g x
( )
0, +∞
(
)
∵g
x =
′ ( )
x + x + 1
(
2
)2
x x −1 e
(
)
x
x ∈0, 1
(
)
g
x <
′ ( )
0
g x
( )
x ∈1, +∞
(
)
g
x >
′ ( )
0
g x
( )
g x
( )
g 1 =
( )
−
3
e
a
i( )
g x
( )
g 1 =
( )
0
a =
3
e
g x
( )
0, +∞
(
)
f x
( )
0, +∞
(
)
ii
( )
g x
( )
g 1 <
( )
0
a >
3
e
x = n n ∈N, n > 18a > 1
(
)
g n =
( )
−
n + n + 1
2
en
a >
−
3n2
2n
a =
−
3n2
1 + 1
(
)n
a >
−
3n2
C
+ C
+ C
+ C
n
0
n
1
n
2
n
3
a = n3
g 0 =
( )
1 −a > 0
a < 1
g x
( )
0, 1
(
)
1, n
(
)
f x
( )
0, +∞
(
)
2
g 0 =
( )
1 −a ⩽0
a ⩾1
g x
( )
1, +∞
(
)
f x
( )
0, +∞
(
)
a ∈
∪
{3
e }
1, +∞
[
)
f x
( )
0, +∞
(
)
例题8
a = 2, b = −2ln2
f
x =
′ ( )
x −
(x >
x
a
0)
f x
( )
x = 2
y = x + b
f 2 =
( )
2 −aln2 = 2 + b, f
2 =
′ ( )
2 −
=
2
a
1
a = 2, b = −2ln2
答案
见解析
解析
解：当
时，
在定义域
内恒大于，
此时方程无解；
当
时，
在区间
内恒成立，
所以
在定义域
内为增函数，
因为
，
所以方程有唯一解；
当
时，
，
当
时，
，
在区间
内为减函数，
当
时，
，
在区间
内为增函数，
所以当
时，取得最小值
；
当
时，
，方程无解；
当
时，
，方程有唯一解；
当
时，
，
因为
，且
，
所以方程
在区间
内有唯一解；
当
时， 设
，
所以
在区间
内为增函数， 又
，
所以
，即
，
故
，
因为
，所以
，
所以方程
在区间
内有唯一解，
所以方程
在区间
内有两个解．
综上所述，当
时，方程无解；
当
或
时，方程有唯一解；
当
时，方程有两个解．
答案
见解析
解析
2
1
a = 0
f x
( )
0, +∞
(
)
0
a < 0
f
x =
′ ( )
x −
>
x
a
0
0, +∞
(
)
f x
( )
0, +∞
(
)
f 1 =
( )
>
2
1
0, f
e
=
(
a
1 )
(e ) −
2
1
a
1
2
1 < 0
a > 0
f
x =
′ ( )
x
x −a
2
x ∈0,
(
a)
f
x <
′ ( )
0
f x
( )
0,
(
a)
x ∈
, +∞
(
a
)
f
x >
′ ( )
0
f x
( )
, +∞
(
a
)
x =
a
f
=
(
a)
a 1 −lna
2
1
(
)
a ∈0, e
(
)
f
=
(
a)
a 1 −lna >
2
1
(
)
0
a = e
f
=
(
a)
a 1 −lna =
2
1
(
)
0
a ∈e, +∞
(
)
f
=
(
a)
a 1 −lna <
2
1
(
)
0
f 1 =
( )
>
2
1
0
>
a
1
f x =
( )
0
0,
(
a)
x > 1
g x =
( )
x −lnx, g
x =
′ ( )
1 −
>
x
1
0
g x
( )
1, +∞
(
)
g 1 =
( )
1
x −lnx > 1
lnx < x
f x =
( )
x −
2
1
2
a lnx >
x −
2
1
2
ax
2a >
>
a
1
f 2a >
(
)
2a
−
2
1 (
)2
2a =
2
0
f x =
( )
0
, +∞
(
a
)
f x =
( )
0
e, +∞
(
)
a ∈0, e
[
)
a < 0
a = e
a > e
例题9
(
)
(
)
若
，
的单调增区间为
和
；
若
，
的单调增区间为
和
；
若
，
的单调增区间为
．
答案
见解析
解析
，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
若
，
即
时，令
，解得
，
不等式的解为
．
若
即
时，令
，解得
，
不等式的解为
或
，
综上，当
时，不等式的解为
，
当
时，不等式的解为
或
．
答案
解析
，
，
在
上单调递增，在
上单调递减
在
上单调递增，
，即
，
在
上单调递增，
，
又
在
上单调递减，在
上单调递增，
必须
，
即
．
2
3
a < 0
f x
( )
−∞,
(
2
a)
, +∞
(4
a
)
a > 0
f x
( )
−∞,
(
4
a)
, +∞
(2
a
)
a = 0
f x
( )
R
∵a < 0
∴f x
( )
−∞,
(
2
a]
,
[2
a
4
a]
, +∞
[4
a
)
f
=
(4
a)
−
⩾
8
a2
a
−8 ⩽a < 0
x a −2x =
(
)
a
x =
4
a −
a −8a
2
∴
x ⩾
4
a −
a −8a
2
f
=
(4
a)
−
<
8
a2
a
a < −8
x 2x −a =
(
)
a
x =
4
a ±
a + 8a
2
⩽
4
a −
a −8a
2
x ⩽
4
a −
a + 8a
2
x ⩾
4
a +
a + 8a
2
−8 ⩽a < 0
x ⩾
4
a −
a −8a
2
a < −8
⩽
4
a −
a −8a
2
x ⩽
4
a −
a + 8a
2
x ⩾
4
a +
a + 8a
2
⩽
13
97
a < 9
f x =
( )
x∣2x −a∣=
{−2(x −
) +
, x <
4
a 2
8
a2
2
a
2(x −
) −
, x ⩾
4
a 2
8
a2
2
a
∵0 < a < 12
∴f x
( )
−∞,
(
4
a]
,
[4
a
2
a]
, +∞
[2
a
)
∴3 <
<
2
a
5
6 < a < 10
∴g x =
( )
=
x −1
x −a
2
x −1 +
+
x −1
1 −a
2
x ∈[3, 5]
∴g x ∈
( )
,
[
2
9 −a
4
25 −a]
f x
( )
3,
[
2
a]
, 5
[2
a
]
∴
g 3 , g 5
⊆
[ ( )
( )]
f
, min f 3 , f 5
[ (2
a)
{ ( )
( )}]
⇒
⎩
⎨
⎧g 5 ⩽f 3
( )
( )
g 5 ⩽f 5
( )
( )
g 3 > f
( )
( 2
a)
⩽
13
97
a < 9
答案
见解析
解析
解：由
得
，
方程可转化为
，
令
，
，
因为
，
令
，得
，
当
时，
，
所以
在
上为增函数，
当
时，
，
所以
在
上为减函数，
当
时，
，
又
，
所以
在
上为减函数，
在
上为增函数，
当
时，
，
所以当
，即
时，方程无解，
当
，即
时，方程有一个根，
当
，即
时，方程有两个根，
综上，
当
时，方程无解，
当
时，方程有一个根，
当
时，方程有两个根．
1
例题10
1
( )
f x =
( )
x
=
x
lnx
x −
2
2ex + m
h x =
( )
x > 0
x
lnx (
)
g x =
( )
x −
2
2ex + m x > 0
(
)
h
x =
′ ( )
x2
1 −lnx
h
x =
′ ( )
0
x = e
x ∈0, e
(
)
h
x >
′ ( )
0
h x =
( )
x
lnx
0, e
(
)
x ∈e, +∞
(
)
h
x <
′ ( )
0
h x =
( )
x
lnx
e, +∞
(
)
x = e
h x
=
( )max
h e =
( )
e
1
g x =
( )
x −e
−
(
)2
e +
2
m
g x =
( )
x −e
−
(
)2
e +
2
m
0, e
(
)
e, +∞
(
)
x = e
g x
=
( )min
g e =
( )
m −e2
m −e >
2
e
1
m > e +
2
e
1
m −e =
2
e
1
m = e +
2
e
1
m −e <
2
e
1
m < e +
2
e
1
m > e +
2
e
1
m = e +
2
e
1
m < e +
2
e
1
