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5.2 导数的运算
思维导图常见考法
考点一 初等函数求导
【例1】（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））求下列函数的导函数.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】(1) (2) (3) (4)
(5) (6)【解析】（1）由 ，则 ；
（2）由 ，则 ；
（3）由 ，则 ；
（4）由 ，则 ；
（5）由 ，则 ；
（6）由 ，则 .
【一隅三反】
1．（2020·西藏高二期末（文））求下列函数的导数.
（1） ；
（2） ；
（3） .
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）
（2）
（3）
2．（2020·通榆县第一中学校高二月考（理））求下列函数的导数：
（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） .
【解析】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得 .
（Ⅱ）由导数的乘法法则，可得 .
3．（2020·山东师范大学附中高二期中）求下列函数在指定点的导数：
（1） ， ；
（2） ， ．
【答案】（1） （2）
【解析】（1） ，
（2） ，
考点二 复合函数求导
【例2】．（2020·凤阳县第二中学高二期末（理））求下列函数的导数：
（1） ；（2） .
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】（1） ；
（2） ．或 ．
【一隅三反】1．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考（理））求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
【解析】(1) ；
（2） ；
（3）∵ ∴ ；
（4） .
2．（2020·横峰中学高二开学考试（文））求下列各函数的导数：
（1） ；（2） （3）y＝
【答案】（1） ；（2） .（3）
【解析】（1）因为 令 ，
所以（2） .
（3）令 ，则 ，
所以 ；
考点三 求导数值
【例3】．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））已知函数 的导函数为 ，且满足
，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，求导得 ，则 ，解得 .
故选：A.
【一隅三反】
1．（2020·广东湛江·高二期末（文））已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，因此， .
故选：A.2．（2020·四川高二期中（理））若函数 ，则 的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以令 ，则 ，
所以 ，则 ，故选： B.
3．（2020·广西桂林·高二期末（文））已知函数 ，则 （ ）
A．3 B．0 C．2 D．1
【答案】A
【解析】由题得 .故选：A
考点四 求切线方程
【例4】．（2020·郸城县实验高中高二月考（理））已知曲线
（1）求曲线在点 处的切线方程；
（2）求曲线过点 的切线方程
【答案】（1） ；（2） 或 ．
【解析】（1）∵ ，∴在点 处的切线的斜率 ，
∴曲线在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2）设曲线 与过点 的切线相切于点 ，
则切线的斜率 ，∴切线方程为 ，即 ．
∵点 在该切线上，∴ ，即 ，
∴ ，∴ ，
∴ ，解得 或 ．
故所求切线方程为 或 ．
【一隅三反】
1．（2020·黑龙江大庆实验中学高三月考（文））曲线 在点 处的切线方程为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 的导数为 ，
可得曲线 在点 处的切线斜率为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，故选A.
2．（2020·河南高三其他（理））曲线 在某点处的切线的斜率为 ，则该切线的方程
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】求导得 ，根据题意得 ，解得 （舍去）或 ，可得切点的坐
标为 ，所以该切线的方程为 ，整理得 .故选：D.
3．（2020·北京高二期末）过点P（0，2）作曲线y＝ 的切线，则切点坐标为（ ）
A．（1，1） B．（2， ） C．（3， ） D．（0，1）
【答案】A
【解析】设切点 , ,即切点
故选：A
4．（2020·吉林洮北·白城一中高二月考（理））已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
【答案】（1）x－y－4＝0
（2）x－y－4＝0或y＋2＝0
【解析】(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，
∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，
∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0．
(2)设切点坐标为(x，x3－4x2＋5x－4)，
0 0 0 0
∵f′(x )＝3x2－8x＋5，
0 0 0
∴切线方程为y－(－2)＝(3x2－8x＋5)(x－2)，
0 0
又切线过点(x，x3－4x2＋5x－4)，
0 0 0 0
∴x3－4x2＋5x－2＝(3x2－8x＋5)(x－2)，
0 0 0 0 0 0
整理得(x－2)2(x－1)＝0，解得x＝2或x＝1，
0 0 0 0
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0．考点五 利用切线求参数
【例5】．（2020·全国高三其他（理））已知曲线 在点 处的切线方程为 ，
则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】D
【解析】令 ，则 ，
所以 ，
因为曲线 在点 处的切线方程为 ，
所以该切线过原点，
所以 ，解得 ，
即 .
故选：D.
【一隅三反】
1．（2020·岳麓·湖南师大附中月考）已知函数 ，若曲线 在 处的切线
与直线 平行，则 ______.
【答案】
【解析】因为函数 ，所以 ，
又因为曲线 在 处的切线与直线 平行，所以 ，解得 ，故答案为：
2．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））曲线 在点（0，1）处的切线的斜率为2，则
a＝_____.
【答案】1
【解析】 ， ， .
故答案为：1.
3．（2020·山东莱州一中高二月考）已知直线 是曲线 的一条切线，则 ________.
【答案】4
【解析】设 ，切点为 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
故切点为 ，又切点在切线 上，
故 .
故答案为：4
