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5.2 导数的运算
【题组一 初等函数求导】
1．（2018·全国高二课时练习）求函数 在下列各点处的导数．
（1） ； （2） ； （3） ．
【答案】(1) (2)-1 (3)
【解析】∵ ，∴ ．
（1）当 时， ．
（2）当 时， ．
（3）当 时， ．
2．求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) .
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】(1)y′＝( )′＝(2)∵y＝cos ＝sin x，∴y′＝(sin x)′＝cos x.
(3)y′＝[( )x]′＝( )xln ＝ .
3．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）求下列函数的导数：
(1) ；
(2) .
【答案】（1） ；（2）
【解析】(1)y′＝ ′＝ ′cos x＋ (cos x)′＝ ′cos x－ sin x＝－ x－ cos x－
sin x＝－ － sin x＝－ .
(2)∵y＝x ＝x3＋1＋ ，∴y′＝3x2－ .
4．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）求下列函数的导数.
(1) ；
(2)f(x)=(5x-4)cos x;
(3) .
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】(1)∵ ，∴ ．
(2)∵f(x)=(5x-4)cos x，∴ ．
(3)∵ ，∴ ．
【题组二 复合函数求导】
1．（2020·宁县第二中学高二期中（理））求下列函数的导数：
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1） ， .
（2） ，
2．（2020·江苏徐州·高二月考）求下列函数的导数.
（1）
（2）
（3）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1） ；
（2）；
（3） .
3．（2020·江苏省如东高级中学高二期中）求下列函数的导函数.
（1）
（2）
【答案】（1） ；（2）
【解析】（1） ；
（2） ， ．
4．（2020·陕西泾阳·高二期中（理））求下列函数的导数：
（Ⅰ） ；
（Ⅱ） .
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】（Ⅰ） .
（Ⅱ） .
5．（2020·长春兴华高中高二期末（文））求下列函数的导数：（1） ；
（2）y＝ ；
（3） ；
【答案】（1）y′＝exsinx＋excosx.（2）y′＝3x2－ .（3）y′＝1－ cosx.
【解析】（1）y′＝(ex)′sinx＋ex(sinx)′＝exsinx＋excosx..
（2）因为y＝x3＋ ＋1，所以y′＝3x2－ .
（3）因为y＝x－ sinx，所以y′＝1－ cosx.
6．（2020·江西南昌·高二期末（理））求出下列函数的导数．
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5）【解析】（1）由 ，
则 ，
即
（2）由 ，则
（3）由 ，则 ，
（4）由 ，则 ，
（5）由 ，则 ．
【题组三 求导数值】
1．（2020·四川高二期中（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 .故选：C.
2．（2020·江西高二期末（理））若函数 的导数 满足 ，则 （
）
A．e B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，令 ，可得 ，解得 ，
因此 ， ，故选：D
3．（2020·四川省南充市白塔中学高二开学考试（文））已知函数 的导函数为 ，且满足关系
式 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意 ，令 得 ， ，故
选D.
4．（2020·四川棠湖中学高二月考（文））若函数f(x)满足f(x)＝ x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为( )
A．1 B．2 C．0 D．－1
【答案】C
【解析】依题意 ，令 得 ，解得 ，故选C.
5．（2020·河南商丘·高二期末（理））已知函数 ，则 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【解析】因为 ，则 ，
所以 ，则 ，
所以 ，所以 .故选：D.6．（2020·江西高二期末（文））已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则
______.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
将 代入得 ，解得 ，故答案为： .
7．（2020·四川内江·高二期末（文））已知 ，则 ________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 所以
所以 .故答案为： .
【题组四 求切线方程】
1．（2020·湖南高二期末）曲线 在点 处的切线方程为 ______.
【答案】
【解析】因为 ，所以切线斜率 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为： .
故答案为：
2．（2020·江西高二期末（理））已知函数 为偶函数，则 在其图象上的点
处的切线的斜率为______．【答案】
【解析】 函数 为偶函数，
，即 ，解得 ，则 ，
在点 处的切线的斜率 .故答案为： .
3．（2020·陕西西安·高新一中高三期末（文））曲线 在点 处的切线方程为________.
【答案】
【解析】 ,所以切线方程为 .故答案为: .
4．（2020·重庆八中高三月考）已知函数 为奇函数，当 时， ，则曲线
在点 处的切线方程为________.
【答案】
【解析】∵函数 是奇函数， ，
当 时， ，不妨设 ，则 ，
故 ，故 时， ，
故 ，故 ， ，
故切线方程是： ，整理得： ，故答案为： ．
5．（2020·重庆高三期中（文））曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的
面积为____________.【答案】
【解析】 ， ，
， ，
切线方程为： 即 ，
当 ，时 ，当 ，时 ，
三角形面积为： .
故答案为： .
6．（2020·五华·云南师大附中高三月考（理））曲线 在 处的切线方程为______.
【答案】
【解析】 ，当 时，切线斜率 ，
故切线方程为 ，即 .
故答案为：
7．（2020·江西高三月考（理）） 的图像在 处的切线方程为________．
【答案】
【解析】 ，则 ，且
切线方程为 ，即故答案为：
8．（2020·五华·云南师大附中高三月考（文））过原点与曲线 相切的切线方程为______．
【答案】
【解析】设切点坐标为 ，切线方程为 ，
由 ，则 ，则 ，
则 ，即 ，即 ，解得 ，所以 ，
所以原点与曲线 相切的切线方程为 ．
故答案为：
9．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高二期末（文））已知 ，则曲线 过点
的切线方程是______．
【答案】 或
【解析】设切点为 ，
的导数为 ，可得切线的斜率为 ，
又 ，解得 或 ，
当 时， ； 时， ；
曲线 过点 的切线方程为 ，则切线的方程为 或 ．
故答案为： 或 ．
10．（2020·黑龙江道里·哈尔滨三中（文））过函数 上的点 的切线方程是
_________.
【答案】 或
【解析】因为
设切点为 ，则 ，
所以切线方程为： ，
因为 在切线方程上，
所以 ，解得： 或 .
当 时， ，此时切线方程为 ；
当 时， ，此时切线方程为 .
所以，切线方程为： 或 .
故答案为： 或 .
11．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（文））过点 作曲线 （ ）
的切线，则切点坐标为________．
【答案】
【解析】由 （ ），则 ，化简得 ，
则 ，设切点为 ，显然 不在曲线上，则 ，得 ，则切点坐标为 .
故答案为： .
12．（2020·石嘴山市第三中学高二期末（理））过点 与曲线 相切的直线方程为
______________.
【答案】 .
【解析】设切点坐标为 ，
由 得 ，
切线方程为 ，
切线过点 ，
，即 ，
，
即所求切线方程为 .
故答案为： .
13．（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中高二月考（理））过点 作曲线 的切线，
则切线方程是______.
【答案】 和
【解析】设切点坐标为 ，对函数 求导得 ，则所求切线的斜率为 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，由于该直线过点 ，即 ，整理得 ，解得 或 .
当 时，所求切线的方程为 ，即 ；
当 时，所求切线的方程为 ，即 .
故答案为： 和 .
【题组五 利用切线求参数】
1．（2020·辽宁高二期末）已知函数 ，若 ，则实数 的值为
（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，函数 ，
其导数 ，则 ，
又由 ，即 ，解可得 ；
故选：A.
2．（2020·湖北省天门中学高二月考）曲线 在 处的切线平行于直线 ，则
点的坐标为（ ）
A．(1, 0) B．(2, 8)
C．(1, 0)和(-1, -4) D．(2, 8)和(-1, -4)
【答案】C
【解析】依题意,令 ，解得故 点的坐标为(1, 0)和(-1, -4)，
故选：C
3．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（文）） 设函数f(x)＝ －aln x，若f′(2)＝3，则实数a的值
为( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
【答案】B
【解析】f′(x)＝ － ，故f′(2)＝ － ＝3，因此a＝－4.
4．（2020·唐山市第十一中学高二期末）设 ，若 ，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对 求导得
将 带入有 ．
5．（2020·陕西新城·西安中学高二期末（理））如图， 是可导函数，直线 是曲线
在 处的切线，令 ， 是 的导函数，则 （ ）．
A．－1 B．0 C．2 D．4
【答案】B【解析】将点 代入直线 的方程得 ，得 ，所以， ，
由于点 在函数 的图象上，则 ，
对函数 求导得 ，
，故选B．
