目录
第11讲空间角与空间
距离2
第9 讲空间垂直关系的
判定与性质
第13讲直线与圆位置
关系1
第15讲期末复习1
第8 讲空间平行关系的
判定与性质
第12讲直线方程与圆的
方程
第10讲空间角与空间
距离1
第14讲直线与圆位置
关系2
14
05
21
27
01
17
09
24
参考答案
30
高一数学目标自招综评班练习册
1
第8 讲
空间平行关系的判定与性质
第8 讲
空间平行关系的判定与性质
检测题
1 下列说法中，正确的个数为( )
(1) 首尾相接的四条线段在同一平面内
(2) 三条互相平行的线段在同一平面内
(3) 两两相交的四条直线在同一个平面内
(4) 若四个点中的三个点在同一直线上，那么这四个点在同一平面内．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2 如图所示，ABCD−A1B1C1D1 是长方体，O 是B1D1 的中点，直线A1C 交平面AB1D1 于点M，则下列
结论正确的是( )
A. A,M,O 三点共线
B. A,M,O,A1 不共面
C. A,M,C,O 不共面
D. B,B1,O,M 共面
高一数学目标自招综评班练习册
2
第8 讲
空间平行关系的判定与性质
3 求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．
4 在三棱台ABC −A1B1C1 中，A1B1 = 2AB，点E，F 分别是棱B1C1，A1B1 的中点，则在三棱台的各棱所
在的直线中，与平面ACEF 平行的有
．
5 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM// 平面ADE；②CN// 平面ABF；③平面BDM
// 平面AFN；④平面BDE// 平面NCF．以上四个命题中，正确命题的序号是
．
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3
第8 讲
空间平行关系的判定与性质
6 已知平面α//β//γ，且直线l 与α，β，γ 分别交于点A，B，C，与l 异面的直线m 与α，β，γ 分别交于
点D，E，F，AB = 6，BC = 2，EF = 3，求ED 的长．
7 设a，b，c 表示不同的直线，α，β 表示不同的平面，对于下列命题：
①若a//c，b//c，则a//b；②若a//b，b//α，则a//α；
③若a//α，b//α，则a//b；④若a ⊂α，b ⊂β，α//β，则a//b．
其中真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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4
第8 讲
空间平行关系的判定与性质
8 如图，已知四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，点M，N，Q 分别是PA，BD，PD 的中点，
（1）求证：MN//PC；
（2）求证：平面MNQ// 平面PBC．
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5
第9 讲
空间垂直关系的判定与性质
第9 讲
空间垂直关系的判定与性质
检测题
1 下列选项中正确的是( )
A. 若一条直线和一个平面相交但不垂直，则这条直线和平面内任何直线都不垂直
B. 若一条直线垂直于平面内两条直线，则此直线必垂直于这个平面
C. 若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则此直线必垂直于这个平面
D. 若一条直线垂直于一个平面，则此直线垂直于这个平面内的所有直线
2 已知两相交平面α 与β，直线l⊥α 则( )
A. β 内必存在直线m//l，且必存在直线n⊥l
B. β 内不一定存在直线m//l，且不一定存在直线n⊥l
C. β 内不一定存在直线m//l，但必存在直线n⊥l
D. β 内必存在直线m//l，但不一定存在直线n⊥l
3 设m，n 是两条不重合的直线，α，β 是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m//n，n ⊂α，则m//α；
②若m ⊂α，n ⊂β，α//β，则m//n；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
④若m⊥α，n⊥β，m//n，则α//β．
则正确的命题为( )
A. ①②③
B. ②③
C. ③④
D. ①④
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6
第9 讲
空间垂直关系的判定与性质
4 如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1 中，底面是∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC = 2a，BB1 = 3a，
D 是A1C1 的中点，点F 在线段AA1 上，当AF =
时，CF⊥平面B1DF．
5 如图，PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则下列垂直关系正确的是
( )
①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面
PAC．
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ②④
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7
第9 讲
空间垂直关系的判定与性质
6 如图，在四棱锥P−ABCD 中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA = AD = 2．四边形ABCD 满足
BC//AD，AB⊥AD，AB = BC = 1．E 为侧棱PB 的中点，F 为侧棱PC 上的任意一点．
（1）若F 为PC 的中点，求证：EF// 平面PAD．
（2）求证：平面AFD⊥平面PAB．
（3）是否存在点F，使得直线AF 与平面PCD 垂直？若存在，写出证明过程并求出线段PF 的长；若
不存在，请说明理由．
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8
第9 讲
空间垂直关系的判定与性质
7 如图，直角梯形ABCD 中，BC⊥DC，AE⊥DC，M、N 分别是AD、BE 的中点，将△ADE 沿AE 折起构
成四棱锥D−ABCE，下列结论中所有正确结论的序号为
．
①不论D 折至何位置，都有MN// 平面DEC；
②不论D 折至何位置，都有MN⊥AE；
③不论D 折至何位置，都有MN//AB；
④折起过程中一定存在某个位置，使EC⊥AD．
8 棱长都相等的四面体称为正四面体．在棱长为2 的正四面体A −BCD 中，点M，N，P 分别是CD，
AD，BC 的中点，给出下列命题：①直线MN// 平面ABC；②直线CD⊥MN；③PN =
√
2．其中正确
命题为( )
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
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9
第10 讲
空间角与空间距离1
第10 讲
空间角与空间距离1
检测题
1 在空间四边形ABCD 中，AB⊥BC，BC⊥CD，CD⊥AB，AB = BC = CD，则AD 与BC 所成的角的正切值
是
．
2 如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，PA = AD = 2AB = 2，E 是PB 的
中点．
（1）求三棱锥P−ABC 的体积．
（2）求异面直线EC 和AD 所成的角(结果用反三角函数值表示)．
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10
第10 讲
空间角与空间距离1
3 如果P 是等边△ABC 所在平面外一点，且PA = PB = PC = 2
3，△ABC 边长为1，那么PA 与底面ABC
所成的角是( )
A. 30◦
B. 45◦
C. 60◦
D. 90◦
4 a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a，b 都垂直，斜
边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB 与a 成60◦角时，AB 与b 成30◦角；
②当直线AB 与a 成60◦角时，AB 与b 成60◦角；
③直线AB 与a 所成角的最小值为45◦；
④直线AB 与a 所成角的最大值为60◦；
其中正确的是
．(填写所有正确结论的编号)
5 如图所示的正方形ABCD 中，M、N 分别是AD、BC 的中点，沿MN 把这个正方形纸片折成以MN 为
棱的二面角A−MN −C，使折后的锐角∠BMC 的正弦值为0.6，这时二面角A−MN −C 的平面角是
( )
A. 90◦
B. 60◦
C. 45◦
D. 30◦
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11
第10 讲
空间角与空间距离1
6 已知直二面角α −l −β，直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β，且a 与l 不垂直，b 与l 不垂直，那么
( )
A. a 与b 可能垂直，但不可能平行
B. a 与b 可能垂直，也可能平行
C. a 与b 不可能垂直，但可能平行
D. a 与b 不可能垂直，也不可能平行
7 如图，在Rt△AOB 中，∠OAB = 30◦，斜边AB = 4，Rt△AOC 可以通过Rt△AOB 以直线AO 为轴旋转
得到，且二面角B−AO−C 是直二面角．动点D 在斜边AB 上，则CD 与平面AOB 所成角的正切值
的最大值
．
8 如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E 是棱AA1 的中点，则平面BEC1 与平面ABCD 所成的二
面角的锐平面角的大小为( )
A. 45◦
B. arctan 1
2
C. arctan
√
2
4
D. arccos 2
3
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12
第10 讲
空间角与空间距离1
9 已知四棱锥P−ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，AB =
√
3，BC = 2AD = 2，E 为
CD 的中点，PB⊥AE．
（1）证明：平面PBD⊥平面ABCD．
（2）若PB = PD，且PC 与平面ABCD 所成角为π
4 ，求二面角B−PD−C 的余弦值．
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13
第10 讲
空间角与空间距离1
10 在四棱锥P−ABCD 中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD 是梯形，AB//DC，AB = AD = PD = 1，
CD = 2．
（1）求证：平面PBC⊥平面PBD．
（2）设Q 为棱PC 上一点，−→
PQ = λ−→
PC，试确定λ 的值使得二面角Q−BD−P 为60◦．
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14
第11 讲
空间角与空间距离2
第11 讲
空间角与空间距离2
检测题
1 如图，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC，SB = AC = 2，E，F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是( )
A. 1
B.
√
2
C.
√
2
2
D. 1
2
2 如图，在平面角大小为45◦的二面角A−EF −D 中，四边形ABFE 与CDEF 都是边长为1 的正方
形，则B、D 两点间的距离是( )
A.
√
3
B.
√
2
C. 1
D.
√
3−
√
2
3 如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，E 为BC 的中点，点P 在线段D1E 上．点P 到直
线CC1 的距离的最小值为
．
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15
第11 讲
空间角与空间距离2
4 斜三棱柱ABC −A1B1C1，已知侧面BB1C1C 与底面ABC 垂直且∠BCA = 90◦，∠B1BC = 60◦，BC = BB1
= 2，若二面角A−B1B−C 为30◦．
在平面AA1B1B 内找一点P，使三棱锥P−BB1C 为正三棱锥，并求P 到平面BB1C 的距离．
5 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，棱长为1，E、F 分别为C1D1 与AB 的中点，B1 到平面A1FCE
的距离为( )
A.
√
3
2
B.
√
6
3
C.
√
10
5
D.
√
30
5
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16
第11 讲
空间角与空间距离2
6 如图，在正三棱柱ABC −A1B1C1 中，点D 为AC 的中点，点M 是线段AB1 上的动点，则关于点M 到
平面C1BD 的距离说法正确的是( )
A. 点M 运动到点A 时距离最小
B. 点M 运动到线段AB1 的中点时距离最大
C. 点M 运动到点B1 时距离最大
D. 点M 到平面C1BD 的距离为定值
7 如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，异面直线AA1 和B1C 的距离为
．
8 直线l1，l2 分别过点P(−2,−2)，Q(1,3)，它们分别绕点P 和Q 旋转，但保持平行，那么，它们之间的
距离d 的取值范围是( )
A.
(
0,
√
34
]
B. (0,+∞)
C.
(√
34,+∞
)
D.
[√
34,+∞
)
9 a，b 是异面直线，a，b 在不过a，b 的一个平面α 内的射影分别是直线a′，b′，若a′//b′，且a′ 与b′ 间
的距离是1，那么a，b 之间的距离是
．
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17
第12 讲
直线方程与圆的方程
第12 讲
直线方程与圆的方程
检测题
1 直线l 经过A(2,1)、B
(
1,m2)
两点(m ∈R)，那么直线l 的倾斜角的取值范围是
．
2 若直线l 经过点M (−2,1)，且以A(0,−3)、B(−1,4) 为端点的线段相交，则直线l 倾斜角的取值范围
是
．
3 已知点A(1,2)，B(3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程为( )
A. 4x+2y−5 = 0
B. 4x−2y−5 = 0
C. x+2y−5 = 0
D. x−2y−5 = 0
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18
第12 讲
直线方程与圆的方程
4 △ABC 的三个顶点为A(−4,0)，B(2,4)，C(−2,6)．
（1）已知直线l1 过B、C 两点，求直线l1 的方程．
（2）已知直线l2 经过A 点并且经过BC 中点D，求直线l2 的方程．
（3）已知直线l3 经过C 点，且倾斜角是l2 倾斜角的2 倍，求直线l3 的方程．
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19
第12 讲
直线方程与圆的方程
5 若点M
(
a, 1
b
)
和N
(
b, 1
c
)
都在直线l：x+y = 1 上，则( )
A. 点P
(
c, 1
a
)
和Q
(1
c,b
)
都在l 上
B. 点P
(
c, 1
a
)
和Q
(1
c,b
)
都不在l 上
C. 点P
(
c, 1
a
)
在l 上，点Q
(1
c,b
)
不在l 上．
D. 点P
(
c, 1
a
)
不在l 上，点Q
(1
c,b
)
在l 上．
6 条件“AB̸ = 0 或C = 0”是“直线Ax+By+C = 0 与两条坐标轴都有交点”的( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7 已知直线(a−2)y = (3a−1)x−1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a 的取值范围是
．
8 已知A(−5,6)、B(3,4)，则以AB 为直径的圆的标准方程是
．
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20
第12 讲
直线方程与圆的方程
9 已知方程x2 +y2 −2x−4y+m = 0
（1）若此方程表示圆，求m 的取值范围．
（2）当m 变化时，是否存在这样的圆：与直线x+2y−4 = 0 相交于M，N 两点，且OM⊥ON(O 为坐标
原点)，如果存在，求出m 的值，如果不存在，请说明理由．
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21
第13 讲
直线与圆位置关系1
第13 讲
直线与圆位置关系1
检测题
1 “m = 1”是“直线mx+y−2 = 0 与直线x+my+1−m = 0 平行”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2 已知过点A(−2,m) 和点B(m,4) 的直线l1，直线2x + y −1 = 0 为l2，直线x + ny + 1 = 0 为l3，若
l1//l2，l2⊥l3，则m+n =
．
3 满足下列条件的直线l1 与l2，其中l1//l2 的是( )
①l1 的斜率为2，l2 过点A(1,2)，B(4,8)；
②l1 经过点P(3,3)，Q(−5,3)，l2 平行于x 轴，但不经过点P；
③l1 经过点M (−1,0)，N (−5,−2)，l2 经过点R(−4,3)，S(0,5)．
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
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22
第13 讲
直线与圆位置关系1
4 已知两直线：x−y = 2 与ax+y = 3 的交点在第一象限，则实数a 的取值范围是
．
5 （1）若原点到过点(3,1) 的直线l 的距离为3，则直线l 的方程是
．
（2）直线l1 : 6x+8y−7 = 0 与l2 : 3x+4y+c = 0 间的距离为2，则实数c 的值为
．
6 已知直线ax+y+1 = 0 与直线(a+1)x+by+2 = 0 平行，且原点到它们的距离相等，则a+b 的值
等于( )
A. −7
3
B. 3
C. −7
3 或3
D. 3，−7
3 以外的值
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23
第13 讲
直线与圆位置关系1
7 已知△ABC 的顶点A(1,2)，内角B、C 的平分线所在直线分别为l1：y+1 = 0，l2：x+y+1 = 0，则BC
边所在的直线方程为
．
8 （1）已知直线l：2x−3y+1 = 0 与直线l′ 关于点A(−1,−2) 中心对称．则直线l′ 的方程为
．
（2）已知直线l：x−y−1 = 0，l1：2x−y−2 = 0，若直线l2 与l1 关于l 对称，则l2 的方程是
．
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24
第14 讲
直线与圆位置关系2
第14 讲
直线与圆位置关系2
检测题
1 已知点M(a,b)(a > 0,b > 0) 是圆C : x2 +y2 = 1 内任意一点，点P(x,y) 是圆上任意一点，则ax+by−1
的值( )
A. 一定等于0
B. 一定是负数
C. 一定是正数
D. 可能为正数也可能为负数
2 如果实数x，y 满足等式(x−2)2 +y2 = 1，那么x2 +(y−1)2 的最大值为
．
3 设x1、x2 是关于x 的方程x2 + mx + m2 −m = 0 的两个不相等的实数根，那么过两点A
(
x1,x2
1
)
、
B
(
x2,x2
2
)
的直线与圆(x−1)2 +(y+1)2 = 1 的位置关系是( )
A. 相离
B. 相切
C. 相交
D. 随m 的变化而变化
4 |b| < 2 是直线y =
√
3x+b 与圆x2 +y2 −4y = 0 相交的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
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25
第14 讲
直线与圆位置关系2
5 （1）过点(3,3) 作圆(x−2)2 +(y+1)2 = 1 的切线，则切线所在直线的方程为
．
（2）若点P(1,2) 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为
．
6 过点(−1,−2) 的直线l 被圆x2 +y2 −2x−2y+1 = 0 截得的弦长为
√
2，则直线l 的斜率为
．
7 已知圆的方程为(x−1)2 +(y−1)2 = 9，P(2,2) 是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC
和BD，则四边形ABCD 的面积是( )
A. 3
√
5
B. 4
√
5
C. 5
√
7
D. 6
√
7
8 已知圆C1：(x−2)2 +(y−3)2 = 1，圆C2：(x−3)2 +(y−4)2 = 9，M，N 分别是圆C1，C2 上的动点，P 为
x 轴上的动点，则|PM|+|PN| 的最小值为( )
A.
√
17−1
B. 5
√
2−4
C. 6−2
√
2
D.
√
17
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26
第14 讲
直线与圆位置关系2
9 若两圆x2 +y2 = 1 和(x+4)2 +(y−a)2 = 25 有三条公切线，则常数a =
．
10 已知圆x2 +y2 +6x−4 = 0，x2 +y2 +6y−28 = 0．求：
（1）它们的公共弦所在直线的方程．
（2）公共弦长．
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27
第15 讲
期末复习1
第15 讲
期末复习1
检测题
1 如图，在棱长为2 的正方体ABCD−A1B1C1D1 中，点M 是A1B1 的中点，点P 是侧面CDD1C1 上的
动点，且MP// 截面AB1C，则线段MP 长度的取值范围是( )
A.
[√
2,
√
6
]
B.
[√
6,2
√
2
]
C.
[√
6,2
√
3
]
D.
[√
6,3
]
2 在长方体ABCD−A1B1C1D1，AB = 4，BC = 3，AA1 = 5，M，N 分别在线段AA1 和AC 上，|MN| = 2，则
三棱锥D−MNC1 的体积的最小值是( )
A. 4
B. 3
√
2
C. 4
√
3−2
D. 6
√
2−4
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28
第15 讲
期末复习1
3 正四面体ABCD 的棱长等于8，在棱AB、CD 上分别取点E、F，使得AE = 1，CF = 2，则EF =
．
4 已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )
A. 1
6
B.
√
3
6
C. 1
3
D.
√
3
3
5 经过两条直线2x+3y+1 = 0 和3x−y+4 = 0 的交点，并且平行于直线3x+4y−7 = 0 的直线方程
是
．
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29
第15 讲
期末复习1
6 与直线x+y+3 = 0 平行，且它们之间的距离为3
√
2 的直线方程为( )
A. x−y+8 = 0 或x−y−1 = 0
B. x+y+8 = 0 或x+y−1 = 0
C. x+y−3 = 0 或x+y+3 = 0
D. x+y−3 = 0 或x+y+9 = 0
7 已知圆C 与圆(x−1)2 +y2 = 2 关于直线y = −x 对称，则圆C 的方程为( )
A. (x+1)2 +y2 = 2
B. x2 +y2 = 2
C. x2 +(y+1)2 = 2
D. x2 +(y−1)2 = 2
8 以圆C1：x2 +y2 +4x+1 = 0 与圆C2：x2 +y2 +2x+2y+1 = 0 的公共弦为直径的圆的方程为( )
A. (x−1)2 +(y−1)2 = 1
B. (x−3
5)
2
+(y−3
5)
2
= 2
C. (x+1)2 +(y+1)2 = 1
D. (x+ 3
5)
2
+(y+ 3
5)
2
= 2
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30
检测题参考答案
检测题参考答案
第8 讲
空间平行关系的判定与性质
1
A
【解析】解：(1) 空间四边形是首尾相接的，但它不是平面图形，故(1) 错．
(2) 三棱柱三条侧棱互相平行，但不在同一平面内，故(2) 错．
(3) 正方体顶点处的三条棱两两相交，但不在同一平面，所以过该顶点任作一条直线构成四条直线
两两相交，这四条直线也不在同一平面内，故(3) 错．
(4) 直线和直线外一点确定一个平面，故(4) 正确．
综上，以上4 个只有一个正确，故选A．
2
A
【解析】A 选项：连接AC，A1C1，点A，M，O 分别在平面ACC1A1 和平面AB1D1 上，故这三点共线于
两平面的交线，
B 选项：A，A1，O 确定平面ACC1A1，点M 也在该平面上，
C 选项：A，C，O 确定平面ACC1A1，点M 也在该平面上，
D 选项B ，B1，O 确定平面BB1D1D，点M 不在该平面，
故选：A．
3
见解析
【解析】证明：不妨设这四条直线为a，b，c，d，
①无三点共线的情况：
设a∩b = M，b∩d = N，c∩d = P，a∩d = Q，a∩c = R，b∩c = S，
则a，d 确定一个平面α，
∵N ∈d，M ∈a，
∴NM ⊂α，即b 在平面α 内，
同理c ⊂α，所以a，b，c，d 共面．
②有三点共线的情况：
不妨设b，c，d 三线相交于点K，与a 分别交于N、P、M，
且k /∈a，所以k 和直线a 确定一个平面，
此时，易证直线b，c，d 都在该平面上，
综上所述，a，b，c，d 共面．
高一数学目标自招综评班练习册
31
检测题参考答案
4
A1C1，BB1
【解析】解：∵点E，F 分别是棱B1C1，A1B1 的中点，
∴EF//A1C1，又EF ⊂平面ACEF，A1C1̸ ⊂平面ACEF，
∴A1C1// 平面ACEF．
∵AB//A1B1，A1B1 = 2AB，FB1 = 1
2A1B1，
∴AB//FB1，
∴四边形ABB1F 是平行四边形，
∴AF//BB1，又AF ⊂平面ACEF，BB1̸ ⊂平面ACEF，
∴BB1// 平面ACEF．
故答案为：A1C1，BB1．
5
①②③④
【解析】解：如图，把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD−EFMN，
得：①BM//AN，BM̸ ⊂平面ADE，AN ⊂平面ADE，∴BM// 平面ADE，故①正确；
②CN//BE，CN̸ ⊂平面ABF，BE ⊂平面ABF，∴CN// 平面ABF，故②正确；
③∵BD//FN，BM//AN，BD∩BM = B，FN ∩AN = N，BD，BM ⊂平面BDM，FN，AN ⊂平面AFN，
∴平面BDM// 平面AFN，故③正确；
④∵BD//FN，BE//CN，BD∩BE = B，FN ∩CN = N，BD，BE ⊂平面BDE，FN，CN ⊂平面NCF，
∴平面BDE// 平面NCF，故④正确．
故答案为：①②③④．
6
9
【解析】连接DC，设DC 于β 交于点G，连接BG，EG，则平面ACD 与α，β 分别交于直线AD，
BG，平面CDF 与β，γ 分别交于直线GE，CF，因为平面α//β//γ，则BG//AD，GE//CF，因此
AB
BC = DG
GC ，DG
GC = ED
EF ，即AB
BC = DE
EF ，则ED = 6×3
2
= 9．
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32
检测题参考答案
7
A
【解析】解：由a，b，c 表示不同的直线，α，β 表示不同的平面知：
在①中，若a//c，b//c，则由平行公理得a//b，故①正确；
在②中，若a//b，b//α，则a//α 或a ⊂α，故②错误；
在③中，若a//α，b//α，则a 与b 可能相交、平行或异面，故③错误；
在④中，若a ⊂α，b ⊂β，α//β，则a 与b 可能平行或异面，故④错误．
故选：A．
8 （1）见解析
【解析】由题意：P−ABCD 是四棱锥，底面ABCD 为平行四边形，点M，N，Q 分别是PA，BD，PD
的中点，连接AC，∴N 是AC 的中点．∴MN 是三角形ACP 的中位线，∴MN//PC．
（2）见解析
【解析】由上题MN//PC．∵M，Q 分别在PA，PD 的中点上，∴MQ 是三角形ADP 的中位线，
∴MQ//AD，即MQ//BC．由MQ//BC，MN//PC，BC ⊂平面PBC，PC ⊂平面PBC，BC ∩PC = C，
同理MQ ⊂平面MNQ，MN ⊂平面MNQ，MQ∩MN = M．∴平面MNQ// 平面PBC．
高一数学目标自招综评班练习册
33
检测题参考答案
第9 讲
空间垂直关系的判定与性质
1
D
【解析】解：若一条直线垂直于一个平面，则此直线垂直于这个平面内的所有直线，故D 正确．
2
C
【解析】解：如图，
当α⊥β 时，必有m ⊂β，n ⊂β，使m//l，n⊥l．当α 不垂直β 时，不存在m ⊂β，使m//l，但必存在
n ⊂β，使n⊥l．
故选C．
3
C
【解析】对于①，还可能有m ⊂α，故①错；对于②，m 与n 还有可能异面，故②错；③④正确．
故选：C．
4
a 或2a
【解析】解：由已知得B1D⊥平面AC1，
又CF ⊂平面AC1，∴B1D⊥CF，
故若CF⊥平面B1DF，则必有CF⊥DF．
设AF = x(0 < x < 3a)，则CF2 = x2 +4a2，
DF2 = a2 +(3a−x)2，又CD2 = a2 +9a2 = 10a2 ，
∴10a2 = x2 +4a2 +a2 +(3a−x)2，
解得x = a 或2a．
故答案为：a 或2a．
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34
检测题参考答案
5
A
【解析】由于BC⊥AB，又PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，所以BC⊥PA，易证BC⊥平面PAB，
则平面PAB⊥平面PBC；又AD//BC，故AD⊥平面PAB，则平面PAD⊥平面PAB．故选A．
6 （1）见解析
【解析】证明：因为E，F 分别为侧棱PB，PC 的中点，所以EF//BC，因为BC//AD，所以EF//AD，
而EF̸ ⊂平面PAD，AD ⊂平面PAD，所以EF// 平面PAD．
（2）见解析
【解析】证明：因为平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC = AC 且PA⊥AC，PA ⊂平面
PAC，所以PA⊥平面ABCD，
因为AD ⊂平面ABCD，所以PA⊥AD，
又因为AB⊥AD，PA∩AB = A，所以AD⊥平面PAB，
而AD ⊂平面AFD，所以平面AFD⊥平面PAB．
（3）见解析
【解析】解：存在点F，使得直线AF 与平面PCD 垂直．证明如下：
由已知得，AB⊥AD，BC//AD，AB = BC = 1，AD = 2，
由平面几何知识可得CD⊥AC，
由(2) 知，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，
因为PA∩AC = A，所以CD⊥平面PAC．而AF ⊂平面PAC，所以CD⊥AF，
又因为CD∩PC = C，所以AF⊥平面PCD，
在△PAC 中，PA = 2，AC =
√
2，∠PAC = 90◦，所以PC =
√
6，PF = 2
√
6
3 ，
由此可见直线AF 与平面PCD 能够垂直，此时线段PF 的长为2
√
6
3 ．
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35
检测题参考答案
7
①②④
【解析】如图，取DE 中点G，CE 中点F，连接GF、GM、NF．
∵点N 为BE 的中点，∴NF//BC，NF = 1
2BC，
∵M 为AD 中点，∴MG//AE，MG = 1
2AE，
∵BC⊥DC，AE⊥DC，∴AE//BC，
∵AB//CE，∴四边形ABCE 为平行四边形，∴AE = BC，
∴MG//NF 且MG = NF，∴四边形MNFG 为平行四边形，
∴MN//GF，∵MN̸ ⊂平面DEC，GF ⊂平面DEC，∴MN// 平面DEC，故①正确．
∵AE⊥DC，∴AE⊥CE，AE⊥DE，CE ∩DE = E，
∴AE⊥平面DEC，∴AE⊥GF，
∵MN//GF，∴MN⊥AE，故②正确．
∵四边形MNFG 为平行四边形，∴MN//GF，
又AB//CE，CE ∩GF = F，∴MN 与AB 不平行，故③错误．
当∠CED = 90◦，即CE⊥DE 时，
∵CE⊥AE，AE ∩DE = E，
∴CE⊥平面ADE，∴EC⊥AD，故④正确．
8
C
【解析】①因为M 为CD 的中点，N 为AD 的中点，故MN//AC，又MN̸ ⊂平面ABC，AC ⊂平面
ABC，故MN// 平面ABC，正确；
②由于MN//AC，而CD 不垂直于AC，故CD 不垂直于MN，错误；
③连接DP，过点A 作AO⊥平面BCD 于点O，易知点O 在DP 上，不共线的三点A，P，D 确定唯
一平面，而点O 在DP 上，点N 在AD 上，故A，P，D，O，N 五点共面，由PA = PD，NA = ND 知
PN⊥AD，故PN =
√
PD2 −ND2 =
√
2，正确．
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36
检测题参考答案
第10 讲
空间角与空间距离1
1
√
2
【解析】解：作△ABC 关于轴AC 的对称图形△AEC，
故ABCE 为正方形，
设AB = BC = CD = 1，则AD 与BC 所成的角α 就是∠DAE．
由CD⊥平面ABCE，得
CD⊥AC，CD⊥CE．
由勾股定理，得AD =
√
3，DE =
√
2．
在△DAE 中，由余弦定理，得cosα = 1+3−2
2×
√
3×1 = 1
√
3，
所以sinα =
√
2
3，tanα =
√
2．
2 （1）见解析
【解析】解：∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD 是长方形，
高PA = 2,BC = AD = 2,AB = 1，
∴S△ABC = 1
2 ×2×1 = 1．
故VP−ABC = 1
3 ×S△ABC ×PA = 1
3 ×1×2 = 2
3．
（2）见解析
【解析】∵BC//AD,∴∠ECB 或其补角为异面直线EC 和AD 所成的角θ，
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，
∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，
于是在Rt△CEB 中，BC = 2,BE = 1
2PB =
√
5
2 ，
tanθ = BE
BC =
√
5
4 ，
∴异面直线EC 和AD 所成的角是arctan
√
5
4 ．
3
A
【解析】如图，易知P−ABC 为正三棱锥，PO⊥面ABC，
PA 与底面ABC 所成的角，即为∠PAO，
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37
检测题参考答案
AO =
√
3
3 AB =
√
3
3 ，PA = 2
3，
∴cos∠PAO = AO
PO =
√
3
2 ，
故∠PAO = 30◦．
故选A．
4
②③
【解析】解：由题意，AB 是以AC 为轴，BC 为底面半径的圆锥的母线，
由AC⊥a,AC⊥b，又AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B 作BD//a，
交底面圆C 于点D，如图所示，连接DE，
则DE⊥BD，∴DE//b，连接AD，
设AC = BC = 1，在等腰三角形ABD 中，AB = AD =
√
2，
当直线AB 与a 成60◦角时，即∠ABD = 60◦，
故BD =
√
2，又在Rt△BDE 中，BE = 2,∴DE =
√
2，
过点B 作BF//DE，交圆C 于点F，连接AF，由圆的对称性可知BF = DE =
√
2，
∴△ABF 为等边三角形，∴∠ABF = 60◦，即直线AB 与b 成60◦角，②正确，①错误．
由最小角定理可知③正确；
很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线AB 与a 所成的最大角为90◦，④错误．
正确的结论为②③．
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38
检测题参考答案
5
A
【解析】解：折后如图所示，∠BNC 为二面角的平面角，记为θ，
在△BMC 及△BNC 中，
BM = MC，MN = 2BN = 2NC．
由余弦定理，得
cosBMC = BM2 +CM2 −BC2
2BM ·CM
= 2BM2 −
(
BN2 +NC2 −2BN ·NCcosθ
)
2BM2
= 2
(
BN2 +MN2)
−
(
2BN2 −2BN2 cosθ
)
2(BN2 +MN2)
= 4BN2 +BN2 cosθ
5BN2
= 4
5 + 1
5 cosθ．
由sinBMC = 0.6，得cosBMC = 4
5．
因为cosθ = 0，所以θ = 90◦，选A．
6
C
【解析】解：当a 与b 都平行于l 时，a//b；
若a 与b 垂直，则α 在β 内的射影是l，可知b 与l 垂直，这与已知矛盾，选C．
7
2
√
3
3
【解析】解：由已知CO⊥AO，BO⊥AO，
∴∠BOC 是二面角B−AO−C 的平面角，
∴∠BOC = π
2 ，∴OC⊥OB．
∵OA∩OB = O，∴OC⊥平面AOB，
∴∠CDO 是CD 与平面AOB 所成的角．
∴tan∠CDO = CO
OD，
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39
检测题参考答案
∵OC = OB = 2，
∴当OD⊥AB 时，OD 取得最小值= OB·sin60◦=
√
3，
此时∠CDO 取得最大值α，
且tanα = 2
√
3 = 2
√
3
3 ．
故答案为：2
√
3
3 ．
8
D
【解析】解：设平面BEC1 与平面ABCD 所成的二面角的锐平面角为θ，则cosθ = S△ABC
S△BEC1
．设正方
体的棱长为2a，则S△ABC = 1
2 ×(2a)2 = 2a2．
∵BE =
√
5a，BC1 = 2
√
2a，C1E = 3a，
∴cos∠EBC1 = BE2 +BC2
1 −C1E2
2×BE ×BC1
= 5a2 +8a2 −9a2
2
√
5a×2
√
2a
=
√
10
10 ，
∴sin∠EBC1 = 3
√
10
10 ，
∴S△EBC1 = 1
2BE ×BC1 ×sin∠EBC1 = 1
2 ×
√
5a×2
√
2a× 3
√
10
10
= 3a2，
∴cosθ = S△ABC
S△BEC1
= 2a2
3a2 = 2
3，
∴平面BEC1 与平面ABCD 所成的二面角的锐平面角的大小为arccos 2
3．
9 （1）见解析
【解析】证明：由四边形ABCD 是直角梯形，AB =
√
3，BC = 2AD = 2，可得DC = 2，∠BCD = π
3 ，
BD = 2．
从而△BCD 是等边三角形，∠BCD = π
3 ，BD 平分∠ADC．
∵E 为CD 中点，DA = DE = 1，∴BD⊥AE，
又∵PB⊥AE，PB∩BD = B，∴AE⊥平面PBD．
∵AE ⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD．
（2）见解析
【解析】解：如图，作PO⊥BD 于点O，连接OC．
∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD = BD，
∴PO⊥平面ABCD．
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40
检测题参考答案
∴∠PCO 为PC 与平面ABCD 所成的角，∠PCO = π
4 ．
∵PB = PD，∴O 为BD 中点，OC⊥BD，OP = OC =
√
3，
作OH⊥PD 于点H，连接CH，则PD⊥平面CHO，PD⊥HC．
∴∠CHO 为二面角B−PD−C 的平面角，
∵OC =
√
3，∴OH =
√
3
2 ，CH =
√
15
2 ，
∴cos∠CHO =
√
5
5
∴二面角B−PD−C 的余弦值为
√
5
5 ．
10（1）见解析
【解析】证明：∵AD⊥平面PDC，PD ⊂平面PCD，DC ⊂平面PDC，如图1 所示．
∴AD⊥PD，AD⊥DC，
在梯形ABCD 中，过点B 作BH⊥CD 于H，
在△BCH 中，BH = CH = 1，∴∠BCH = 45◦，
又在△DAB 中，AD = AB = 1，∴∠ADB = 45◦，
∴∠BDC = 45◦，∴∠DBC = 90◦，∴BC⊥BD．
∵PD⊥AD，PD⊥DC，AD∩DC = D，
AD ⊂平面ABCD，DC ⊂平面ABCD，
∴PD⊥平面ABCD，
∵BC ⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，
∵BD∩PD = D，BD ⊂平面PBD，PD ⊂平面PBD．
∴BC⊥平面PBD，
∵BC ⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；
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41
检测题参考答案
（2）见解析
【解析】解：过点Q 作QM//BC 交PB 于点M，过点M 作MN⊥BD 于点N，连接QN．
由(1) 可知BC⊥平面PDB，∴QM⊥平面PDB，∴QM⊥BD，
∵QM ∩MN = M，∴BD⊥平面MNQ，∴BD⊥QN，图2 所示．
∴∠QNM 是二面角Q−BD−P 的平面角，∴∠QNM = 60◦，
∵−→
PQ = λ−→
PC，∴PQ
PC = λ，
∵QM//BC，∴PQ
PC = QM
BC = PM
PB = λ，∴QM = λBC，
由(1) 知BC =
√
2，∴QM =
√
2λ，
又∵PD = 1，MN//PD，∴MN
PD = BM
PB ，
∴MN = BM
PB = PB−PM
PB
= 1−PM
PB = 1−λ，
∵tan∠MNQ = QM
MN ，∴
√
2λ
1−λ =
√
3，
∴λ = 3−
√
6．
第11 讲
空间角与空间距离2
1
B
【解析】解：取CB 的中点D，连接ED，DF，则∠EDF(或其补角) 为异面直线SB 和AC 所成的角．
因为SB⊥AC，所以∠EDF = 90◦．
在△EDF 中，ED = 1
2SB = 1，DF = 1
2AC = 1，
所以EF =
√
ED2 +DF2 =
√
2．
高一数学目标自招综评班练习册
42
检测题参考答案
2
D
【解析】解：连接AD．
∵四边形ABFE 和CDEF 是正方形，
∴EF⊥AE，EF⊥DE，
∵AE ∩DE = E，
∴EF⊥平面AED，
∴EF⊥AD，
∵AB//EF，
∴AB⊥AD．
∵二面角A−EF −D 的平面角为45◦，
∴∠AED = 45◦，
∵AE = DE = 1，
∴AD2 = 12 +12 −2×12 cos45◦= 2−
√
2，
∴BD2 = AD2 +AB2 = 2−
√
2+12 = 3−
√
2，
∴BD =
√
3−
√
2，即B、D 两点间的距离是
√
3−
√
2．
3
2
√
5
5
【解析】方法1：如图所示，连接DE，作PQ⊥CC1 于点Q．因为DD1⊥平面ABCD，DD1 在平面
DD1E 内，所以平面DD1E⊥平面ABCD 于DE；作PR⊥DE 于点R，所以PR⊥平面ABCD；因为
CC1⊥平面ABCD，所以PR//CC1；连接CR，则四边形PQCR 为矩形，于是PQ = CR，所以当CR 最
短时，PQ 最短．在△CDE 中，当CR⊥DE 时，CR 最短，此时由三角形面积公式可知
CR·DE = CD·CE，CR = CD·CE
DE
= 2
√
5
= 2
√
5
5 ．
所以点P 到直线CC1 的距离的最小值为2
√
5
5 ．
方法2：如图所示，以CC1 为轴，作底面半径为r 的圆柱，柱面与直线D1E 相切时的r 为所求，此时
底面ABCD 截圆柱为以点C 为圆心的圆，且圆与直线DE 相切，即r 为△CDE 的边DE 上的高．
高一数学目标自招综评班练习册
43
检测题参考答案
所以r ·DE = CD·CE，即r = CD·CE
DE
= 2
√
5
= 2
√
5
5 ，即点P 到直线CC1 的距离的最小值为2
√
5
5 ．
方法3：如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，E (1,2,0)，D1 (0,0,2)，−−→
ED1 = (−1,−2,2)，
−→
DP = −→
DE +λ−−→
ED1 = (1,2,0)+λ (−1,−2,2) = (1−λ,2−2λ,2λ)，作PQ⊥CC1 于点Q，则−→
DQ =
(0,2,2λ)．
因为−→
PQ = (λ −1,2λ,0)，所以
−→
PQ
=
√
(λ −1)2 +(2λ)2 +02 =
√
5λ 2 −2λ +1．当λ = 1
5 时，
−→
PQ
最小= 2
√
5
5 ．所以点P 到直线CC1 的距离的最小值为2
√
5
5 ．
故答案为：2
√
5
5 ．
4
1
3
【解析】在AD 上取点P，使AP = 2PD，
则P 点为所求，在CD 上取点O，
使CO = 2OD，连接PO，
则PO//AC，
且PO = 1
3AC，
∵AC⊥平面BB1C，
∴PO⊥平面BB1C 且BB1C 为等边三角形，
∴三棱锥P−BB1C 为正三棱锥，
且P 到平面BB1C 的距离为PO，
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44
检测题参考答案
PO = 1
3AC = 1
3．
5
B
【解析】解：点B1 到平面A1FCE 的距离即点B1 到平面A1FC 的距离，
∵在正方体ABCD−A1B1C1D1 中，棱长为1，E、F 分别为C1D1 与AB 的中点，
∴A1F = CF =
√
5
2 ，A1C =
√
3，
∴S△A1CF = 1
2 ×
√
3×
√
2
2 =
√
6
4 ，
设B1 到平面A1FC 的距离为d，
由三棱锥B1 −A1FC 的体积可得VB1−A1FC = VC−A1B1F，
即1
3 ×
√
6
4 ×d = 1
3 × 1
2 ×1×1×1，解得d =
√
6
3 ，
∴B1 到平面A1FCE 的距离为
√
6
3 ．
故选：B．
6
D
【解析】解：连接B1C 交BC1 于O，连接OD，
则OD//AB1，
∴AB1// 平面BDC1，
∴M 到平面C1BD 的距离为定值．
故选：D．
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45
检测题参考答案
7
2
【解析】解：∵正方体ABCD−A1B1C1D1，
∴A1B1⊥平面BCC1B1，
∴A1B1⊥B1C．
∵A1B1⊥AA1，A1B1 ∩AA1 = A1，A1B1 ∩B1C = B1，
∴A1B1 为异面直线AA1 和B1C 的距离，
∴异面直线AA1 和B1C 的距离为2．
8
A
【解析】解：易知d ⩽|PQ|，
而|PQ| =
√
34．
故0 < d ⩽
√
34，选A．
9
1
【解析】解：a 在过a′ 且与a 垂直的平面内，b 在过b′ 且与a 垂直的平面内．
容易看出两个平行平面间的距离即是a，b 之间的距离．
所以a，b 的距离为1．
第12 讲
直线方程与圆的方程
1
[
0, π
4
]
∪
(π
2 ,π
)
【解析】解：∵A(2,1)、B
(
1,m2)
，
∴kAB = m2 −1
1−2 = 1−m2 ⩽1，
∴直线l 的倾斜角的取值范围是
[
0, π
4
]
∪
(π
2 ,π
)
．
2
[0,arctan3]∪[π −arctan2,π)
【解析】∵M (−2,1)、A(0,−3)、B(−1,4)，∴kAM = 1+3
−2−0 = −2，kBM = 4−1
−1+2 = 3，
∴直线AM 和BM 的倾斜角分别为π −arctan2、arctan3，可得直线l 的倾斜角的取值范围为
[0,arctan3]∪[π −arctan2,π)．
高一数学目标自招综评班练习册
46
检测题参考答案
3
B
【解析】解：设P(x,y) 为线段AB 的垂直平分线上的任意一点，
则|PA| = |PB|，
∴
√
(x−1)2 +(y−2)2 =
√
(x−3)2 +(y−1)2，
化为4x−2y−5 = 0．
故选：B．
4 （1）见解析
【解析】解：直线l1 的斜率k1 = 6−4
−2−2 = −1
2，所以直线l1 的方程为y−4 = −1
2 (x−2)，即x+2y−
10 = 0．
（2）见解析
【解析】解：因为D 是BC 中点，所以D(0,5)，所以直线l2 的方程为x
−4 + y
5 = 1，即5x−4y+20 = 0．
（3）见解析
【解析】解：设直线l2 的倾斜角为θ，则tanθ = 5
4，所以l3 的斜率k3 = tan2θ =
2tanθ
1−tan2θ =
2× 5
4
1−25
16
=
−40
9 ，
所以直线l3 的方程为y−6 = −40
9 (x+2)，即40x+9y+26 = 0．
5
A
【解析】解：由N 在l 上，得b+ 1
c = 1，即1
c +b = 1
所以Q
(1
c,b
)
在l 上．
由M 在l 上，得a+ 1
b = 1，a = 1−1
b．
又b = 1−1
c，
所以a = 1−
1
1−1
c
，即c+ 1
a = 1．
可知点P
(
c, 1
a
)
也在l 上，选A．
高一数学目标自招综评班练习册
47
检测题参考答案
6
C
【解析】解：若AB̸ = 0，则Ax +By+C = 0 的横、纵截距分别为−C
A，−C
B，可见直线与两坐标轴相
交．
若C = 0，直线方程成为Ax+By = 0，它表示过原点的直线，显然与两坐标轴都有交点．
另一方面，若Ax+By+C = 0 与两坐标轴都有交点，这包括直线不过原点与过原点两种情况．可分
别推知AB̸ = 0 或C = 0．
故选C．
7
[2,+∞)
【解析】∵直线(a−2)y = (3a−1)x−1，即a(3x−y)−x+2y−1 = 0，令
3x−y = 0
−x+2y−1 = 0
，解得
x = 1
5
y = 3
5
，∴直线过定点T
(1
5, 3
5
)
．当a = 2 时，直线方程为x = 1
5 满足题意；当a̸ = 2 时，直线
的斜率k = 3a−1
a−2 ，∵直线不经过第二象限，∴k ⩾kOT，即3a−1
a−2 ⩾3（O 为坐标原点），解得a > 2．
综上，实数a 的取值范围为[2,+∞)．
8
(x+1)2 +(y−5)2 = 17
【解析】∵A(−5,6)、B(3,4)，∴以AB 为直径的圆的方程为(x+5)(x−3)+(y−6)(y−4) = 0，化简
得(x+1)2 +(y−5)2 = 17．
9 （1）见解析
【解析】解：原方程可化为：(x−1)2 +(y−2)2 = 5−m，∵此方程表示圆，∴5−m > 0，解得：m < 5．
（2）见解析
【解析】解：设M (x1,y1)，N (x2,y2)，
则x1 = 4−2y1，x2 = 4−2y2，∴OM⊥ON，∴x1x2 +y1y2 = 0，∴16−8(y1 +y2)+5y1y2 = 0①，
由
x+2y−4 = 0
x2 +y2 −2x−4y+m = 0
得5y2 −16y+m+8 = 0，
由∆= 162 −20(8+m) > 0，解得m < 24
5 ，∴y1 +y2 = 16
5 ，y1y2 = 8+m
5
，
代入①得m = 8
5，满足m < 24
5 ，即存在满足条件的圆，且m = 8
5．
高一数学目标自招综评班练习册
48
检测题参考答案
第13 讲
直线与圆位置关系1
1
C
【解析】m = 1 时，直线mx + y −2 = 0 与直线x + my + 1 −m = 0 相互平行，是充分条件，若直线
mx +y−2 = 0 与直线x +my+1−m = 0 相互平行，则m
1 = 1
m̸ =
−2
1−m 解得：m = 1，是必要条件，
故选：C.
2
-10
【解析】解：由题意可得，直线l1 的斜率为4−m
m+2，直线l2 的斜率为−2，且l1//l2，
∴4−m
m+2 = −2，求得m = −8．
由于直线l3 的斜率为−1
n，l2⊥l3，∴−2×
(
−1
n
)
= −1，求得n = −2，
∴m+n = −10，
故答案为：−10．
3
B
【解析】解：根据两点的斜率公式知①中l2 的斜率为2，但是不能保证l1//l2，有可能两条直线重
合；
②③中的两条直线斜率相等但不重合，可以保证l1//l2．
4
−1 < a < 3
2
【解析】解：由方程组
x−y = 2
ax+y = 3
的解在第一象限，得
不等式组
5
a+1 > 0
3−2a
a+1 > 0
，
解得−1 < a < 3
2．
高一数学目标自招综评班练习册
49
检测题参考答案
5 （1）x = 3 或4x+3y−15 = 0
【解析】解：当直线l 的斜率不存在，即x = 3 时，满足题意；
当直线l 的斜率存在时，设直线l：y−1 = k(x−3)，
即kx−y−3k +1 = 0，有d = |1−3k|
√
k2 +1 = 3，解得k = −4
3，
∴直线l 的方程是y−1 = −4
3 (x−3)，即4x+3y−15 = 0．
综上，直线l 的方程是x = 3 或4x+3y−15 = 0．
（2）13
2 或−27
2
【解析】解：∵直线l2 : 3x+4y+c = 0 即为l2 : 6x+8y+2c = 0，直线l1 : 6x+8y−7 = 0 与l2 : 6x+
8y+2c = 0 间的距离为2，
∴|2c+7|
10
= 2，解得c = 13
2 或−27
2 ．
6
A
【解析】解：由直线的平行性质，得ab = a+1，①
由原点到两直线距离相等，得
1
√
a2 +1 =
2
√
(a+1)2 +b2
，
即3a2 −b2 −2a+3 = 0．②
联立①、②，解得
a = 1
b = 2
或
a = −1
3
b = −2
，
当a = 1，b = 2 时，两直线重合，舍去，故a = −1
3，b = −2．
因此，a+b = −7
3，选A．
7
x+2y+7 = 0
【解析】点A(1,2) 关于直线l1：y+1 = 0 的对称点A1 (1,−4)．设点A(1,2) 关于直线l2：x+y+1 = 0
的对称点A2 (x0,y0)，有
y0 −2
x0 −1 = 1
x0 +1
2
+ y0 +2
2
+1 = 0
，解得
x0 = −3
y0 = −2
，即A2 (−3,−2)，∴A1A2：
y+4
−2+4 = x−1
−3−1，即BC：x+2y+7 = 0．
高一数学目标自招综评班练习册
50
检测题参考答案
8 （1）2x−3y−9 = 0
【解析】设直线l′ 上任意一点P(x,y)，则点P 关于点A(−1,−2) 的对称点Q 的坐标为(−2−x,−4−y)，
∵Q ∈l，∴2(−2−x)−3(−4−y)+1 = 0，即直线l′：2x−3y−9 = 0．
（2）x−2y−1 = 0
【解析】联立
x−y−1 = 0
2x−y−2 = 0
，解得
x = 1
y = 0
，即直线l 与l1 的交点P(1,0)．直线l1 取一点
A(0,−2)，设点A 关于直线l 的对称点为B(x,y)，则
y+2
x
= −1
x
2 −y−2
2
−1 = 0
，解得
x = −1
y = −1
，即
B(−1,−1)，直线l2 过点P，B 故直线l2：x−2y−1 = 0．
第14 讲
直线与圆位置关系2
1
B
【解析】由题意，a2 +b2 < 1，x2 +y2 = 1
∴ax+by ⩽1
2(a2 +x2)+ 1
2(b2 +y2) < 1
∴ax+by−1 < 0 故选：B．
2
6+2
√
5
【解析】解：∵x2 +(y−1)2 表示点P(x,y) 与点A(0,1) 间的距离的平方．
设(x−2)2 +y2 = 1 的圆心为C，则|AC| =
√
5，∴
√
x2 +(y−1)2 的最大值为
√
5+1．
∴x2 +(y−1)2 的最大值为
(√
5+1
)2
= 6+2
√
5．
故答案为：6+2
√
5．
3
C
【解析】∵x1、x2 是方程的两个不相等的实数根，
∴
x2
1 +mx1 +m2 −m = 0
x2
2 +mx2 +m2 −m = 0
，
∵A
(
x1,x2
1
)
、B
(
x2,x2
2
)
，
∴直线AB：y+mx+m2 −m = 0，
高一数学目标自招综评班练习册
51
检测题参考答案
∵圆心C(1,−1)，
∴圆心C 到直线AB 的距离d =
m2 −1
√
m2 +1 =
m2 +1−2
√
m2 +1
=
√
m2 +1−
2
√
m2 +1
，
∵∆= m2 −4
(
m2 −m
)
> 0，
∴3m2 −4m < 0，解得0 < m < 4
3，
∴1 <
√
m2 +1 < 5
3，
∴−1 <
√
m2 +1−
2
√
m2 +1 < 7
15，
∴d < 1，即d < r，
∴直线AB 与圆C 相交．
4
A
【解析】∵x2 +y2 −4y = 0 ⇒x2 +(y−2)2 = 4，
∴圆心坐标为C(0,2)，半径R = 2.
∵
√
3x−y+b = 0，
∴|−2+b|
2
< 2，解得−2 < b < 6，
∴|b| < 2 是直线与圆相交的充分不必要条件．
5 （1）x = 3 或15x−8y−21 = 0
【解析】当切线斜率不存在时，直线x = 3 显然满足题意．当切线斜率k 存在时，设切线方程为
y−3 = k(x−3)，即kx−y−3k +3 = 0，
∵d = r，
∴|4−k|
√
k2 +1 = 1，解得k = 15
8 ，
∴此时切线方程为y−3 = 15
8 (x−3)，即15x−8y−21 = 0．综上，切线方程为x = 3 或15x−8y−21 =
0．
（2）x+2y−5 = 0
【解析】解：由题意得，所求的切线过点P(1,2)，且与直线OP 垂直．因为kOP = 2，所以所求切线的
方程为y−2 = −1
2 (x−1)，即x+2y−5 = 0．
高一数学目标自招综评班练习册
52
检测题参考答案
6
1 或17
7
【解析】解：将圆的方程化为标准方程得：(x−1)2 +(y−1)2 = 1，
所以圆的圆心坐标为(1,1)，半径r = 1，
∵直线l 被圆x2 +y2 −2x−2y+1 = 0 截得的弦长为
√
2，
∴圆心到直线l 的距离d =
v
u
u
t12 −
(√
2
2
)2
=
√
2
2 ，
设直线l 的斜率为k，∵直线l 过点(−1,−2)，
∴直线l 的方程为y+2 = k(x+1)，即kx−y+k −2 = 0，
∴|2k −3|
√
1+k2 =
√
2
2 ，即(k −1)(7k −17) = 0，
解得：k = 1 或k = 17
7 ，
则直线l 的斜率为1 或17
7 ．
故答案为：1 或17
7 ．
7
D
【解析】解：最长的弦为直径，故AC = 6，最短的弦是过点P 且与直径AC 垂直的弦，故
|BD| = 2
√
32 −2 = 2
√
7．由于AC⊥BD，所以四边形ABCD 的面积为1
2 |AC|·|BD| = 6
√
7．
8
B
【解析】圆C1 关于x 轴的对称圆的圆心坐标A(2,−3)，半径为1，
圆C2 的圆心坐标C2 (3,4)，半径为3，
|PM|+|PN| 的最小值为圆A 与圆C2 的圆心距减去两个圆的半径和，
即为
√
(3−2)2 +(4+3)2 −4 = 5
√
2−4．故答案为：5
√
2−4．
9
±2
√
5
【解析】解：由已知得到两圆相外切，∴圆心距
√
16+a2 = 6，解得a = ±2
√
5．
故答案为：±2
√
5．
高一数学目标自招综评班练习册
53
检测题参考答案
10（1）x−y+4 = 0
【解析】解：圆x2 +y2 +6x−4 = 0，x2 +y2 +6y−28 = 0，
二者相减，得6x−6y+24 = 0，即x−y+4 = 0，
∴它们的公共弦所在直线的方程为x−y+4 = 0．
（2）5
√
2
【解析】解：∵圆x2 +y2 +6x−4 = 0 的圆心C(−3,0)，半径r = 1
2
√
36+16 =
√
13，
∴圆心C(−3,0) 到直线x−y+4 = 0 的距离d = |−3−0+4|
√
2
=
√
2
2 ，
公共弦长|AB| = 2
√
13−1
2 = 5
√
2．
第15 讲
期末复习1
1
B
【解析】如图，取CD 的中点N，CC1 的中点R，B1C1 的中点H，连接MH，HR，MR，NR，MN，
则B1C//HR，MH//AC，又HR∩MH = H，B1C ∩AC = C
故平面MNRH// 平面AB1C，∵MP// 截面AB1C，
∴MP ⊂平面MNRH，线段MP 扫过的图形是△MNR，
由正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为2，易得MN = 2
√
2，NR =
√
2，MR =
√
6，
∴MN2 = NR2 +MR2，
∴∠MRN 是直角，
∴线段MP 长度的取值范围是[MR,MN]，即
[√
6,2
√
2
]
．
故选B．
2
A
【解析】解：如图，
高一数学目标自招综评班练习册
54
检测题参考答案
∵D 到平面MC1N 的距离为定值12
5 ，△MC1N 的一边长MN = 2，
∴要使三棱锥D−MNC1 的体积最小，则C1 到直线MN 的距离最小，此时MN 在AC 上，
C1 到直线MN 的距离为5，
则三棱锥D−MNC1 的体积最小值为V = 1
3 × 1
2 ×2×5× 12
5 = 4．
故选：A．
3
3
√
5
【解析】解：如图，作EG//AC，交BC 于G，作FH//AC，交AD 于H，连接EH、FG，
因为△ABC 和△ACD 均为正三角形，
由AE = 1，得EG = 7；
由CF = 2，得AH = 2，FH = 6．
在△AEH 中，由余弦定理，得
EH =
√
12 +22 −2·2cos60◦=
√
3．
同理FG =
√
3．
于是，在等腰梯形EGFH 中，可求出对角线长
EF =
√
(√
3
)2 −
(7−6
2
)2
+
(
6+ 1
2
)2
= 3
√
5．
高一数学目标自招综评班练习册
55
检测题参考答案
4
B
【解析】解法一：设正四面体的棱长为2．
如图，取AD 的中点F，连接EF、CF、CE．
在△ABD 中，由AE = EB，AF = FD，得EF//BD，且EF = 1
2BD = 1．
故∠CEF 为直线CE 与BD 所成的角或其补角．
在△ABC 中，CE =
√
3
2 AB =
√
3；
在△ADC 中，CF =
√
3
2 AD =
√
3．
在△CEF 中，cos∠CEF = CE2 +EF2 −CF2
2CE ·EF
=
(√
3
)2 +12 −
(√
3
)2
2
√
3×1
=
√
3
6 ．
所以直线CE 与BD 所成角的余弦值为
√
3
6 ．
解法二：设正四面体的棱长为2．
如图，取AD 的中点F，连接EF、CF、CE．
在△ABD 中，由AE = BE，AF = FD，得EF//BD，且EF = 1
2BD = 1．
故∠CEF 为直线CE 与BD 所成的角或其补角．
在△ABC 中，CE =
√
3
2 AB =
√
3；
在△ADC 中，CF =
√
3
2 AD =
√
3．
高一数学目标自招综评班练习册
56
检测题参考答案
取EF 的中点H，连接CH，则EH = 1
2EF = 1
2，且CH⊥EF．
在Rt△CEH 中，cos∠CEF = EH
CE =
1
2
√
3 =
√
3
6 ．
所以直线CE 与BD 所成角的余弦值为
√
3
6 ．
故选B.
5
33x+44y+19 = 0
【解析】设经过两直线交点的直线方程为2x + 3y + 1 + λ (3x−y+4) = 0(直线3x −y + 4 = 0 与直
线3x + 4y −7 = 0 不平行，故满足题意)，即(3λ +2)x + (3−λ)y + 4λ + 1 = 0，∵所求直线与直线
3x+4y−7 = 0 平行，∴3λ +2
3
= 3−λ
4̸
= 4λ +1
−7
，解得λ = 1
15，∴所求直线方程为33x+44y+19 = 0．
6
D
【解析】因为与直线x+y+3 = 0 平行，所以所求直线方程可以看成x+y+m = 0，再根据两直线间
的距离公式可以求出m = 9 或者m = −3，故选D．
7
C
【解析】解：圆(x−1)2 +y2 = 2 的圆心为点(1,0)，半径为
√
2，
圆C 与该圆关于直线y = −x 对称，
故两圆半径相同，圆心关于直线y = −x 对称，
可得圆C 的圆心为点(0,−1)，
所以其方程为x2 +(y+1)2 = 2．故本题正确答案为C．
8
C
【解析】∵圆C1：x2 +y2 +4x+1 = 0 与圆C2：x2 +y2 +2x+2y+1 = 0，∴两圆相减可得公共弦方程
为l：2x−2y = 0，即x−y = 0 又∵圆C1：x2 +y2 +4x+1 = 0 的圆心坐标为(−2,0)，半径为
√
3；圆
C2：x2 +y2 +2x+2y+1 = 0 的圆心坐标为(−1,−1)，半径为1，∴C1C2 的方程为x+y+2 = 0．∴联
立
x−y = 0
x+y+2 = 0
可得公共弦为直径的圆的圆心坐标为(−1,−1)，∵(−2,0) 到公共弦的距离为：
√
2，∴公共弦为直径的圆的半径为：1，∴公共弦为直径的圆的方程为(x+1)2 +(y+1)2 = 1．故选：C．
1219092614306
