文档文本内容
2020 春
高一数学·目标自招综评班
期末试卷
（本试卷共三大题，满分100 分，考试时间60 分钟）
一、选择题
1
已知向量−→a̸ = −→e ，|−→e | = 1，对任意t ∈R，恒有|−→a −t−→e | ⩾|−→a −−→e |，则( )
A. −→a ⊥−→e
B. −→e ⊥(−→a −−→e )
C. (−→a +−→e )⊥(−→a −−→e )
D. −→a ⊥(−→a −−→e )
2
一条光线从点(−2,−3) 射出，经y 轴反射后与圆(x+3)2 +(y−2)2 = 1 相切，则反射光线所
在直线的斜率为( )
A. −5
3 或−3
5
B. −3
2 或−2
3
C. −5
4 或−4
5
D. −4
3 或−3
4
3
如图，AB 是⊙O 的直径，VA 垂直⊙O 所在的平面，点C 是圆周上不同于A，B 的任意一点，
M，N 分别为VA，VC 的中点，则下列结论正确的是( )
A. MN//AB
B. MN 与BC 所成的角为45◦
C. OC⊥平面VAC
D. 平面VAC⊥平面VBC
第1 页（共6 页）
4
设集合A =
{
(x,y)|x2 +y2 ⩽4
}
，B =
{
(x,y)|(x−1)2 +(y−1)2 ⩽r2 (r > 0)
}
，当A∩B = B 时，
r 的取值范围是( )
A.
(
0,
√
2−1
)
B. (0,1]
C.
(
0,2−
√
2
]
D.
(
0,
√
2
)
5
已知f (x) = log 2 (x+1)，且a > b > c > 0，则f (a)
a
，f (b)
b
，f (c)
c
的大小关系是( )
A. f (a)
a
> f (b)
b
> f (c)
c
B. f (c)
c
> f (b)
b
> f (a)
a
C. f (b)
b
> f (a)
a
> f (c)
c
D. f (a)
a
> f (c)
c
> f (b)
b
6
如图, 在空间四边形ABCD 各边AB、BC、CD、DA 上分别取E、F、G、H 四点，如果EF、
GH 相交于点P，那么( )
A. 点P 必在直线AC 上
B. 点P 必在直线BD 上
C. 点P 必在平面DBC 内
D. 点P 必在平面ABC 外
1419092614309
第2 页（共6 页）
7
对于边长a，b，c(对应角依次是A、B、C) 不定，且∠C 是钝角的△ABC 和直线l：ax+by+c = 0．
给出以下四个命题：
①l 的倾斜角是钝角
②l 不穿过第I 象限
③l 和单位圆相切
④l 过定点
其中，正确命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8
设数列{xn} 的各项均为正数且x1 = 1，△ABC 内的点Pn (n ∈N∗) 均满足△PnAB 与△PnAC 的
面积比为2 : 1，若−→
PnA+ 1
2xn+1−→
PnB+(2xn +1)−→
PnC = −→0 ，则x4 的值为( )
A. 15
B. 17
C. 29
D. 31
二、填空题
9
如图，在同一个平面内，−→
OA、−→
OB、−→
OC 的模分别为1，1，
√
2，−→
OA 与−→
OC 的夹角为α，且
tanα = 7，−→
OB 与−→
OC 的夹角为45◦．若−→
OC = m−→
OA+n−→
OB(m,n ∈R)，则m+n =
．
第3 页（共6 页）
10 如图，在三棱柱ABC −A1B1C1 中，H 是正方形AA1B1B 的中心，AA1 = 2
√
2，C1H⊥平面
AA1B1B，且C1H =
√
5，则二面角A−A1C1 −B1 的平面角的正弦值是
．
11 下面的四个不等式：①a2 + b2 + 3 ⩾ab +
√
3(a+b)；②a(1−a) ⩽1
4；③b
a + a
b ⩾2；
④
(
a2 +b2)(
c2 +d2)
⩾(ac+bd)2，其中恒成立的是
．
12 已知实数x1、x2、y1、y2 满足：x2
1+y2
1 = 1，x2
2+y2
2 = 1，x1x2+y1y2 = 1
2，则|x1 +y1 −1|
√
2
+ |x2 +y2 −1|
√
2
的最大值为
．
第4 页（共6 页）
三、解答题
13 已知数列{an} 中，a1 = 1，a1 +2a2 +3a3 +···+nan = n+1
2
an+1 (n ∈N∗).
（1）求数列{an} 的通项公式an．
（2）求数列{n2an} 的前n 项和Tn．
（3）若存在n ∈N∗，使得an⩾(n+1)λ 成立，求实数λ 的取值范围.
第5 页（共6 页）
14 如图，已知定圆C：x2 +(y−3)2 = 4，定直线m：x+3y+6 = 0，过点A(−1,0) 的一条动直线
l 与直线m 相交于点N，与圆C 相交于P、Q 两点，M 是PQ 的中点．
（1）当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C．
（2）当|PQ| = 2
√
3 时，求直线l 的方程．
（3）设t = −→
AM ·−→
AN，试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由．
1419092614309
第6 页（共6 页）
