目录
第1 讲
等差数列··································1
第2 讲
等比数列··································9
第3 讲
数列求和·································19
第4 讲
数列递推1······························27
第5 讲
数列递推2······························35
第6 讲
空间几何体结构·························43
第7 讲
期中复习·································53
第
讲
1
1
等差数列
Part 1
等差数列的概念和性质
Part 2
等差数列的求和
2
Part 1
等差数列的概念和性质
知识点睛
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数
列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示．定义式如下：
an+1 −an = d (n ∈N∗) 或an −an−1 = d (n ≥2, n ∈N∗).
2．等差中项
若三个数x，A，y 成等差数列，则A 称为x，y 的等差中项．
若A 为x，y 的等差中项，则A = x+y
2
．
精讲精练
【例1】
（1）已知a > 0,b > 0，并且1
a, 1
2, 1
b 成等差数列，则a+9b 的最小值为( )
A. 16
B. 9
C. 5
D. 4
（2）已知lg2,lg
(
sinx−1
3
)
,lg(1−y) 顺次成等差数列，则( )
A. y 有最大值1，无最小值
B. y 有最小值−1，最大值1
C. y 有最小值7
9，无最大值
D. y 有最小值7
9，最大值1
第1 讲
3
知识点睛
3. 等差数列的通项公式
（1）以a1 为首项，d 为公差的等差数列{an} 的通项公式为：an = a1 +(n−1)d (n ∈N∗)．
（2）推导方法：累加法．
由an+1 −an = d (n ∈N∗)，可得：a2 −a1 = d，a3 −a2 = d，a4 −a3 = d，…，an −an−1 = d，各式相加，得
an −a1 = (n−1)d，即an = a1 +(n−1)d (n ∈N∗)．
（3）通项公式推广形式：an = am +(n−m)d (n, m ∈N∗).
精讲精练
【例2】
若公差为d 的等差数列{an} 满足an = (3a−1)n2 +2an，则d =( )
A. 1
3
B. 2
3
C. 3
4
D. 4
5
【例3】
首项为−12 的等差数列, 从第10 项起开始为正数, 则公差的取值范围是( )
A. d > 8
3
B. d < 3
C. 8
3 ⩽d < 3
D. 4
3 < d ⩽3
2
4
知识点睛
4．等差数列的函数特性
将等差数列的通项公式整理成an = dn+(a1 −d)，令f (x) = dx+(a1 −d)，则an = f (n)，
当d̸ = 0 时，f (x) 是一次函数，an 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d.
当d = 0 时，f (x) 是常数函数，an 是常数列，an = a1；当d > 0 时，数列为递增数列；当d < 0 时，数列为递减数列.
5. 等差数列的常用性质：
（1）若{an} 是等差数列，且k +l = m+n (k, l, m, n ∈N∗)，则ak +al = am +an. 特别地，如果k +l = 2p，则
ak +al = 2ap (k, l, p ∈N∗) 成立．
（2）若{an} 是等差数列，公差为d，则{a2n} 也是等差数列，公差为2d；{amn} 也是等差数列，公差为
md (m ∈N∗).
（3）若{an}，{bn} 是等差数列，则{pan +qbn}（p, q 是常数）仍是等差数列.
（4）若{an} 是等差数列，则ak, ak+m, ak+2m, ···(k, m ∈N∗) 组成公差为md 的等差数列.
精讲精练
【例4】
记数列{an} 是首项a1 = a，公差为2 的等差数列；数列{bn} 满足2bn = (n+1)an，若对任意n ∈N∗都有bn ⩾b5
成立，则实数a 的取值范围为
.
【例5】
在等差数列{an} 中,a2 +a8 −a4 = 7, 则2a6 +2a7 −a8 的值为
．
第1 讲
5
【例6】
若{an} 是等差数列, 则下列数列中仍为等差数列的有( ) (1) {an +3}；(2)
{
an2}
；(3) {an+1 −an}；(4) {2an}；(5)
{2an +n}．
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
【例7】
等差数列{an} 中，am = k，an = l，且m̸ = n，则am+n =( )
A. mk −nl
m−n
B. mk −nl
k +l
C. mk +nl
m−n
D. mk +nl
k +l
6
Part 2
等差数列的求和
知识点睛
1. 等差数列的前n 项和公式
公式一：Sn = n(a1 +an)
2
.
公式二：Sn = na1 + n(n−1)
2
d.
推导思路：
可运用倒序相加法推导求和公式，Sn = a1 + a2 + ··· + an，倒序得Sn = an + an−1 + ··· + a1，两式相加得
到2Sn = (a1 +an) + (a2 +an−1) + ··· + (an +a1). 由等差数列的性质得a1 + an = a2 + an−1 = ··· = an + a1，故有
Sn = n(a1 +an)
2
.
又an = a1 +(n−1)d，代入公式一，得到Sn = na1 + n(n−1)
2
d.
2. 等差数列的前n 项和公式与二次函数的关系
等差数列{an} 的前n 项和Sn = na1 + n(n−1)
2
d = d
2n2 +
(
a1 −d
2
)
n，若令d
2 = A, a1 −d
2 = B，则等差数列前
n 项和可表示为Sn = An2 +Bn 的形式.
精讲精练
【例8】
已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，首项a1 > 0，若3a5 = 8a12，则当Sn 取最大值时，n 的值为( )
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
第1 讲
7
知识点睛
3. 等差数列前n 项和的性质
（1）若等差数列{an} 的公差为d，前n 项和为Sn，则数列Sk, S2k−k, S3k−2k, ··· (k ∈N∗) 是等差数列，其公差
等于k2d.
（2）若等差数列的项数为2n (n ∈N∗)，则S2n = n(an +an+1)；若等差数列的项数为2n−1，则S2n−1 =
(2n−1)an（an 为中间项）.
（3）若{an}，{bn} 都为等差数列，Sn, Tn 分别为它们的前n 项和，则am
bm
= S2m−1
T2m−1
.
（4）若等差数列{an} 的公差为d，前n 项和为Sn，则数列
{
Sn
n
}
是等差数列，公差为d
2.
精讲精练
【例9】
已知两个等差数列{an} 和{bn} 的前n 项和分别为An 和Bn，若An
Bn
= 2n+3
3n−1，则a3
b5
=
．
（填小数）
【例10】
设等差数列{an} 的前n 项和为Sn，且满足S17 > 0，S18 < 0，则S1
a1
，S2
a2
，···，S15
a15
中最大的项为( )
A. S7
a7
B. S8
a8
C. S9
a9
D. S10
a10
【例11】
已知等差数列{an} 的前10 项的和S10 = 100，前100 项的和S100 = 10，则前110 项的和S110 =
．
8
【例12】
在公差为d 的等差数列{an} 中，已知a1 = 10，且(2a2 +2)2 = 5a1a3．
（1）求d，an．
（2）若d < 0，求|a1|+|a2|+|a3|+···+|an|．
第
讲
2
9
等比数列
Part 1
等比数列的概念和性质
Part 2
等比数列的求和
Part 3
等比数列的判定
10
Part 1
等比数列的概念和性质
知识点睛
1. 等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个不为零的常数，那么这个数列就叫
等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，常用字母q(q̸ = 0) 表示．定义式如下：
an+1 = anq(q̸ = 0,n ∈N∗) 或an = an−1q(q̸ = 0,n ≥2,n ∈N∗)．
2. 等比中项
若三个数x,G,y 成等比数列，则G 称为x,y 的等比中项．
若G 为x,y 的等比中项，则G2 = xy．
精讲精练
【例1】
若a,2a+2,3a+3 成等比数列, 则a =
．
第2 讲
11
知识点睛
3. 等比数列的通项公式
（1）以a1 为首项，q 为公比的等比数列{an} 的通项公式为：an = a1qn−1．
（2）推导方法：累乘法．
由an+1
an
= q，可得：a2
a1
= q，a3
a2
= q，a4
a3
= q，…, an
an−1
= q, 各式相乘，得an
a1
= qn−1，即an = a1qn−1．
（3）通项公式推广形式：an = a1qn−1 = amqn−m (n,m ∈N∗)
精讲精练
【例2】
在等比数列{an} 中，a1 = 4，且a1 +a3 = 2a2 +1，公比q > 1，则an 等于( )
A. 4·3n−1
B. 4·
(
3
2
)n−1
C. 4n
D. 4·
(
5
2
)n−1
【例3】
已知等比数列{an} 的首项a1 = 1536，公比q = −1
2，用∏n 表示等比数列{an} 的前n 项之积，则∏n 中最大的是
( )
A. ∏9
B. ∏11
C. ∏12
D. ∏13
12
知识点睛
4. 等比数列的函数特性
从函数观点来看，等比数列通项公式an = a1qn−1 = a1
q ·qn = A·Bn，令f (x) = A·Bx，则an = f (n).
当q̸ = 1 时，an 是关于n 的带有系数的指数函数，且底数为公比q.
当q = 1 时，an 是常数列，且an = a1.
当0 < q < 1 时，数列为递减数列；当q > 1 时，数列为递增数列.
5. 等比数列的常用性质
若数列{an} 是公比为q 的等比数列，则：
(1) 数列{c·an}（c̸ = 0），{|an|}，{an ·bn}（{bn} 是等比数列），
{
a2
n
}
，
{
1
an
}
也是等比数列.
(2) 数列am，am+k，am+2k，am+3k，……是公比为qk 的等比数列（m,k ∈N∗）.
(3) 对于任意正整数n，m，s，t，如果n+m = s+t，则anam = asat；特别地，如果n+m = 2s，则anam = a2
s．
精讲精练
【例4】
（1）在等比数列{an} 中，若an > an+1，且a7a14 = 6，a4 +a17 = 5，则a5
a18
=( )
A. 3
2
B. 2
3
C. 1
6
D. 6
（2）设等比数列{an} 满足a1 +a3 = 10，a2 +a4 = 5，则a1a2 ···an 的最大值为
．
第2 讲
13
Part 2
等比数列的求和
知识点睛
6. 等比数列的求和公式
（1）等比数列{an}：首项为a1，公比为q，通项为an，前n 项和为Sn．
前n 项和Sn 的公式：Sn =
na1,q = 1
a1(1−qn)
1−q
= a1 −anq
1−q ,q̸ = 1
（2）推导方法：错位相减法．
Sn = a1 +a1q+a1q2 +···+a1qn−1，
将上式两边同乘以q 得：qSn = a1q+a1q2 +a1q3 +···a1qn，
两式相减得：(1−q)Sn = a1 −a1qn，
当q̸ = 1 时，Sn = a1(1−qn)
1−q
；
当q = 1 时，Sn = na1．
精讲精练
【例5】
等比数列{an} 中，a1 = 1，a5 = 4a3．
记Sn 为{an} 的前n 项和．若Sm = 63，则m =
．
14
【例6】
（1）已知数列{an} 是等比数列，a2 = 2，a5 = 1
4，令Tn = a1a2 +a2a3 +···+anan+1，则Tn =( )
A. 16(1−4−n)
B. 16(1−2−n)
C. 32
3 (1−4−n)
D. 22
3 (1−2−n)
（2）等比数列{an} 的首项为a1 = a，公比为q，则
1
a1a2
+
1
a2a3
+···+
1
anan+1
=
．
知识点睛
7. 等比数列前n 项和的函数特性
当q̸ = 1 时，Sn = a1 (1−qn)
1−q
=
a1
1−q −
a1
1−q ·qn，令
a1
1−q = A，则Sn = A−Aqn．
令f (x) = A−Aqx，有Sn = f (n)，由此可得：
(1) 公比q̸ = 1 时，等比数列{an} 的前n 项和Sn 是底数为q 的指数型函数.
(2) 反之，若数列{an} 的前n 项和Sn = A−Aqn(Aq̸ = 0 且q̸ = 1)，则{an} 是公比为q 的等比数列．
8. 等比数列前n 项和的常用性质：
设{an} 是公比为q 的等比数列，前n 项和为Sn．
(1) 当q̸ = −1（或q = −1 且m 为奇数）时，Sm，S2m −Sm，S3m −S2m，……是等比数列，公比为qm 次；
(2) 当项数为偶数时，S偶= S奇·q；
当项数为奇数时，S奇= a1 +S偶·q.
第2 讲
15
精讲精练
【例7】
（1）已知等比数列{an} 的前n 项和为Sn，则下列判断一定正确的是( )
A. 若S3 > 0，则S2018 > 0
B. 若S3 < 0，则S2018 < 0
C. 若a2 > a1，则a2019 > a2018
D. 若1
a2
> 1
a1
，则a2019 < a2018
（2）已知等比数列1
9，1
3，1，··· 前n 项和为Sn，则使得Sn > 2018 的n 的最小值为
．
【例8】
已知数列{an} 的前n 项和为Sn，对任意的n ∈N∗有Sn = 2
3an −2
3，且1 < Sk < 12 则k 的值为( )
A. 2 或4
B. 2
C. 3 或4
D. 6
【例9】
等比数列{an} 中，记前n 项之和为Sn，若S10 = 10，S30 = 130，则S40 =
．
16
Part 3
等比数列的判定
知识点睛
9. 等比数列的判定方法主要有4 种：
(1) 定义法：an+1
an
= q(q̸ = 0).
(2) 等比中项法：a2
n = an−1an+1 (n ≥2).
(3) 通项公式法：an = c·qn (c,q̸ = 0).
(4) 前n 项和公式法：Sn = A·qn −A(q̸ = 0,1;A̸ = 0).
精讲精练
【例10】
（1）若等比数列{an} 的前n 项和Sn = 3n+1 +a，则a =( )
A. 1
B. −1
C. 3
D. −3
（2）已知数列{an} 的前n 项的和Sn = (an −1)(a 是不为0 的实数)，那么数列{an}( )
A. 一定是等差数列
B. 一定是等比数列
C. 或者是等差数列，或者是等比数列
D. 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列
第2 讲
17
【例11】
下列一些关于数列{an} 的命题：①若{an} 既是等差数列，又是等比数列，则{an} 一定是常数数列；②若{an} 是
等比数列，则数列{an +an+1} 一定也是等比数列；③若{an} 满足递推公式an+1 = an ·q，则{an} 一定是等比数列；
④若{an} 的前n 项和Sn = qn −1，则{an} 一定是等比数列．其中正确的有
(填写序号)
【例12】
数列{2n} 和{3n+2} 的公共项由小到大排列成数列{cn}，则{cn} 的通项公式cn =
，前n 项的和
Sn =
．
第
讲
3
19
数列求和
Part 1
常见幂和公式
Part 2
常见求和技巧
20
Part 1
常见幂和公式
知识点睛
1. 幂数列求和公式
我们把诸如“1k,2k,3k,……,nk（k 为自然数）” 之类的数列叫做幂数列，例如1,2,3,……,n；12,22,32,……,n2 等
等。
以下是k = 1,2,3 时对应的幂数列求和公式：
(1)1+2+3+...+n = n(n+1)
2
(2)12 +22 +32 +...+n2 = n(n+1)(2n+1)
6
(3)13 +23 +33 +...+n3 =
(n(n+1)
2
)2
= n2 (n+1)2
4
精讲精练
【例1】
（1）试证明：12 +22 +32 +···+n2 = n(n+1)(2n+1)
6
．
（2）试证明：13 +23 +33 +···+n3 =
(n(n+1)
2
)2
= n2(n+1)2
4
．
第3 讲
21
Part 2
常见求和技巧
知识点睛
1. 错位相减法
此种方法主要用于数列{anbn} 的求和，其中{an} 为等差数列，{bn} 是公比为q 的等比数列，只需用Sn −qSn
便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q = 1 和q̸ = 1 两种情况．
解题模板：
(1) 展开，将前n 项和列出从第一项到最后一项的分解形式，即等差数列和等比数列乘积的形式．
(2) 乘q，将等式两边同时乘以q（要注意q̸ = 1）的情况，得到qSn 的式子
(3) 作差，用Sn 的式子减去qSn 的式子，此处用到错位相减．
(4) 整理，讲最后作差后的结果整理，得到Sn .
精讲精练
【例2】
求数列{(2n−1)·3n} 的前n 项和Tn．
【例3】
求和：Sn = a+4a2 +9a3 +16a4 +···+n2an (a̸ = 1)．
22
知识点睛
2. 倒序相加法
此种方法主要针对类似等差数列中，具有an +a1 = an−1 +a2 = an−2 +a3 = ······, 这样特点的数列．
即：如果一个数列的首末两端等“距离”的两项的和相等，那么这个数列的前n 项和即可用倒序相加法计算.
精讲精练
【例4】
设等比数列{an} 的前n 项和Sn，已知a1a2a3 = 8，S2n = 3(a1 +a3 +a5 +···+a2n−1)(n ∈N∗)．
设bn = nSn，求数列{bn} 的前n 项和Tn．
第3 讲
23
知识点睛
3. 裂项相消法
如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且分裂后可正负相消，则可将通项拆成两项之差、然后正负相消剩
下首尾若干项．
常见裂项公式：
(1)
1
n(n+1) = 1
n −
1
n+1；
1
n(n+2) = 1
2(1
n −
1
n+2)；
1
n(n+k) = 1
k
(
1
n −
1
n+k
)
；
(2)
1
(2n−1)(2n+1) = 1
2(
1
2n−1 −
1
2n+1)；
(3)
1
√n+√n+1 = √n+1−√n；ln n+1
n
= ln(n+1)−lnn；
(4)
1
n2 −1 = 1
2(
1
n−1 −
1
n+1)；
1
√
k +
√
k +1
=
√
k +1−
√
k
(5)
2n
(
2n+1 −1
)
(2n −1) =
1
2n −1 −
1
2n+1 −1 ；n+2
n(n+1)2n = 1
2(
1
n·2n −
1
(n+1)2n+1 )；
(6)
1
n(n+1)(n+2) = 1
2
(
1
n(n+1) −
1
(n+1)(n+2)
)
.
精讲精练
【例5】
已知数列{an}，{bn} 的通项公式分别是an = √2n −1，bn =
2n
an +an+1
(n = 1,2,3,···)，则数列{bn} 的前n 项和
Sn
．
【例6】
求值：1+
1
1+2 +
1
1+2+3 +···+
1
1+2+3+···+2017 =( )
A. 2017
2018
B. 2018
1009
C. 2017
1009
D. 2018
2017
24
知识点睛
4. 分组求和法
如果对数列{an} 求前n 项和时，an 本身恰好是若干比较简单的通项的组合，可以将之转化为求几个更简单的
数列的和，这种方法称为分组求和．
此方法主要用于无法整体求和的数列，例如：
1，1+ 1
2，1+ 1
2 + 1
4，……，1+ 1
2 + 1
4 +......+
1
2n−1 ,……
可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和．
解题模板：
(1) 定通项公式：根据已知条件求出数列的通项公式；
(2) 巧拆分：根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列；
(3) 分别求和：即分别求出各个数列的和；
(4) 组合：把拆分后的每个数列的求和进行组合，求得原数列的和.
精讲精练
【例7】
（1）若数列{an} 的通项公式为an = 2n−1 +2n−1，则数列{an} 的前n 项和为( )
A. 2n +n2 −1
B. 2n+1 +n2 −1
C. 2n+1 +n2 −2
D. 2n +n−2
（2）求数列
(
x+ 1
x
)2
，
(
x2 + 1
x2
)2
，···，
(
xn + 1
xn
)2
的前n 项和．
第3 讲
25
【例8】
求和：Sn = 1−3+5−7+9−11+···+(−1)n−1 (2n−1)．
知识点睛
5. 并项求和法
将某些具有某种特殊性质的项放在一起先进行求和，再对整体进行求和。
精讲精练
【例9】
求数列1，−22，32，−42，···，(−1)n−1n2，··· 的前n 项和．
【例10】
数列bn =
n+1
4n2(n+2)2 的前n 项和为Tn．求证：Tn < 5
64．
26
知识点睛
6. 数列的周期性
类似于周期函数的概念，对于数列{an}，若存在一个常数T (T ∈N∗)，使得对任意的正整数n，都有an+T = an
成立，则称{an} 是周期为T 的周期数列。
利用数列的周期性，可以根据n 和周期T 之间的关系，对数列{an} 的前n 项和进行分类讨论。
精讲精练
【例11】
设数列{an} 的通项公式an = ncos nπ
3 ，其前n 项和为Sn，则S2016 =( )
A. 2016
B. 1680
C. 1344
D. 1008
【例12】
已知函数f (x) =
2x−3,x > 1
x+1,0 ⩽x ⩽1
2x+1,x < 0
，若数列{an} 的前n 项和为Sn，且a1 = 1
3，an+1 = f (an)，则S2014 =( )
A. 895
B. 896
C. 897
D. 898
第
讲
4
27
数列递推1
Part 1
累加累乘法
Part 2
待定系数法
28
Part 1
累加累乘法
知识点睛
1. 累加法
若数列递推公式为an+1 = an + f(n) 型，则可以用“累加法”求通项，即利用an = a1 + (a2 −a1) + (a3 −a2) +
···+(an −an−1) (n ≥2, n ∈N∗) 求解．
2. 累乘法
若数列递推公式为an+1 = an· f(n) 型，则可以用“累积法”求通项，即利用an = a1· a2
a1
· a3
a2
····· an
an−1
(n ≥2, n ∈N∗)
求解．
精讲精练
【例1】
已知数列{an} 满足a1 = 1，an = an−1 +3n−2(n ⩾2)，则{an} 的通项公式为( )
A. an = 3n2
B. an = 3n2 +n
C. an = 3n2 −n
2
D. an = 3n2 +n
2
【例2】
在数列{an} 中，a1 = 1，当n ⩾2 时，其前n 项和Sn 满足S2
n = an
(
Sn −1
2
)
，则Sn =
．
第4 讲
29
【例3】
数列{an} 满足：a1 = 1，a2 = 2，且an+2−an = 3+cos(nπ)(n ∈N∗)，若数列{an} 的前n 项和为Sn，则S100 =
．
【例4】
在数列{an} 中，a1 = 1，an−1 −an =
an
n2 −1(n ⩾2)，求an．
30
Part 2
待定系数法
知识点睛
类型1：递推公式为an+1 = pan +q（其中p,q 均为常数，（pq(p−1)̸ = 0））.
方法：把原递推公式转化为an+1 −t = p(an −t)，其中t =
q
1−p，再利用换元法转化为等比数列求解.
类型2：递推公式为an+1 = pan + qn（其中其中p,q 均为常数，（pq(p−1)(q−1)̸ = 0））.（或递推公式为
an+1 = pan +rqn（其中p,q,r 均为常数））
方法：该类型较类型1 要复杂一些. 一般地，要先在原递推公式两边同除以qn+1，得an+1
qn+1 = p
q · an
qn + 1
q.
类型3：递推式：an+1 = pan + f (n)，f (n) 为已知关于n 的函数.
方法：如果f (n) 为多项式函数，可设an +g(n) = b(an−1 +g(n−1))，其中g(n) 为与f (n) 的次数相等的多项
式函数，各项的系数都待定，通过比较bg(n−1) −g(n) 与f (n) 的各项系数确定待定系数，即{an +g(n)} 为等比
数列.
说明：（1）若f (n) 为n 的一次式，可设g(n) = An+B；若f (n) 为n 的二次式，可设g(n) = An2 +Bn+C.
（2）如果f (n) 为一次多项式函数，可由an+1 = pan + f (n) 和an = pan−1 + f (n−1) 这两式相减转化为类型
1 的方式求解.
精讲精练
【例5】
已知数列{an} 中，a1 = 2，an+1 = 3an +(2n−1)·3n，n ∈N∗，则数列{an} 的通项为
．
第4 讲
31
【例6】
已知数列{an} 的首项a1 = 1，前n 项和为Sn，且满足2an+1 +Sn = 2(n ∈N∗)，则满足1001
1000 < S2n
Sn
< 11
10 的n 的最
大值为
．
【例7】
已知数列{an} 中，a1 = 2，点列Pn (n = 1,2,...) 在△ABC 内部，且△PnAB 与△PnAC 的面积比为2 : 1，若对n ∈N*
都存在数列{bn} 满足bn
−→
PnA+ 1
2an+1
−→
PnB+(3an +2)−→
PnC =⃗0，则a4 的值为
．
【例8】
设数列{an} 满足a1 = 0，，且an −2an−1 = n2 −3(n = 2,3,···)，求an．
32
知识点睛
变式1：an+1 = par
n（其中p,r 均为常数）型：
方法：当p > 0，an > 0 时用两边取对数法，化归为一阶线性递推数列的形式求解通项.
变式2：an+1 =
man
kan +b（其中m,k,b 均为常数）型：
方法：可采取倒数变换法，化归为一阶线性递推数列的形式求解通项.
精讲精练
【例9】
正数数列中，a1 = 10，ak+1 = 10√ak，求an 的通项公式．
【例10】
已知数列{an} 中，a1 = 4，an+1 =
a2
n
2(an −1)，bn = an −2
an
，则数列{bn} 的通项公式为
．
第4 讲
33
【例11】
数列{an} 满足a1 = 1
4，an =
an−1
(−1)nan−1 −2 (n ⩾2,n ∈N∗)．
（1）求数列{an} 的通项公式．
（2）设bn = an sin (2n−1)π
2
，数列{bn} 的前n 项和为Tn．求证：对任意的n ∈N∗，都有Tn < 4
7．
第
讲
5
35
数列递推2
Part 1
二阶线性递推数列与特征
方程法
Part 2
不动点法求解递推数列
36
Part 1
二阶线性递推数列与特征方程法
知识点睛
递推公式形如an+2 = pan+1 +qan（其中p、q 均为常数，且p, q̸ = 0）:
法一：待定系数法
先把原递推公式转化为an+2 −san+1 = t (an+1 −san)，其中s，t 满足
s+t = p
st = −q
，再应用前面一阶递推数列求
通项的方法求解.
法二：特征方程法
此递推公式对应的特征方程为x2 −px−q = 0.
（1）若方程有两个不同的解α，β，则an = A·αn +B·β n.
其中A，B 由初始项决定（常约定a0）
即
a0 = A+B
a1 = A·α +B·β
⇒
A = a0β −a1
β −α
B = a1 −a0α
β −α
.
（2）若方程有两个相同的解α，则an = (A+Bn)αn.
其中A，B 由初始项决定（常约定a0）
即
a0 = A
a1 = (A+B)α
⇒
A = a0
B = a1
α −a0
.
第5 讲
37
精讲精练
【例1】
意大利著名数学家斐波那契在他的《算盘书》——被誉为数学史上的一个里程碑——中研究了这个数列．所以该
数列也称为斐波那契数列．该数列有许多奇妙的性质，著名的杨辉三角形中也含有这个数列．求斐波那契数列的
通项公式．递推公式：a1 = 1，a2 = 1 ，an+2 = an+1 +an (n ∈N∗)．
【例2】
已知数列{an} 的前n 项和Sn 满足Sn = 4an −an+1(n ∈N∗)，若a1 = 1，则an =
．
【例3】
在数列{an} 和{bn} 中，a1 = 1，b1 = 2，且
an+1 = 3an −2bn ···①
bn+1 = 2an −bn ···②
(n ∈n∗)，求an 和bn，并分别求它们的前n 项和．
38
【例4】
a1 = a2 = 1，an+2 = a2
n+1 +1
an
，n = 1，2，···，求证：对任意正整数n，an 都是整数．
【例5】
正数数列{xn}、{yn} 满足：xn+2 = 2xn+1 + xn，yn+2 = yn+1 + 2yn (n ∈N∗)．证明：存在正整数n0，对于任意正整数
n > n0，有xn > yn 恒成立．
【例6】
已知a2 +a−1 = 0，b2 +b−1 = 0，a < b，设a1 = 1，a2 = b，an+1 +an −an−1 = 0(n ⩾2)，bn = an+1 −a·an．
（1）证明：数列{bn} 是等比数列．
（2）求数列{an} 的通项公式．
（3）设c1 = c2 = 1，cn+2 = cn+1 +cn，证明：当n ⩾3 时，有(−1)n (cn−2a+cnb) = bn−1．
第5 讲
39
Part 2
不动点法求解递推数列
知识点睛
1. an = pan−1 +q
ran−1 +s 型递推数列：
方法：不动点法，令x = px+q
rx+s ，
若方程有两个解x1，x2，则
{
an −x1
an −x2
}
是等比数列；
若方程有两个相同的解x0，则
{
1
an −x0
}
是等差数列.
2. an = a·a2
n−1 +ban−1 +c(a̸ = 0, n ≥2, n ∈N∗) 型递推数列：
方法：不动点法，令x = ax2 +bx+c，当且仅当有两相同解x0 = −b
2a 时，
有an −x0 = a(an−1 −x0)2 (a̸ = 0, n ≥2, n ∈N∗)，两边取对数，化归为一阶线性递推数列的形式求解.
精讲精练
【例7】
已知数列{an} 中，a1 = 4，an+1 = 3an +2
an +4 ，求数列的通项公式an.
40
【例8】
已知数列{an} 中，a1 = 3，9an+1an +8an+1 −2an +1 = 0，求数列的通项公式an.
【例9】
已知a1 = 1，an+1 = 3a2
n +12an +10，求通项公式．
【例10】
已知a1 = 1，an+1 =
√
2a4n +6a2n +3，求通项公式．
第5 讲
41
【例11】
已知数列{an} 满足：a1 = 2t −3(t ∈R，且t̸ = ±1)，an+1 = (2tn+1 −3)an +2(t −1)tn −1
an +2tn −1
(n ∈N∗).
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）若t > 0，试比较an+1 与an 的大小.
第
讲
6
43
空间几何体结构
Part 1
多面体与旋转体
Part 2
空间几何体的表面积与体
积
44
Part 1
多面体与旋转体
知识点睛
几何体：只考虑物体的形状、大小与位置关系, 不考虑其它属性，所抽象出的空间图形叫做一个几何体, 比如长
方体, 球体等．
多面体：由若干个平面多边形所围成的封闭的几何体．
围成多面体的各个多边形叫做多面体的面（侧面、底面），相邻两个面的公共边叫做多面体的棱（侧棱、底
边），棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线．
凸多面体：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体
就叫做凸多面体．
截面：一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的截面．
多面体的不同种类
1. 棱柱:
两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱，如
图可记作：棱柱ABCD−A1B1C1D1．
第6 讲
45
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱（如：正三棱柱，正四棱柱）．
2. 棱锥：
一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体叫做棱锥，如图记作：棱锥S−ABCDE．
正棱锥：底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．
正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．
正四面体：三棱锥又叫四面体，其中由四个全等正三角形围成的空间封闭图形叫做正四面体，各棱长都相等的
正三棱锥是正四面体．
3. 棱台：
棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台，如图记作棱台ABCD−A1B1C1D1．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱
台的斜高．
46
精讲精练
【例1】
一个直角三角形的三个顶点分别在底面棱长为2 的正三棱柱的侧棱上，则该直角三角形斜边的最小值为
．
【例2】
设A 表示平行六面体，B 表示直平行六面体，C 表示长方体，D 表示正四棱柱，E 表示正方体，则A，B，C，D，E 的关
系是( )
A. A & B & C & D & E
B. A & B & D & C & E
C. E & D & C & B & A
D. E & C & D & B & A
【例3】
有四根长都为2 的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的
铁架，则a 的取值范围是( )
A. (0,
√
6+
√
2)
B. (1,2
√
2)
C. (
√
6−
√
2,
√
6+
√
2)
D. (0,2
√
2)
第6 讲
47
知识点睛
旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，这条定直线叫做旋转体的
轴.
圆柱、圆锥和圆台：
精讲精练
【例4】
如果用半径为R = 2
√
3 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是
．
【例5】
已知圆锥的母线长为4cm，圆锥的底面半径为1cm，一只蚂蚁从圆锥的底面A 点出发，沿圆锥侧面爬行一周回到
点A，则蚂蚁爬行的最短路程长为( )cm．
A. 4
B. 4
√
2
C. 2π
D. π
48
知识点睛
球
形成方式：半圆绕其直径所在直线旋转一周
相关概念：
大圆：经过球心的截面圆
小圆：不过球心的截面圆
结构性质：
球的小圆的圆心与球心连线垂直小圆面
精讲精练
【例6】
已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，AB = 4．若OM = ON = 3，则
两圆圆心的距离MN =( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
第6 讲
49
Part 2
空间几何体的表面积与体积
知识点睛
基本几何体的表面积与体积
其中C 表示底面周长，h 表示几何体的高，h′ 表示斜高，C1、C2 表示棱台上、下底面周长，r 表示底面半径，l 表
示母线长，r1、r2 分别表示圆台上、下底面半径，R 表示球的半径．正棱锥S上= 0．
注意
求三棱锥体积，选择合适的底面．
50
精讲精练
【例7】
（1）正四棱台的侧棱长为19，两底面边长分别是4 和16，它的表面积和体积分别是多少？
（2）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1 中，AB = 3cm，AD = 2cm，AA1 = 1cm，则三棱锥B1 −ABD1 的体积
为
cm3．
第6 讲
51
【例8】
（1）如图，在底面半径为2、母线长为4 的圆锥中内接一个高为
√
3 的圆柱，求圆柱的体积及表面积．
（2）一邻边长为a，b 的平行四边形，且a > b，分别以a，b 两边所在直线为轴旋转这个平行四边形，所得几何体的
表面积为S1，S2，则有( )
A. S1 < S2
B. S1 > S2
C. S1 = S2
D. S1 ⩾S2
【例9】
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积V =( )
A. 8
3
B. 10
3
C. 3
D. 20
3
52
【例10】
已知半径为3cm 的球内有一个内接四棱锥S −ABCD，四棱锥S −ABCD 的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱
锥S−ABCD 的体积最大时，它的底面边长等于( )
A. 2cm
B. 4cm
C. 2
√
6cm
D. 24cm
【例11】
如图所示，在棱长为1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和．
第
讲
7
53
期中复习
Part 1
平面向量综合
Part 2
数列与不等式综合
54
Part 1
平面向量综合
知识点睛
1. 向量法求最值问题
平面向量的最值、范围问题常与平面向量的数量积运算相关，求向量模长、夹角和数量积的最值或范围时，可
以从向量运算、平面几何、解析几何三个角度入手，找到合适的自变量，把要求的量表示为关于自变量的函数，再求
函数的值域．
这类问题最实用、效率最高的解决方法是几何法，把向量关系转化为几何图形，找到所求量取得最值时几何图
形的状态。
例如：
(1) 求
−→a +−→b
的最值：可以把两向量起点重合，模长即为两向量终点距离，利用|−→a | −
−→b
≤
−→a +−→b
≤
|−→a |+
−→b
求最值。
（
−→a −−→b
=
−→a +
(
−−→b
) ）；
(2) 求−→a ·−→b 的最值：利用向量分解，或者数量积的几何意义（投影），或者利用
−→a ·−→b
≤|−→a |·
−→b
求最值。
精讲精练
【例1】
函数f (x) =
√
x2 +3x+3+
√
x2 −3x+3 的最小值是
，其中x ∈R．
【例2】
平面上的三个向量−→a ，−→b ，−→c 满足|−→a | = 2，
−→b
= 3，
−→c −
(−→a +−→b
) =
−→a −−→b
，则|−→c | 的最大值为
．
第7 讲
55
知识点睛
2. 平面向量的线性混合运算
利用平面向量的几何意义，物理意义和线性运算规律，可以求解部分三角形相关的几何题。
精讲精练
【例3】
已知P 是△ABC 内的一点，且满足−→
PA + 3−→
PB + 5−→
PC = −→0 ，记△ABP,△BCP,△ACP 的面积依次为S1,S2,S3，则
S1 : S2 : S3 =
．
【例4】
四边形ABCD 中，E、F、M、N 分别为BC、AD、BD、AC 的中点，O 为MN 的中点，求证：O 是EF 的中点．
56
知识点睛
3. 平面向量与三角函数
平面向量常常作为载体，用以考查三角函数的相关知识。
精讲精练
【例5】
已知−→a 、−→b 是两个不共线的向量，且−→a = (cosα,sinα)，−→b = (cosβ,sinβ)．
若α ∈
(
−π
4 , π
4
)
，β = π
4 ，且
−→a +−→b
=
√
16
5 ，求sinα．
第7 讲
57
Part 2
数列与不等式综合
知识点睛
1. 放缩法证明不等式
为了证明不等式A ⩽B，我们可以找一个或者多个中间变量C 作比较。即若能判定A ⩽C,C ⩽B 同时成立, 那
么A ⩽B 显然正确。
所谓“放”，即把A 放大到C，再把C 放大到B；反之，由B 缩小经过C 而变到A，则成为“缩”，统称为放缩法。
放缩是一种技巧性较强的不等变形，必须时刻注意放缩的跨度，做到“放不能过头，缩不能不及”。
精讲精练
【例6】
已知an =
1
√4n+3，数列的前n 项和为Sn，求证Sn < 1
2
(√4n+3−
√
3
)
(n ∈N∗)．
58
【例7】
已知bn = 3n −2n，求证1
b1
+ 1
b2
+···+ 1
bn
< 77
60(n ∈N∗)．
【例8】
在数列{an} 中，已知a1 = 1，a2 = 3，其前n 项和Sn 满足Sn = n
2 (a1 +a2)(n ∈N∗)．
对于任意的正整数n ⩾2，求证：a1a2 ···an > (2n+1)
n−1
2
．
第7 讲
59
知识点睛
2. 数列与不等式综合思路
(1) 不等式恒成立、存在性问题，一般转化为最值问题研究；而涉及数列的不等式最值问题，一般化为数列的
最大项、最小项来处理．
(2) 求数列的的最大项、最小项问题，一般通过an+1 −an 的正负确定an 的增减性，再求最大、最小项．
(3) 如果{an} 各项均为正数，可以通过an+1
an
与1 的大小关系确定an 的增减性，再求最大、最小项．
精讲精练
【例9】
已知数列{an} 满足a1 = 1
2 且an+1=an −a2
n
(
n ∈N*)
．
证明：1 ⩽
an
an+1
⩽2
(
n ∈N*)
．
60
【例10】
已知数列{an} 的前n 项和为Sn，且3Sn = 4an −4．
设cn = log2a1 +log2a2 +...+log2an，Tn = 1
c1
+ 1
c2
+...+ 1
cn
，求使k n·2n
n+1 ⩾(2n−9)Tn 恒成立的实数k 的取值范围．
【例11】
已知数列{an} 满足an+1 =
√
a2n −2an +2 + 1(n ∈N∗)，则使不等式a2015 > 2015 成立的所有正整数a1 的集合
为
．
1119092614303
