目录
第8 讲
数列2·····································1
第9 讲
向量与复数······························17
第10 讲
立体几何·······························33
第11 讲
解析几何1·····························53
第12 讲
解析几何2·····························73
第13 讲
组合计数与概率························91
第14 讲
数论基础·····························109
第15 讲
综合复习······························125
数学竞赛
2020 年春季
报名高中数学联赛
报名途径：高中数学老师
2021 年10 月
清北金秋营
2020 年暑假
部分同学有机会参加东南数学奥林匹克
报名途径：东南联盟中学
2021 年11 月
CMO
2020 年9 月
新高二高中联赛
目标：获得奖项
指导高二学习规划
2022 年2 月
自主招生简章
自主招生报名
2021 年春季
报名高中数学联赛
清华、北大飞测
2022 年6 月
高考
自主招生
2021 年暑假
高校夏令营：清华 、北大
区域竞赛：女子数学奥林匹克
协作体夏令营
东南地区数学竞赛
西部数学邀请赛
陈省身杯数学奥林匹克
北方数学奥林匹克
北方希望之星数学邀请赛
希望联盟夏令营
2021 年9 月
高中联赛
冲刺省一
数学竞赛是否后续发展
数学竞赛重要时间
第
讲
8
1
数列2
Part 1
经典真题
Part 2
数学归纳法
Part 3
数列与不等式
Part 4
数列与极限
Part 5
数列综合
2
Part 1
经典真题
知识点睛
知识框架
数列
数列的定义
等差数列与等比数列
数列求和
倒序相加法
错位相减法
裂项相消法
递推数列
叠加法
待定系数法
整体代换
迭代相减法
不动点
特征方程
归纳法
数学归纳法
数列与不等式
极限
模块分析
数列可看作是一个定义域为正整数集的函数，因此通常会与函数和数论联系起来。联赛一试中考察数列的基
本性质时，往往会结合一些简单的数论来考，而考察数列求和与数列递推时，与高考题的差距通常只有一步恒等变
形或是不等式放缩，因此需要多注重平时的方法积累。此外归纳法的应用也是考察的重中之重，需要熟练掌握。
第8 讲
3
精讲精练
【真题1】
给定正数数列{xn} 满足Sn ⩾2Sn−1，n = 2,3,···，这里Sn = x1 +···+xn．
证明：存在常数C > 0，使得xn ⩾C ·2n，n = 1,2,3,···．
【真题2】
已知复数数列{zn} 满足z1 = 1，zn+1 = zn +1+ni(n = 1,2,···)，其中i 为虚数单位，zn 表示zn 的共轭复数，则z2015
的值为
．
【真题3】
设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为972，则这样的数列共有
个
4
【真题4】
设Mn = {(十进制)n 位纯小数0.a1a2 ···an|ai 只取0 或1(i = 1,2,···,n−1),an = 1}，Tn 是Mn 中元素的个数，Sn 是
Mn 中所有元素的和，则lim
n→∞
Sn
Tn
=
．
【真题5】
给定正整数n 和正数M，对于满足条件a2
1 +a2
n+1 ⩽M 的所有等差数列a1，a2，a3，···，试求S = an+1 +an+2 +···+
a2n+1 的最大值．
【真题6】
给定正数数列{xn} 满足Sn ⩾2Sn−1，n = 2,3,···，这里Sn = x1 + ··· + xn．证明：存在常数C > 0，使得xn ⩾C · 2n，
n = 1,2,···．
第8 讲
5
【真题7】
a1,a2,a3,a4 是1,2,··· ,100 中互不相等的数，
(
a2
1 +a2
2 +a2
3
)(
a2
2 +a2
3 +a2
4
)
= (a1a2 +a2a3 +a3a4)2，
这样的有序数组(a1,a2,a3,a4) 的个数为
．
【真题8】
已知数列{an} 满足：a1 = 2t −3(t ∈R 且t̸ = ±1)，an+1 =
(
2tn+1 −3
)
an +2(t −1)tn −1
an +2tn −1
(n ∈N∗)
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）若t > 0，试比较an+1 与an 的大小．
6
【真题9】
已知实数列a1，a2，a3，··· 满足：对任意正整数n，有an (2Sn −an) = 1，其中Sn 表示数列的前n 项和．证明：
（1）对任意正整数n，有an < 2√n．
（2）对任意正整数n，有anan+1 < 1．
【真题10】
设数列{an} 是等差数列，数列{bn} 满足bn = an+1an+2 −a2
n，n = 1,2,···．
（1）证明：数列{bn} 也是等差数列．
（2）设数列{an}、{bn} 的公差均是d̸ = 0，并且存在正整数s、t，使得as +bt 是整数，求|a1| 的最小值．
第8 讲
7
Part 2
数学归纳法
精讲精练
【例1】
已知数列a1，a2，...，an，... 的各项都是非负实数，且a2
n −an + an+1 ⩽0．求证：对所有不小于2 的自然数n，都有
an ⩽
1
n+2．
【例2】
已知数列{an}，{bn} 满足：a1 = 1，b1 = 3，an+1 = 2+
27an
9a2
n +4b2
n
，bn+1 =
27bn
9a2
n +4b2
n
，n ∈N∗．
（1）证明：对一切n ∈N∗，有(an −1)2
4
+ b2
n
9 = 1．
（2）求数列{an} 的通项公式．
8
【例3】
已知数列{an} 满足a1 = 1,an+1 = an + 1
a2
n
(n ⩾2)．
（1）求证：当n ⩾2 时，a3
n > 3n．
（2）当n ⩾4 时，求[a9n3]．([x] 表示不大于x 的整数部分)
第8 讲
9
【例4】
已知数列{xn} 满足x1 = a(a > 0)，且对所有正整数n 有xn+1 ⩾(n+2)xn −
n−1
∑
i=1
ixi．
求证：存在正整数n，使得xn > 2010!．
【例5】
证明：存在唯一正整数数列{an} 满足：a1 = 1,a2>1，
an+1 (an+1 −1) =
anan+2
3√anan+2 −1+1 −1(n = 1,2,···)．
10
Part 3
数列与不等式
精讲精练
【例6】
在单调递增数列{an} 中，a1 = 2，a2 = 4，且a2n−1、a2n、a2n+1 成等差数列，a2n、a2n+1、a2n+2 成等比数列，n = 1，2，3，
...．
（1）求数列{an} 的通项公式．
（2）设数列
{
1
an
}
的前n 项和为Sn，证明：Sn >
4n
3(n+3)，n ∈N∗．
【例7】
已知数列{an}、{bn} 满足a1 > 0，b1 > 0，
an+1 = an + 1
bn
bn+1 = bn + 1
an
n ∈N∗．
证明：a50 +b50 > 20．
第8 讲
11
Part 4
数列与极限
精讲精练
【例8】
lim
n→∞
1
3√n
1
1+ 3√
2+ 3√
4
+
1
3√
4+ 3√
6+ 3√
9
+···+
1
3√
(n−1)2 + 3√
n(n−1)+
3√
n2
=
．
【例9】
在数列{an} 中，a1，a2 是给定的非零整数，an+2 = |an+1 −an|．
（1）若a16 = 4，a17 = 1，求a2018；
（2）证明：从{an} 中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数列．
12
【例10】
设正整数数列{an} 的前n 项和为Sn．且存在正数t，使得对于所有的自然数n，有√tSn = t +an
2
成立．如果
lim
n→∞
√Sn
an
< t，那么，t 的取值范围是
．
第8 讲
13
Part 5
数列综合
精讲精练
【例11】
数列{an} 中，a1 = a2 = 1，a3 = m，an+1 = k +anan−1
an−2
(n ⩾3)，其中k、m 均为正整数且(k,m) = 1．问k 为何值时，对
任意的n ∈N，an 均为整数？
【例12】
设数列{an} 满足：|an+1 −2an| = 2，|an| ⩽2，n = 1,2,3,···．
证明：如果a1 为有理数，则从某项后{an} 为周期数列．
14
【例13】
已知a0,a1,a2,···,an 为等差数列，f (x) =
bx
bx +
√
b
(b > 0)．求证：
n
∑
k=0
akCk
n[f (x)]k[f (1−x)]n−k = a0 f (1−x)+an f (x)．
【例14】
设正数列{xn}··· 满足：(8x2 −7x1)x7
1 = 8 及xk+1xk−1 −x2
k = x8
k−1 −x8
k
(xkxk−1)7 ,k ⩾2．
求正实数a，使得当x1 > a 时，{xn} 严格单调递减；当0 < x1 < a 时，不具有单调性．
第8 讲
15
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：40 分钟
你的用时：
【测试1】
在数列{an} 中，a1 = 1
3，an+1 = 2an −[an]，其中，[x] 表示不超过实数x 的最大整数，则
a2009 +a2010 =
．
【测试2】
设数列{an} 满足a1 = 1，an+1 = an
n + n
an
(n ∈N+)．试求
[
a2
2009
]
．
16
拍摄区
【测试3】
设a1,a2,...,a2011 是正实数，S =
2011
∑
i=1
ai，且(S+2011)(S+a1a2 +a2a3 +...+a2011a1) =
4
(√a1a2 +√a2a3 +...+√a2011a1
)2．则S =
．
【测试4】
设a1 = 11
7 ，an+1 = 1+ 2
an
．求证：(−1)a1 +(−1)2a2 +···+(−1)nan < 1．
第
讲
9
17
向量与复数
Part 1
经典真题
Part 2
向量
Part 3
复数的性质
Part 4
复数的运算
Part 5
复数的模与共轭
Part 6
复数的几何意义
Part 7
单位根与多项式
18
Part 1
经典真题
知识点睛
知识框架
向量
向量的概念
运算
向量的加减法（几何意义）
向量的乘法
数乘
点乘（内积）（重点）
叉乘（外积）
定比分点公式
向量基本定理（坐标表示）
三角形中五心与向量（难点）
复数
复数的概念
表示形式
代数形式
三角形式
指数形式
复数的运算（加，减，乘，除，乘方，三角形式运算）
复数共轭与模的性质（重点，难点）
复数的几何意义
单位根与多项式（难点）
模块分析
向量在联赛中不算重点考察内容，在高中数学上的作用常作为工具，如高考中立体几何常用的向量法，解析几
何用向量的几何意义来说明，竞赛中平面几何可使用向量法等等，向量法中使用的比较多的是向量的内积，在联赛
中也相对考察较多。
至于复数，很多同学的理解就是很向量是一样的，这种理解是非常片面的，复数虽然在几何意义上可以和向量
一一对应，并且也会有一些复数法，但复数的用法却广的多，在高等数学中也有更多的应用。复数在高考考察非常
简单，联赛一试中之前考察较少，这两年逐渐增加，在CMO 及更高级的比赛中也考察不少，有很多关于复数的难
题。其中复数与多项式的综合问题是其中的难点。联赛一试中，复数的三角形式以及共轭复数和模的问题考察较
多。也正是由于一般高考联赛层次对复数的要求不高，所以大部分学生对复数的理解不足，导致CMO 上有些并不
难的问题也对很多同学造成阻碍，这一块也应该引起大家的重视。
第9 讲
19
精讲精练
【真题1】
设O 为△ABC 的外心，若−→
AO = −→
AB+2−→
AC，则sin∠BAC 的值为
．
【真题2】
在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB = EF = 1，BC = 6，CA =
√
33，若−→
AB·−→
AE +−→
AC ·−→
AF = 2，则−→
EF 与−→
BC
的夹角的余弦值等于
．
【真题3】
在△ABC 中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点．若∠A = π
3 ，△ABC 的面积为
√
3，则−→
AM · −→
AN 的最小值
为
．
20
【真题4】
在矩形ABCD 中，AB = 2，AD = 1，边DC 上(包含点D、C) 的动点P 与CB 延长线上(包含点B) 的动点Q 满足
−→
DP
=
−→
BQ
，则向量−→
PA 与向量−→
PQ 的数量积−→
PA·−→
PQ 的最小值为
．
【真题5】
设O 点在△ABC 内部，且有−→
OA+2−→
OB+3−→
OC = −→0 ，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比为( )
A. 2
B. 3
2
C. 3
D. 5
3
【真题6】
设复数z 满足|z| = 1，使得关于x 的方程zx2 +2zx+2 = 0 有实根，则这样的复数z 的和为
．
第9 讲
21
【真题7】
设复数z 满足z+9 = 10z+22i，则|z| 的值为
．
【真题8】
设复数z、w 满足|z| = 3，(z+w)(z−w) = 7 + 4i，其中i 是虚数单位，z、w 分别表示z、w 的共轭复数，则
(z+2w)(z−2w) 的模为
．
【真题9】
确定所有的复数α，使得对任意复数z1、z2 (|z1|,|z2| < 1,z1̸ = z2)，均有(z1 +α)2 +αz1̸ = (z2 +α)2 +αz2．
22
【真题10】
设复数z1、z2 满足Re(z1) > 0，Re(z2) > 0，且Re
(
z2
1
)
= Re
(
z2
2
)
= 2(其中Re(z) 表示复数z 的实部)．
（1）求Re(z1z2) 的最小值．
（2）求|z1 +2|+|z2 +2|−|z1 −z2| 的最小值．
【真题11】
设非零复数a1,a2,a3,a4,a5 满足
a2
a1
= a3
a2
= a4
a3
= a5
a4
a1 +a2 +a3 +a4 +a5 = 4
(
1
a1
+ 1
a2
+ 1
a3
+ 1
a4
+ 1
a5
)
= S
．
其中S 为实数且|S| ⩽2．
求证：复数a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上．
【真题12】
设ω = cos π
5 +isin π
5 ，则以ω,ω3,ω7,ω9 为根的方程是( )
A. x4 +x3 +x2 +x+1 = 0
B. x4 −x3 +x2 −x+1 = 0
C. x4 −x3 −x2 +x+1 = 0
D. x4 +x3 +x2 −x−1 = 0
第9 讲
23
Part 2
向量
精讲精练
【例1】
在△ABC 中，AB = 5，AC = 4，且−→
AB·−→
AC = 12．设P 为平面ABC 上的一点，则−→
PA·
(−→
PB+−→
PC
)
的最小值是
．
【例2】
空间四点A,B,C,D 满足|−→
AB| = 3,|−→
BC| = 7,|−→
CD| = 11,|−→
DA| = 9, 则−→
AC ·−→
BD 的取值为
．
【例3】
△ABC 中，三边长分别为AB =
√
7，BC =
√
3，CA =
√
2，则−→
AB·−→
BC +
√
2−→
BC ·−→
CA+
√
3−→
CA·−→
AB 的值为
．
24
Part 3
复数的性质
精讲精练
【例4】
设a,b ∈R−,i2 = −1，且存在z ∈C，适合
z+z|z| = a+bi
|z| ⩽1
则ab 的最大值等于
．
【例5】
已知虚数z 满足z3 +1 = 0，则
(
z
z−1
)2018
+
(
1
z−1
)2018
=
．
【例6】
已知关于x 的实系数方程x2 −2x+2 = 0 和x2 +2mx+1 = 0 的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m 的取
值范围是
．
第9 讲
25
Part 4
复数的运算
精讲精练
【例7】
若z =
(1+i)2000 (6+2i)−(1−i)1998 (3−i)
(1+i)1996 (23−7i)+(1−i)1994 (10+2i)
，则|z| =
．
【例8】
设复数z = x+yi，其中x、y 是实数，i 是虚数单位．若z 的虚部和z−i
1−z 的实部都非负，则满足条件的点(x,y) 所构
成平面区域的面积是
．
【例9】
复数z1 =
1
1+cosθ +isinθ +
1
1+cosθ −isinθ ，z2 =
cosθ +isinθ
1+cosθ +isinθ +
cosθ +isinθ
1+cosθ −isinθ 的关系为
．
26
Part 5
复数的模与共轭
精讲精练
【例10】
设i 为虚数单位，a 和b 为正整数，且|(a+i)(2+i)| =
b−i
2−i
，则a+b =
．
【例11】
已知zn = (1+i)
(
1+
i√
2
)
···
(
1+
i√n
)
，(n ∈N)，则|z2014 −z2015| 的值为
．
【例12】
已知△ABC 三边的长分别是a，b，c，复数z1，z2 满足：|z1| = a，|z2| = b，|z1 +z2| = c，那么复数z1
z2
一定( )
A. 是实数
B. 是虚数
C. 不是实数
D. 不是纯虚数
第9 讲
27
【例13】
复数z1、z2、z3、z4、z5 满足
|z1| ⩽1
|z2| ⩽1
|2z3 −(z1 +z2)| ⩽|z1 −z2|
|2z4 −(z1 +z2)| ⩽|z1 −z2|
|2z5 −(z3 +z4)| ⩽|z3 −z4|
求|z5| 的最大值．
【例14】
在复平面上，曲线z4 +z = 1 与圆周|z| = 1 的交点的个数是
．
28
Part 6
复数的几何意义
精讲精练
【例15】
设复数z 满足|z−i| = 2，则|z−z| 的最大值为
．
（i 为虚数单位，z 为复数z 的共轭复数）
【例16】
设复数z 满足
z+ 1
z
⩽2，则|z| 的取值范围是
．
第9 讲
29
【例17】
n 为自然数，r > 0 为实数．证明：方程xn+1 +rxn −rn+1 = 0 没有模为r 的复数根．
【例18】
在复平面上有三个点：c1 = a+bi，c2 = m+bi，c3 = a+ni，其中a > m，n > b，C1C2C3(这里C1 表示复数c1，对应的
点) 组成一个三角形．证明：满足
1
z−c1
+
1
z−c2
+
1
z−c3
= 0 的复数z 所代表的点Z，位于这个三角形的内部．
30
Part 7
单位根与多项式
精讲精练
【例19】
若存在正实数a、b 满足(a+bi)n = (a−bi)n(i 是虚数单位，n ∈N∗)，则n 的最小值是
．
【例20】
已知i 为虚数单位，则在
(√
3+i
)10 的展开式中，所有奇数项的和是
．
【例21】
设复数z̸ = 1,z13 = 1．则z1 +z3 +z4 +z9 +z10 +z12 的值为
．
第9 讲
31
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：40 分钟
你的用时：
【测试1】
已知a，b ∈R，复数z = a+4i，且
z
z+b = 4i，则b =( )
A. −16
B. 1
C. 16
D. 17
【测试2】
复数z 的模|z| = 1，且z11 +z = 1，则z =
．
32
拍摄区
【测试3】
在复平面内，复数z1、z2、z3 的对应点分别为Z1、Z2、Z3．若|z1| = |z2| =
√
2，−−→
OZ1 · −−→
OZ2 = 0，
|z1 +z2 −z3| = 1，则|z3| 的取值范围是
．
【测试4】
已知(1+ix)4n+2 (x ∈R) 展开式中的实部是关于x 的多项式，则此多项式的系数和为
．
第
讲
10
33
立体几何
Part 1
经典真题
Part 2
二维平面考虑
Part 3
体积
Part 4
角度
Part 5
距离
Part 6
综合问题
34
Part 1
经典真题
知识点睛
知识框架
立体几何
概念
空间几何体的基本元素
空间多面几何体
棱柱
棱锥
棱台
旋转几何体
圆柱
圆锥
圆台
球
截面问题，侧面展开，三视图斜二测画法
表面积与体积公式（最值问题）
点线面的位置关系
角度和距离（重点）
空间坐标系与向量法
（点线，点面，线线，线面，面面）
模块分析
立体几何是一块比较抽象的内容，在高考中，很多同学对立体几何的理解就是向量法，确实向量法能解决高考
的立体几何中大部分问题。联赛中一般只考察一个小题，在早年的竞赛中，抽象性的问题考得较多，很多时候我们
需要想象出图形或者考虑出二维截面上的图形，然后进行计算；近年联赛中计算面积体积，距离，角度的问题考察
较多，特别是二面角问题，这对我们空间想象能力和一些经典问题的主要方法掌握的比较深刻。
第10 讲
35
精讲精练
【真题1】
已知正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为1，以顶点A 为球心，2
√
3
3
为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交
所得到的曲线的长等于
．
【真题2】
在正四面体ABCD 中，E、F 分别在棱AB、AC 上，满足BE = 3，EF = 4，且EF 与面BCD 平行，则△DEF 的面积
为
．
【真题3】
一个半径为1 的小球在一个内壁棱长为4
√
6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接
触到的容器内壁的面积是
．
36
【真题4】
△ABC 中，∠C = 90◦，∠B = 30◦，AC = 2，M 是AB 的中点．将△ACM 沿CM 折起，使A，B 两点间的距离为2
√
2，此
时三棱锥A−BCM 的体积等于
．
【真题5】
一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是
．
【真题6】
顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB⊥OB，
垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA = 4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O−HPC 的体积最大时，OB 的长为( )
A.
√
5
3
B. 2
√
5
3
C.
√
6
3
D. 2
√
6
3
第10 讲
37
【真题7】
在直三棱柱A1B1C1 −ABC 中，∠BAC = π
2 ，AB = AC = AA1 = 1．已知G 与E 分别为A1B1 和CC1 的中点，D 与F
分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF 的长度的取值范围为( )
A.
[
1
√
5
,1
)
B.
[
1
5,2
)
C.
[
1,
√
2
)
D.
[
1
√
5
,
√
2
)
【真题8】
正四棱锥P−ABCD 中，侧面是边长为1 的正三角形，M、N 分别是边AB、BC 的中点，则异面直线MN 与PC 之间
的距离是
．
【真题9】
设点P 到平面α 的距离为
√
3，点Q 在平面α 上，使得直线PQ 与平面α 所成角不小于30◦且不大于60◦，则这
样的点Q 所构成的区域的面积为
．
38
【真题10】
正三棱锥P −ABC 中，AB = 1，AP = 2，过AB 的平面α 将其体积平分，则棱PC 与平面α 所成角的余弦值
为
．
【真题11】
设P 为一圆锥的顶点，A、B、C 是其底面圆周上的三点，满足∠ABC = 90◦，M 为AP 的中点．若AB = 1，AC = 2，
AP =
√
2，则二面角M −BC −A 的大小为
．
【真题12】
已知正三棱锥P−ABC 底面边长为1，高为
√
2，则其内切球半径为
．
第10 讲
39
Part 2
二维平面考虑
精讲精练
【例1】
如图，在正三棱柱A1B1C1 −ABC 中，AB = 2，A1A = 2
√
3，D，F 分别是棱AB，AA1 的中点，E 为棱AC 上的动点，则
△DEF 周长的最小值为
．
40
【例2】
正方体ABCD−A1B1C1D1 的棱长为a，E 为CD 的中点，F 为AA1 的中点．过E，F，B1 的截面面积是
．
【例3】
在如图所示的三棱柱中，点A、BB1 的中点M 以及B1C1 的中点N 所决定的平面把三棱柱割成体积不同的两部分，
则较小部分的体积和原三棱柱的体积之比为( )
A. 23
36
B. 13
36
C. 13
23
D. 12
23
第10 讲
41
Part 3
体积
精讲精练
【例4】
四棱锥P−ABCD 的底面ABCD 是一个顶角为60◦的菱形，每个侧面与底面的夹角都是60◦，棱锥内有一点M 到
底面及各侧面的距离皆为1，则棱锥的体积为
．
【例5】
在四面体ABCD 内部有一点O，满足OA = OB = OC = 4，OD = 1，求四面体ABCD 体积的最大值．
42
【例6】
在如图所示的多面体ABCDEF 中，已知AD、BE、CF 都与平面ABC 垂直．设AD = a，BE = b，CF = c，
AB = AC = BC = 1．求四面体ABCE 与BDEF 公共部分的体积(用a、b、c 表示)．
第10 讲
43
Part 4
角度
精讲精练
【例7】
三棱锥S −ABC 中，∠SAB = ∠SAC = ∠ACB = 90◦，AC = 2，BC =
√
13，SB =
√
29．则直线SC 与AB 所成角的余弦
值为
．
【例8】
若圆柱被一平面所截，其截面椭圆的离心率为2
√
2
3 ，则此截面与圆柱底面所成的锐二面角是( )
A. arcsin 1
3
B. arccos 1
3
C. arcsin 2
3
D. arccos 2
3
44
【例9】
如图，正三棱柱ABC −A1B1C1 的各条棱长都是1，截面BC1D 在棱AA1 上的交点为D．设这个截面与底面ABC 和
三个侧面ABB1A1、BCC1B1、CAA1C1 所成的二面角依次为α1、α2、α3、α4，若cosα1 +cosα2 = cosα3 +cosα4，则截
面BC1D 的面积等于
．
【例10】
四面体P−ABC 中，PC⊥面ABC，AB = 8，BC = 6，PC = 9，∠ABC = 120◦．则二面角B−AP−C 的余弦值是
．
第10 讲
45
Part 5
距离
精讲精练
【例11】
在空间直角坐标系中，已知O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则到面OAB、面OBC、面OAC、面ABC 的距离
相等的点的个数是( )
A. 1
B. 4
C. 5
D. 无穷多
【例12】
已知二面角α −l −β 为60◦，动点P，Q 分别在面α，β 内，P 到β 的距离为
√
3，Q 到α 的距离为2
√
3，则P，Q 两
点之间距离的最小值为
．
46
【例13】
已知边长为a 的菱形ABCD，∠A = π
3 ．将菱形ABCD 沿对角线折成二面角θ，已知θ ∈
[
π
3 , 2π
3
]
．则两对角线距离
的最大值是
．
【例14】
设ABCD−A′B′C′D′ 是棱长为1 的正方体．则上底面ABCD 的内切圆上的点P 与过顶点A，B，C′，D′ 的圆上的点
Q 之间的最小距离d =
．
第10 讲
47
Part 6
综合问题
精讲精练
【例15】
若空间四点A，B，C，D 满足AB = CD = 8，AC = BD = 10，AD = BC = 13，则这样的三棱锥ABCD 共有
个．
【例16】
四面体P−ABC，PA = BC =
√
6，PB = AC =
√
8，PC = AB =
√
10，则该四面体外接球的半径为
．
48
【例17】
四个半径都为1 的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形)．有一个正方体，其下底与桌面
重合，上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触，则该正方体的棱长为
．
【例18】
一个棱长为6 的正四面体纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体可以在纸盒内任意转动，则小正四面体棱长的
最大值为
．
第10 讲
49
【例19】
已知点P 是棱长为
√
2 的正四面体ABCD 内的任意一点，它到四个面的距离分别是d1、d2、d3、d4，则d2
1 +d2
2 +d2
3 +
d2
4 的最小值为
．
【例20】
如图，三棱锥P−ABC 的底面ABC 与圆锥SO 的底面⊙O 都在平面α 上，且⊙O 过点A，又⊙O 的直径AD⊥BC，
垂足为E．设三棱锥P −ABC 的所有棱长都是1，圆锥的底面直径与母线长也都是1．求圆锥的顶点S 到三棱锥
P−ABC 的三个侧面的距离．
50
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：40 分钟
你的用时：
【测试1】
四面体ABCD 中，BD = DC = CB =
√
2，AC =
√
3，AB = AD = 1．M 为CD 中点．则异面直线BM
与AC 所成角的余弦值是
．
【测试2】
平坦的桌面上，放有半径分别为1，2，2 的三个木球，每球与桌面相切，且与其余两球外切．另外，
在桌面上还有一个半径小于1 的小木球在三球之间，在桌面相切，且与三木球都外切．那么，这
个小木球的半径为
．
第10 讲
51
拍摄区
【测试3】
三棱锥A−BCD 中∠DAB+∠BAC +∠DAC = 90◦，∠ADB = ∠BDC = ∠ADC = 90◦．又知DB = a，
DC = b．试求在三棱锥A−BCD 内所容体积最大的球的半径．
【测试4】
在正四棱锥P−ABCD 中，AB = 3，O 为P 在底面上的射影，PO = 6，Q 是AO 上的一个动点，过
点Q 且与PA，BD 都平行的截面为五边形DFGHL，截面的面积为S．求S 的最大值．
第
讲
11
53
解析几何1
Part 1
经典真题
Part 2
基本定义与方程
Part 3
位置关系
Part 4
弦长面积问题
54
Part 1
经典真题
知识点睛
知识框架
解析几何
直线与圆
圆锥曲线
椭圆
双曲线
抛物线
第一定义
标准方程
第二定义
位置关系
相交相切问题
切线方程
切点弦方程
参数方程
极坐标方程
经典问题（重点）
弦长，距离，面积问题
中点与斜率积问题
光学性质
垂直问题
轨迹问题
曲线族
模块分析
解析几何可以说是联赛一试中非常重要的一块内容，它常常能决定联赛一试是否能取得高分，解析几何的特
点是计算量较大，因此做解析几何与时间的协调上非常重要；联赛的解析几何和高考的区别常在于具有较强的技
巧性，在如何算的选取上有较高的要求。联赛的解析几何一般一个填空题加一个一试大题，小题会考察一些关于
定义，距离，面积等基础的计算，而大题常以关于一些位置关系和经典问题的综合为主，比如轨迹问题是联赛中常
考的一类问题，还有些问题会关于弦长，中点或者垂直问题的综合，对于解析几何问题，计算能力是非常重要的，但
是也不要盲目的就进行计算，分析如何设点设线，使得计算简单可行是应该考虑的第一步。
第11 讲
55
精讲精练
【真题1】
设椭圆Γ 的两个焦点是F1、F2，过点F1 的直线与Γ 交于点P、Q．若|PF2| = |F1F2|，且3|PF1| = 4|QF1|，则椭圆Γ
的短轴与长轴的比值为
．
【真题2】
设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线x2 +ay2 +a2 = 0 的焦距为4，则a 的值为
．
【真题3】
已知点P 在双曲线x2
16 −y2
9 = 1 上，并且P 到这条双曲线的右准线的距离恰是P 到这条双曲线的两个焦点的距离
的等差中项，那么，P 的横坐标是
．
56
【真题4】
给定A(−2,2)，已知B 是椭圆x2
25 + y2
16 = 1 上的动点，F 是左焦点，当|AB|+ 5
3 |BF| 取最小值时，求B 的坐标．
【真题5】
在平面直角坐标系xOy 中，F1、F2 分别是椭圆x2
2 +y2 = 1 的左、右焦点．设不经过焦点F1 的直线l 与椭圆交于两
个不同的点A、B，焦点F2 到直线l 的距离为d．如果直线AF1、l、BF1 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围．
【真题6】
设F1，F2 是椭圆x2
9 + y2
4 = 1 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF1| : |PF2| = 2:1，则三角形△PF1F2 的面积等
于
．
第11 讲
57
【真题7】
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：x2
a2 + y2
b2 =1(a > b > 0) 的左、右焦点分别是F1、F2，则椭圆C 的弦ST 与UV 分
别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P．已知线段PU，PS，PV，PT 为1，2，3，6，则△PF1F2 的面积为
．
【真题8】
P 是抛物线y2 = 2x 上的动点，点B，C 在y 轴上，圆(x−1)2 +y2 = 1 内切于△PBC，求△PBC 面积的最小值．
58
【真题9】
已知C0 : x2 +y2 = 1 和C1 : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)．试问：当且仅当a，b 满足什么条件时，对C1 上任意一点P，均
存在以P 为项点，与C0 外切，与C1 内接的平行四边形？并证明你的结论．
【真题10】
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为x2
9 + y2
10 = 1，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一
象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为
．
第11 讲
59
【真题11】
已知点A(0,2) 和抛物线y2 = x+4 上两点B、C 使得AB⊥BC，求点C 的纵坐标的取值范围．
【真题12】
平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线y2 = 4x 的两条切线，两切点连线
lP 与PO 垂直．设直线lP 与直线PO，x 轴的交点分别为Q，R．
（1）证明R 是一个定点．
（2）求|PQ|
|QR| 的最小值．
60
Part 2
基本定义与方程
精讲精练
【例1】
圆的方程为x2 +y2 = 4．在坐标平面上求两点A(s,t) ,B(m,n)，使下列两条件满足：
现有一条斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于A、B 两点，P 为直线x = 3 上的一点，试问：是否存在
这样的直线l，使△ABP 为等边三角形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由．
（1）圆上任意一点到A 点的距离与到B 点的距离之比为定值k；
（2）s > m，t > n，且m,n 均为自然数．
【例2】
若自椭圆中心到焦点、长轴顶点、以及到准线的距离之长可以组成一个直角三角形，则该椭圆的离心率是
．
第11 讲
61
【例3】
若椭圆心到焦点，到长、短轴端点，以及到准线距离皆为正整数，则这四个距离之和的最小值是
．
【例4】
已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)，若ab = 2
√
3，离心率e =
√
6
3 ．
（1）求椭圆方程．
（2）现有一条斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F，且与椭圆交于A、B 两点，P 为直线x = 3 上的一点，试问：是否
存在这样的直线l，使△ABP 为等边三角形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，说明理由．
62
Part 3
位置关系
精讲精练
【例5】
A
(
a,a2)
,B
(
b,b2)
(a̸ = b) 两点的坐标满足a2 sinθ +acosθ = 1，b2 sinθ +bcosθ = 1．
记原点到原直线AB 的距离为d．则d =
．
【例6】
设椭圆y2
a2 + x2
b2 = 1(a > b > 0) 与抛物线x2 = 2py(p > 0) 有一个共同的焦点F，PQ 为它们的一条公切线，P、Q 为
切点，证明：PF⊥QF．
第11 讲
63
【例7】
已知F 为椭圆C：x2
4 + y2
3 = 1 的右焦点，椭圆C 上任意一点P 到点F 的距离与点P 到直线l：x = m 的距离之比
为1
2．
（1）求直线l 方程．
（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点F 的直线交椭圆C 于D、E 两点，直线AD、AE 与直线l 分别相交于M、N 两点．
以MN 为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
64
【例8】
如图，A、B 为椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 和双曲线x2
a2 −y2
b2 = 1 的公共顶点，P、Q 分别为双曲线和椭圆上不同于
A、B 的动点，且满足−→
AP+−→
BP = λ
(−→
AQ+−→
BQ
)
(λ ∈R，|λ| > 1)，求证：
（1）三点O、P、Q 在同一直线上．
（2）若直线AP、BP、AQ、BQ 的斜率分别是k1、k2、k3、k4，则k1 +k2 +k3 +k4 是定值．
第11 讲
65
【例9】
若双曲线y2 −x2 = 1 与xy−x−y+1
x2 −3x+2
= k 有唯一的公共点，求k 的所有可能值．
66
Part 4
弦长面积问题
精讲精练
【例10】
已知A 的抛物线y2 = 2x 上的动点，定点B 的坐标为(2,0)，以AB 为直径作圆C．若圆C 截直线l : x+ky−3
2 = 0
所得的弦长为定值，求此弦长和实数k 的值．
【例11】
已知椭圆的中心在原点O，交点在x 轴上，离心率为
√
3
2 ，且过点
(√
2,
√
2
2
)
．设不过原点O 的直线l 与该椭圆交
于点P 和Q，且直线OP，PQ，OQ 的斜率构成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．
第11 讲
67
【例12】
已知椭圆x2
4 + y2
3 = 1 的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点F1、F2，求该四边形的面积的最大值．
【例13】
如图，椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左焦点为F，过点F 的直线交椭圆于A、B 两点，|AF| 的最大值是M，BF 的最
小值是m，满足M ·m = 3
4a2．
（1）求该椭圆的离心率．
（2）设线段AB 的中点为G，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于D、E 两点，O 是坐标原点．记△GFD 的面积
为S1，△OED 的面积为S2 求2S1S2
S2
1 +S2
2
的取值范围．
68
【例14】
已知A、B 为抛物线C：y2 = 4x 上的两个动点，点A 在第一象限，点B 在第四象限．l1、l2 分别过点A、B 且与抛物线
C 相切，P 为l1、l2 的交点．
（1）若直线AB 过抛物线C 的焦点F，求证：动点P 在一条定直线上，并求此直线方程．
（2）设C、D 为直线l1、l2 与直线x = 4 的交点，求△PCD 面积的最小值．
【例15】
平面直角坐标系xOy 中，坐标满足条件
(
x2 +y2 +2x+2y
)(
4−x2 −y2)
⩾0 的点组成的图形的面积是
．
第11 讲
69
【例16】
已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1 过点M (0,2)，且右焦点为F (2,0)．
（1）写出椭圆C 的方程；
（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，交y 轴于点P；若−→
PA = m−→
AF，−→
PB = n−→
BF，求证：m+n 为定值；
（3）在(2) 的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．
70
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：40 分钟
你的用时：
【测试1】
设P0 (x0,y0) 为圆x2 +(y−1)2 = 1 上任意一点，欲使不等式x0 +y0 +c ⩾0 恒成立．则c 的取值
范围是
．
【测试2】
平面直角坐标系xOy 中，由不等式y100 +
1
y100 ⩽x100 +
1
x100 ,x2 +y2 ⩽100 所限定的图形的面积
等于
．
第11 讲
71
拍摄区
【测试3】
设Mi (xi,yi)(i = 1,2,3,4) 为抛物线y = ax2 + bx + c(a̸ = 0) 上相异四点．当M1,M2,M3,M4 四点
共圆时，x1 +x2 +x3 +x4 =
．
【测试4】
已知点A(0,−2)，椭圆E：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为
√
3
2 ，F 是椭圆的焦点，直线AF 的
斜率为2
√
3
3 ，O 为坐标原点．
（1）求E 的方程；
（2）设过点A 的直线l 与E 相交于P,Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．
第
讲
12
73
解析几何2
Part 1
经典问题
Part 2
轨迹问题
Part 3
曲线族
Part 4
参数方程与极坐标
Part 5
极点极线背景
74
Part 1
经典问题
知识点睛
知识框架
解析几何
直线与圆
圆锥曲线
椭圆
双曲线
抛物线
第一定义
标准方程
第二定义
位置关系
相交相切问题
切线方程
切点弦方程
参数方程
极坐标方程
经典问题（重点）
弦长，距离，面积问题
中点与斜率积问题
光学性质
垂直问题
轨迹问题
曲线族
模块分析
解析几何可以说是联赛一试中非常重要的一块内容，它常常能决定联赛一试是否能取得高分，解析几何的特
点是计算量较大，因此做解析几何与时间的协调上非常重要；联赛的解析几何和高考的区别常在于具有较强的技
巧性，在如何算的选取上有较高的要求。联赛的解析几何一般一个填空题加一个一试大题，小题会考察一些关于
定义，距离，面积等基础的计算，而大题常以关于一些位置关系和经典问题的综合为主，比如轨迹问题是联赛中常
考的一类问题，还有些问题会关于弦长，中点或者垂直问题的综合，对于解析几何问题，计算能力是非常重要的，但
是也不要盲目的就进行计算，分析如何设点设线，使得计算简单可行是应该考虑的第一步。
第12 讲
75
精讲精练
【真题1】
已知直线l 经过抛物线C：y2 = 4x 的焦点，且斜率k > 2，l 与抛物线C 交于A，B 两点，AB 的中点M 到直线Lm：
3x+4y+m = 0(m > −3) 的距离为1
5．则m 的取值范围是
．
【真题2】
动点P(x,y) 从坐标原点O 出发沿着抛物线y = x2 移动到点A
(
3
2, 9
4
)
，则在移动过程中当PO + PA 为最大时，P
点的横坐标x =
．
76
【真题3】
已知椭圆C : 9x2 +y2 = m2(m > 0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A，B，线段AB 的中点
为M．
（1）证明: 直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值．
（2）若l 过点(m
3 ,m)，延长线段OM 与C 交于点P，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能, 求此时l 的斜率，若不
能，说明理由．
【真题4】
已知过点(0,1) 的直线l 与曲线C：y = x+ 1
x (x > 0) 交于两个不同点M，N．求曲线C 在点M，N 处切线的交点轨
迹．
第12 讲
77
【真题5】
过抛物线y = x2 上的一点A(1,1) 作抛物线的切线，分别交x 轴于D，交y 轴于B．点C 在抛物线上，点E 在线段
AC 上，满足AE
EC = λ1；点F 在线段BC 上，满足BF
FC = λ2，且λ1 +λ2 = 1，线段CD 与EF 交于点P．当点C 在抛物
线上移动时，求点P 的轨迹方程．
【真题6】
作斜率为1
3 的直线l 与椭圆C : x2
36 + y2
4 = 1 交于A，B 两点(如图所示)，且P
(
3
√
2,
√
2
)
在直线l 的左上方．
（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；
（2）若∠APB = 60◦，求△PAB 的面积．
78
【真题7】
椭圆ρ =
1
2−cosθ 的短轴长等于
．
【真题8】
双曲线C 的方程为x2 −y2
3 = 1，其左、右焦点分别为F1、F2．过点F2 作一直线与双曲线C 的右半支交于点P、Q，使
得∠F1PQ = 90◦，则△F1PQ 的内切圆半径是
．
第12 讲
79
【真题9】
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C1：y2 = 4x，曲线C2：(x−4)2 +y2 = 8．经过C1 上一点P 作一条倾斜角为45◦的
直线l，与C2 交于两个不同的点Q、R，求|PQ|·|PR| 的取值范围．
【真题10】
如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上的一个动点．以F 为焦点、O 为顶点作抛物线C．设P 是
第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且|PQ| = 2．圆C1、C2 均与直线OP 相切
于点P，且均与x 轴相切．求点F 的坐标，使圆C1 与C2 的面积之和取到最小值．
80
【真题11】
在平面直角坐标系xOy 中，点A、B 在抛物线y2 = 4x 上，满足−→
OA · −→
OB = −4，F 是抛物线的焦点．则S△OFA ·
S△OFB =
．
【真题12】
在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆的方程为x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0),A1、A2 分别为椭圆的左、右顶点,F1、F2 分别为椭
圆的左、右焦点,P 为椭圆上不同于A1 和A2 的任意一点. 若平面中两个点Q、R 满足QA1⊥PA1,QA2⊥PA2,RF1⊥PF1,
RF2⊥PF2, 试确定线段QR 的长度与b 的大小关系, 并给出证明.
第12 讲
81
Part 2
轨迹问题
精讲精练
【例1】
直线l 在平面π 上．直线m 平行于平面π，并与直线l 异面．动点P 在平面π 上，且到l 和m 的距离相等．则P 点
的轨迹是( )
A. 直线
B. 椭圆
C. 抛物线
D. 双曲线
【例2】
如图，A、B 是椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的长轴端点，P 是椭圆上异于A、B 的点，自A、B 分别作l1⊥PA，l2⊥PB，
l1、l2 相交于点M．当动点P 在椭圆上移动时，求点M 的轨迹方程．
82
【例3】
半径为1 的半圆周以O 为圆心，以AB 为直径．动点C 在整个圆周上移动．延长AC 到D 点，使得CD
CB = k
(k > 0，k 为常数)．则D 点所描出的曲线的长度是
．
【例4】
如图，在竖直坐标平面xoy 中，从坐标原点O 出发以同一初速度v0 和不同的发射角(即发射方向与x 轴正向之间
的夹角)α(0 ⩽α ⩽π,a̸ = π
2 ) 射出的质点(不计质点的大小)，在重力(设重力加速度为g) 的作用下运动轨迹是抛物
线，所以这些抛物线组成一个抛物线族(即抛物线的集合)．若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这
个交点为正交点．证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求出这个椭圆弧的方程(包括变量的取
值范围)．
第12 讲
83
Part 3
曲线族
精讲精练
【例5】
对不同的实数m，方程y2 −6my−4x+9m2 +4m = 0 表示不同的抛物线，一条直线与这些抛物线都相交，且截得弦
长为8
√
5
9 ，则这条直线的方程是
．
【例6】
设A、B 是双曲线x2 −y2
2 = λ 上的两点，点N (1,2) 是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线交双曲线于C、D 两
点．
（1）确定λ 的取值范围．
（2）试判断A、B、C、D 四点是否共圆？并说明理由．
84
Part 4
参数方程与极坐标
精讲精练
【例7】
对所有满足1 ⩽n ⩽m ⩽5 的m、n，极坐标方程ρ =
1
1−Cn
m cosθ 表示的不同双曲线条数为( )
A. 6
B. 9
C. 12
D. 15
【例8】
设椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的中心为O，其上两点P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2) 满足−−→
OP1⊥−−→
OP2．
证明：1
−−→
OP1
2 +
1
−−→
OP2
2 = 1
a2 + 1
b2 ．
第12 讲
85
【例9】
如图，已知椭圆x2
2 +y2 = 1，PA⊥AB，CB⊥AB，且DA = 3
√
2，CB =
√
2．动点P 在
⌢
AB 上移动．则△PCD 的面积的
最小值是
．
【例10】
过椭圆x2 + 2y2 = 2 的左焦点F 引倾斜角为α 的直线l 交椭圆于P，Q 两点，交两准线于A，B 两点，若
|PQ|,||AF|−|BF||，|AB| 成等比数列，求|cosα| 的值．
86
【例11】
对于曲线C1：3
(
x2 +2y2)2 = 2
(
x2 +4y2)
上原点之外的每一点P，求证存在过P 的直线与椭圆C2：x2 +2y2 = 2 相交
于两点A、B，使△AOP 与△BOP 均为等腰三角形．
第12 讲
87
Part 5
极点极线背景
精讲精练
【例12】
已知圆C : x2 +y2 = r2，两点P、P∗在以O 为起点的射线上，并且满足|OP|·|OP∗| = r2，则称P、P∗关于圆周C 对
称．那么双曲线x2 −y2 = 1 上的点P(x,y) 关于单位圆周C : x2 +y2 = 1 的对称点P∗所满足的方程是( )
A. x2 −y2 = x4 +y4
B. x2 −y2 =
(
x2 +y2)2
C. x2 −y2 = 2
(
x4 +y4)
D. x2 −y2 = 2
(
x2 +y2)2
【例13】
过直线x−2y+13 = 0 上一动点A，A 不在y 轴上．作抛物线y2 = 8x 的两条切线，M、N 为切点，直线AM、AN 分别
与y 轴交于点B、C．
（1）证明：直线MN 恒过一定点．
（2）证明：△ABC 的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值．
88
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：40 分钟
你的用时：
【测试1】
已知椭圆E : x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的一个焦点为F1
(
−
√
3,0
)
，且过点H
(√
3, 1
2
)
．设椭圆E
的上下顶点分别为A1、A2，点P 是椭圆上异于A1、A2 的任一点，直线PA1、PA2 分别交x 轴于点
M、N，若直线N 与过点M、N 的圆G 相切，切点为T．证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值．
【测试2】
如图，在矩形A1A2B1B2 中,A1A2 = 2a．以边A1A2 为长轴作椭圆C，使C 的短轴长等于
√
2A1B1．
在C 上任取一点P(不同于长、短轴的端点)．设直线PB1、PB2 与A1A2 的交点分别为M1,M2．则
A1M2
2 +A2M2
1 =
．
第12 讲
89
拍摄区
【测试3】
已知圆O：x2 +y2 = 4 与曲线C：y = 3|x−t|，A(m,n)，B(s, p)(m，n，s，p ∈N∗) 为曲线C 上的两点，
使得圆O 上的任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值k(k > 1)，求t 的值．
【测试4】
设点P 为圆C1：x2 +y2 = 2 上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q．点M 满足
√
2−−→
MQ = −→
PQ．
（1）求点M 的轨迹C2 的方程．
（2）过直线x = 2 上的点T 作圆C1 的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB 与(1) 中的曲线
C2 交于C、D 两点，求|CD|
|AB| 的取值范围．
第
讲
13
91
组合计数与概率
Part 1
经典真题
Part 2
例题精讲
92
Part 1
经典真题
知识点睛
知识框架
组合计数与概率
加乘原理
分类计数
分步计数
排列组合
无重排列
可重排列
圆排列
无重组合
可重组合
计数方法
基本方法
枚举法
捆绑法
插空法
去序法
隔板法
不定方程
容斥原理
进阶方法
对应方法
递推法
算两次
母函数
折线法
概率期望
条件概率
几何概型
递推方法
第13 讲
93
模块分析
组合计数作为联赛一试中的必考题，通常会出现在填空题的最后两题，难度较其他题型会高一些，也是最容易出错
的一类. 主要难点在于如何不重复不遗漏的进行计数，一般来讲，找到一种合适的分类方法是解决问题的关键. 这
类问题思考方式较为独特，蕴含着丰富的数学思想，技巧性强并且形式多变，非常考验人的应变能力. 学习这一块，
一方面需要积累许多的解题经验，一方面需要熟练的掌握各种基础的计数方法和模型，避免出现有想法却算错最
后答案的情况
精讲精练
【真题1】
将1，2，3，4，5，6 随机排成一行，记为a，b，c，d，e，f，则abc+de f 是偶数的概率为
．
【真题2】
在平面直角坐标系xOy 中，点集K = {(x,y)|x,y = −1,0,1}．在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均
不超过2 的概率为
．
【真题3】
在平面直角坐标系xOy 中，点集K = {(x,y)|x,y = −1,0,1}．在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距
离为
√
5 的概率是
．
94
【真题4】
在正方体中随机取3 条棱，它们两两异面的概率为
．
【真题5】
设A，B，C，D 是空间四个不共面的点，以1
2 的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立
的，则A，B 可用(一条边或者若干条边组成的) 空间折线连接的概率为
．
【真题6】
袋子A 中装有2 张10 元纸币和3 张1 元纸币，袋子B 中装有4 张5 元纸币和3 张1 元纸币．现随机从两个袋子
中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为
．
第13 讲
95
【真题7】
从1,2,··· ,20 中任取5 个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为
．
【真题8】
若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为“平稳数”，平稳数的个数是
．
【真题9】
设整数数列a1，a2，···，a10 满足a10=3a1，a2 +a8 = 2a5，且ai+1 ∈{1+ai,2+ai}，i = 1，2，···，9，则这样的数列的个
数为
．
96
【真题10】
对四位数abcd(1 ⩽a ⩽9，0 ⩽b，c，d ⩽9)，若a > b，b < c，c > d，则称abcd 为P 类数；若a < b，b > c，c < d，则称
abcd 为Q 类数．用N (P) 与N (Q) 分别表示P 类数与Q 类数的个数，则N (P)−N (Q) 的值为
．
【真题11】
将编号为1,2,··· ,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球．设圆周上所有相邻
两球号码之差的绝对值之和为S．求使S 达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与
另一种放法重合，则认为是相同的放法)
【真题12】
甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1 分，负者得0 分，比赛进行到有一人比对方多2 分或打满6 局时停
止．设甲在每局中获胜的概率为2
3，乙在每局中获胜的概率为1
3，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ
的期望Eξ 为
．
第13 讲
97
Part 2
例题精讲
精讲精练
【例1】
1,2,3,4,5 的排列a1,a2,a3,a4,a5 具有性质：对于1 ⩽i ⩽4，a1,a2,···ai 不构成1,2,···i 的某个排列，求这种排列的
个数．
【例2】
方程x1 +x2 +x3 +3x4 +3x5 +5x6 = 21 的正整数解有
组
【例3】
1 到1999 的自然数中，有多少个与5678 相加时，至少发生一次进位？
98
【例4】
有3 个红球，3 个黄球和3 个蓝球，同色球不加区别．现将这9 个球排成一行，要求同色球不全相邻(只要有3 个同
色球在一起就算不满足)，有多少种不同的排法？
【例5】
有一类各位数字各不相同的五位数M，它的千位数字比左右两个数字大，十位数字也比左右两位数字大．另有一
类各位数字各不相同的五位数W，它的千位数字比左右两个数字小，十位数字也比左右两位数字小．请问符合要
求的数M 与W，哪一类的个数多？多多少？
【例6】
已知n 位数的各位数字只能取集合{1,2,3,4,5} 中的元素，设含有数字5 且在5 的前面不含3 的n 位数的个数为
f(n)．求f(n)
第13 讲
99
【例7】
将10 个小球(5 个黑球和5 个白球) 排成一行，从左边第一个小球开始向右数小球．无论数几个小球，黑球的个数
总不少于白球个数的概率为
．
【例8】
一枚骰子连续投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为
．
【例9】
从6 双不同号码的鞋中取出4 只，至少配成一双的概率为
．
100
【例10】
某次世界杯上，巴西队遇到每个对手获胜的概率为1
2，打平的概率为1
3，输的概率为1
6，获胜一场得3 分，平一场得
1 分，负一场得0 分．已知小组赛每支球队需打三场比赛，获得4 分以上(含4 分) 即可小组出线．已知淘汰赛双
方打平需互罚点球，巴西队点球获胜的概率为3
5，则巴西队获得最后的冠军且四场淘汰赛中恰有一场点球的概率
为
．
【例11】
已知集合M = {1,2,...,99}，现随机选取M 中9 个元素做成子集，记该子集中的最小数为ξ，则E(ξ) =
．
【例12】
甲乙两人打乒乓球，甲每局获胜的概率为2
3，当有一人领先两局的时候比赛终止，比赛的总局数为xi (i ∈N) 的概
率为pi，这里要求xi < xi+1 (i ∈N)，则S =
∞
∑
i=1
xipi =
第13 讲
101
【例13】
从正12 边形的顶点中取出4 个顶点，它们两两不相邻的概率是
．
【例14】
从正九边形中任取三个顶点构成三角形，则正九边形的中心在三角形内的概率为
．
【例15】
在两行四列的方格棋盘上沿骰子的某条棱翻动骰子(相对面上分别标有1 点和6 点，2 点和5 点，3 点和4 点)．开
始时，骰子如图1 那样摆放，朝上的点数是2，最后翻动到如图2 所示位置．现要求翻动次数最少，则最后骰子朝上
的点数为3 的概率为( )
A. 1
2
B. 1
3
C. 1
4
D. 1
6
102
【例16】
一道数学竞赛题，甲、乙、丙单独解出此题的概率分别为1
a、1
b、1
c，其中a、b、c 都是小于10 的正整数．现甲、乙、
丙同时独立解答此题, 若三人中恰有一人解出此题的概率为7
15，则甲、乙、丙三人都未解出此题的概率为
．
【例17】
随机地投掷3 粒骰子，则其中有2 粒骰子出现的点数之和为7 的概率
．
【例18】
甲、乙两人轮流掷一枚骰子，甲先掷，规定：若甲掷到1 点，则甲继续掷，否则由乙掷；若乙掷到3 点，则乙继续掷，否
则由甲掷．两人始终按此规则进行．则第n 次是甲掷的概率Pn =
．
第13 讲
103
【例19】
一个口袋中有2 个白球和n 个红球(n ⩾2，且n ∈N∗)，每次从袋中摸出两个球(每次摸球后把这两个球放回袋中)，
若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．
（1）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率P．
（2）若n = 3，求三次摸球恰有一次中奖的概率．
（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为f (p)，当n 为何值时，f (p) 取最大值．
104
【例20】
n 对夫妇在一排2n 个座位上就坐，求丈夫全坐在其妻子右方(不一定相邻) 的概率pn
【例21】
某数学家有甲乙两盒火柴，每一盒装有N 根．每次使用时，他随机地从任一盒中去一根．求：
（1）他第一次发现一盒空，另一盒恰剩k 根的概率(k = 0，1，2，···，N)．
（2）第一次用完一盒火柴时(不是发现) 另一盒恰剩k 根的概率(k = 0，1，2，···，N)．
第13 讲
105
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：40 分钟
你的用时：
【测试1】
把1、2、3、4、5、6 这六个数随机排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先增后减, 这样的数列
共有
个．
【测试2】
已知(1+x)50 = a0 +a1x+a2x2 +···+a50x50，则a1 +2a2 +3a3 +···+25a25 的值为
．
106
拍摄区
【测试3】
某市公租房房源位于A、B、C 三个小于，每位申请人只能申请其中一个小区的房子．申请其中任
意一个小区的房子是等可能的，则该市的任意4 位申请人中，恰有2 人申请A 小区房源的概率
是
．
【测试4】
对于实数α，用[α] 表示不超过α 的最大整数．例如[3] = 3，
[√
2
]
= 1，[−π] = −4．设x 为正实
数，如果[log2x] 为偶数，则称x 为幸运数．在区间(0,1) 中随机选取一个数，它是幸运数的概率
为
．
第13 讲
107
拍摄区
【测试5】
将一颗均匀的正方体骰子连续掷两次，先后出现的点数分别为a、b，则关于x 的方程x2 +ax+b = 0
有实根的概率为
．
第
讲
14
109
数论基础
Part 1
经典真题
Part 2
集合
Part 3
数列
Part 4
有理数
Part 5
进制
Part 6
整除同余
Part 7
高斯函数
110
Part 1
经典真题
知识点睛
知识框架
数论基础
集合
整数集
集合计数
数列
分段递推数列
数列项的整除关系
有理数
质数
既约分数
特殊根
进制
k 进制转换与运算
k 进制的应用
整除同余
整除
同余
不定方程
高斯函数
高斯函数运算
高斯函数性质
模块分析
理论上一试的考察范围为高考大纲，因此70% ∼80% 为代数问题，其他向量、三角和立体几何涉及到几何性
质，除计数概率需要用到组合知识以外不涉及到数论知识。然而在实际考察过程中，数论知识常常能够被包装为
高考大纲内的内容在一试中进行考察。这其中包括两个方面，一在于原一试内容中包含了数论知识，比较容易作
适配的就是集合和数列，集合可以视作特殊的整数集，而计数问题结果为整数；数列可以视作定义域为整数的函
数，也因此可以考察数论相关内容；另一方面会直接考察数论中可以被视作不超纲的内容，主要包括：有理数、整除
同余、进制和高斯函数。以上内容不会特别深入得利用数论知识，甚至有些会以学习资料的方式给到材料，不过一
试的作答中没有探究问题的时间，因此事先学习准备是备考的一大法门。
第14 讲
111
精讲精练
【真题1】
存在整数n，使√p+n+√n 是整数的质数p( )
A. 不存在
B. 只有一个
C. 多于一个，但为有限个
D. 有无穷多个
【真题2】
设a 是正整数，a < 100，并且a3 +23 能被24 整除，那么，这样的a 的个数为( )
A. 4
B. 5
C. 9
D. 10
【真题3】
在已知数列1,4,8,10,16,19,21,25,30,43 中，相邻若干个数之和能被11 整除的数组共有
．
112
【真题4】
对任意给定的自然数n，若n6 +3a 为正整数的立方，其中a 为正整数，则( )
A. 这样的a 有无穷多个
B. 这样的a 存在，但只有有限个
C. 这样的a 不存在
D. 以上A、B、C 的结论都不正确
【真题5】
若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为（ ）．
A. 764cm3 或586cm3
B. 764cm3
C. 586cm3 或564cm3
D. 586cm3
【真题6】
组装甲、乙、丙三种产品，需用A,B,C 三种零件．每件甲需用A,B 各2 个；每件乙需用B,C 各1 个；每件丙需
用2 个A 与1 个C．用库存的A,B,C 三种零件，如组装成p 件甲产品、q 件乙产品和r 件丙产品，则剩下2 个
A 和1 个B，但C 恰好用完．试证：无论怎样改变甲、乙、丙产品的件数，也不能把库存的A,B,C 三种零件都恰好用完．
第14 讲
113
【真题7】
19912000 除以106，余数是
．
【真题8】
整数
[
1093
1031 +3
]
的末尾两位数字是
．
【真题9】
设k，l 是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数m ⩾k，使得Ck
m 与l 互素．
114
【真题10】
设an 是12 +22 +32 +···+n2 的个位数字，n = 1,2,3···，试证：0.a1a2 ···an…是有理数．
【真题11】
对任意正整数n，连结原点O 与点An(n,n + 3)，用f (n) 表示线段OAn 上的整点个数(不计端点)，试求f (1) +
f (2)+...+ f (1990)．
第14 讲
115
Part 2
集合
精讲精练
【例1】
已知集合M =
{
m
m = k +l
n
,2k +2l = 2n,m,n,k,l ∈Z
}
．则集合M 中所有元素之和等于
．
【例2】
在集合{1,2,··· ,9} 的所有非空子集中，满足所有元素之和为3 的倍数的非空子集有
个．
116
Part 3
数列
精讲精练
【例3】
已知等差数列{an} 的公差d̸ = 0，等比数列{bn} 的公比q 为小于1 的正有理数．若a1 = d，b1 = d2，且a2
1 +a2
2 +a2
3
b1 +b2 +b3
为正整数，则q =
．
【例4】
若无穷项正整数数列{an} 满足：
n
∑
i=1
ai
n
∏
i=1
ai (n = 1,2,···)，则称{an} 为“好数列”．
问：
（1）好数列可能是等比数列吗？
（2）好数列可能是等差数列吗？
第14 讲
117
Part 4
有理数
精讲精练
【例5】
使得p+1
2
和p2 +1
2
都是完全平方数的最大质数p 为
．
【例6】
设S 为所有满足下列条件的有理数r(0 < r < 1) 组成的集合：r = 0.abcabcabc···，其中，a、b、c 允许相同．若将S 中
的元素写成最简分数的形式，则分子共有
种不同的取值．
【例7】
已知p、q、r 为正整数，关于x 的方程px2+qx+r = 0 有两个不相等的实根，且两根均大于−1
2．求p+q+r 的最小值．
118
Part 5
进制
精讲精练
【例8】
设正整数数列{an} 满足：a1 = 1，a2n =
10an,n为奇数
an,n为偶数
，a2n+1 =
an,n为奇数
10an +1,n为偶数
则在{1,2,··· ,2018} 中
有
个元素n 满足an = a2019．
【例9】
求所有满射f：Z+ ×Z+ →Z+ 满足：对a、b、c ∈Z+，有
（1）f (a,b) ⩽a+b；
（2）f (a, f (b,c)) = f (f (a,b),c)；
（3）Ca
f(a,b) 与Cb
f(a,b) 均为奇数．
第14 讲
119
Part 6
整除同余
精讲精练
【例10】
将1，2，3，4，5，6，7，8 的每一个全排列皆看成一个八位数，则其中是11 倍数的八位数的个数为
．
【例11】
对于正整数k，g(k) 表示k 的最大奇因数(如g(60) = 15)．则g(1)+g(2)+···+g(2019) 除以100 的余数为
．
【例12】
已知正整数组(a,b,c) 满足(a,b) = (b,c) = (c,a) = 1, 且a|b+c,b|c+a,c|a+b. 则(a,b,c) 的组数为
.
120
【例13】
求所有的素数p，使得2p +11p 为整数的n(n ⩾2) 次幂．
【例14】
已知素数p 除以4 余3，与p 互素的整数m、n、s、t 满足：m2 +n2 ≡s2 +t2 ( mod p)，ms+nt ≡0( mod p)．
证明：mn+st ≡0( mod p)．
【例15】
证明：存在无穷多个正整数n，使得n4 +n2 +1 的最大素因数等于(n+1)4 +(n+1)2 +1 的最大素因数．
第14 讲
121
Part 7
高斯函数
精讲精练
【例16】
A =
[
8
9
]
+
[
82
9
]
+
[
83
9
]
+···+
[
82014
9
]
被63 除的余数为
．(符号[x] 表示不超过x 的最大整数．)
【例17】
设[x] 表示不超过x 的最大整数，则
2013
∑
k=0
[
2013+2k
2k+1
]
=
．
【例18】
已知a1 为正整数，an =
[√nan−1
]
(n ⩾2)．
证明：存在正整数N，使得aN = N．
122
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：40 分钟
你的用时：
【测试1】
若分数p
q (p、q 为正整数) 化成小数为p
q = 0.198···，则当q 取最小值时，p+q =
．
【测试2】
设A = 100101102103···798799 是一个2100 位正整数，且由100 到799 的全体三位数按顺序排
列而成．则A 除以126 的余数为
．
第14 讲
123
拍摄区
【测试3】
对任意正整数n，定义Z (n) 为满足“1 + 2 + ··· + m 是n 的倍数的最小的正整数m”．则满足
Z (n) = 6 的全部正整数n 的和等于
．
【测试4】
已知集合：T = {0,1,··· ,6}，M =
{
a1
7 + a2
72 + a3
73 + a4
74 |ai ∈T,i = 1,2,3,4
}
．若将M 中的元素按
从大到小的顺序排列，则第2019 个数为
．
124
拍摄区
【测试5】
令an 表示前n 个质数的和(如a1 = 2，a2 = 2+3 = 5，a3 = 2+3+5 = 10)．
（1）验证当n = 1，2，3，4 时，区间[an,an+1] 中包含一个完全平方数．
（2）证明：当n ⩾5 时，区间[an,an+1] 中包含一个完全平方数．
第
讲
15
125
综合复习
Part 1
一试分析
126
Part 1
一试分析
知识点睛
知识框架
一试
集合
函数
三角函数
数列
不等式
导数
向量
直线与圆
复数
圆锥曲线
立体几何
概率统计
第15 讲
127
精讲精练
【真题1】
已知集合A = {x, y} 与B = {1,log2 (2−x)} 恰有一个公共元素9+x．则A∪B =
．
【真题2】
函数f (x) =
√
x2 +1
x−1
的值域为
．
【真题3】
设f (x) = x3．则满足f ([x]) = [f (x)] 的x 的解集为
．
128
【真题4】
设函数f (x) = |sinx|+cos2x+a 在区间(0,2nπ) 上恰有奇数个零点．则a =
．
【真题5】
设n ⩾2，n ∈Z+，0 < x1 < x2 < ··· < xn+1 = π
2 ．则M = 2
n
∑
k=1
sinxk ·cosxk+1 −
n
∑
k=1
sin2xk 的值域为
．
【真题6】
已知{an}、{bn}、{cn} 满足：a1 = 2，b1 = 8，c1 = 6，且对任意的n ∈Z+，均有an +an+1 = 3×2n，bn +bn+1 = 12n+10，
2cn +cn+1 bn
an
= 2cn bn+1
an+1
+cn+1．求cn．
第15 讲
129
【真题7】
已知对任意的x ∈R，均有|a+|x−2b|| ⩾||x−1|−2|x−2||．求a2 +b2 的最小值．
【真题8】
已知实数a、b、c、d ⩾−1，a+b+c+d = 4．求S = (a+b)(b+c)(c+d)(d +a) 的极值．
【真题9】
设锐角三角形ABC 的外心为O，且3−→
OA+4−→
OB+5−→
OC = 0．则tanA·tanB·tanC =
．
130
【真题10】
设xk = 2k +1，yk = k2 +k −1，则
(
2019
∑
k=1
xk
x2
k +y2
k
)2
+
(
2019
∑
k=1
yk
x2
k +y2
k
)2
=
．
【真题11】
在数列{an} 中，a1、a2 (a1̸ = a2) 为方程x−1
x = i 的根，且当n ⩾2 时，有i
(
a2
n −an−1an+1
)
= 2an −an−1 −an+1．证
明：对任意的正整数n，均有an (an+1 −an)+an+1 (an+2 −an+1) = an+2 (an+2 −an)．
【真题12】
已知A、B 为椭圆x2
4 +y2 = 1 上的两点，O 为坐标原点．若直线OA 与OB 的斜率之积等于−1
4，则△AOB 的面积
为
．
第15 讲
131
【真题13】
一条双曲线的渐近线为m1、m2，直线l1 与双曲线交于A、T 两点，与m1、m2 交于R、S 两点；直线l2 与双曲线交于
B、T 两点，与m1、m2 交于P、Q 两点．若AS = BP = RQ，求l1 与l2 夹角的正弦值．
【真题14】
设椭圆C :
x2
t +1 + y2
t = 1(t > 0)．若存在直线PR 与椭圆C 切于点Q，且|tan∠PQF1 ·tan∠RQF2| = 3，其中，F1 (−1,0)，
F2 (1,0)，求t 变化时，点Q 的轨迹方程．
【真题15】
在四面体ABCD 中，∠ABC = ∠BAD = 90◦，AB = 1，CD = 2，AD 与BC 所成角为30◦，AD⊥CD．则四面体外接球体
积为
．
132
【真题16】
已知正四面体与球O 的中心重合，正四面体的棱长a = 2
√
6，球的半径R =
√
5．则正四面体与球的交线的总长度
为
．
【真题17】
多项式
(
x2 +2x+2
)2019 +
(
x2 −3x−3
)2019 展开式中x 的奇次项系数的和为
．
【真题18】
用四种颜色对正四面体的四个面进行染色，可以重复使用某一种颜色，共有
种不同的染色方法(假设四个
面无区别)．
第15 讲
133
随堂测
【温馨提示】请将解题过程写在拍摄区。
拍摄区
建议用时：40 分钟
你的用时：
【测试1】
设f (x) = 4x3 +ax2 +bx+c 对任意的x ∈[0,2]，均有|f (x)| ⩽1．则abc =
．
【测试2】
一段楼梯有13 阶，某人上楼时每步可跨1 阶、2 阶、3 阶，但相邻两步不可跨相同的阶数．则他总
共有
种上楼方法．
134
拍摄区
【测试3】
已知正实数a、b 满足a+b = 1．则
(
1+ 1
a
)(
1+ 2
b
)
的最小值为
．
【测试4】
设复数z、w 满足|z+w| = 1，
z2 +w2 = 14．求
z3 +w3 的最小值．
第15 讲
135
拍摄区
【测试5】
在直线x = −2 上任取一点P 向抛物线C : y2 = 4x 作两条切线，切点分别为A、B，记△PAB 的外
接圆圆心为M．证明：以PM 为直径的圆恒过抛物线C 的焦点F．
1119092614294
