北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题十二 数系的扩充与复数的引入
考点一 复数的概念与几何意义
1.(2019课标Ⅱ文,2,5分)设z=i(2+i),则z=( )
A.1+2i B.-1+2i
C.1-2i D.-1-2i
答案 D 本题主要考查复数的有关概念及复数的运算;考查学生的运算求解能力;考查数学运算的核心素
养.
∵z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,∴z=-1-2i,故选D.
解题关键 正确理解共轭复数的概念是求解的关键.
2.(2017课标Ⅲ文,2,5分)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案 C z=i(-2+i)=-2i+i2=-2i-1=-1-2i,所以复数z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限.故选C.
3.(2017课标Ⅲ理,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=( )
1 √2
A. B. C.√2 D.2
2 2
答案 C 本题考查复数的运算及复数的模.
2i 2i(1-i) 2(1+i)
∵(1+i)z=2i,∴z= = = =1+i.
1+i (1+i)(1-i) 2
∴|z|= = .
√12+12 √2
一题多解 ∵(1+i)z=2i,∴|1+i|·|z|=|2i|,即 ·|z|=2,∴|z|= .
√12+12 √2
4.(2017课标Ⅰ文,3,5分)下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i)
答案 C 本题考查复数的运算和纯虚数的定义.
A.i(1+i)2=i×2i=-2;
B.i2(1-i)=-(1-i)=-1+i;
C.(1+i)2=2i;
D.i(1+i)=-1+i,故选C.
5.(2016课标Ⅰ理,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=( )
A.1 B.√2 C.√3 D.2
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答案 B ∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,
{x=1,
∴ ∴|x+yi|=|1+i|=√12+12=√2.故选B.
y=1,
评析 本题考查复数相等的条件,属容易题.
6.(2016课标Ⅰ文,2,5分)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a=( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案 A ∵(1+2i)(a+i)=(a-2)+(2a+1)i,
∴a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.
解后反思 将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式,然后建立方程是解决问题的关键.
评析 本题主要考查复数的运算及复数的有关概念,将复数化为x+yi(x,y∈R)的形式是解题关键.
7.(2016课标Ⅱ文,2,5分)设复数z满足z+i=3-i,则z=( )
A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i
答案 C z=3-2i,所以z=3+2i,故选C.
z
8.(2016课标Ⅲ文,2,5分)若z=4+3i,则 =( )
|z|
4 3 4 3
A.1 B.-1 C. + i D. - i
5 5 5 5
z 4 3
答案 D 由z=4+3i得|z|=√32+42=5,z=4-3i,则 = - i,故选D.
|z| 5 5
2i
9.(2015安徽理,1,5分)设i是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位于( )
1-i
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2i 2i(1+i) 2i
答案 B ∵ = =-1+i,∴复数 在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.
1-i 2 1-i
1+z
10.(2015课标Ⅰ理,1,5分)设复数z满足 =i,则|z|=( )
1-z
A.1 B.√2 C.√3 D.2
答案 A
由已知1+z=i,可得z=i-1= (i-1) 2
=
-2i=i,∴|z|=|i|=1,故选A.
1-z i+1 (i+1)(i-1) -2
11.(2015湖北理,1,5分)i为虚数单位,i607的共轭复数为( )
····
A.i B.-i C.1 D.-1
答案 A ∵i607=i4×151+3=(i4)151·i3=-i,
∴i607的共轭复数为i.
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12.(2014课标Ⅱ理,2,5分)设复数z,z 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z=2+i,则zz=( )
1 2 1 1 2
A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i
答案 A 由题意得z=-2+i,∴zz=(2+i)(-2+i)=-5,故选A.
2 1 2
13.(2014重庆理,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案 A i(1-2i)=i-2i2=2+i,对应复平面上的点为(2,1),在第一象限.选A.
1
14.(2014课标Ⅰ文,3,5分)设z= +i,则|z|=( )
1+i
1 √2 √3
A. B. C. D.2
2 2 2
答案 B z= 1 +i= 1-i +i= 1 + 1 i,因此|z|=√ (1) 2 (1) 2 =√1=√2,故选B.
+
1+i 2 2 2 2 2 2 2
15.(2013课标Ⅰ理,2,5分)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( )
4 4
A.-4 B.- C.4 D.
5 5
5 5(3+4i) 3 4 4
答案 D ∵|4+3i|=√42+32=5,∴z= = = + i,虚部为 ,故选D.
3-4i 25 5 5 5
16.(2013课标Ⅱ文,2,5分)| 2 |=( )
1+i
A.2√2 B.2 C.√2 D.1
答案 C | 2 |=|2(1-i)|=|1-i|= .选C.
√2
1+i 2
2
17.(2012课标理,3,5分)下面是关于复数z= 的四个命题:
-1+i
p:|z|=2, p:z2=2i,
1 2
p:z的共轭复数为1+i, p:z的虚部为-1.
3 4
其中的真命题为( )
A.p,p B.p,p C.p,p D.p,p
2 3 1 2 2 4 3 4
2 2(-1-i)
答案 C z= = =-1-i,所以|z|=√2,p 为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p 为真命题;z
-1+i (-1+i)(-1-i) 1 2
=-1+i,p 为假命题;p 为真命题.故选C.
3 4
评析 本题考查了复数的运算及复数的性质,考查了运算求解能力.
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-3+i
18.(2012课标文,2,5分)复数z= 的共轭复数是( )
2+i
A.2+i B.2-i C.-1+i D.-1-i
-3+i (-3+i)(2-i) -5+5i
答案 D z= = = =-1+i,z=-1-i,故选D.
2+i (2+i)(2-i) 5
评析 本题考查了复数的运算,易忽略共轭复数而错选.
2+i
19.(2011课标理,1,5分)复数 的共轭复数是( )
1-2i
3 3
A.- i B. i C.-i D.i
5 5
2+i (2+i)(1+2i)
答案 C = =i,其共轭复数为-i,故选C.
1-2i (1-2i)(1+2i)
评析 本题考查复数的除法运算和共轭复数的概念,属容易题.
20.(2016课标Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )
A.(-3,1) B.(-1,3)
C.(1,+∞) D.(-∞,-3)
{m+3>0, {m>-3,
答案 A 由已知可得 ⇒ ⇒-3<m<1.故选A.
m-1<0 m<1
方法总结 复数的实部、虚部分别是其在复平面内对应点的横坐标、纵坐标,所以研究复数在复平面内的
对应点的位置时,关键是确定复数的实部和虚部.
21.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=( )
A.1+2i B.1-2i
C.-1+2i D.-1-2i
答案 B 设z=a+bi(a、b∈R),则2z+z=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故选B.
22.(2019江苏,2,5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是 .
答案 2
解析 本题考查了复数的概念及运算,考查了学生的运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.
∵(a+2i)(1+i)=(a-2)+(a+2)i的实部为0,
∴a-2=0,解得a=2.
解题关键 掌握复数的有关概念及代数形式的四则运算是解题的关键.
23.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是 .
答案 √10
解析 本题考查复数的运算.
∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,
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∴|z|= = .
√32+(-1) 2 √10
24.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是 .
答案 5
解析 (1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.
25.(2016北京理,9,5分)设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a= .
答案 -1
解析 (1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,∴a+1=0,∴a=-1.
26.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为 .
答案 -2
解析 ∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,
{1-2a≠0,
∴ 解得a=-2.
2+a=0,
27.(2015重庆理,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为√3,则(a+bi)(a-bi)= .
答案 3
解析 复数a+bi(a,b∈R)的模为 = ,则a2+b2=3,则(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2·i2=a2+b2=3.
√a2+b2 √3
考点二 复数的运算
3-i
1.(2019课标Ⅰ文,1,5分)设z= ,则|z|=( )
1+2i
A.2 B.√3 C.√2 D.1
答案 C 本题考查复数的四则运算;考查了运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.
3-i (3-i)(1-2i)
∵z= =
1+2i (1+2i)(1-2i)
=3-7i+2i2 =1-7i=1-7i,
1-(2i) 2 5 5 5
∴|z|=√ (1) 2 ( 7) 2 = ,故选C.
+ - √2
5 5
易错警示 易将i2误算为1,导致计算出错.
2.(2019北京,理1,文2,5分)已知复数z=2+i,则z·z=( )
A.√3 B.√5 C.3 D.5
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答案 D 本题主要考查复数的运算,共轭复数的概念,考查学生运算求解的能力,考查的核心素养是数学运
算.
∵z=2+i,∴z=2-i,∴z·z=(2+i)·(2-i)=4+1=5,故选D.
3.(2018课标Ⅱ文,1,5分)i(2+3i)=( )
A.3-2i B.3+2i C.-3-2i D.-3+2i
答案 D 本题主要考查复数的四则运算.
i(2+3i)=2i-3=-3+2i,故选D.
4.(2018课标Ⅲ,理2,文2,5分)(1+i)(2-i)=( )
A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i
答案 D 本题考查复数的运算.
(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选D.
1
5.(2018北京理,2,5分)在复平面内,复数 的共轭复数对应的点位于( )
1-i
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D 本题主要考查复数的概念、运算和几何意义.
∵ 1 = 1+i =1+1i,∴其共轭复数为1-1i,又1-1i在复平面内对应的点(1 1)在第四象限,
,-
1-i (1-i)(1+i) 2 2 2 2 2 2 2 2
故选D.
6.(2017课标Ⅱ文,2,5分)(1+i)(2+i)=( )
A.1-i B.1+3i C.3+i D.3+3i
答案 B 本题考查复数的基本运算.
(1+i)(2+i)=2+i+2i+i2=1+3i.故选B.
7.(2017山东文,2,5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi=1+i,则z2=( )
A.-2i B.2i C.-2 D.2
答案 A 本题考查复数的运算.
1+i
由zi=1+i得z= =1-i,
i
所以z2=(1-i)2=-2i,故选A.
4i
8.(2016课标Ⅲ理,2,5分)若z=1+2i,则 =( )
zz-1
A.1 B.-1 C.i D.-i
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4i 4i
答案 C ∵zz=(1+2i)(1-2i)=5,∴ = =i,故选C.
zz-1 4
1+2i
9.(2016北京文,2,5分)复数 =( )
2-i
A.i B.1+i C.-i D.1-i
答案 A 1+2i=(1+2i)(2+i)=2+i+4i+2i2 =5i=i,故选A.
2-i (2-i)(2+i) 4-i2 5
10.(2015课标Ⅱ理,2,5分)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案 B ∵(2+ai)(a-2i)=-4i⇒4a+(a2-4)i=-4i,
∴{ 4a=0, 解得a=0.
a2-4=-4,
11.(2015课标Ⅰ文,3,5分)已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=( )
A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i
1+i
答案 C 由已知得z= +1=2-i,故选C.
i
2+ai
12.(2015课标Ⅱ文,2,5分)若a为实数,且 =3+i,则a=( )
1+i
A.-4 B.-3 C.3 D.4
答案 D 由已知得2+ai=(1+i)(3+i)=2+4i,所以a=4,故选D.
13.(2015安徽文,1,5分)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)=( )
A.3+3i B.-1+3i C.3+i D.-1+i
答案 C (1-i)(1+2i)=1+2i-i-2i2=3+i.
(1-i) 2
14.(2015湖南文,1,5分)已知 =1+i(i为虚数单位),则复数z=( )
z
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
(1-i) 2 -2i -2i(1-i)
答案 D z= = = =-i(1-i)=-1-i.故选D.
1+i 1+i (1+i)(1-i)
15.(2014课标Ⅰ理,2,5分)(1+i) 3
=( )
(1-i) 2
A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i
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答案 D
(1+i) 3 =(1+i) 2 ·(1+i)=1+i2+2i·(1+i)=-1-i,故选D.
(1-i) 2 (1-i) 2 1+i2-2i
1+3i
16.(2014课标Ⅱ文,2,5分) =( )
1-i
A.1+2i B.-1+2i C.1-2i D.-1-2i
1+3i (1+3i)(1+i) -2+4i
答案 B = = =-1+2i,故选B.
1-i (1-i)(1+i) 2
17.(2013课标Ⅱ理,2,5分)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( )
A.-1+i B.-1-i C.1+i D.1-i
2i 2i·(1+i)
答案 A 由题意得z= = =-1+i,故选A.
1-i 2
1+2i
18.(2013课标Ⅰ文,2,5分) =( )
(1-i) 2
1 1 1 1
A.-1- i B.-1+ i C.1+ i D.1- i
2 2 2 2
1+2i 1+2i (1+2i)i -2+i 1
答案 B = = = =-1+ i,故选B.
(1-i) 2 -2i (-2i)i 2 2
5i
19.(2011课标文,2,5分)复数 =( )
1-2i
A.2-i B.1-2i C.-2+i D.-1+2i
5i 5i(1+2i) 5(i-2)
答案 C = = =-2+i,故选C.
1-2i (1-2i)(1+2i) 5
评析 本题主要考查复数的基本运算,分母实数化是解答本题的关键,属容易题.
6+7i
20.(2018天津,理9,文9,5分)i是虚数单位,复数 = .
1+2i
答案 4-i
解析 本题主要考查复数的四则运算.
6+7i (6+7i)(1-2i) 20-5i
= = =4-i.
1+2i (1+2i)(1-2i) 5
21.(2018上海,5,4分)已知复数z满足(1+i)z=1-7i(i是虚数单位),则|z|= .
答案 5
1-7i (1-7i)(1-i) -6-8i
解析 本题主要考查复数的运算.由(1+i)z=1-7i得z= = = =-3-4i,
1+i (1+i)(1-i) 2
∴|z|= =5.
√(-3) 2+(-4) 2
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a
22.(2016天津理,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则 的值为 .
b
答案 2
{b+1=a,
解析 由(1+i)(1-bi)=a得1+b+(1-b)i=a,则
1-b=0,
{a=2, a
解得 所以 =2.
b=1, b
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